Statistik für Studierende der Sozialwissenschaften Wintersemester 2010/2011 F. Marohn

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1 Statistik für Studierende der Sozialwissenschaften Wintersemester 2010/2011 F. Marohn,,Es ist mir noch heute rätselhaft, dass man herausbringt, was sechzig Millionen Menschen denken, wenn man zweitausend Menschen befragt. Erklären kann ich das nicht. Es ist eben so. Elisabeth Noelle Neumann Meinungsforscherin StatSoz 1

2 Vorlesung und Aufgabenblätter im Internet unter der Homepage des Lehrstuhls für Statistik: Vorlesungsverzeichnis WS 2010/2011 Vorlesung: Statistik für Studierende der Sozialwissenschaften Mathematische Grundlagen: Grundlagen Vorlesung: Kapitel 1, Kapitel 2,... Übung: Blatt 1, Blatt 2,... StatSoz 2

3 1 Einleitung 1.1 Was soll Statistik? 1.2 Ziele 1.3 Vorkenntnisse 1.4 Literatur 1.1 Was soll Statistik? In den empirischen Wissenschaften werden zur Beantwortung vieler Fragestellungen bzw. zur Überprüfung allgemeiner theoretischer Aussagen gesammelt. Daten (Beobachtungen, Messwerte) Daten werden immer an einzelne Untersuchungseinheiten (Objekte, Personen) gewonnen. StatSoz 3

4 Fragen der Statistik: Wie sollen welche Daten erhoben werden? ( Datenerhebung) Wie soll man Daten beschreiben? ( Beschreibende Statistik) Welche Schlüsse lassen sich aus den Daten ziehen? ( Schließende Statistik) StatSoz 4

5 Datenerhebung (kein zentraler Gegenstand dieser Vorlesung) (1) Ausarbeitung eines Fragenkatalogs: Verständlichkeit, Präzision und,,neutralität der Fragen sind von entscheidender Bedeutung. Weitere Punkte: Umfang, Reihenfolge, Antwortauswahl (Kategorien), Kontrollfragen (2) Ziehung einer Stichprobe: Eine Stichprobe ist eine Auswahl aus einer Grundgesamtheit (= Menge aller potentiellen Untersuchungseinheiten); die Auswahl muss,,zufällig erfolgen (Stichwort: Repräsentativität). Bemerkung: Völlige Kenntnis über die Grundgesamtheit erhält man nur durch eine Vollerhebung (Ausnahme). StatSoz 5

6 Beschreibende (deskriptive) Statistik Extraktion der Information, die in den Daten steckt, durch Datenaggregation. Dies geschieht durch die Berechnung von absoluten, relativen bzw. prozentualen Häufigkeiten (Erstellung einer empirischen Häufigkeitsverteilung); graphische Darstellungsformen: Balken und Tortendiagramm, Histogramm. StatSoz 6

7 statistischen Kennzahlen (Mittelwert,...) Zahlenbeispiel: Stichprobe von fünf Single Haushalten Daten (Einkommen in Tausend e): 2.2, 2.0, 1.6, 2.4, 1.8 Mittelwert (arithmetisches Mittel): = 2 StatSoz 7

8 Schließende (induktive) Statistik Frage: Wie gelangt man von der Stichprobe zu einer allgemein gültigen Aussage, also zu einer Aussage, die sich auf die Grundgesamtheit bezieht? Stichprobe Beispiel:? Grundgesamtheit Interessierende Größe (unbekannt): Mittelwert einer Grundgesamtheit (etwa durchschnittliches Realeinkommen aller Single Haushalte einer Stadt) Empirische Größe (bekannt): Mittelwert der Stichprobe (durchschnittliches Realeinkommen der Single Haushalte aus der Stichprobe) StatSoz 8

9 Beachte: Daten sind zufallsabhängig in dem Sinne, dass eine andere Auswahl also eine andere Stichprobe im Allgemeinen zu anderen Daten führen würde. In den Daten steckt also eine gewisse Variabilität, die es bei der Beantwortung obiger Frage zu berücksichtigen gilt! Zahlenbeispiel: Grundgesamtheit Einheit Wert A 2.2 B 2.0 C 1.6 D 2.4 E 1.8 Mittelwert=2 Stichprobe: A,C,D Stichproben Mittelwert: = 2.07 StatSoz 9

10 Mögliche Stichproben vom Umfang 3: Stichprobe Daten Mittelwert ABC 2.2, 2.0, ABD 2.2, 2.0, ABE 2.2, 2.0, ACD 2.2, 1.6, ACE 2.2, 1.6, ADE 2.2, 2.4, BCD 2.0, 1.6, BCE 2.0, 1.6, BDE 2.0, 2.4, CDE 1.6, 2.4, Konsequenz: Es besteht eine Unsicherheit beim induktiven Schließen von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Natürliche Forderung an eine Stichprobe: Sie soll möglichst repräsentativ, d.h. unverzerrt sein, soll also die Verhältnisse in der Grundgesamtheit möglichst gut widerspiegeln. StatSoz 10

11 Aber: Nur in den seltensten Fällen liegt eine völlig repräsentative Stichprobe vor. Man hat es daher immer mit einem zu tun. Stichprobenfehler (sampling error) Der Stichprobenfehler beruht auf zufällige Abweichungen der einzelnen Stichproben von der Grundgesamtheit. Dieser Fehler ist unvermeidlich. Stichprobenfehler sind keine Fehler im eigentlichen Sinne (Wahl einer,,falschen Stichprobe oder andere methodische Fehler). Bei einer Zufallsauswahl ist es möglich (mittels der Wahrscheinlichkeitsrechnung), eine Abschätzung für den Stichprobenfehler anzugeben. Tendenziell gilt: Je größer der Stichprobenumfang, desto repräsentativer die Stichprobe. StatSoz 11

12 Die Fragen, die aufgrund von Daten beantwortet werden sollen, sind häufig von folgendem Typ: (i) Ein Stichproben Problem Wie lässt sich eine uns interessierende, aber unbekannte Größe (z. B. Mittelwert oder Anteilswert einer Grundgesamtheit) mittels einer Stichprobe schätzen und wie genau ist diese Schätzung? Beispiel: Eine Umfrage in einem Stadtteil ergab, dass 42 von 200 Pendlern, also 21%, regelmäßig öffentliche Verkehrsmittel benutzen. Wie groß ist der Anteil der Pendler dieses Stadtteils, die regelmäßig öffentliche Verkehrsmittel benutzen? StatSoz 12

13 (ii) Zwei Stichproben Problem Sind Unterschiede von zwei Stichproben Mittelwerten,,rein zufälliger Natur, d.h. sind Unterschiede nur auf die Zufälligkeit der Daten zurückzuführen? Oder liegt ein systematischer, bedeutender Unterschied vor, der einer Interpretation wert ist? Unterscheiden sich also zwei Grundgesamtheiten hinsichtlich ihrer Mittelwerte? Beispiel: 12 Kinder reicher Eltern und 12 Kinder armer Eltern werden gebeten, den Durchmesser (in mm) eines 1 Euro Stückes zu schätzen. Die folgenden Schätzungen wurden abgegeben: StatSoz 13

14 reich arm Mittelwert (reich)= Mittelwert (arm) = Sind die durchschnittlichen Schätzwerte von armen Kinder signifikant größer als die von reichen Kinder? StatSoz 14

15 (iii) Statistischer Zusammenhang Gibt es einen Zusammenhang zwischen zwei Größen X und Y? Beispiel: Hat die Schulbildung (X) einen Einfluss auf das Umweltbewusstsein (Y )? In einer einschlägigen EMNID Umfrage wurde dazu 2004,,zufällig ausgewählten Personen die Frage gestellt, wie sehr sie sich durch Umweltschadstoffe beeinträchtigt fühlten (mit den vier Kategorien überhaupt nicht, etwas, mittel, sehr). unge Haupt Real Gym Hoch lernt schule schule nasium schule nicht etwas mittel sehr Tabelle 1 1 EMNID Umfrageergebnisse StatSoz 15

16 Zur Beantwortung dieser Fragen benötigt man theoretische Verteilungen (Modelle), die auf dem Begriff der Wahrscheinlichkeit aufbauen. Theoretische Verteilungen beschreiben den,,zufall. Empirische Verteilungen (relative Häufigkeiten) sind dazu ungeeignet! Der,,Zufall lässt sich beschreiben. Denn: Er folgt gewissen,,gesetzmäßigkeiten (auch der Zufall kann nicht machen was er will, Zufall bedeutet nicht Willkür!) und zur Beschreibung dieser,,gesetzmäßigkeiten dienen die Modelle der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit wachsenden Stichprobenumfängen lassen sich Gesetzmäßigkeiten erkennen (Stabilisierung): StatSoz 16

17 Theoretische Verteilung: ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 ϕ ist die sogenannte Gaußsche Glockenkurve (Dichte der Standard Normalverteilung). Abbildung 1 1 Die Dichte ϕ StatSoz 17

18 Ein Modell ist aus der beobachtbaren Wirklichkeit nicht logisch ableitbar. Es gibt daher auch kein richtiges oder falsches Modell (dazu fehlt ein Kriterium), sondern nur ein geeignetes oder weniger geeignetes Modell. Welches Modell man wählt, hängt von verschiedenen situationsbezogenen Faktoren ab. Die Verfahren der schließenden Statistik (Intervallschätzungen, Tests) hängen von dem gewählten Modell und den damit verbundenen Annahmen ab. Es ist daher wichtig, sich mit einigen wichtigen Modellen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut zu machen! StatSoz 18

19 Aussagen der schließenden Statistik sind Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Vereinbarkeit der in den Daten erfassten Realität mit den Modellen. Durch die Einbettung der Probleme in einen wahrscheinlichkeitstheoretischen Rahmen wird die Unsicherheit statistischer Aussagen nicht aufgehoben, wohl aber quantitativ erfassbar! StatSoz 19

20 Beispiel: (Fortsetzung) Die Stichprobe ergab einen Anteilswert von Pendlern, die öffentliche Verkehrsmittel benutzen, von Statistische Aussage: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 liegt der wahre (aber uns unbekannte) Anteilswert p im Intervall [0.15, 0.27]. Rein logisch gesehen gilt natürlich: Entweder p [0.15, 0.27] oder p / [0.15, 0.27] Nur eine dieser beiden Aussagen kann richtig sein. Aber: Wir wissen nicht welche, da wir die Zahl p nicht kennen (Unsicherheit)!!! Wir können nur sagen, dass der Anteilswert p mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einem (von den Daten abhängenden) Intervall liegt (Quantifizierung der Unsicherheit). StatSoz 20

21 1.2 Ziele Kennenlernen der wichtigsten Arten, Daten darzustellen und zu beschreiben Grundidee von Wahrscheinlichkeitsmodellen verstehen, Kennenlernen der gebräuchlichsten Modelle der Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe und Grundaufgaben der schließenden Statistik verstehen, Kennenlernen grundlegender statistischer Verfahren (Punkt und Intervallschätzungen, Tests); kompetenter Umgang mit den Begriffen statistische Signifikanz und p Wert Kritikfähigkeit und Sensibiliät gegenüber statistischen Anwendungen Erster Umgang mit statistischer Software (SPSS); Output Exegese (p Wert,...) StatSoz 21

22 Basis zur selbstständigen Einarbeitung in weitere (und kompliziertere) Methoden der statistischen Datenanalyse 1.3 Vorkenntnisse Kenntnisse der Schulmathematik sollten ausreichen. Allerdings: Ein vertieftes Verständnis (weiterführender) statistischer Verfahren ist ohne (höhere) Mathematik und einem gewissen Formalismus nicht möglich. Mathematik so wenig wie nötig. Aber: Ganz ohne Mathematik geht es nicht! Und... Mit Zahlen umgehen können schadet nie! StatSoz 22

23 1.4 Literatur Bortz, J. (2010): Statistik für Human und Sozialwissenschaftler, 7. Auflage, Springer, Berlin Heidelberg. Diaz Bone, R. (2006) Statistik für Soziologen, UVK Verlagsgesellschaft, Konstanz. Hafner, R. (2000) Statistik für Sozial und Wirtschaftswissenschaften, Band 1, Springer, Wien New York. Kähler, W. M. (2004): Statistische Datenanalyse, Vieweg, Wiesbaden. StatSoz 23

24 Nachschlagewerke (rezeptartige Beschreibungen, Tafeln von Verteilungen, Tabellen von kritischen Werten): Hartung J., Elpelt, B. und Klösener, K.-H. (2002): Statistik. Lehr und Handbuch der angewandten Statistik, 13. Auflage, Oldenbourg Verlag, München. Sheskin, D.J. (2004): Parametric and Nonparametric Statistical Procedures, 3rd Edition, Chapman& Hall, Boca Raton. StatSoz 24