einzeichnen von Steigungsdreiecken bestimmt werden oder durch die rechnerische Form. Hier wird die rechnerische Form gezeigt:

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1 Lösungen Mathematik Dossier Funktionen b) Steigungen: Können entweder durch einzeichnen von Steigungsdreiecken bestimmt werden oder durch die rechnerische Form. Hier wird die rechnerische Form gezeigt: Seite 6 b) Differenz der -Koordinaten - Grundform: a Differenz der -Koordinaten - - Für die Gerade AB: a Für die Gerade CD: a - - (-) - 5 c) Achsenabschnitt AB: 0 Achsenabschnitt CD: ungefähr.5 d) Funktionsgleichung AB: Funktionsgleichung CD: ( (-) (- ) ) +.5 Die Zuerst den Punkt A einzeichnen und dann die ) einzeichnen. (Die Steigung Steigung a (- besagt, dass man von A aus in -Richtung nach unten muss (wegen dem geht es entgegen der Achse) und in -Richtung nach rechts.). Für die Gerade g funktioniert das genauso. Die Steigung a bedeutet a, also in - Richtung und in -Richtung wandern. c) Für g besagt der Achsenabschnitt b (-), dass die -Achse im Punkt P (0/(-)) geschnitten wird. Diesen Punkt P einzeichnen und die Punkte A und P verbinden. d) g : (- ) + 4. g : - oder + (-) g : oder + (-) Die einzelnen Punkte werden überprüft, indem wir ihre Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen und schauen, ob diese Gleichung dann erfüllt ist: (-) - A (0/0): (-) 0 - (-) 0 (-) (falsch) Also liegt A nicht auf der Geraden B ((-)/): (-) (-) - (falsch) Also liegt B nicht auf der Geraden C (/(-0)): (-) (-0) (-0) (-0) (wahr) Also liegt C auf der Geraden D ((-)/7): (-) (-) (falsch) Also liegt D nicht auf der Geraden E (/(-4)): (-) (-4) (-4) (-4) (wahr) Also liegt E auf der Geraden A (0/0) D (5/-) Beide Achsenabschnitte lesen wir aus der Grafik heraus (Wo schneidet die Gerade die -Achse??) gefundenen Bestandteile Steigung a und Achsenabschnitt b setzen wir in die allgemeine Funktionsgleichung ein: : a + b g P (0/-) g g B (/) A (/) - C (/) fehlende Steigung rsp. Achsenabschnitt kann der Grafik entnommen werden.(so genau wie möglich herauslesen. 4. ist allerdings eine Schätzung) P (0/-) - - A, B, D sind nicht auf der Geraden C, E sind drauf. b) Wir zeichnen die Gerade so ein, dass wir den Achsenabschnitt ausnützen und mit dem Punkt P (0/(-)) einen Punkt der Gerade kennen. Anschliessend zeichnen wir die Steigung (-) ein ( entgegen der -Richtung, in -Richtung) und haben die Gerade fertig. Loesungen Mathematik-Dossier - Funktionen.doc A. Räz / Seite

2 Lösungen Mathematik Dossier Funktionen 4 b) Die Steigung beträgt a 0.5 (dies sieht man in der Funktionsgleichung Die allgemeine Form heisst ja a + b, wobei a Steigung, b Achsenabschnitt) c) Der Achsenabschnitt beträgt b (dies sieht man in der Funktionsgleichung Die allgemeine Form heisst ja a + b, wobei a Steigung, b Achsenabschnitt) 5 Bevor wir den Graphen einzeichnen können, müssen wir eine kleine Wertetabelle erstellen, wo die Fläche A und die Breite vorkommen (bei konstanter Höhe h 4cm). Die Fläche berechnet sich mit Länge mal Breite, ist also jeweils 4 A P (/) P4 (4/6) Seite 7 (Breite) A (Fläche) cm 4 cm cm 8 cm cm cm 4 cm 6 cm 5 cm 0 cm Diese Werte übertragen wir in die Grafik. b) Die Funktionsgleichung lautet: 4 6 Bevor wir den Graphen einzeichnen können, müssen wir auch hier eine kleine Wertetabelle erstellen, wo die Höhe und die Breite vorkommen (bei konstanter Fläche A 0cm ). Die Höhe berechnet sich mit Fläche geteilt durch Breite, also jeweils A : Die Zahl 4 steht hier, weil das konstante h 4cm (also statt h) A P (/4) P (/0) P (/8) P (/0) (Breite) (Höhe) cm 0 cm cm 0 cm cm cm 4 cm 5 cm 5 cm 4 cm P (/6.667) P4 (4/5) P5 (5/4) Diese Werte übertragen wir in die Grafik. b) Die Funktionsgleichung lautet: 0 c) Dies ist keine lineare Funktion. Denn. entspricht die Gleichung nicht der allgemeinen Form und. ist das Bild im Koordinatensstem keine Gerade Die Zahl 4 steht hier, weil das konstante h 4cm (also statt h) Loesungen Mathematik-Dossier - Funktionen.doc A. Räz / Seite

3 Lösungen Mathematik Dossier Funktionen 7 Seite 8 Vorgehen:. Wir suchen je geeignete Punkte im Koordinatensstem (Also Punkte auf dem Gitternetz, welche auf den jeweiligen Geraden liegen. (Sinnvollerweise ist einer der beiden Punkte auf der -Achse). Wir bestimmen danach die Steigung (entweder mittels Steigungsdreieck zwischen diesen Differenz der -Koordinaten - gefundenen Punkten oder mit der Form Steigung a Differenz der -Koordinaten -. Wir bestimmen den Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der -Achse) 4. Jetzt formulieren wir die Geradengleichung mit Hilfe der Form a + b Für die Gerade a: Punkt (0/) und Punkt (5/6). Achsenabschnitt Geradengleichung a: alternativ: Steigung 4 5 (Positiv wegen Lage der Gerade) Für die Gerade b: Punkt (0/-) und Punkt (-4/5). Achsenabschnitt - Steigung (negativ wegen Lage der Gerade!) Geradengleichung b: - alternativ: -.5 Für die Gerade c: Punkt (0/) und Punkt (-4/-). Achsenabschnitt Geradengleichung c: + alternativ:.5 + Steigung 6 4 (positiv wegen Lage der Gerade!) Für die Gerade d: Punkt (0/-) und Punkt (-7/0). Achsenabschnitt - Steigung - 7 (negativ wegen Lage der Gerade!) Geradengleichung d: - 7 Loesungen Mathematik-Dossier - Funktionen.doc A. Räz / Seite

4 Lösungen Mathematik Dossier Funktionen b) Art des Wachstums? linear Grund?: Addition immer gleicher Summand Seite c) Art des Wachstums? nicht linear Grund?: Summand ändert! Kurve! n n Art des Wachstums? eponentiell Grund?: Multiplikation mit immer gleichem Faktor n n c) Die Funktion ist nicht linear. Der Graph ist keine Gerade, sondern eine Kurve. d) Die Funktion ist eponentiell (es wird immer mit dem Faktor multipliziert.) e) Ja, die Funktion ist nicht linear. Sie ist aber eben eine spezielle nicht lineare Funktion (sie ist wie oben beschreiben eponentiell). Graph zu Aufgabe b) Graph zu Aufgabe b) Weltbevölkerung Loesungen Mathematik-Dossier - Funktionen.doc A. Räz / Seite 4

5 Lösungen Mathematik Dossier Funktionen Mia Seite 4 / 5 c) Die Bevölkerungszahl hat sich im Jahr 0 verdoppelt (Rechnerisch sind es im Jahr 0 noch 7.5 Mia, im Jahr 0 dann 8. Milliarden Menschen.) Verdoppelt bedeutet ja hier, in welchem Jahr erstmals 8 Milliarden erreicht werden (dies ist das Doppelte der Ausgangszahl von 9 Milliarden) d) Es handelt sich um ein eponentielles Wachstum (Es ist immer der gleiche Faktor, nämlich der Wachstumsfaktor, der von der einen Zahl zur nächsten führt: Der Wachstumsfaktor beträgt.04 (also immer 04% vom Vorjahr, weil ja immer 4% dazu kommen %.04) 4 b) Die Anzahl der Beschäftigten hat sich im Jahr 04 halbiert. Rechnerisch sind es im Jahr 0 noch Beschäftigte, im Jahr 04 noch Halbiert heisst ja in diesem Fall, wenn erstmals die Hälfte von , also erreicht werden. c) Es handelt sich um eine eponentielles, negatives Wachstum. (Es ist immer der gleiche Faktor, nämlich der Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor), der von der einen Zahl zur nächsten führt: Der Wachstumsfaktor beträgt 0.9 (also immer 9% vom Vorjahr, weil ja immer 8% weniger sind % 0.9) Graph zur Aufgabe Beschäftigte Loesungen Mathematik-Dossier - Funktionen.doc A. Räz / Seite 5