Maschinenelemente I. Kapitel 2: Grundlagen der Berechnung. Inhalt :

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1 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Maschinenelemente I Kapitel 2: Grundlagen der Berechnung Kapitel Inhalt : Inhalte 1 Einführung - Einführung u. Übersicht Maschinenelemente - Ziele u. Übersicht der Lehrveranstaltung 2 Grundlagen der Berechnung - Technische Modellbildung - Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen - Werkstoffkennwerte - Statischer/Dynamischer Sicherheitsnachweis - Schweißnahtberechnung 3 Welle-Nabe-Verbindungen - Formschlüssigen Verbindungen (Passfeder) - Reibschlüssige Verbindungen (Pressverbindung) - Mischformen - Stoffschlüssige Verbindungen (Schweißen) 4 Schraubenverbindungen - Gewindearten - Schraubenverbindungen - Kräfte- und Verformungsverhältnisse - Berechnung - Konstruktion 5 Elastische Verbindungen (Federn) - Wirkprinzip - Anwendungen - Berechnung - Konstruktion Ausschließlich für den Gebrauch in Vorlesungen und Übungen! Für sonstigen Gebrauch sind die angegebenen Quellen heranzuziehen. 1

2 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung 2 Grundlagen der Berechnung 2.1 Technische Modellbildung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Belastungsanalyse Betriebs- / Anwendungsfaktoren Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickbeanspruchung Elastische Knickung nach EULER (λ > λgrenz) Unelastische Knickung nach TETMAJER (λ < λgrenz) Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Plastische Reserve Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Oberflächengüte Bauteilgröße Oberflächenverfestigung Weitere Einflüsse Berechnung des Gesamteinflussfaktors Ermittlung der Gestaltausschlagfestigkeit (Bauteilausschlagfestigkeit) 2.4 Sicherheitsnachweise Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Dynamischer Sicherheitsnachweis Betriebsfestigkeitsnachweis 2

3 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Im Verlauf einer Konstruktion ist zwischen der Dimensionierung in der Entwurfsphase und dem Festigkeitsnachweis in der Ausarbeitungsphase zu unterscheiden. Die Dimensionierung ermittelt in der Entwurfsphase grob die Abmessungen von Bauteilen (Maschinenelementen). Die zeitlich wirkenden Lasten bzw. die maximal zulässigen Verformungen (Betriebsbedingungen) sind dem Konstrukteur aus der Aufgabenstellung heraus bekannt. Gegebenenfalls wurden sie aus Versuchen abgeleitet. Die Entwurfsabmessungen werden stark vom Werkstoff beeinflusst, der für die Berechnung gewählt wurde. Die so ermittelten Bauteilmaße sind Grundlage für die weitere Konstruktion. In der abschließenden Ausarbeitungsphase einer Konstruktion ist die Bauteilgestaltung abgeschlossen; alle Fertigungszeichnungen liegen vor und ein Festigkeits- (oder Sicherheitsnachweis) für die gefährdeten Bauteile ist durchzuführen. Er belegt, dass das Bauteil / die Konstruktion unter Einbeziehung aller Einflussgrößen, der Abmessungen, der Werkstoffe, der notwendigen Sicherheiten Ø ausreichende Lebensdauer bzw. Ø ausreichende Festigkeit (Fließen, Bruch) usw. besitzt. 3

4 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Allgemeiner Ablauf einer Bauteilauslegung: Pos. Aufgabe Lösung 1 Funktion : Torsionsmoment M t leiten 2 Lösungsprinzip : Technisches Modell/Technische Mechanik 3 Entwurf: Nach Werkstoffwahl wird der Wellendurchmesser d min überschlägig berechnet und ausgewählt 4 Gestaltung : } Momenteneinleitung über Paßfederverbindung } Übergangsradien } Weiterleitung über Keilwellenverbindung } Maschinenelemente } DIN-Normen, VDI-Richtlinien 5 Festigkeitsrechnung : Für die Querschnitte A, B, C, D und E eine Festigkeitsberechnung durchführen (statische bzw. dynamische Beanspruchung). Nachweis positiv : Vollständige Gestaltung als technische Zeichnung. Nachweis negativ : Geometrie bzw. Werkstoff ändern und erneut Rechnen. Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 4

5 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Einfaches Ablaufschema eines Sicherheitsnachweises 5

6 Festigkeitsrechnung 2.1 Technische Modellbildung Technische Modellbildung Technische Gebilde sind häufig komplexer Natur und können nur analysiert werden, indem man sie in einfache Strukturen fasst. Ziel der Abstraktion ist es zu erklären, Ø wie die äußeren Lasten wirken Ø welche Funktionen die Bauteile ausüben. Dazu werden Technische Modelle genutzt: Beispiel: Mech. Ersatzschaubild einer Kartoffelpresse Technisches Modell: Ø Informationen für den Aufbau (à Dimensionierung, Entwurf) bzw. dem Nachrechnen (à Nachweis) Ø Die auftretenden Lasten sind Kräfte und Momente (Biege-, Drehmomente). Ø Punktlasten, (Zahnrad-, Lagerkräfte ) Linienlasten (Walzen von Materialien), Flächenlasten (Gas oder Fluide in Behältern) und Massenkräfte (Beschleunigen von Teilen ) Ø Äußere Lasten sind zu jedem Zeitpunkt der Belastung im Gleichgewicht mit den inneren Lasten bzw. mit den sich daraus ergebenden Spannungen im Gleichgewicht (actio = reactio). 6

7 Festigkeitsrechnung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen 7

8 Festigkeitsrechnung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Einzelbeanspruchungen Normalspannungen σ Schubspannungen τ Zug σ z Druck σ d Biegung σ b Schub/Scherung τ s Torsion τ t Spannungen [N/mm²] σ = F z z A σ = F d d A σ b,max M = W b b τ s, m = Fs A s τ t,max = T W t Verformungen [mm] oder [ ] σ z = E ε Δl = E l σ d = E = E ε Δl l Durchbiegung f τ s,m = G γ τ t, max = G γ R = G ϕ l Prinzipskizze F z Querschnitt A Länge l F d M b Widerstandsmoment gegen Biegung W b F s F s Stiftquerschnitt A s T Radius R Länge l Widerstandsmoment gegen Torsion W t F z F d M b T Zug/Druck à Konstante Normalspannung über dem belasteten Querschnitt Biegung à Höchste Biegenormalspannungen an der am weitest entfernten Randfaser; neutrale Faser: σ b = 0 à Querkraftbiegung: Biegung durch "Kräfte" führt zusätzlich zur Schubbeanspruchung des Bauteils Erläuterungen Schub/Scherung Torsion à Tabelle für W b à Formel beschreibt nur die mittlere Schubspannung; real: Größte Spannung in der Mitte des Querschnitts à wird häufig bei der Berechnung vernachlässigt; Ausnahme: Kurze Träger (Achszapfen), bei denen der Abstand der Krafteinleitung von der Einspannung unterhalb der Trägerabmessung bleibt, und damit der Einfluss der Schubspannung gegenüber den Biegespannung bei der Bauteilauslegung überwiegt. à Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser R, "Achse" spannungsfrei à Tabelle für W t inklusive Näherung für nicht rotationssymmetrische Querschnitte 8

9 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über F z F z dem Querschnitt Jedes Werkstoffteil- + chen erfährt die "gleiche Beanspruchung" à Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden ð beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") à Gefahr der Knickung σ z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen à größte Beanspruchung in der Mitte. + Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) vereinfacht F s τ s ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit + mittlerer Schubspannung F s F s real τ s, max Biegung -σ bmax Torsion Größte Biegenormal- M y M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) à Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. + Zug +σ bmax Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser à größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T τ t,max τ t,max T 9

10 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zugbeanspruchung : } Eine im Querschnittsschwerpunkt angreifende Normalkraft F verursacht eine in allen Punkten des Querschnitts wirkende konstante Normalspannung σ Z bzw. σ D. es gilt : Druckbeanspruchung : D D σ Z = F / A in [N/mm 2 ] σ D = F / A in [N/mm 2 ] mit : A : Querschnittsfläche [mm 2 ] F : Normalkraft [N] Konstante Normalspannung über dem Querschnitt Jedes Werkstoffteilchen erfährt die "gleiche Beanspruchung" à Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden ð beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") à Gefahr der Knickung 10

11 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Normalspannungen und -dehnungen durch Zug Äußere Belastung F bewirkt innere Spannung σ F N σ = 2 A mm Linear-elastisches Werkstoffverhalten: Der Zugstab erfährt Längenänderung Δl bzw. eine auf die Ausgangslänge l bezogene Dehnung ε l 1 l l Δl = l σ = ε = E à Hookesches Gesetz (Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung) σ = ε E Proportionalitätskonstante E in N/mm²: Elastizitätsmodul à Werkstoffkennwert 11

12 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Querkontraktion ε Gleichzeitig verringert sich der Durchmesser d. à Bezogene Querdehnung (proportional zur Längsdehnung) q d1 d = = ν ε ν: Poissonzahl bzw. Querdehn- /Querkontraktionszahl d 12

13 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zulässige Spannung σ zul : Plastischer Bereich wird in der Umformtechnik genutzt (z.b. Biegen) 15

14 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zulässige Spannung σ zul : Zugversuch zur Ermittlung des Spannungsdehnungsdiagramm 16

15 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Gewaltbruch (Sprödbruch, Trennbruch) Zugbeanspruchte Schraube: Kerbwirkung im Gewinde Bruchfläche senkrecht zu Hauptnormalspannungen 17

16 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Dauerbruch (Ermüdungsbruch) A: Anriss D: Dauerbruch R: Rastlinien G: Gewaltbruch Ø Ø Ø Ø Belastungsspitzen führen (häufig zusammen mit Oberflächenfehlern) zum Anriss. Weitere Belastungsspitzen lassen den Riss fortschreiten (Kerbwirkung), der wirksame Querschnitt verringert sich. Beim Erreichen der kritischen Querschnittsfläche erfolgt Gewaltbruch. Das Verhältnis der Bruchflächen ist Hinweis auf die Größe der Überbelastung: Je größer die Belastungsspitze desto kleiner ist der Anteil des Anrisses und der Rastlinien gegenüber dem Anteil des Gewaltbruches Quelle: 18

17 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Übung 1.1: Gewicht/Zugspannung a) Was wiegen die beiden Stäbe? b) Welcher Stab hat die absolut größere Verlängerung (ohne Eigengewicht) Stahl 10x1000 1kN Alu 20x1000 1kN 1kN 1kN 19

18 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Übung 1.2: Gewicht/Zugspannung (Studenten) Sie lassen Draht (Alu und Stahl) von einer Rolle aus einem Hubschrauber hängen. Bei welcher Länge (ohne Dehnung) reißen die Drähte aufgrund ihres Eigengewichts ab? (g=konst.) S235: R m = 500 N/mm² (R m entspricht max. ertragbare Spannung ) Alu: R m = 250 N/mm² σ 21

19 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über F z F z dem Querschnitt Jedes Werkstoffteil- + chen erfährt die "gleiche Beanspruchung" à Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden ð beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") à Gefahr der Knickung σ z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen à größte Beanspruchung in der Mitte. + Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) vereinfacht F s τ s ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit + mittlerer Schubspannung F s F s real τ s, max Biegung -σ bmax Torsion Größte Biegenormal- M y M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) à Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. + Zug +σ bmax Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser à größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T τ t,max τ t,max T 24

20 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. s Schub/Scherung s Schub (Scherung) s s s Anwendungsbeispiele s Schubspannungen: Die auftretenden Spannungen stehen nicht senkrecht auf der Fläche, sondern "liegen" auf der Fläche des Volumenelements. τ = F S A Beispiel: Schere F Beispiel: Blechstanzen 25

21 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Schub (Scherung) Versagensarten Wanderung von Versetzungen 26

22 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über F z F z dem Querschnitt Jedes Werkstoffteil- + chen erfährt die "gleiche Beanspruchung" à Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden ð beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") à Gefahr der Knickung σ z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen à größte Beanspruchung in der Mitte. + Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) vereinfacht F s τ s ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit + mittlerer Schubspannung F s F s real τ s, max Biegung -σ bmax Torsion Größte Biegenormal- M y M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) à Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. + Zug +σ bmax Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser à größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T τ t,max τ t,max T 27

23 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung -σ bmax M y Druck M y + Zug +σ bmax Größte Biegenormalspannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) à Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" 28

24 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Anwendungsbeispiele Biegung 29

25 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Biegebeanspruchung : -σ b max z } Das Biegemoment M b ruft in dem Balken eine über den Querschnitt linear verteilte Biegespannung σ b (z) hervor. Dabei sind drei Bereiche zu unterscheiden: M b x M b z < 0 : σ b (z) > 0, Zugspannungen z = 0 : σ b (z) = 0, neutrale Faser + σ b max Z > 0 : σ b (z) < 0, Druckspannungen es gilt : mit : σ b (z) = M. b z I y in [N/mm 2 ] I y M b : Flächenträgheitsmoment [mm 4 ] : Biegemoment [Nmm] z : Randfaserabstand [mm] σ bx,max = M W by by W by = z I y max = 2 I h y W by Widerstandsmoment gegen Biegung 30

26 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Maximale Biegespannung Zur Berechnung der max. Biegespannung an den Rändern wird das Widerstandsmoment W by gegen Biegung verwendet W by = z I y max = 2 I h y σ bx,max = M W by by Je nach Vorzeichen (M by!) liegt eine Druck- bzw. Zugspannung vor. Die Schnittmomenten- verläufe sind daher sorgfältig über den Biegeträger (Welle, Achse o. ä.) zu bestimmen. linkes Schnittufer rechtes Schnittufer 31

27 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Biegung bei unsymmetrischem Querschnitt: Aufgabe : Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Biegespannungen über den gegebenen Balken mit unsymmetrischem Profil. z 1 z 2 Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 32

28 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Wichtige Folgerungen zur Biegung Die maximale Biegespannung findet sich in der weitest entfernten Randfaser (von der Hauptträgheitsachse). In der neutralen Faser des Biegeträgers sind die Biegespannungen Null. Zur Berechnung der Biegespannungen werden axiale Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente gegen Biegung verwendet, die von der Form des Biegequerschnitts abhängen. Zur korrekten Bestimmung der maximalen Biegemomente sind die Schnittmomentenverläufe über den Biegeträger zu ermitteln. Je größer das Widerstandsmoment gegen Biegung, um so kleiner ist die maximale Biegespannung. M bx 34

29 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Tabellen für gängige Rund-Querschnitte Biegung 35

30 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Tabellen für gängige Rechteck-Querschnitte Biegung 36

31 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Axiale Flächenträgheitsmomente - Berechnung Die neutrale Faser (Nulllinie) geht bei der geraden Biegung (konstantes Biegemoment über dem Träger) stets durch den Flächenschwerpunkt des Profils. Bei zusammengesetzten Profilen ist das Trägheitsmoment der Einzelprofile gemäß Satz von STEINER auf den Gesamtschwerpunkt umzurechnen, i. d. R. aber für gängige Trägerprofile aus Tabellen zu entnehmen! Satz von STEINER 37

32 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Relative Flächenträgheitsmomente gegen Biegung: } Relative Flächenträgheitsmomente gegen Biegung (relative Biegesteife) für Querschnittsformen mit gleicher Fläche. Quelle: Müller, D.H.; Vorlesungsmanuskript - Festigkeitslehre, Uni Bremen 38

33 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. 39

34 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Übung 1.6: Gewicht/Biegespannung (a+b Studierende) 10kN a) Welche Masse hat ein 1m langes 35x35mm Stahlprofil? - Dichte aus Aufg. 1.1 b) Welche Masse hat ein 1m langes I100 Profil? 1m 10kN - Dichte aus Aufg m c) Wie groß sind die max. Spannungen bei dem belasteten quadratischen Profil mit 35 mm Kantenlänge und 1 m Länge (Eigengewicht vernachlässigen)? d) Wie groß sind die max. Spannungen bei dem belasteten I100 Träger und 1 m Länge (Eigengewicht vernachlässigen)? 40

35 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über F z F z dem Querschnitt Jedes Werkstoffteil- + chen erfährt die "gleiche Beanspruchung" à Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden ð beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") à Gefahr der Knickung σ z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen à größte Beanspruchung in der Mitte. + Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) vereinfacht F s τ s ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit + mittlerer Schubspannung F s F s real τ s, max Biegung -σ bmax Torsion Größte Biegenormal- M y M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) à Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. + Zug +σ bmax Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser à größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T τ t,max τ t,max T 43

36 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Torsion τ t,max T T τ t,max Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser à größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) ð schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen 44

37 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Torsion Anwendungsbeispiele Torsion 45

38 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Torsion Torsionsbeanspruchung: } Ein Torsionsmoment M t, dessen Vektor in die Balkenachse fällt, verursacht im beanspruchten Querschnitt Schubspannungen. In kreisförmigen Querschnitten hat die Torsionsspannung τ t einen linearen Verlauf. es gilt : τ t (z) = M. t z I t in [N/mm 2 ] τ t,max = T W t mit : I t M t z : polares Trägheitsmoment [mm 4 ] : Torsionsmoment [Nmm] : Randfaserabstand [mm] Wt : Polares Widerstandsmoment 46

39 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Widerstandsmomente 47

40 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Betriebs- / Anwendungsfaktoren bei dynamischer Belastung Die auf die Bauteile wirkenden Lasten können unregelmäßig schwanken und sind völlig unterschiedlich zu werten: Ein Elektromotor treibt ein Förderband für Autobatterien an. Ein Verbrennungsmotor treibt einen Schredder für Äste bis Ø 6,5 cm. Höhere Schwankungen der Antriebsmomente (Verbrennungsmotor) oder der aufzubringenden Lasten (Stöße, Lastspitzen beim Schreddern) führen zu einer deutlich höheren Belastung der Antriebswelle (und anderer Elemente des Antriebsstrangs) als die angegebenen Nennlasten. Die tatsächliche Belastung wird durch auf Erfahrung beruhende Betriebs- oder Anwendungsfaktoren K A berücksichtigt: Dazu wird das Nenndrehmoment T n mit diesem Faktor K A multipliziert und ein äquivalentes Drehmoment T eq bzw. eine äquivalente Kraft F eq ermittelt. Sie ist Grundlage für die Auslegung (Dimensionierung) der Bauteile. => Die Antriebswelle des Elektromotors für das Förderband erhält somit einen kleineren Querschnitt als die Antriebswelle des Verbrennungsmotors für den Schredder. T = T = K T F = eq A n F eq = K A F n Do M2G 48

41 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Anhaltswerte nach DIN 3990 T1 Arbeitsweise Antriebsmaschine Getriebene Maschine gleichmäßig Elektromotor Dampfturbine, Gasturbine leichte Stöße wie gleichm.,aber größere, häufig Anfahrmomente mäßige Stöße Mehrzylinder- Verbrennungsmotor starke Stöße Einzylindermotor gleichmäßig z. B. Stromerzeuger, Gurtförderer, Plattenbänder. Förderschnecken, leichte Aufzüge, Elektrozüge, Vorschubantriebe von Werkzeugmaschinen, Lüfter, Turbogebläse, Turboverdichter, Rührer und Mischer für Stoffe mit gleich-mäßiger Dichte, Scheren, Pressen. Stanzen bei Auslegung nach max. Schnittmoment mäßige Stöße z. B. ungleichmäßig beschickte Gurtförderer, Hauptantrieb von Werkzeug-maschinen, schwere Aufzüge, Drehwerke von Kränen, Industrie- und Grubenlüfter, Kreiselpumpen. Rührer und Mischer für Stoffe mit unregelmäßiger Dichte, Kolbenpumpen mit mehreren Zylindern, Zuteilpumpen 1,0 1,1 1,25 1,5 1,25 1,35 1,5 1,75 mittlere Stöße z. B. Extruder für Gummi, Mischer mit unterbrochenem Betrieb (Gummi, Kunststoffe), Holzbearbeitung, Hubwerke, Einzylinder-Kolbenpumpen, Kugelmühlen 1.5 1,6 1,75 2,0 oder höher starke Stöße z. B. Bagger, schwere Kugelmühlen, Gummikneter, Brecher (Stein, Erz), Hüttenmaschinen, Ziegelpressen, Brikettpressen, Schälmaschinen, Rotary-Bohranlagen, Kaltbandwalzwerke 1,75 1,85 2,0 2,25 oder höher 49

42 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Belastungsanalyse Um Maschinenelemente und Bauteile korrekt auf ihre Sicherheit gegen Versagen berechnen zu können, müssen technische Modelle, technische Zeichnungen oder auch reale Bauteile daraufhin analysiert werden, welche Belastungsarten in welchem Querschnitt des Bauteils auftreten in welchem Belastungsfall die jeweilige Belastungsart (dyn., stat.) auftritt. Ohne die korrekte Analyse der Belastungsarten und Belastungsfälle ist eine fehlerlose Dimensionierung eines Maschinenelements oder Bauteils nicht möglich! Sie muss daher mit größter Sorgfalt erfolgen! Einige wesentliche Formeln zu Bestimmung von Momenten und Kräften sind aus der Physik heranzuziehen: (1) P = T ω Drehbewegung à Zusammenhang zwischen Leistung P, Drehmoment T und Winkelgeschwindigkeit ω Beispiel: Antriebsstrang à Torsionsbelastung einer Antriebswelle (2) ω = 2π n Drehbewegung à Ermittlung der Winkelgeschwindigkeit aus der Drehzahl eines Antriebs (3) Drehbewegung à Ermittlung der Umfangsgeschwindigkeit v aus der Winkelgeschwindigkeit und dem "Hebelarm" (Durchmesser) der Kreisbewegung v = ω d 2 Beispiel: Zahnrad à Umfangsgeschwindigkeit einer Zahnflanke bei gegebener Drehzahl (4) P = F v Linearbewegung à Zusammenhang zwischen Leistung, Kraft F und Geschwindigkeit Beispiel: Presse à Notwendige Presskraft und Stempelgeschwindigkeit führt zur erforderlichen Leistung der Presse (5) M ( T ) = F d Torsions- oder Biegemoment à Kraft x Hebelarm d/2 (je nach Wirkung M oder T) 2 Beispiel: Zahnrad à Radialkräfte führen zu "Durchbiegung" der Welle (M) à Umfangskräfte führen zur Übertragung eines Drehmoments (T) (6) d F 1 d F 2 Hebelgesetze (Momentengleichgewicht) à Umrechnen von Kräften bei unterschiedlichen 1 = Hebelarmen (Durchmessern) ( M1 = M2) Beispiel: "Gar mächtig ist des Schlossers Kraft, wenn er mit dem Hebel schafft" 55

43 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Wesentliche Fragestellungen der (mechanischen) Belastungsanalyse (1) Wo werden Kräfte und Momente (Dreh- und Biegemomente) in das Bauteil eingeleitet? (2) Welche Belastungsarten verursachen diese äußeren Lasten im Bauteil? Welche Belastungsfälle treten auf? (3) Darf der Schub bei Querkraftbiegung oder Scherung (wie i. d. R.) vernachlässigt werden? Wie unterscheidet sich Fall (a) und (b) im Biegemomentenverlauf Beispiel: und Querkraftverlauf? (a) F Wo ist der gefährdete Querschnitt? Warum führt eine Vernachlässigung des Querkraftschubs in Fall (b) zu einer falschen Auslegung des Bauteils? Der Einfluss der Schubspannung nimmt für kürzere "Träger" gegenüber den Biegespannungen zu (kleine Hebelarme!). Beispiele im Allgemeinen Maschinen sind querbelastete Wellen- oder Achszapfen! (4) Entstehen ebene oder räumliche Belastungsfälle (insbesondere Wirkung der Momente)? Beachte, dass "antreibende Umfangskräfte" nicht nur Torsionsmomente (Drehmomente!), sondern auch Biegemomente hervorrufen! (5) Wo sind Auflagerpunkte? Welchen Freiheitsgrad haben sie? (6) Wie sind die Schnittmomentverläufe des Biegemoments, der Querkraft und der Torsion über dem Bauteil? (7) Wo sind gefährdete Querschnitte (Kerben)? l 5 (b) F (8) Welcher Punkt eines gefährdeten Querschnitts muss die größte Spannung ertragen (kritische Punkte)? (9) Tritt die Biegung als Querkraftbiegung auf (s.o.)? (10) Sind Durchbiegungen, Stauchungen, Dehnungen oder Verdrillungen für die Bauteilfunktion gefährdend? 56

44 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen 57

45 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Spezielle Druckbelastungen σ Flächenpressung σ p Hertzsche Pressung p Knickung Beulen Prinzipskizze F d F d F d F d F d F d Spannungen [N/mm²] F d Fd σ p = A p F F d d Berechnung nach folgt Blatt 2.16 ff F d Berechnung nach Blatt 2.18 folgt ff "Schalentheorie" Erläuterungen Flächige Berührungen Projizierte Fläche A p in Lastrichtung siehe auch Blatt 2.14 ff bei der Berührung von Bauteilen Punkt- oder Linienberührung Elast. Verformung à Abplattung à Berührfläche Stabilitätsprobleme Unzulässige Verformungen führen zum Funktionsverlust (Versagen) Knickung elastisch oder unelastisch à abhängig vom Schlankheitsgrad λ wird nicht in der Vorlesung behandelt 58

46 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsgrundlagen Flächenpressung Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Treten Bauteile (Maschinenelemente) miteinander in Kontakt, treten an den Berührflächen Spannungen auf, die zum Versagen führen können. Berühren sich die Bauteile flächig, darf die auftretende Flächenpressung p vorh einen zulässigen Wert p zul nicht überschreiten. Vereinfacht wird von einer gleichmäßigen Lastverteilung ausgegangen, was sich in der Praxis bei der Anwendung tabellierter zulässiger Flächenpressungen p zul bewährt hat. F d p vorh = < Ap p zul F d Druckkraft = Presskraft A p (in Lastrichtung projizierte) Querschnittsfläche A P F d p vorh Zu beachten ist, dass zur Berechnung der Flächenpressung nur die in Lastrichtung projizierte Fläche A p anzusetzen ist. Diese kann deutlich kleiner als die Berührfläche werden (à hohe Flächenpressung)! Im links dargestellten Beispiel steigt die Flächenpressung mit wachsendem Schiene (Länge > l) F d Winkel α an, da die projizierte "Berührbreite b" deutlich kleiner wird! b Wagen (Länge l) b α F 2 b l d A p = 2 b l pvorh = < p zul 59

47 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsgrundlagen Flächenpressung Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Beispiel entspricht der Berechnungsgrundlage für Bolzenverbindungen und Gleitlager: F d Rolle (Länge l) Zylindr. Halbschale (Länge > l) F d l d A p = d l pvorh = < p zul d p vorh Weitere Beispiele sind Nietverbindungen, Passfederverbindungen oder Kupplungs- oder Bremsbeläge usw. 60

48 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Berechnungsgrundlagen Flächenpressung: Zulässige Flächenpressung p zul Die zulässige Flächenpressung ist kein Werkstoffkennwert, sondern beruht auf Erfahrungswerten (je nach Einsatzfall). Werden die zulässigen Werte überschritten, können die Flächen durch örtliche Überbeanspruchung (Kantenpressung) duktile Werkstoffe deformieren (Wulstbildung) bzw. bei spröden Werkstoffen Stücke abplatzen, verschleißen, bei einigen Werkstoffkombinationen verschweißen. Die zulässige Flächenpressung p zul ist abhängig von der Werkstoffpaarung dem Belastungsfall. Der Belastungsfall unterscheidet nicht nur statisch und dynamisch, sondern auch Festsitz und Gleitsitz: Festsitz Gleitsitz - Mit Welle verstifteter Flansch - Gelenke (Bolzen verbindet Zugstange mit Gabel) - Unterlegscheibe bei einer Schraube - Lagerung von Rollen (Walzen) - Flächenpressung beim Gewinde einer Schraube - Gleitlager (Scharniere) Festsitze erlauben höhere Flächenpressungen als Gleitsitze. Für die Bemessung ist stets der zulässige Wert des schwächeren Bauteils heranzuziehen. Des weiteren wirken Temperaturen, Gleitgeschwindigkeiten etc. verändernd auf die zulässigen Werte. 61

49 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Berechnungsgrundlagen Flächenpressung: Zulässige Flächenpressung p zul Für die häufig zu bemessenden Bolzenverbindungen gilt a) für nicht gleitende Flächen: p zul = 0,35 R m (konstante Last) p zul = 0,25 R m (schwellende Last) b) Gleitsitze mit niedrigen Gleitgeschwindigkeiten je nach Schmierung und Werkstoffkombination: Richtwerte für die zulässige mittlere Flächenpressung (Lagerdruck) p zul bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten (z. B. Gelenke, Drehpunkte). p zul wird durch die Verschleißrate des Lagerwerkstoffes bestimmt. ( )-Werte gelten für kurzzeitige Lastspitzen. Bei Schwellbelastung gelten die 0,7-fachen Werte. Gleitpartner (Lager-Bolzenwerkstoff) 1 bei Trockenlauf (wartungsfrei) p zul [N/mm 2 ] - Bifo-Lager 2 / St 150 (600) - iglidur X 3 / St gehärtet iglidur G 13 / St gehärtet 80 - DU-Lager 4 / St 60 (140) - Sinterbronze mit Festschmierstoff / St 80 - Verbundlager (Laufschicht PTFE) / St 30 (150) - PA oder POM / St 20 - PE / St 10 - Sintereisen, ölgetränkt (Sint-B20) / St 8 bei Fremdschmierung p zul [N/mm 2 ] - Tokatbronze 5 / St St gehärtet / St gehärtet 25 - Cu-Sn-Pb-Legierung / St gehärtet 40 (100) - Cu-Sn-Pb-Legierung / St 20 - GG / St 5 - Pb-Sn-Legierung / St 3 (20) Erläuterungen: 1) Harte, geschliffene Bolzenoberfläche (R a ca. 0,4 µm) günstig 2) Kunststoffbeschichtetes Stahlfolienlager (SKF, Schweinfurt) 3) Thermoplastische Legierung mit Fasern und Festschmierstoffen (igus GmbH, Bergisch Gladbach) 4) Auf Stahlrücken (Buchse, Band) aufgesinterte Zinnbronzeschicht; Hohlräume mit PTFE und Pb gefüllt (Karl Schmidt GmbH, Neckarsulm) 5) Mit Bleibronze beschichteter Stahl (Kugler Bimetal, Le Lignon/Genf) Für andere Einsatzfälle sind die Erfahrungswerte der Hersteller oder die der Fachliteratur heranzuziehen. aus Roloff/Matek: Maschinenelemente - Tabellen, 18. Aufl., Vieweg S

50 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Weitere Anwendungsfälle: Schraubenverbindungen( Fläche unter Schraubenkopf u. Mutter) 63

51 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Spezielle Druckbelastungen σ Flächenpressung σ p Hertzsche Pressung p Knickung Beulen Prinzipskizze F d F d F d F d F d F d Spannungen [N/mm²] F d Fd σ p = A p F F d d Berechnung nach folgt Blatt 2.16 ff F d Berechnung nach Blatt 2.18 folgt ff "Schalentheorie" Erläuterungen Flächige Berührungen Projizierte Fläche A p in Lastrichtung siehe auch Blatt 2.14 ff bei der Berührung von Bauteilen Punkt- oder Linienberührung Elast. Verformung à Abplattung à Berührfläche Stabilitätsprobleme Unzulässige Verformungen führen zum Funktionsverlust (Versagen) Knickung elastisch oder unelastisch à abhängig vom Schlankheitsgrad λ wird nicht in der Vorlesung behandelt 64

52 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsgrundlagen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Berühren sich i. d. R. gekrümmte Bauteile (Maschinenelemente) nicht flächig, so tritt eine Punkt- oder Linienberührung auf. Theoretisch ist die Berührfläche Null und die Pressung damit unendlich groß. Real findet auf Grund der elastischen Eigenschaften der Werkstoffe eine Abplattung statt, die zu einer kreis- oder rechteckförmigen Kontaktfläche führt. Der Physiker Heinrich Hertz berechnete aus dem dreidimensionalen Spannungszustand, wie weit die Oberflächen abplatten. Wesentliche Voraussetzungen sind homogene, isotrope Körper und dass die Belastungen nur elastische Verformungen bewirken. Die größte Druckbeanspruchung tritt in der Mitte der Kontaktfläche auf; die größte Beanspruchung im Material aber unterhalb dieses Punktes. Von dort geht das Versagen aus: Material bricht aus der Oberfläche heraus ( Pittings, Grübchen). Die zulässige Flächenpressung ist je nach Einsatzfall über Versuche (Erfahrungswerte) ermittelt. Beispiele: Zahnradflanken, Wälzlager (Kugeln, Rollen), Kette mit Kettenrad, Rad-Schiene-Systeme 65

53 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Vorgehensweise Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 66

54 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung (Tutorium) 67

55 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 69

56 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Spezielle Druckbelastungen σ Flächenpressung σ p Hertzsche Pressung p Knickung Beulen Prinzipskizze F d F d F d F d F d F d Spannungen [N/mm²] F d Fd σ p = A p F F d d Berechnung nach folgt Blatt 2.16 ff F d Berechnung nach Blatt 2.18 folgt ff "Schalentheorie" Erläuterungen Flächige Berührungen Projizierte Fläche A p in Lastrichtung siehe auch Blatt 2.14 ff bei der Berührung von Bauteilen Punkt- oder Linienberührung Elast. Verformung à Abplattung à Berührfläche Stabilitätsprobleme Unzulässige Verformungen führen zum Funktionsverlust (Versagen) Knickung elastisch oder unelastisch à abhängig vom Schlankheitsgrad λ wird nicht in der Vorlesung behandelt 71

57 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Anwendungsbeispiele Knicken 72

58 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Wann tritt Knicken auf? Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung! 74

59 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung! 75

60 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 76

61 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung F K Es gilt: 2 EI = π L 2 K λ = L K i = I, A i b min 77

62 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Freie Knicklänge L K Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Die freie Knicklänge L K wird abhängig von der Lagerung und Einspannung des Druckstabes (àknickfälle nach Euler) aus der Bauteillänge l berechnet. Knickfälle nach EULER F K 2 EI = π L 2 K Freie Knicklänge L K = 2 l L = l L K = 2 l l L K 2 K = 2 EI F K = π 2 EI F 2 K = π 2 2 EI 2 4 l l F K = π 2 4 EI Eulersche Knickkraft 2 F l K = π 2 l Bei gleicher Bauteillänge ist die erforderliche Druckkraft zum Knicken im Fall I am kleinsten (größte Knickgefahr) und im Fall IV am größten (kleinste Knickgefahr)! nach Steinhilper, Sauer: Konstruktionselemente des Maschinenbaus. 6. Aufl. Springer 78

63 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Unelastische Knickung nach TETMAJER (λ < λ grenz ) Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Die Knickspannung wird nach der TETMAJER-Gerade bestimmt: σk = a b λ Die Werte a, b, c wurde für die unterschiedlichen Werkstoffe aus Versuchen ermittelt (siehe Tabelle unten). Eine Ausnahme ist Grauguss, bei dem der Knickspannungsverlauf annähernd durch eine Parabel statt einer Geraden beschrieben wird (siehe Tabelle unten). Knickspannungen im unelastischen Bereich: Werkstoff E-Modul [N/mm²] Grenzschlankheitsgrad λ grenz Gleichungen der Tetmajer- Geraden à σ K [N/mm²] Gusseisen σ K = λ 0,053 λ 2 S235JR σ K = 310 1,14 λ E295 und E σ K = 335 0,62 λ

64 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Unelastische Knickung nach TETMAJER (λ < λ grenz ) Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 81

65 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung (Vorlesung) (Tutorium) Es gilt: λ = L K i i = I b, min A F K 2 EI = π L 2 K σ = a b λ K 85

66 Maschinenelemente I Festigkeitsberechnung 2 Grundlagen der Berechnung 2.1 Technische Modellbildung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Belastungsanalyse Betriebs- / Anwendungsfaktoren Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickbeanspruchung Elastische Knickung nach EULER (λ > λgrenz) Unelastische Knickung nach TETMAJER (λ < λgrenz) Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Plastische Reserve Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Oberflächengüte Bauteilgröße Oberflächenverfestigung Weitere Einflüsse Berechnung des Gesamteinflussfaktors Ermittlung der Gestaltausschlagfestigkeit (Bauteilausschlagfestigkeit) 2.4 Sicherheitsnachweise Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Dynamischer Sicherheitsnachweis Betriebsfestigkeitsnachweis 89

67 Festigkeitsrechnung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen 90

68 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Spannungen in der Praxis : Vergleichsspannungen Mehrachsiger Spannungszustand (Realität) Einachsiger Spannungszustand (Vergleichsspannung zur Berechnung) 91

69 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Treten mehrere Beanspruchungen in einem Bauteil gleichzeitig auf, so überlagern sich die Spannungen. Im Inneren des Bauteils baut sich ein mehrachsiger Spannungszustand auf. An einem Volumenelement des Bauteils können wirken: Ø Normalspannungen σ (senkrecht zur Schnittfläche) durch Druck-, Zug- oder Biegebeanspruchung. Ø Schubspannungen τ ( auf der Schnittfläche ) durch Scher- und Torsionsbeanspruchung bzw. durch das Auftreten von Querkräften bei der Biegung Schubspannungen und Normalspannungen sind aufgrund ihrer Wirkungen im Innern des Bauteils unbedingt auseinander zuhalten. Es dürfen aber Schubspannungen mit Schubspannungen und Normalspannungen mit Normalspannungen vektoriell addiert werden. 92

70 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Normalspannungen: Supperpositionsprinzip : A F } Gleichartige Spannungen addieren sich! M b σ N -σ b max -σ res max + = +σ b max +σ res max σ N = F / A σ b = M b / W σ res = σ N + σ b 93

71 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Schubspannungen: Supperpositionsprinzip : A Q M t } Gleichartige Spannungen addieren sich! τ s -τ t max -τ res max + = +τ t max +τ res max τ s = Q / A τ t = M t / W t τ res = τ s + τ t Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 94

72 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Spannungen in der Praxis : Vergleichsspannungen Mehrachsiger Spannungszustand σ b τ t τ s σ N Vergleichsspannung Einachsiger Spannungszustand σ v Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 95

73 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Überlagerung von Spannungen Festigkeitshypothesen dienen dazu, die mehrachsigen Bauteilbeanspruchungen auf einen einachsigen Spannungszustand zurückzuführen, und so die Vergleichbarkeit zu Werkstoffkennwerten zu gewährleisten. Die auf die einachsige Beanspruchung zurückgerechnete Spannung heißt VERGLEICHSSPANNUNG Das Bauteil versagt, wenn die (statische oder dynamische) Vergleichsspannung oberhalb der Bemessungsgrenze liegt. Die Anwendung der Festigkeitshypothesen zur Berechnung der Vergleichsspannung erfolgt nach dem voraussichtlichen Versagen des Bauteils, das vom Werkstoffverhalten (auch bei unterschiedlichen Temperaturen) und der Beanspruchungsart abhängt: - (Haupt-)Normalspannungshypothese (NH): William Rankine (1861) - (Haupt-)Schubspannungshypothese (SH): Henri Tresca (1868) - Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH): Richard Edler von Mises (1913), Maxymilian Tytus Huber (1904) 96

74 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Festigkeitshypothesen Je nach Werkstoff, Wärmebehandlung, Art der Beanspruchung werden angepasste Hypothesen verwendet. Die drei im Maschinenbau gebräuchlichen Festigkeitshypothesen sind: Festigkeitshypothese Versagen unter Werkstoffe Vergleichsspannung (Haupt-) Normalspannungshypothese (NH) der größten Haupt- Normalspannung Für spröde Werkstoffe (Trennbruch), bei tiefen Temperaturen durch Versprödung auch duktile Werkstoffe σ ( σ + σ + τ ) v( NH) = 4 (Haupt-)Schubspannungshypothese nach TRESCA (SH) der größten Haupt- Schubspannung Für duktile Werkstoffe oder spröde Werkstoffe unter Druckbeanspruchung (Auftreten von Gleitbrüchen) σ 2 2 v ( SH ) = σ x + 4 τ xy Die GE-Hypothese ist für die meisten praktischen Fälle anwendbar. Gestaltänderungs energiehypothese nach v. MISES (GE) durch unzulässig hohe plastische Verformungen Beste Hypothese für zähe (fließfähige) Werkstoffe (Baustähle, Vergütungsstähle) und für Dauerbeanspruchung σ 2 2 v( GEH ) = σ + 3 τ 97

75 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Festigkeitshypothesen Brucharten und -verläufe } Die Berechnung der Vergleichsspannung hängt vom zu erwartenden Bruchverhalten ab. Beispiel : Bruchfläche Quelle: nach Müller, D.H.; Vorlesungsmanuskript - Festigkeitslehre, Uni Bremen 98

76 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Schema zur Berechnung von Vergleichsspannungen 99

77 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Beanspruchungsbeispiele mit der GE-Hypothese: 100

78 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Übung: Vergleichsspannung (nach GEH) Hinweis: σ 2 2 v( GEH ) = σ + 3 τ 102

79 Maschinenelemente I Festigkeitsberechnung 2 Grundlagen der Berechnung 2.1 Technische Modellbildung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Belastungsanalyse Betriebs- / Anwendungsfaktoren Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickbeanspruchung Elastische Knickung nach EULER (λ > λgrenz) Unelastische Knickung nach TETMAJER (λ < λgrenz) Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Plastische Reserve Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Oberflächengüte Bauteilgröße Oberflächenverfestigung Weitere Einflüsse Berechnung des Gesamteinflussfaktors Ermittlung der Gestaltausschlagfestigkeit (Bauteilausschlagfestigkeit) 2.4 Sicherheitsnachweise Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Dynamischer Sicherheitsnachweis Betriebsfestigkeitsnachweis 103

80 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffe sind mechanisch nur bis zu bestimmten inneren Spannungen belastbar. Ab diesen Werkstoffgrenzen tritt ein Versagen durch Bruch ein oder der Werkstoff verformt sich plastisch (Fließen), was zu einem Funktionsversagen führen kann. Im Allgemeinen Maschinenbau sind i. d. R. bereits plastische Verformungen zu vermeiden, sodass die Belastungen nur zu reversiblen Verformungen im elastischen Bereich ("Hookescher Bereich") führen dürfen (vgl. auch Abschnitt 2.3.2). Kräfte und Momente ziehen stets Verformungen nach sich! Die Größe der Verformungen werden durch die Werkstoffkennwerte Elastizitätsmodul und Schubmodul bestimmt. Die Einordnung des Werkstoffverhaltens erfolgt in zäh oder duktil, wenn erhebliche plastische (irreversible) Verformungen möglich sind. Der Werkstoff besitzt als Werkstoffkennwerte eine Fließ- oder Streckgrenze (Elastizitätsgrenze) und eine Bruchfestigkeit. Man spricht von gutmütigem" Werkstoffverhalten, da Schutzmaßnahmen möglich sind (Inspektion auf Verformungen)!) spröde, wenn nach keiner oder nur geringer plastischer Verformung ein sofortiger Bruch eintritt. Der Werkstoff hat keine Elastizitätsgrenze, sondern nur Bruchfestigkeiten. Im Versagensfall ist ein katastrophaler Schaden möglich; die Bauteile werden "mit höheren Sicherheiten" ausgelegt, um im Betrieb die inneren Spannungen möglichst fern von den Versagensspannungen zu halten. 104

81 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Zu allen Belastungsarten werden zur Ermittlung von Werkstoffkennwerten Normversuche durchgeführt (à vgl. Vorlesung Werkstoffkunde). Je nach Belastungsfall werden für eine zeitlich konstante Belastung (statische Last) Fließgrenzen (Index "F") und Bruchfestigkeiten (Index "m") für eine periodisch schwingende Last (dynamische Last) Ausschlagsfestigkeiten (Index "A", à Darstellung in speziellen Diagrammen z. B. Smith- oder Haigh-Diagramm) ermittelt Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Der "klassische" Versuch der Werkstoffprüfung ist der Zugversuch nach DIN EN Die einachsige Beanspruchung kann nur quasistatisch aufgebracht werden, d. h. die Belastung wird sehr langsam "hochgefahren" (max. 10 N/mm² s), um keine Effekte,w ie Verfestigung, während des Versuchs zu erhalten. Der Zugversuch liefert die "bekanntesten" Werkstoffkennwerte Zugfestigkeit R m und Streckgrenze R e (bzw. Dehngrenze R p0,2, die für ruhende Belastungen als Grundlage der Bemessungswerte von Bauteilen dienen. Zu anderen Belastungsarten werden die in der Tabelle (nächste Seite) aufgeführten statischen Werkstoffkennwerte ermittelt. Sind Werkstoffkennwerte nicht bekannt, so können zur Berechnung bei Stählen Ersatzwerte herangezogen werden. 105

82 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Zugversuch Ermittlung von Werkstoffkennwerten bei statischer Belastung 106

83 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Spannungs-Dehnungs-Diagramme verschiedener Werkstoffe 108

84 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte für Beanspruchungen Belastungsart Bezeichnung Kennwert Ersatzwert bei Verwendung bei Stählen Versagen bei Streckgrenze R e - Verformung Zug 0,2% Dehngrenze R p0,2 - Verformung Zugfestigkeit R m - Bruch Druckfließgrenze R ed R e Verformung Druck 0,2% Stauchgrenze R p0,2d R p0,2 Verformung Druckfestigkeit R m d R m Bruch Biegefließgrenze σ bf R e Verformung Biegung 0,2% Biegedehngrenze σ b0,2 R p0,2 Verformung Biegefestigkeit σ bb R m Bruch Torsionsfließgrenze τ tf Verformung Torsion Torsionsdehngrenze τ t0,4 Verformung Torsionsfestigkeit τ tb Bruch Schub Scherfließgrenze τ sf Verformung Scherfestigkeit τ sb Bruch Hypothese 1 1) z. B. Torsionsfließgrenze Nach der GEH- Rp R p0,2 = 3 τtf τtf = 3 0,2 109

85 110

86 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte von Baustählen Quelle: Niemann, Winter, Höhn: Maschinenelemente. Bd. 1., 3.Aufl. Springer Berlin 2005, S

87 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte von Vergütungsstählen Quelle: Niemann, Winter, Höhn: Maschinenelemente. Bd. 1., 3.Aufl. Springer Berlin 2005, S

88 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Bauteile in Maschinen und Anlagen unterliegen üblicherweise zeitlich veränderlichen Beanspruchungen, die sich aus einem statischen und dynamischen Anteil zusammensetzen. In der Realität sind diese zeitlichen Veränderungen der Beanspruchung zufällig und nicht periodisch wiederkehrend (harmonisch). Dennoch werden Werkstoffkennwerte mittels periodischem Verlauf der Beanspruchung ermittelt, da der Aufwand zu groß ist, den realen Belastungsverlauf auf einer Werkstoffprüfmaschine zu erzeugen. Grundsätzlich ist dies heute aber mit servohydraulischen Prüfeinrichtungen möglich. Grundbegriffe einer periodischen Schwingbeanspruchung σ o Oberspannung σ u Unterspannung σ m Mittelspannung (à statischer Anteil) σ o + σ u σ m = 2 σ a Spannungsausschlag oder amplitude (à dynamischer Anteil) σ o σu σ a = σ o σ m = σ m σu = 2 2 σ a Schwingbreite κ Spannungsverhältnis N Schwing- oder Lastspiel σ κ = u σ o Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente, 18. Aufl. Vieweg, S

89 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Rissausbreitung unter Dauerbeanspruchung REM-Aufnahme eines Risses : 5 µm σ = 0 σ = 2σ a σ = 0 σ = 2σ a Lastspiel N Lastspiel N+1 σ = 0 σ σ o σ m σ u = 2 σ a = 1 / 2 σ o = 0 5 µm Mögliche Ursachen für die Rissinitiierung sind Spannungsspitzen verursacht z.b. durch: } Kerben in der Bauteilgeometrie (z.b. Nuten) } Fertigungsfehler (z.b. Lunker in Gussteilen) } Oberflächeneinflüsse (z.b. Rauheiten) Schwellende Beanspruchung Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 114

90 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauer- bzw. Ermüdungsbruch: Bruchflächenstruktur eines Ermüdungsbruches : Rastlinien Dauerbruchfläche Restbruchläche 1. Ausgangsgeometrie 2. Rissinitiierung 3. Risswachstum 4. Instabiler Bruch Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 116

91 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerbruchflächenbilder Quelle: aus Vorlesungsmanuskript, Werkstoffe Iia, IFU, Uni Stuttgart 117

92 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerbruchflächenbilder Rasterelektronenmikroskopische Aufnahme des Dauerschwingbruchs einer Ventilfeder ausgehend von einem oxidischen Einschluss E [1] Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 118

93 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerbruchflächenbilder Das Bruchbild eines Dauerbruchs unterscheidet sich gravierend von Gleit- und Trennbrüchen bei statischer Last (siehe rechts). Die Schadenskunde kann anhand des Bruchaussehens Ursachen des Versagens ermitteln. Trennbruch (Gewalt-) einer Keilwelle Dauerbruch einer Ritzelwelle (Passfeder) Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente, 18. Aufl. Vieweg, S. 43 und S

94 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Beanspruchungsbereiche Ein Lastspiel von N = ¼ entspricht quasi einer Belastung auf einen statischen Wert (vgl. Zugversuch). Die Zahl der Lastspiele, die ein Bauteil in Laufe seines Lebens im Betrieb erfährt, ist eine entscheidende Größe bei der Bemessung. Mit Hilfe des Spannungsverhältnisses κ lassen sich unterschiedliche Belastungsfälle unterscheiden: σ κ = u σ o Beanspruchungsart Zug, Druck, Biegung, Torsion, Scherung Statische Beanspruchung Schwellbeanspruchung Reine Schwellbeanspruchung Wechselbeanspruchung Reine Wechselbeanspruchung A Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente, 18. Aufl. Vieweg, S. 41 A

95 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Übung: Dynamische Belastung Hinweis: Statische Beanspruchung Beanspruchungsart Zug, Druck, Biegung, Torsion, Scherung Schwellbeanspruchu ng Reine Schwellbeanspruchung Wechselbeanspruchu ng Reine Wechselbeanspruchung A

96 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Übung: Dynamische Belastung Hinweis: Statische Beanspruchung Beanspruchungsart Zug, Druck, Biegung, Torsion, Scherung Schwellbeanspruchu ng Reine Schwellbeanspruchung Wechselbeanspruchu ng Reine Wechselbeanspruchung σ κ = u σ o A

97 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Wöhler-Diagramm Bei dynamischer Beanspruchung haben die statischen Werkstoffkennwerte keine Bedeutung mehr. Der Werkstoff ermüdet unter den durch schwingende Momente oder Kräfte hervorgerufenen gleichermaßen schwingenden Spannungen (Schub- oder Normalspannungen). Dynamische Werkstoffkennwerte werden aus Dauerschwingversuchen (DIN 50100) ermittelt. Die Fragestellung lautet: Wieviele Lastspiele erträgt die genormte Werkstoffprobe bei einer festgelegten statischen (Mittellast, -spannung) und einer festgelegten dynamischen (Lastausschlag, Ausschlagsspannung) Last? Bei einer Vielzahl von Versuchen lässt sich daraus für eine Mittelspannung die Wöhlerkurve 1 ableiten. Allerdings sind Wöhlerkurven für σ m 0 seltener. Statische Festigkeit Neue Begriffe: σ A Zeitfestigkeit Dauerfestigkeit - N Lastspielzahl (logarithmisch) R m - σ A Ausschlagsfestigkeit Wöhlerdiagramm für Stahl - σ D Dauerfestigkeit: Sie ist die Grenzspannung, die gerade noch beliebig lange R p0,2 ohne Bruch ertragen werden kann. - N gr Grenzspielzahl: Lastspielzahl, bei der die Dauerfestigkeit auftritt. Stähle N gr = bis Leichtmetalle N gr = bis 10 8 Im Falle σ m = 0 nennt sich die Dauerfestigkeit σ D Wechselfestigkeit σ W, im Falle σ m = σ A (σ u = 0) Schwellfestigkeit σ Sch. Diese beiden Werte sind häufig tabelliert (vgl. Tabellenbuch Roloff/Matek). σ D Bereiche der Zeitfestigkeit Low Cycle Fatigue (LCF) bis High Cycle Fatigue( HCF) bis 10 6 DFS N gr log N 123

98 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerschwingversuchsmaschine August Wöhler Dauerversuchsmaschine von 1860, Standort ist das Deutsche Museum, München. Quelle: aus Geschichte der Technikwissenschaften, Birkhäuser Verlag 124

99 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauer- Hochfrequenz-Resonanzpulsmaschine zur Durchführung von axialen Schwingversuchen: Neuheit im Böllhoff Prüflabor: Dauerschwingprüfung Im physikalisch-technischen Prüflabor wurde in eine moderne dynamische Prüfmaschine investiert, um Dauerschwing- bzw. Ermüdungsprüfungen selbst durchführen zu können. Es handelt sich um eine 150 kn-hochfrequenz-resonanzprüfmaschine der Fa. RUMUL mit der die langen Prüfzeiten der Wöhlerversuche in überschaubarem Rahmen gehalten werden können. So kann ein Punkt der Wöhlerkurve im Dauerfestigkeitsgebiet mit 10 Millionen Lastwechseln bereits nach ca. 24 Stunden geprüft sein. Klassische servohdraulische Maschinen brauchen dazu mehrere Tage. 125

100 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Ermüdungsprüfung an Kurbelwelle und Pleuel Kurbelwelle Pleuel 126

101 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerfestigkeitsdiagramm nach Smith: Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) : } Im Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith werden die ertragbaren Spannungsausschläge der Dauerfestigkeit, σ A von der unter 45 verlaufenden σ m -Linie aus nach oben und nach unten abgetragen. σ D σ o σ m σ D = σ m + σ A 45 σ u σ m Im Falle σ m = 0 nennt sich die Dauerfestigkeit σ D Wechselfestigkeit σ W, im Falle σ m = σ A (σ u = 0) Schwellfestigkeit σ Sch. Diese beiden Werte sind häufig tabelliert (vgl. Tabellenbuch Roloff/Matek). Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 128

102 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerfestigkeitsdiagramm nach Smith: Wechselbereich Schwellbereich Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 129

103 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerfestigkeitsdiagramm nach Smith: Werkstoffdatenblätter : } Die wesentlichen Werkstoffkennwerte und die Dauerfestigkeitsschaubilder für Biege, Zug-Druck- und Torsionsbeanspruchung sind in sog. Werkstoffdatenblättern zusammengefasst. } Für jeden Werkstoff gilt jeweils ein eigenes Datenblatt. } Im Beispiel ist das Datenblatt für einen Baustahl St 60-2 dargestellt. Hinweis : Größere Darstellung siehe nächste Seite Quelle: Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 131

104 Werkstoffdatenblatt für St 60-2 Biege- Dauerfestigkeit Zug-Druck- Dauerfestigkeit Torsions- Dauerfestigkeit 132

105 Werkstoffdatenblatt Ablesebeispiel } Gegeben ist eine Zugdauerbeanspruchung um eine Mittelspannung von σ m = 200 N/mm 2. } Die Dauerfestigkeit ergibt sich in diesem Fall mit σ D = 335 N/mm 2 bei einer max. zulässigen Ausschlagspannung von σ a zul = 135 N/mm

106 Vergleich DFS verschiedener Werkstoffe 134

107 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerfestigkeitsschaubild nach SMITH Quelle: nach Schlecht, : 1. Aufl. München, Pearson Studium, S. 98 Das Diagramm stellt zu jeder Mittelspannungen σ mi die Dauerfestigkeit σ Di dar. Aus der Streckendifferenz (σ Di s mi ) lässt sich die Ausschlagsspannung zu dieser Mittelspannung bestimmen. Merke: Die Angabe einer Dauerfestigkeit ist stets mit der Angabe der zugehörigen Mittelspannung verbunden. Vereinbarung: σ = σ D m + σ A z. B. σ Db = ( ) N/mm² bedeutet, dass der Werkstoff unter Biegung bei einer Mittelspannung von 50 N/mm² eine Ausschlagsfestigkeit (gerade noch ertragbarer Ausschlag) von 120 N/mm² besitzt. Wird ein Bauteil mit einem statischen Anteil von 50 N/mm² belastet, so muss der Spannungsausschlag σ a im Bauteil in jedem Fall unterhalb der Ausschlagsfestigkeit von 120 N/mm² bleiben, da sonst ein Dauerbruch entsteht. Um so größer die Mittelspannung σ m, umso kleiner ist der ertragbare Ausschlag σ A (à Mittelspannungsempfindlichkeit der Ausschlagsfestigkeit σ A ). Die Oberspannung der dynamischen Last sollte die Streckgrenze (Dehn-) R p0,2 nicht überschreiten. Die Ausschlagsfestigkeit von Stählen kann für eine gegebene Mittelspannungen über Formeln aus der Wechselfestigkeit σ W (σ m =0) ermittelt werden (siehe Abschnitt 2.3.4). 136

108 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerfestigkeitsschaubilder von Baustählen σ κ = u σ o Quelle: Roloff / Matek, Tabellenbuch, S.44 nach DIN EN

109 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Dauerfestigkeitsschaubilder von Baustählen Quelle: Roloff / Matek, Tabellenbuch, S.44 nach DIN EN

110 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Plastische Reserve Zähe (duktile) Werkstoffe können oberhalb der Elastizitätsgrenze R p0,2 (R e ) belastet werden, ohne dass sie durch Bruch versagen. Sie verformen sich plastisch ("Fließen"). Diese Belastungsreserven können bewusst ausgenutzt werden. Wichtigste Voraussetzungen für das Nutzen dieser plastischen Reserve sind, dass - gute (bewährte) Berechnungsgrundlagen vorliegen - kein Funktionsversagen des Bauteils durch die plastische Deformation auftritt - gesetzliche Auflagen dies nicht verbieten - das daraus resultierende Versagen verantwortbar ist. -σ bb -σ bf Die Überbeanspruchung über den Hookeschen Bereich hinaus erfolgt i. d. R. nur in Teilen des Querschnitts und daher bei Beanspruchungsarten mit nicht konstantem Spannungsverlauf, wie Biegung, Torsion oder Schub. So findet bei Biegung das Fließen nur in den Randbereichen statt und der Bereich "um die neutrale Faser herum" wird elastisch beansprucht (siehe rechts). Die "überbeanspruchten Bereiche" fließen und nehmen maximal Spannungen im Bereich der Fließgrenze an (vgl. Spannungs-Dehnungsdiagramm). Der Restquerschnitt muss den "nicht abgedeckten Teil der Last des Randbereiches" mit übernehmen, was die Spannung dort erhöht. M y Druck + Zug σ bb σ bf plastisch elastisch plastisch M y Plastische Reserven werden ebenfalls bei zylindrischen Pressverbänden oder bei gekerbten Bauteilen genutzt, um Material sparend dimensionieren zu können. 139

111 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Problem : } Die in den Dauerfestigkeitsschaubildern angegebenen Werte gelten für glatte polierte Probestäbe mit 10mm Durchmesser! D = 10 mm? Lösung: } Eine davon abweichende Bauteilgestalt, Oberflächenbeschaffenheit oder auch Umgebungseinflüsse vermindern die Dauerfestigkeit zum Teil erheblich; z.b.: Ø Bauteilgestalt, Kerbwirkungen Ø Oberflächenqualität, -rauheiten Ø Bauteilgröße Ø Oberflächenverfestigung => Gesamteinflussfaktor berechnen! Ø Weitere: - Temperatureinflüsse - Schadenskollektive, Vorbelastungen - Umgebungseinflüsse, Korrosion - etc. Die statischen und dynamischen Werkstoffkennwerte werden in Norm-Versuchen mit genormten Proben ermittelt, die keinerlei Bauteilcharakter besitzen. So weichen die Bauteile in der Form, Größe, Oberfläche, Art der Herstellung usw. von den Proben ab. Des Weiteren ist realitätsfremd, dass die Proben keine technische Kerben aufweisen. Die Probe im Dauerschwingversuch ist glatt, poliert und meist 7,5 oder 10 mm im Durchmesser. Die Abweichung der "Realität" von der "Norm" ist mittels Konstruktionskennwerte zu berücksichtigen, d. h. die Werkstoffkennwerte sind auf tatsächliche, vom Bauteil ertragbare Größen umzurechnen. Diese Bauteil- oder Gestaltfestigkeiten sind für die Bemessung und den Sicherheitsnachweis zu verwenden. Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 143

112 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Definition : } Das Gestaltfestigkeitsschaubild (GFS) ergibt sich, indem die Konstruktionskennwerte im Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) berücksichtigt werden. Aus der Dauerwechselfestigkeit σ bw wird die: Gestaltwechselfestigkeit σ bgw σ bgw = K t σ K bwn Db bzw. τ tgw = K t τ K twn Dt mit dem Gesamteinflussfaktor : K Db β = K kb g + 1 K Oσ 1 1 K V Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 144

113 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Problem : } Die in den Dauerfestigkeitsschaubildern angegebenen Werte gelten für glatte polierte Probestäbe mit 10mm Durchmesser! D = 10 mm? Lösung: } Eine davon abweichende Bauteilgestalt, Oberflächenbeschaffenheit oder auch Umgebungseinflüsse vermindern die Dauerfestigkeit zum Teil erheblich; z.b.: Ø Bauteilgestalt, Kerbwirkungen Ø Oberflächenqualität, -rauheiten Ø Bauteilgröße Ø Oberflächenverfestigung => Gesamteinflussfaktor berechnen! Ø Weitere: - Temperatureinflüsse - Schadenskollektive, Vorbelastungen - Umgebungseinflüsse, Korrosion - etc. Die statischen und dynamischen Werkstoffkennwerte werden in Norm-Versuchen mit genormten Proben ermittelt, die keinerlei Bauteilcharakter besitzen. So weichen die Bauteile in der Form, Größe, Oberfläche, Art der Herstellung usw. von den Proben ab. Des Weiteren ist realitätsfremd, dass die Proben keine technische Kerben aufweisen. Die Probe im Dauerschwingversuch ist glatt, poliert und meist 7,5 oder 10 mm im Durchmesser. Die Abweichung der "Realität" von der "Norm" ist mittels Konstruktionskennwerte zu berücksichtigen, d. h. die Werkstoffkennwerte sind auf tatsächliche, vom Bauteil ertragbare Größen umzurechnen. Diese Bauteil- oder Gestaltfestigkeiten sind für die Bemessung und den Sicherheitsnachweis zu verwenden. Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 145

114 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Häufig auftretende technische Kerben von Bauteilen sind - Übergänge z. B. von einem Wellendurchmesser auf einen anderen (Wellenschulter), - Einstiche z. B. für Sicherungsringe auf Wellen, - Bohrungen z. B. für Stifte, - Nuten z. B. für Passfedern auf einer Welle. Äußere konstruktive Kerben führen ebenso wie innere Kerben (Lunker, Schlackeneinschlüsse etc.) zu einer geringeren Beanspruchbarkeit des Bauteils. Durch sie wird der bisher störungsfreie (gleichmäßige) Kraftflussverlauf verändert. Die Kraftflusslinien verdichten sich an den kritischen Stellen; Spannungsüberhöhungen im Kerbgrund sind die Folge. Um einen Kennwert für diese Höherbelastung zu ermitteln, wird die Maximalspannung im Kerbgrund σ max (bzw. τ max ) ins Verhältnis zur Nennspannung σ n (bzw. τ n ) gesetzt. Je größer diese Kerbformzahl α k (kurz: Formzahl), umso gefährdeter ist der Querschnitt: α = k Maximale Spannung im Kerbgrund Nennspannung imkerbgrund σ = σ max n bzw. τ = τ max n Die Kerbformzahl wird im Versuch (Spannungsoptik, Dehnungsmessung) oder über rechnerische Methoden (FEM) ermittelt; für typische Kerbgeometrien sind Diagramme (siehe folgendes Blatt) erstellt. Die Kerbformzahl wird für Bauteile unter statischer Last angewendet. Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente, 18. Aufl. Vieweg, S

115 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Photo: TU Chemnitz 147

116 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Definition der Formzahl α k : Formzahl α k = σ max / σ n Quelle: aus Müller, D.H.; Vorlesungsmanuskript - Festigkeitslehre, Uni Bremen 148

117 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Einflussfaktoren auf die Kerbwirkung (1) Kerbform: Die Kerbformzahl α k ist umso größer, - je scharfkantiger eine Kerbe ist (Ausrundungsradius, siehe rechts), - je tiefer eine Kerbe ist (Kerbtiefe t), - je größer der Kerbwinkel ist ("harter" Übergang). (2) Spannungsgefälle: - abhängig von der Belastungsart Biegung mit sehr hohem Spannungsgefälle, Zug ohne Spannungsgefälle Folge α > k, z > αk, b αk, t ZUG Zug Biegung Torsion Größte Gefährdung durch Zugbeanspruchung (keine plastischen Reserven!) - Realer Schub ohne Spannung im Kerbgrund! BIEGUNG 3) Kerbempfindlichkeit - Kerben führen in spröden Werkstoffen (Bruchdehnung < 10%, Brucheinschnürung < 30%) aufgrund fehlender plastischer Reserven bei Überschreiten der "Dehngrenze" zum Bruch. Bei duktilen Werkstoffen werden die Spannungsspitzen im Kerbgrund durch plastisches Fließen abgebaut; der Restquerschnitt übernimmt "die Last" (à Stützwirkung). Ein geringes Überschreiten der Elastizitätsgrenze ist für zähe Werkstoff daher unproblematisch. Quelle: Roloff / Matek, Maschinen-elemente, 18. Aufl. Vieweg, S

118 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Formzahl α k für Rundstäbe mit Umlaufkerben Zug Biegung Torsion Quelle: Niemann, Winter, Höhn: Maschinenelemente. Bd. 1., 3.Aufl. Springer Berlin 2005, S

119 Übung: Formzahl α k für Rundstäbe Hinweis: Tabelle Roloff-Matek 3.6 A

120 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Formzahl α k für Rundstäbe mit Absätzen Zug Biegung Torsion Beispiel: D=50 mm; d=40 mm; t=5 mm; r=5 mm α k, z = 1,7 > α k, b = 1,6 > α k, t = 1,3 Quelle: Niemann, Winter, Höhn: Maschinenelemente. Bd. 1., 3.Aufl. Springer Berlin 2005, S

121 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Dynamische Belastung Kerbwirkungszahl β k Die Verfestigung beim Be- und Entlasten beim dynamischen Belastungsvorgang führt dazu, dass von einem duktilen Bauteil größere Spannungsüberhöhungen ertragen werden können als bei statischer Last. Je größer das plastische Verformungsvermögen ist, umso mehr "Verfestigung" kann noch stattfinden. D. b., dass Stähle mit niedriger Zugfestigkeit kerbunempfindlicher sind. Die Kerbwirkung bleibt hinter der Kerbwirkung statischer Last und ebenso hinter der Kerbwirkung höherfester Stähle zurück. Dies führt zur Einführung einer Kerbwirkungszahl β k, die sich versuchstechnisch aus dem Verhältnis der Wechselfestigkeiten einer glatten (σ W ) zu einer gekerbten (σ Wk ) Werkstoffprobe im Dauerschwingversuch bestimmt: σw 1 βk = σ Wk α k Sie ist stets größer als Eins (Spannungsüberhöhung) und im Falle (kerbempfindlicher) spröder Werkstoffe gleich der Kerbformzahl α k (keine Verfestigung!). Die Kerbwirkungszahlen sind ebenfalls für typische Kerbgeometrien des allgemeinen Maschinenbaus bestimmt und in Diagrammen abzulesen (siehe Beispiel auf der nächsten Seite) oder aus Formzahl und Stützzahl zu berechnen. - Bei dynamischer Belastung (von Stählen) sind Verfestigungsvorgänge zu berücksichtigen. Ist noch ein hohes plastisches Verformungsvermögen vorhanden (i. A. bei geringeren Zugfestigkeiten von Stählen), verfestigen diese in den Überlastbereichen und sind daher gegenüber höherfesten Stählen weniger kerbempfindlich (kleinere Kerbwirkung). Die Kerbempfindlichkeit von Werkstoffen mit hohem plastischen Verformungsvermögen ist daher deutlich geringer. 156

122 157

123 Kerbwirkungszahlen 158

124 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Kerbwirkungszahlen 159

125 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Kerbwirkungszahlen für abgesetzte Rundstäbe: Beispiel: D = 50 mm d = 40 mm R = 5 mm R m = 800 N/mm 2 0,125 β β kb = 1 + ( βk (2,0) kb c b 1) = 1+ 0,55 (1,6 1) = 1,33 βkt = 1 + c t ( βk (1,4) 1) β = 1+ 0,85 (1,95 1) = 1,81 kt Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente Tabellenbuch, 18. Aufl. Vieweg, S. 54 1,25 161

126 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Mehrfachkerben Enthält ein Bauteil mehrere technische Kerben (z. B. Passfeder und Absatz), so muss der Konstrukteur darauf achten, dass sich die Kerbwirkungen nicht überlagern. Für diese Durchdringungskerben ist die Bestimmung der Kerbformzahl nicht eindeutig. Konstruktiv können über Kerben "sanfte Übergänge" im Kraftfluss geschaffen werden. Nachfolgend einige Beispiele mit positiven Auswirkungen auf die Lebensdauer eines Bauteils: Rechtecknut (Ausrunden oder Entlastungskerbe) Wälzlagersitz (Ausrunden durch axialen Einstich, mittels Distanzring, Entlastungskerben) Presssitz (große Übergangsradien, Nabe am Sitz breiter, kegelige Nabe) Zahnrad (Ritzel) Querbohrung (Entlastungskerbe) (Entlastungskerben, verdickte Welle, große Übergangsradien) Quelle: Schlecht, : 1. Aufl. München, Pearson Studium, S

127 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Problem : } Die in den Dauerfestigkeitsschaubildern angegebenen Werte gelten für glatte polierte Probestäbe mit 10mm Durchmesser! D = 10 mm? Praxis: } Eine davon abweichende Bauteilgestalt, Oberflächenbeschaffenheit oder auch Umgebungseinflüsse vermindern die Dauerfestigkeit zum Teil erheblich; z.b.: Ø Bauteilgestalt, Kerbwirkungen Ø Oberflächenqualität, -rauheiten Ø Bauteilgröße Ø Oberflächenverfestigung Ø Weitere: - Temperatureinflüsse - Schadenskollektive, Vorbelastungen - Umgebungseinflüsse, Korrosion - etc. => Gesamteinflussfaktor berechnen! K Db βkb = K g 1 + K Oσ 1 1 K V Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 163

128 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Oberflächengüte Die Maximalspannung ist bei allen Belastungsarten mit Kerbwirkung i. d. R. an der Bauteiloberfläche zu finden. Der Dauerbruch startet mit einem anfänglichen Riss, der bei einer schlechten Oberflächenqualität leichter ein-geleitet wird. Die Wechselfestigkeit (und damit auch Dauerfestigkeiten) des Werkstoffs ist daher für das reale Bauteil gegenüber der polierten Normprobe mittels eines Einflussfaktors der Oberflächenrauheit K O zu bewerten. Beispiel: R m =700 N/mm 2 mit R z =50 µm: K Oσ = 0,8 Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente Tabellenbuch, 18. Aufl. Vieweg, S

129 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Problem : } Die in den Dauerfestigkeitsschaubildern angegebenen Werte gelten für glatte polierte Probestäbe mit 10mm Durchmesser! D = 10 mm? Praxis: } Eine davon abweichende Bauteilgestalt, Oberflächenbeschaffenheit oder auch Umgebungseinflüsse vermindern die Dauerfestigkeit zum Teil erheblich; z.b.: Ø Bauteilgestalt, Kerbwirkungen Ø Oberflächenqualität, -rauheiten Ø Bauteilgröße Ø Oberflächenverfestigung Ø Weitere: - Temperatureinflüsse - Schadenskollektive, Vorbelastungen - Umgebungseinflüsse, Korrosion - etc. => Gesamteinflussfaktor berechnen! Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 165

130 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Bauteilgröße Ist das Bauteil größer als die meist kleinen Probendurchmesser des Normversuchs, ist ein Festigkeitsabfall zu berücksichtigen. Näherungsweise wird dies mit drei Faktoren erreicht: - Technologischer Größeneinflussfaktor K t (siehe nächstes Blatt) à Wärmebehandlungen beeinflussen größenabhängig die Festigkeit von Kern und Rand - Geometrischer Größeneinflussfaktor K g à Die Bauteilgröße beeinflusst (bei gleicher Randspannung) das Spannungsgefälle (Biegung, Torsion) und damit die plastischen Reserven (Stützwirkung) Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente Tabellenbuch, 18. Aufl. Vieweg, S. 57 TB Formzahlabhängiger Größeneinflussfaktor K α à Die Kerbwirkung ist abhängig vom Bauteildurchmesser (nicht werkstoffabhängig). Für die Übungsaufgaben wird dieser Einfluss vernachlässigt (K α = 1). 166

131 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Technologischer Größeneinflussfaktor K t Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente - Tabellenbuch, 18. Aufl. Vieweg, S. 56/57 167

132 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte 168

133 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Problem : } Die in den Dauerfestigkeitsschaubildern angegebenen Werte gelten für glatte polierte Probestäbe mit 10mm Durchmesser! D = 10 mm? Praxis: } Eine davon abweichende Bauteilgestalt, Oberflächenbeschaffenheit oder auch Umgebungseinflüsse vermindern die Dauerfestigkeit zum Teil erheblich; z.b.: Ø Bauteilgestalt, Kerbwirkungen Ø Oberflächenqualität, -rauheiten Ø Bauteilgröße Ø Oberflächenverfestigung Ø Weitere: - Temperatureinflüsse - Schadenskollektive, Vorbelastungen - Umgebungseinflüsse, Korrosion - etc. => Gesamteinflussfaktor berechnen! Quelle: nach Hennigs, D.; Vorlesungsskript Maschinenelemente u. Konstruk on, Hochschule Bremen 169

134 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Oberflächenverfestigung Maßnahmen wie Härten, Rollen, Strahlen führen zu Druckeigenspannungen in der Bauteiloberfläche, die die Dauerfestigkeit erhöhen. Ein Oberflächenverfestigungsfaktor K V rechnet ggf. die Wechselfestigkeit auf den höheren Wert um. Auch dieser Einfluss wird in den Übungsfaktoren vernachlässigt. 170

135 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Weitere Einflüsse Je nach Bauteilform sind zur Bestimmung von K t und K g gleichwertige Durchmesser zu verwenden: Weitere Einflüsse: Temperatur, Belastungsfrequenz, Korrosion Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente - Tabellenbuch, 18. Aufl. Vieweg, S

136 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Konstruktionskennwerte Problem : } Die in den Dauerfestigkeitsschaubildern angegebenen Werte gelten für glatte polierte Probestäbe mit 10mm Durchmesser! D = 10 mm? Praxis: } Eine davon abweichende Bauteilgestalt, Oberflächenbeschaffenheit oder auch Umgebungseinflüsse vermindern die Dauerfestigkeit zum Teil erheblich; z.b.: Ø Bauteilgestalt, Kerbwirkungen Ø Oberflächenqualität, -rauheiten Ø Bauteilgröße Ø Oberflächenverfestigung Ø Weitere: - Temperatureinflüsse - Schadenskollektive, Vorbelastungen - Umgebungseinflüsse, Korrosion - etc. => Gesamteinfluss(faktor) berechnen! => Festigkeitsnachweis => Statisch - Um Konstruktionskennwerte korrigierte Fließgrenze => Dynamisch - Gestaltwechselfestigkeit σ bgw - Gestaltausschlagfestigkeit σ GA 172

137 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte Berechnung des Gesamteinflussfaktors Der Gesamteinflussfaktoren K D (für Normal- bzw. Schubspannungen) ergeben sich zu K Db βkb = K g 1 + K Oσ 1 1 K V und K Dt βkt = Kg 1 + K Oτ 1 1 K V Der technologische Größeneinflussfaktor K t wird auch auf statische Werkstoffkennwerte angewendet und wird aus diesem Grund nicht im (dynamischen) Gesamteinflussfaktor erfasst. Auf der übernächsten Seite fließt der technologische Größeneinflussfaktor K t in die Dauerwechselfestigkeit ein. 173

138 Festigkeitsrechnung Konstruktionskennwerte 1 Berechnung mit Formzahl a k und Stützzahl (wird nicht in der Vorlesung behandelt!) K Start Erfassung der vorliegenden Kerbgeometrie N b k Probe bekannt? b k aus Diagrammen, Tabellen Kap (Blatt 2.43 ff.) β = β D k Quelle: nach Roloff / Matek, Maschinenelemente - Formelsammlung, 8. Aufl. Vieweg, S. 21 J K α Probe k Probe k Probe Kα K g aus Blatt Kap K Os, K Ot aus Kap Blatt 2.42 K V (=1, Vereinfachung) β = K k bzw. t. g + K Ende 1 2 β Oσ bzw. Oτ 1 1 KV 3 Vorgehensweise zur vereinfachten Berechnung des Konstruktionsfaktors (nur in der Vorlesung) Der Konstruktionsfaktor wird für Biegung und Torsion getrennt berechnet (Index "b" bzw. "t") K Db, K Dt Die Kerbwirkungszahl β kb Probe ist experimentell bekannt (Diagramme, siehe ff.). Eine Abhängigkeit der Kerbwirkung von der Größe des Bauteils wird vernachlässigt. Der Größeneinflussfaktor K α für Probe und Bauteil wird vereinfachend als gleich groß betrachtet. Tatsächlich kann die Kerbwirkungszahl β k mit größer werdendem Bauteil bis zu 10 % ansteigen (für Formzahlen bis 3) Vorhandene Sicherheit wird größer als "real". Der Einfluss der Oberflächenverfestigung K V wird vernachlässigt. Real liegt der Wert zwischen 1 und 1,5, d. h. der Gesamtkonstruktionsfaktor wird entsprechend bis zu 67% kleiner. Ein kleineres K Db ergibt eine größere Gestaltdauerwechselfestigkeit σ GW Vorhandene Sicherheit wird kleiner als "real". Legende zu Einflussfaktoren K α Formzahlabhängiger Größeneinflussfaktor β kb, β kt Kerbwirkungszahl Biegung oder Torsion K oσ, K Oτ Einflussfaktor Oberflächenrauheit K g Geometrischer Größeneinflussfaktor K V Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung 174

139 Festigkeitsrechnung Gestaltfestigkeit Gestaltfestigkeit (Bauteilfestigkeit) Bei einem Bauteil beliebiger Gestalt ist nicht mehr die Dauerfestigkeit des idealen Probestabes, sondern die um alle Einflussgrößen verminderte Dauerfestigkeit, die Gestaltdauerfestigkeit (Bauteildauerfestigkeit) σ G (τ G ) für die Festigkeitsberechnung bei dynamischer Beanspruchung maßgebend. Die dynamischen Werkstoffkennwerte sind in Gestalt- oder Bauteilausschlagfestigkeiten σ GA (τ GA ) umzurechnen. Dies erfolgt in zwei Schritten: 1. Berechnung der Gestaltwechselfestigkeiten σ bgw (τ bgw ) 2. Ermittlung der Gestaltausschlagsfestigkeit (Gestaltdauerfestigkeit) σ GA (τ GA ) 1. Gestaltwechselfestigkeit σ bgw des gekerbten Bauteils bei Biegung bzw. Torsion: bw σ bgw = bzw. τ tgw = K Db mit Dauerwechselfestigkeiten σ bw und τ tw σ τ K tw Dt σ bw K σ t bwn σ bw = K t σ bwn bzw. τ tw = K t τ twn und mit den Wechselfestigkeiten σ bwn und τ twn aus Tabellenbuch (TB1-1 bis TB1-2, Roloff/Matek) und technologischen Größeneinflussfaktor K t σ bgw = K t σ K bwn Db bzw. τ tgw = K t τ K twn Dt 175

140 Festigkeitsrechnung Gestaltfestigkeit Gestaltfestigkeit (Bauteilfestigkeit) 2. Gestaltausschlagsfestigkeit (Gestaltdauerfestigkeit =Bauteildauerfestigkeit) Für den Festigkeitsnachweis gegen Dauerbruch muss die jeweilige Gestaltausschlagfestigkeit (σ GA ; τ GA ) ermittelt werden. Zu klären ist dabei, welche Gestaltausschlagfestigkeit σ GA ; τ GA (maximal ertragbare Amplitude der Bauteildauerfestigkeit ohne Schwingbruch) der auftretenden Ausschlagspannung σ a ; τ a (vorhandene Amplitude) zuzuordnen ist. Berücksichtigt werden muss die Größe der vorhandenen Vergleichsmittelspannung und die Art der betrieblichen Überbeanspruchung bei Belastungserhöhung bis zur Versagensgrenze (Überbelastungsfall). Das Smith-Diagramm zeigt, dass im Falle statischer Anteile σ m (τ m ) bei einer dynamischen Belastung die Ausschlagsfestigkeit σ A (τ A ) gegenüber der Wechselfestigkeit abnimmt. Gleiches gilt für die über Konstruktionskennwerte korrigierten Gestaltausschlagsfestigkeiten σ GA (τ GA ). Im Falle zusammengesetzter Beanspruchung muss zur Berechnung bzw. zum "Ablesen aus dem Diagramm" eine Vergleichsmittelspannung σ mv mit einer geeigneten Festigkeitshypothese bestimmt werden. 176

141 Festigkeitsrechnung Gestaltfestigkeit Überlastungsfälle 1+2 Es sind drei Überlastungsfälle aufgrund der betrieblichen Belastungsart zu unterscheiden, die zu unterschiedlichen Gestaltausschlagsfestigkeiten σ GA führen. Überlastfall 1: Bei steigenden Belastungen (Momente, Kräfte) auf das Bauteil bleibt die Mittelspannung konstant, aber der Spannungsausschlag erhöht sich. Beispiel: Seiltrieb bei feststehender Achse à "Seillast" definiert konstante (statische) Mittellast (Vorspannung) σ bga = σ bgw ψ σ σ mv τ tga = τ Überlastfall 2: Bei steigenden Belastungen (Momente, Kräfte) auf das Bauteil erhöhen sich Mittelspannung und Spannungsausschlag und damit Ober- und Unterspannung in gleichem Maße. Dieser Fall führt i. d. R. zur sichersten Ausführung des Bauteils (Anwendung auch bei Schweißnahtberechnungen). Beispiel: Getriebewelle à Zahnkräfte am Zahnrad steigen à σbgw τtgw Mittelspannung σbga = und Spannungsausschlag τ für die Biegung σmv steigt. 1 + ψ tga = τ mv σ 1 ψτ σ + τ ba tgw ψ τ τ mv ta 180

142 Festigkeitsrechnung Gestaltfestigkeit Überlastungsfall 3 Überlastfall 3: Die Unterspannung bleibt konstant, während die Oberspannung anwächst. Die Mittel- und Ausschlagsspannung steigen gleichmäßig an. σ bga σ = bgw ψ σ 1+ ψ ( σ σ ) τ ψ ( τ τ ) σ mv ba Beispiel: Verwendung bei Federberechnungen! τ tga = tgw τ 1+ ψ mv τ ba Die in den Formeln verwendeten Faktoren zur Berücksichtigung der Mittelspannungsempfindlichkeit ψ σ und ψ τ ergeben sich aus ψ = a R + b ψ = f σ M m M τ τ ψ σ a M, b M sind Faktoren zur Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit, siehe Tabelle 3-13 nächste Seite f τ ist ein Faktor zur Berechnung der Schubfestigkeit, siehe Tabelle 3-2 nächste Seite 181

143 Festigkeitsrechnung Gestaltfestigkeit Herleitung Gestaltausschlagsfestigkeit des Überlastfalles 2 σ GA σ bw X Lastkennlinie ÜL2: κ = const. σ bga Ausgangspunkt: Lastfall σ mv und σ ba κ = σ bu /σ bo = const. Ein Lastanstieg auf der Lastkennlinie führt zum Überschreiten der Dauerfestigkeit im Punkt X. Nach Strahlensatz gilt σ mv σ + σ mv ba = σ mx σ mx + σ bga σ mv ( σ + σ ) = σ ( σ + σ ) mx bga mx mv ba σ GW σ ba σ mx (1) σ mx σ = σ mv ba σ bga σ mv σ mv σ mx σ m Für den Gestaltdauerfestigkeitsverlauf gilt die Formel für die Mittelspannungsempfindlichkeit: σ = σ ψ σ Mit (1) folgt: σ σ bga bga bga = σ bgw bgw σ = 1+ ψ σ σ σ m σ ψ σ σ bgw σ mv ba mv ba σ bga Zur Prüfung des Überlastfalls ist gedanklich zu überprüfen, welche Auswirkungen eine Laststeigerung auf die Lastgrößen Mittel-, Ausschlags-, Unter- und Oberspannung haben. In den Übungsaufgaben wird nur mit dem Überlastfall 2 gerechnet! 182

144 Festigkeitsrechnung Gestaltfestigkeit Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente - Tabellenbuch, 183

145 Beim statischen und dynamischen Festigkeitsnachweis sind für Bauteile die auftretenden mit den ertragbaren Spannungen zu vergleichen. Über daraus abgeleitete, dimensionslose Sicherheiten können Aussagen getroffen werden, ob Mindest- oder erforderliche Sicherheiten 1 eingehalten werden. Typische Mindestsicherheiten im Allgemeinen Maschinenbau sind - S F,erf = 1,5 à statisch: gegen Fließen, zähe (duktile) Werkstoffe - S B,erf = 2,0 à statisch: gegen Bruch, spröde Werkstoffe - S D,erf = 1,5 à dynamisch: gegen Dauerbruch Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Sicherheit gegen Fließen/Gewaltbruch Für duktile Rundstäbe kann der Sicherheitsnachweis entsprechend dem Fließdiagramm durchgeführt werden. Für Gusseisen (GJL, GT) sind die statischen Bauteil-Bruchfestigkeiten anstatt der Fließfestigkeiten zu verwenden. Ihre Bestimmung ist etwas "mühsamer" 2 ; für diese Vorlesung werden sie wie folgt ermittelt: R m = K α t t ( σ bb ) = RmN τ tb = fτ RmN Dynamischer Sicherheitsnachweis kb 2.4 Sicherheitsnachweise K α kt R mn Norm-Zugfestigkeitswerte K t Technologischer Größeneinflussfaktor α k Kerbformzahl (statisch), f τ Umrechnungsfaktor Normal- à Schubspannung, s. Blatt 2.55 Der Ablauf des dynamischen Sicherheitsnachweises ist für den Überlastfall 2 dargestellt. Bei spröden Werkstoffen ist die vorhandene Sicherheit mit der Normalspannungshypothese zu ermitteln. Sicherheit gegen Dauerbruch 1) siehe z. B. Roloff / Matek, Maschinenelemente - Tabellenbuch, 18. Aufl. Vieweg, S. 59 2) siehe FKM (Forschungskuratorium Maschinenbau): Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. 5. Aufl., VDMA Verlag Frankfurt a. M. 2003, S. 89 ff.) à Berechnung mit örtlichen Spannungen statt Nennspannungskonzept (Vorlesungsinhalt) 184

146 Sicherheit gegen Fließen/Gewaltbruch Start Ablaufplan Vereinfachter statischer Festigkeitsnachweis (nur duktile Rundstäbe) 1 2 σ τ bmax = t max = M max W T max W b R p0,2 N (R e ) t 1 Zunächst sind aus den äußeren Lasten und der Geometrie des Bauteils (Widerstandsmomente) für den untersuchenden Punkt des Bauteilquerschnitts die Einzelspannungen für Torsion und Biegung zu ermitteln. Dabei werden die für jede Belastungsart maximal auftretenden Lasten herangezogen! Hier werden gegebenenfalls die Maximalbelastungsfaktoren berücksichtigt. 3 K t 2 Die Streckgrenze (aus Normversuchen, Index "N") für Zug wird aus Tabellen ermittelt (ggf. R m bei spröden Werkstoffen). 4 σ τ bf tf = 1,2 R = 1,2 R p0,2 N K p0,2 N t t K 3 3 Der technologische Größeneinflussfaktor K t muss aus den Formeln der Diagramme berechnet bzw. aus den Diagrammen (siehe Blatt 2/75) abgelesen werden. Er berücksichtigt die Abnahme der Festigkeitswerte mit wachsender Bauteilgröße. 5 S F, vorh 6 = σ σ S > S bmax bf 2 1 τ + τ ( S min ) F, vorh F, erf F, t max tf? Die Fließgrenze für Torsion und Biegung wird "bauteilgrößenkorrigiert" (spröde Werkstoffe: siehe Hinweise) Berechnung der Gesamtsicherheit S F,vorh ("vorhandene Sicherheit") Vergleich mit der erforderlicheren Sicherheit (Mindestsicherheit) S F,min oder S F,erf ( bzw. S B min oder S B,erf ) 185

147 Sicherheit gegen Dauerbruch 186

148 187

149 Übung: Statischer/Dynamische Festigkeitsnachweis Sicherheit gegen Fließen/Gewaltbruch Sicherheit gegen Dauerbruch 188

150 2.4.3 Betriebsfestigkeitsnachweis Die vorgestellten Sicherheitsnachweise berechnen ihre Beanspruchbarkeit aus dynamischen Werkstoffkennwerten, die in Dauerschwingversuchen mittels harmonischer Schwingungen (à Wöhlerkurven, Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith) bestimmt werden. In der Realität sind Lastschwingungen aber nicht periodisch, sondern stochastische (zufällige) Beanspruchungs-Zeit-Verläufe. Im Betriebsfestigkeitsnachweis werden die Last-Zeit- Funktion auf ein Bauteil analysiert, Lastkollektive abgeleitet und letztlich eine Lebensdauer des Bauteils abgeschätzt. Experimentelle Erprobungen verifizieren die rechnerischen Ergebnisse. Durch Betriebsfestigkeiten werden Bemessungen im Bereich der Zeitfestigkeit möglich (nicht dauerfest!), sodass Bauteile leichter, kostengünstiger und dennoch sicher gefertigt werden können (z.b. im Fahrzeug- und Flugzeugbau). Quelle: Schlecht, : 1. Aufl. München, Pearson Studium, S

Praktische Festigkeitsberechnung

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