BADEN-WÜRTTEMBERG Vektoren Geraden im Raum Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel

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1 ELEMENTE DER MATHEMATIK BADEN-WÜRTTEMBERG Vektoren Geraden im Raum Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel

2 Vektoren Geraden im Raum. Kartesisches Koordinatensystem im Raum 6 Man benötigt Angaben über Reihe, Platz, Etage Der Container ist in Reihe, Platz, Etage. Veränderung um Reihen nach rechts, einen Platz nach vorne, eine Etage höher.. -. A( ); B( ); C( ); D( ); S( 8)

3 7.. Der Punkt P kann zum Beispiel die Koordinaten P( ) haben, es sind noch unendlich viele andere Möglichkeiten denkbar, z. B. P( ) oder P(,,). 6. a) In der x-x-ebene [in einer Ebene parallel zur x-x-ebene im Abstand ; in einer Ebene parallel zur x-x-ebene im Abstand ]. In der x-x-ebene [in einer Ebene parallel zur x-x-ebene im Abstand ; in einer Ebene parallel zur x-x-ebene im Abstand ]. c) In der x-x-ebene [in einer Ebene parallel zur x-x-ebene im Abstand ; in einer Ebene parallel zur x-x-ebene im Abstand ]. d) Auf der x-achse [auf einer Geraden parallel zur x-achse im Abstand,; auf einer Geraden parallel zur x-achse im Abstand ]. e) Auf der x -Achse [auf einer Geraden parallel zur x -Achse im Abstand ; auf einer Geraden parallel zur x -Achse im Abstand ]. f) Auf der x-achse [auf einer Geraden parallel zur x-achse im Abstand ; auf einer Geraden parallel zur x-achse im Abstand,]. 7. Man geht von P um Einheiten nach unten zum Punkt P (, ). P hat die Koordinaten P(, ). 8. a) A( ), B( ), C( ), D( ), E( ), F( 8), G( 8), H( 8), I( 8), J( 8), K( 8)

4 7 8. x -x -Ebene:. Koordinate : A, B, C, D, E x-x-ebene :. Koordinate : C, D, H, I x-x-ebene:. Koordinate : B, C, G, H c). Koordinate um verringern,. Koordinate um 8 verringern, dann alle Vorzeichen ändern. A( 8), B( 8), C( 8), D( 8), E( 8), F( ), G( ), H( 8 ), I( ), K( ) x-x-ebene : F, G, H, I, K [ x-x-ebene : A, B, F, G; x-x-ebene : B, C, G, H] 9. a) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) (6) P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) (6) P ( ) c) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) (6) P ( ) d) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) () P ( ) (6) P ( ). Vektoren Verschiebungen 9. a) Durch die Verschiebung mit dem Vektor u =. a a Die Verschiebung v = b wird durch v = b rückgängig gemacht. c c

5 9. A ( ) = A ( ) B ( ) = B ( ) C ( ) = C ( ). a) v = 7 v = 6, 8, c) v =, d) v =. a) A ( ) c) A (6 ) A (,6,,9) d) A ( ) 6. a) A( ) A( ) c) A( 6) d) A( ) 7.

6 8. Der Nullvektor o = 9. a) Der Vektor PQ hat die erste Koordinate, die zweite und die dritte. Der Vektor PQ zeigt von P auf Q und hat die drei Koordinaten,;,;,9.. a) Q ( 9), Q ( 9), v = = PQ v = PQ = 9 Q ( 8 9), Q ( 9 9), v = PQ = 9. a) a = AB = ED = FM = MC [ b = BM = ME = CD = AF] [ d = DM = MA = EF = CB] Dreht man einen Würfel so, dass z. B. die linke obere vordere Ecke vor der rechten unteren hinteren Ecke liegt (eine Raumdiagonale verschwin- det), so gilt: a = AB = MC = ED.

7 6. a) BC = GH = JI = ED IJ = DE = CB = HG c) CG = DJ d) AC = JL e) AB = IL. a) AB =, BA = AB =, BA = c) d) 6 6 AB = 6, BA = 6 AB = 6, BA = 6. Druckfehler in der. Auflage: A(6 ) AB =, AC = 9, AD = 6 BC =, BD = 9, CD = 7 Also: AB = CD, AC = BD.. a) v = v = c) v =, d) r v = s t. Addieren und Subtrahieren von Vektoren. + = = Addition des Gegenvektors entspricht der Subtraktion des Vektors.. a) AC = a + b BD = b a Die Summe (Differenz) zweier Vektoren kann man mithilfe von Diagonalen im aufgespannten Parallelogramm veranschaulichen.

8 7. A( ) B( ) C( ) A (6 ) B ( ) C ( 6) A ( ) B ( ) C ( ) Man kann das Dreieck ABC auf das Dreieck A B C mithilfe des Vektors abbilden.. a) + = = 7 c) d) = = 6 6. a) = c) = = d) = a) a + b = AC = EG e) b + c = AH = BG a b = DB = HF f) b c = ED = FC c) b a = BD = FH g) a + b + c = AG d) a c = EB = HC h) a ( b + c) = HG + GB = HB 8. AC = u, AD = u + s, AE = r + t, BA = r, BC = r u, BD = r u + s, CB = u + r, CE = u + r + t, DA = s + u, DB = s + u + r, DE = s + u + r + t

9 8 9. Die Überlegung ist falsch. Nach der Dreiecksregel kann man nur einen inneren gemeinsamen Punkt streichen.. a) PR = PQ + QR = RS + QR = QR + RS = QS Wenn in einem Viereck zwei Seiten zueinander parallel und gleich lang sind, dann sind es auch die anderen beiden Seiten. Das Viereck ist ein Parallelogramm a) AB =, CD =, AB = CD ABCD ist ein Parallelogramm. AB =, CD =, AB = CD ABCD ist ein Parallelogramm. c) AB =, CD =, AB = CD ABCD ist ein Parallelogramm. d) AB =, CD =, AB = CD ABCD ist ein überschlagendes Viereck, kein Parallelogramm. ABDC ist ein Parallelogramm.. Die Ergänzung zu einem Parallelogramm ist nur möglich, wenn die gegebenen Punkte ein Dreieck bilden, also nicht auf einer Geraden liegen. x a) AB =, CD = AB = = x = x D( ) x AB =, CD = AB = = x x 6 D( ) x c) AB =, CD = AB = = x x D( ) 6 6 x d) AB = 8, CD = AB = 8 = x x D(6 8 )

10 9. Vervielfachen von Vektoren Linearkombination 6. r a = ( ) = Gegenvektor zu,. a) Nach Stunde:,, Nach Stunden: =, m tief, m nördlich, m westlich.,, Nach Stunden: = 6,,, m tief, 6 m nördlich,, m westlich., 6 Nach Stunden: =,, 6 m tief, m nördlich,, m westlich.. a) 6, c), d) 6 e) 7, 6,

11 6 6. a) () v = w () v = w () v = w () v = ( ) w () Wegen der ersten Koordinate müsste der Faktor ( ) sein. Dies passt nicht zur dritten Koordinate. () Wegen der ersten Koordinate müsste der Faktor sein. Dies passt weder zur zweiten noch zur dritten Koordinate. () Wegen der ersten Koordinate müsste der Faktor sein. Dies passt nicht zur dritten Koordinate. () Wegen der ersten Koordinate müsste der Faktor ( ) sein. Dies passt nicht zur dritten Koordinate. 7. a) 7, c),7, 8. a) 9. () a + b () a + b () a + b () b

12 . Parameterdarstellung einer Geraden 9. a) OX = + t OX = + t.. OX = + t mit t a) () OX = + t 6 Mit t = t erhält man: OX = + t mit t () OX = + t mit t Mit t = t erhält man: OX = + t mit t Alle Richtungsvektoren sind Vielfache von. AB = = ( ) : AB ist ein Vielfaches von v. Daher liegt B auf der Geraden g. Man erhält weitere Parameterdarstellungen der Geraden g, indem man als Aufpunkt andere Punkte der Geraden auswählt und den Richtungsvektor v beibehält. OX = + t

13 . a) c) OX = + t t = : P( ) t = : P( ) t = : P = A t =,: P(,6,,),, OX = + t, t = : P(,7,) t = : P(,,) t = : P = A t =,: P(,7, ), OX = + t, t = : P(, ) t = : P(,, ) t = : P = A t =,: P(,,8,6). a) () () OX = + t OX = + t () P(8 9); P ( 7 ) () P( 9); P ( ) 6. a) A( ) v = A( ) v = 6 c) A( ) v = d) A( ) v =

14 7. a) x = + t x = + t c) d) x = + t x = + t 8. a) c) x t ; x t = + = + ; x = + t,, x t ; x t = + = + ; x = + t 6 = + = + x t ; x t ; x = + t 9. x = 6+ t ist falsch, da A( 6 ) nicht auf der Geraden g liegt 6 und die beiden Richtungsvektoren nicht zueinander kollinear sind. x = + t ist falsch, da die beiden Richtungsvektoren nicht 6 zueinander kollinear sind. x = + t ist falsch, da A( ) nicht auf der Geraden g 6 liegt und die beiden Richtungsvektoren nicht zueinander kollinear sind.. OX = OA + t v beschreibt auch die Gerade g, da der Richtungsvektor kollinear zum Vektor u ist und die Trägerpunkte übereinstimmen.. OX = OA + t u beschreibt auch die Gerade g, da die Richtungsvektoren übereinstimmen und AB kollinear zu u ist.. Man darf ersetzen, wenn der Richtungsvektor der Geraden kollinear zum Ortsvektor des Aufpunktes ist.

15 6. Punkt und Gerade. Punktprobe für A: 7 = + t = t t = 6 7 = + t ; t = 6 = + t t = 6 Punktprobe für B: = + t 6 = t t = = + t ; t = 6 = + t t = Punktprobe für C: = + t = t t = = + t ; t = = + t t = A liegt auf der Geraden. B liegt nicht auf der Geraden. C liegt nicht auf der Geraden.. a) Gerade AB: x = 6+ t 6 Punktprobe für C: = t t = = 6+ t ; = 6+ t ; t = 6 = 6t t = Die Punkte A, B, C liegen auf einer Geraden.

16 7. Gerade AB: x = + t 9 8 Punktprobe für C: t = 7 = 7 t = + t ; = + t ; t = 9 8 = 9 8t t = Die Punkte A, B, C bilden ein Dreieck. 8 c) Gerade AB: x = + t 6 Punktprobe für C: t = 8 = 8 t = + t 6 ; = 6t ; t = = t t = Die Punkte A, B, C bilden ein Dreieck. d) Gerade AB: x = + t Punktprobe für C: = t t = = + t ; = t ; t = 6 6 = t t = Die Punkte A, B, C bilden ein Dreieck.. 6 h: OX = + t ; P(, ) t =, = 6 + t Punktprobe für P ergibt: = + t ; t = = + t t = P liegt auf der Geraden h. Da es unendlich viele Punkte gibt, die im (ebenen) Koordinatensystem an der gleichen Stelle liegen, kann man dies nicht aus der Zeichnung schließen.

17 6. Fortsetzung g: OX = + t ; Punktprobe für P ergibt: P( ) t = = t = + t ; t = = + t t = P liegt auf der nicht Geraden g, nur scheinbare Lage auf g.., OX = + t,8 ; R(,, ),, =, t t = 9 Punktprobe für R:, = 8t ; t = =,t t = Kurskorrektor nötig OX t ; R( r r) Punktprobe für R bringt für die. Koordinate x : = t; t = also R( ). = + 6. a) OX = + t ; Punktprobe für A(x ) bringt: x = + t x = + t = + t ; t = ; t = = + t t = Mit t = folgt: x = =, also A( ). Punktprobe für B( x ) bringt: = + t t = x = + t ; x = + t ; keine Lösung für t, = + t t = B kann nicht auf der Geraden liegen.

18 7 6. a) Fortsetzung Punktprobe für C( x x ) bringt: = + t t = t = x = + t ; x = + t ; x = ; x = + t x = + t x = OX = + t Punktprobe für A(x x ) bringt: x = + t x = + t x = x = + t ; x = + t ; x = ; = + t t = t = Punktprobe für B(x x ) bringt: x = + t x = + t x = = + t ; t = ; t = ; x = + t x = + t x = C( ) A( ) B( ) 7. Parallelität von Geraden. Richtungsvektor: 8 m tief, m westlich, 8 m seitlich. a) g h, denn die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. g k, denn die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. h k: = ( ), Punktprobe für (7 6) bei k: 7 = t t = 6 = +, t ; t = 6 ; erfüllt; h und k sind identisch. t = t t = 6 g h: = ( ) 9 Punktprobe für ( ) bei g: = + t t = 8 = t ; t = ; nicht erfüllt; = + t t = g und h sind zueinander parallel, aber nicht identisch.

19 8. Fortsetzung g k: = 6 Punktprobe für ( ) bei g: = + t t = = t ; t = ; nicht erfüllt; = + t t = g und k sind zueinander parallel, aber verschieden., h k: 6 = (,) Punktprobe für (6 ) bei h: t = 6 = t 7 = + t ; t = ; nicht erfüllt; = 9t 8 t = 9 h und k sind zueinander parallel, aber verschieden., c) g h: = ( ) Punktprobe für ( ) bei g: = +,t t = = t ; t = ; nicht erfüllt; = + t t = g und h sind zueinander parallel, aber verschieden.,, g k: 6 = Punktprobe für ( ) bei g: = +,t t = = t ; t = ; nicht erfüllt; = + t t = g und k sind zueinander parallel, aber verschieden.

20 9. c) Fortsetzung,, h k: 6 = Punktprobe für ( ) bei h: = + t t = = + t ; t = ; nicht erfüllt; = t t = h und k sind zueinander parallel, aber verschieden.. a) x = + t x = + t. P( ) liegt nicht auf g. Die zu g parallele Gerade durch P hat die Gleichung: x = + t 8. Schnittpunkt von Geraden Lineare x -Gleichungssysteme. + s = + t s = t s+ t = s+ t = + s = 8t ; s + 8t = 8 ; s + t = s = + 6t s 6t = 6 s + t = Es wird jeweils dieselbe Gerade beschrieben.

21 . g h, die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. + r = + s r s = 6 r s = ;. Gleichung von. Gleichung subtrahieren ergibt: r + s = r = r s = 6 r = s 6 r s = ; r = s + ; r = 7s = s = s = Es entsteht ein Widerspruch; g und h sind zueinander windschief. g k, die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander., + r = + t r + t =, r + t = ;. Gleichung von. Gleichung subtrahieren ergibt: r t = r + t =, r = t, r =, r + t = r = t + ; r = ; Widerspruch 7t = 7 t = t = Die Geraden g und k sind zueinander windschief. h k, die Richtungsvektoren sind kollinear zueinander. Punktprobe für (, ) bei h:, = r r = = + r ; r = ; h und k sind zueinander parallel, aber verschieden. = + r r =. a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. + t = + s t s = 6 + t = s ; t + s =. und. Gleichung addieren ergibt: t = 6 s t + s = s = s = s = t + s = ; t = s ; t = t + s = t = s t = Gemeinsamer Punkt S( )

22 . Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. + 6t = 6 + 6s 6t 6s = 6 t s = + = + 7t = + 7s ; 7t 7s = 7 ; t s = ; t = t = + s t s = s t + s = s = Gemeinsamer Punkt S( 6 ) c) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. s = t + t = + s s = t = + 6s; s = t + ; s = 6 + t = t = t = Gemeinsamer Punkt S( ). Die Richtungsvektoren von g und h sind nicht kollinear zueinander. 6 + t = + s t s = Die. Gleichung und das Doppelte der. Gleichung t s = addieren ergibt: t s = s = s = s = t s = ; t = s ; t = t s = t = t = s+ Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt A( ). Die Richtungsvektoren von g und k sind nicht kollinear zueinander t = + s 8 8 t 6s = Die. Gleichung und das Doppelte der. Gleichung t s = addieren ergibt: t 8s = s = s = s = t s = ; t = s ; t = t 8s = t = s t = Die Geraden g und k schneiden sich im Punkt C( ).

23 . Fortsetzung Die Richtungsvektoren von h und k sind nicht kollinear zueinander t = + s 8 8 t 6s = Die. Gleichung vom Doppelten der. Gleichung t s = subtrahieren ergibt: t 8s = s = s = s = t s = ; t = s ; t = t 8s = 8 t = t = s Die Geraden h und k schneiden sich im Punkt B( 8). 6. a) c) + t = + s t s = 6 + t = + s; t s = 6 + t = s t + s = Das Doppelte der. Gleichung von der. Gleichung subtrahieren ergibt: s = s = s = t s = 6 ; t = s ; t = t + s = t = s t = Keine gemeinsamen Punkte, Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. Die Geraden g, h und k bilden ein Dreieck mit den Eckpunkten A( ), B( 8), C( ). + t = + s t s = t = s+ t = = + s ; s = ; s = ; s = + t = + s t s = t = s t = Keine gemeinsamen Punkte, Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. + t = + s + t = + s; Widerspruch = Keine gemeinsamen Punkte, Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. 7. a) x = + t x = + t c) x = + t

24 8. A: B: 6s + t = s = s + 6t = ; t = ; Widerspruch, keine Lösung 8s + t = 6 = s t = s = s t = 6 ; t = ; Lösung: s =, t = s + 6t = = 9. a) g h: Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. + 7t = 7+ s 7t s = 7 t = s ; t + s = + t = 6 + s t s =. Gleichung und Doppelte der. Gleichung addieren ergibt: 7t s = 7 s = 7t 7 s =,6 t = ; t =,8 ; t =,8 t s = s = t s =,7 Keine Lösung, g und h sind windschief zueinander. g k: Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. + 7t = + s 7t s = t = s ; t + s = + t = + s t s = 6. Gleichung und. Gleichung addieren: 6t = t = t = t + s = 7 ; s = t ; s = t s = 6 s =,7t +, s =, Keine Lösung, g und k sind windschief zueinander. h k: Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. 7 + t = + s t s = t = s ; t + s = 6 + t = + s t s = 7. und. Gleichung addieren: = + s = t s = s t t = 9 ; t = ; t = t s = 7 s = t + s = 7 79 Keine Lösung, h und k sind windschief zueinander.

25 9. g h: Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. t = + s t s = + t = + s ; t s = + t = s t + s =. Gleichung von. Gleichung subtrahieren: t s = t = s t = t s = ; t = s + ; t = 7s = 7 s = s = Gemeinsamer Punkt ( ) g k: Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. t =, s t + s =, + t = s ; t + s = + t = + s t s =. Gleichung von. Gleichung subtrahieren: t + s =, t = s, t =, t + s = ; t = s + ; t = 7s = 7 s = s = Keine Lösung, g und k sind windschief zueinander. h k: Richtungsvektoren sind kollinear zueinander. + t =, s t + s =, t = s, + t = s ; t + s = ; t = s t = + s t s = t = s Keine Lösung, h und k sind zueinander parallel, aber verschieden.. a) Aufpunkte stimmen überein, Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. g und h schneiden sich im Punkt P( ). Gemeinsamer Aufpunkt O( ), Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. g und h schneiden sich in O( ). c) O( ) liegt auf h (t = ), Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. g und h schneiden sich in O( ).. g h: Richtungsvektoren nicht kollinear zueinander. p + t = + s t s = p + 8t = 6 s ; 8t + s = t = p s t + s = p+. und. Gleichung addieren: 6t = p + 7 8t + s = t + s = p + Das Doppelte der. Gleichung von der. Gleichung subtrahieren:

26 . Fortsetzung 6t = p + 7 8t + s = t = p 8 Das Doppelte der. Gleichung zur. Gleichung addieren: t = p + 7 6t = p + 7 t = p t = 8t + s = ; 8t + s = ; s = t +, ; s =, = 6p + 6 p = p = p = Für p = schneiden sich die Geraden g und h im Punkt S( 9 ).. Helene fasst p als dritte Variable auf und gibt die Matrix A ein. Mit rref(a) kann sie die Lösung t =, s = p = ablesen.. a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. Für die Existenz des Schnittpunktes muss gelten: + t = + s p + t = s t + s = t = + s ; t s = + t = + p s t p s =. und. Gleichung addieren: t = t = t s = ; s = t p s = p = Die Geraden g und h schneiden sich in S( ). + t = t = t = ; t = ; + t = s p t = + s p Es liegt ein Widerspruch vor; das System hat keine Lösung.,

27 6. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear zueinander. k + t = + s t s = + k 8t = 6 s ; 8t + s = ; t = k s t + s = + k Doppelte der. Gleichung und. Gleichung addieren: = 6 + 6k k = s = t +, ; s = t +, s = t + k +, s = t,. und. Gleichung addieren: k = k = = t + ; t = s = t, s =, Mit k sind die Geraden g und h windschief zueinander.. OX = 7 + t 8 F( ) + t = t = 7+ t = ; t = F ( 98) 8+ t = x x = 98 Das Flugzeug ist 98 (LE) hoch. Im Blickpunkt: Reflexion an Tripelspiegeln. Der Strahl kommt parallel zurück.. a) Die Richtung hinsichtlich der x-x-ebene wird nicht verändert. Die x -Koordinate und die x -Koordinate bleiben unverändert (siehe Lösung zu Aufgabe 9 auf Seite 7). Die Richtung hinsichtlich der x -Achse ändert sich vom Positiven ins Negative bzw. umgekehrt. Reflexion von an der x-x-ebene ergibt. Reflexion von an der x-x-ebene ergibt. Man erhält den Gegenvektor zum Ausgangsvektor. Man erhält jeweils den Gegenvektor zum Ausgangsvektor. Das bestätigt die Vermutung aus Aufgabe.

28 7 9. Aufgaben zur Vertiefung. a) x = + t Für die Punkte auf der Halbgeraden ' AB gilt: t. Für die Punkte auf der Strecke AB gilt: t.. b = AC; a = BC; AB = b a M M = a b = ( b a ); zueinander kollinear a b. a) AB = ; BC = ; CD = ; DA = ABCD ist ein Parallelogramm, Gegenseiten sind parallel zueinander. 9 AB = ; BC = ; CD = ; DA = überschlagenes Viereck ABCD; Parallelogramm ABDC 9 9 c) AB = ; BC = ; CD = ; DA = Parallelogramm ABCD. a = AB; b = AD p a) AE a a q = ; AF b a = + b + a ; p+ q p+ q AG a b = + a + r b ; AH = b r b r+ s r+ s = + = + q p EF a b a a b a + b q+ p s r GH = b a + b = b a b a s+ r c) EF = a + b; GH = b a AM = a + b; AM = a + b+ b a = a + b EF ( ) GH Die beiden Mittelpunkte fallen zusammen und stimmen mit dem Mittelpunkt des Parallelogramms überein.

29 8. a) + n n = + n Geradengleichung + n = = x -x -Ebene: x ; n ; S (, ) x -x -Ebene: x = ; n = ; S ( ) x -x -Ebene: x = ; n = ; S (,7,) OX = + t a a Schnitt zweier Geraden: + t = + s t = s = ; = ; a a t = a a s a ( t) = a ( t) t =, P( ), unabhängig von a, 6. x = + t,8 ; P (,, x ),, Punktprobe ergibt: t =, = +, t, = +,8t ; t = ; P (,,,) x =,+,t x =, Der Pfeiler muss, km ( m) hoch sein.