Finite-Elemente-Methode

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Hannah Meinhardt
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1 Finite-Elemente-Methode 5. Übung Prof. Dr.-Ing. W. Fischer Fachhochschule Dortmund Berechnen Sie mindestens von zwei I-Trägern nach DIN 105 zunächst mit Hilfe der angegebenen Tabelle per Hand die maximale Durchbiegung, den maximalen Neigungswinkel in Grad und die maximale Biegespannung. Wählen Sie hierbei unter Verwendung der Profiltabelle sinnvolle Abmessungen. Berechnen Sie den gleichen Träger danach mit Hilfe des FEM-Systems HyperWorks 14. Vergleichen Sie jeweils die beiden Ergebnisse! [aus: Holzmann / Meyer / Schumpich: Technische Mechanik, Festigkeitslehre, Teubner-Verlag, 9. Auflage, 006] [aus: Muhs / Wittel / Jannasch / Voßiek: Roloff/Matek Maschinenelemente, Vieweg-Verlag, 18. Auflage, 007]

2 Lösung für den 1. Belastungsfall mit einem I-300 Profil aus Stahl: Daten: Belastung des Trägers: F = 100 kn = N Länge des Trägers: l = 1 m = 1000 mm E-Modul: E = N/mm Querkontraktionszahl: = 0.3 Querschnittsfläche: A = 69 cm = 6900 mm Max. Hauptträgheitsmoment: I x = 9800 cm 4 = mm 4 Min. Hauptträgheitsmoment: I y = 451 cm 4 = mm 4 Höhe des Trägers: h = 300 mm Berechnung per Hand: Max. Durchbiegung lt. Tabelle: 3 F l f 3 E I f mm 1.6 mm Max. Neigungswinkel in Grad lt. Tabelle: tan F l E I atan rad Max. Biegespannung: x,max M I z,max z y max M z,max M (x l) z F l M z,max Nmm Nmm N mm 8 x,max 150 N mm x,max

3 Berechnung mit HyperWorks 14: - Programmstart: Start / Programme / Altair HyperWorks 14.0 / HyperMesh Voreinstellung: User Profiles: OptiStruct OK - Knoten: Geometry / Create / Nodes / XYZ: x = [mm] y = [mm] z = [mm] create x = [mm] y = [mm] z = [mm] create - Modell zentrieren: Runder Icon links oben: Fit Model - 1 Linie: Geometry / Create / Lines / Linear Nodes: node list Knoten links klicken Knoten rechts klicken create - 1 Material: Materials / Create: Name: Stahl Card Image: MAT1 E: [N/mm ] NU: Close - 1 Eigenschaft: Properties / Create / Properties: Name: Balken Card Image: PBEAM Changing : Ja Material: Material Stahl 1 MAT1 OK Aa: 6900 [mm ] I1a: [mm 4 ] Ia: [mm 4 ] Close

4 - 0 Balkenelemente: Mesh / Create / Line Mesh: lines elementsize = 50 [mm] segment is whole line element config: bar auto property = Balken offsets: [mm] Linie anklicken mesh - Modellinfo: Tools / Count: FE entities all nodes = 3 elems = 0 comps = 1 mats = 1 props = 1 titles = 1 - Knoten löschen: Geometry / Delete / Nodes: nodes clear all - Modellinfo: Tools / Count: FE entities all nodes = 1 elems = 0 comps = 1 mats = 1 props = 1 titles = 1 - Eigenschaft zuweisen: Menubaum links: Maus in + Property (1) -Feld rechte Maustaste Assign elems Maus in elems -Feld rechte Maustaste all proceed

5 - Lager- u. Lastfälle: Collectors / Create / Load Collectors: Name: Lager Color: Card Image: <None> Close Collectors / Create / Load Collectors: Name: Last Color: Card Image: <None> Close - 1 Kraftkomponente: BCs / Create / Forces: create nodes global system constant vector magnit. = [N] y-axis uniform size = 100 label loads load types = FORCE Knoten links klicken create - Lager aktivieren: Roter Icon rechts unten: Set Current Load Collector - 1 Einspannung: BCs / Create / Constraints: create nodes size = 50 label constraints constant value dof1 = [mm] dof = [mm] dof3 = [mm] dof4 = dof5 = dof6 = load types = SPC Knoten rechts klicken create - Modell zentrieren: Runder Icon links oben: Fit Model - Lastbeschriftung aus: Icon links mitte: Display Load Handles - Elementbeschriftung an: Icon links mitte: Display Element Handles - Elementbeschrift. aus: Icon links mitte: Display Element Handles

- Knotenbeschriftung an: Icon links mitte: Display Numbers nodes Maus in nodes -Feld rechte Maustaste all display on - Rechenschritte: Setup / Create / LoadSteps: Name: Statik Analysis type: Linear

6 - Knotenbeschriftung an: Icon links mitte: Display Numbers nodes Maus in nodes -Feld rechte Maustaste all display on - Rechenschritte: Setup / Create / LoadSteps: Name: Statik Analysis type: Linear Static SPC: Loadcol Lager 1 OK LOAD: Loadcol Last OK Close - Speicherung: File / Save As: U051 Speichern - Berechnung: Applications / OptiStruct: input file:...u051.fem export options: all run options: analysis memory opt.: default options: -optskip OptiStruct - FEM-Analyse: ANALYSIS COMPLETED.: Close - Verschiebungen: Post / Deformed: simulation = SUB1 Statik data type = Displacements model units = as selected as selected deform

7 - Verschiebungen: Post / Contour: simulation = SUB1 Statik data type = Displacements params y comp model units = mult = min/max titles contour v min = mm Vergleich mit der Rechnung per Hand: f = 1.6 mm Die Abweichung ist sehr groß!!! Grund: Die Handrechnung erfolgt nach der einfacheren Bernoulli-Balkentheorie und die FEM-Berechnung erfolgt nach der besseren Timoshenko-Balkentheorie! Um eine bessere Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu erreichen, muss in HyperWorks ebenfalls die Bernoulli-Balkentheorie verwendet werden. Dazu müssen bei der Balkenproperty die Schubfaktoren K 1 und K geändert werden. In der Online-Hilfe findet man hierzu folgenden Eintrag unter dem Stichwort PBEAM : K1,K Shear stiffness factor K in K*A*G for plane 1 and plane. Default = 1.0 for both (Real) Comments. Blank fields for K1, K are defaulted to 1.0. If a value of 0.0 is used for K1 and K, the transverse shear flexibilities are set to Eigenschaft ändern: Menubaum links: Maus in + Property (1) -Feld linke Maustaste Eingabefeld links unten: CONTIN. LINE 5 K1: K: Mit diesen geänderten Werten muss eine neue Berechnung durchgeführt werden. Das neue Ergebnis aus HyperWorks lautet: v min = -1.6 mm. Die Ergebnisse stimmen mit der Handrechnung bis auf das Vorzeichen überein!!!

8 Neigungswinkel: Um die Neigungswinkel zu berechnen, muss dies in HyperWorks zusätzlich angefordert werden: - Neigungswinkel: Setup / Create / Control Cards: next GLOBAL_OUTPUT_ REQUEST DISPLACEMENT SORTING(1) SORT1 FORMAT(1) HM FORM(1) REAL ROTATIONS(1) ROTA OPTION(1) ALL Mit diesen geänderten Werten muss eine neue Berechnung durchgeführt werden. Die Anzeige des Neigungswinkels erfolgt dann mit: - Neigungswinkel: Post / Contour: simulation = SUB1 Statik data type = Rotations params z comp model units = mult = min/max titles contour z =.43e-03 [rad] z =.43e-03 rad = Vergleich mit der Rechnung per Hand: rad Die Ergebnisse stimmen also überein!!! Die unterschiedlichen Vorzeichen bei der Durchbiegung entstehen durch die Verwendung unterschiedlicher Koordinatensysteme zwischen der Handrechnung und der Berechnung mit HyperWorks. Wird das übliche Balkensystem verwendet (x-achse nach rechts, z- Achse nach unten, so werden sämtliche Vorzeichen (Durchbiegung und Winkel sowohl bei der Handrechnung als auch bei HyperWorks) positiv! Hierbei muss bei der Handrechnung die Kraft F positiv (nach unten in +z-richtung) eingesetzt werden. Bei HyperWorks muss die Ansicht entsprechend gedreht werden. Außerdem muss auch hier die Kraft in +z- Richtung definiert werden. Zu beachten ist, dass dann ebenfalls die beiden Hauptträgheitsmomente I1a und Ia bei HyperWorks vertauscht werden müssen, da die Biegung nun um die y-achse erfolgt

9 Biegespannungen: Die Biegespannungen können folgendermaßen angezeigt werden: - Biegespannungen: Post / Contour: simulation = SUB1 Statik data type = Abs. Max. Principal Stress params magnitude undeformed mult = min/max titles assign Wie man der Legende entnehmen kann, sind die Biegespannungen offensichtlich alle gleich Null! Dies kann anscheinend auf den ersten Blick so nicht richtig sein. Der Grund liegt darin, dass der Punkt, in dem die Biegespannungen berechnet wurden, standardmäßig in der neutralen Faser bei y = 0 mm liegt. Damit wurden die Biegespannungen automatisch zu Null berechnet, was hier natürlich richtig ist! Um die maximalen Biegespannungen zu berechnen, muss der maximale Randfaserabstand y max = h/ = 150 mm bei den Balkeneigenschaften angegeben werden. Dazu müssen bei der Balkenproperty die Koordinaten der Spannungspunkte definiert werden. In der Online-Hilfe findet man hierzu folgenden Eintrag unter dem Stichwort PBEAM : Ci(A), Di(A), Ei(A), Fi(A) The y and z locations in element coordinates for stress data recovery at end A. (i=1 is y and i= is z) Default = 0.0 for all entries (Real) - Eigenschaft ändern: Menubaum links: Maus in + Property (1) -Feld linke Maustaste Eingabefeld links unten: CONTIN. LINE C1a: [mm] Mit diesen geänderten Werten muss eine neue Berechnung durchgeführt werden. Das neue Ergebnis aus HyperWorks lautet für das Element an der Einspannung: 1.53e 0 N mm N Vergleich mit der Rechnung per Hand: x,max mm Die Ergebnisse stimmen also überein!!!

10 Screenshot der Spannungen und Verformungen: max = 153 N/mm - 4 -

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