Forschungsstatistik I

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1 Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Ausblick: Inferenzstatistik Das Prinzip des statistischen Testens Binomialtest Der Hersteller eines elektronischen Wahlsystems verspricht, dass durch den Einsatz einer neuartigen Technik beim Urnengang Abstimmungsergebnisse zuverlässiger vorhergesagt werden können. Der Ypsilant-O-Mat führt dazu eine Videoanalyse der abgegebenen Stimmzettel durch und leitet bei sogenannten Devianzvoten automatisch ein Parteiausschlussverfahren ein. Laut Hersteller wird hierdurch die Wahrscheinlichkeit für eine abweichende Gewissensentscheidung unentschlossener Wahlteilnehmer auf 8% gesenkt. Bei einer Abstimmung soll das System getestet werden. 24 indifferente Abgeordnete schreiten zur Wahl und geben ihre Stimme ab. 5 Voten fallen wider das gewünschte Ergebnis aus.

3 Ausblick: Inferenzstatistik Das Prinzip des statistischen Testens Wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion eines Zufallsexperimentes theoretisch bekannt ist, können die bei einer Durchführung erwarteten empirischen Häufigkeiten bestimmt werden. Beobachtete absolute oder relative Häufigkeiten können dann mit den erwarteten Häufigkeiten verglichen werden. Wenn eine beobachtete Häufigkeit zu unwahrscheinlich ist, um unter der gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion zu entstehen, kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion als nicht zutreffend betrachtet werden. Entweder sind dann ihre Parameter falsch definiert oder die Funktion selbst ist nicht zutreffend.

4 Merkmale Stetige Zufallsvariablen Falls eine Zufallsvariable jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, wird sie stetige Zufallsvariable genannt Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y) einer stetigen Zufallsvariable wird zumeist als mathematische Funktion definiert. Sie wird bei stetigen ZV auch als Dichtefunktion bezeichnet. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist dann + F( y) = f( y) dy

5 Stetige Zufallsvariablen Merkmale Eine Funktion f(y) ist gemäß der Kolmogoroff Axiome genau dann eine Dichtefunktion, wenn gilt + f( y) 0 und F( y) = f( y) dy = 1 Dabei reicht der Wertebereich von f(y) nicht für jede Zufallsvariable von - bis + (z.b. Reaktionszeit).

6 Merkmale Stetige Zufallsvariablen Merkmale Für eine stetige Zufallsvariable ist die Punktwahrscheinlichkeit P(Y = y) immer 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(y) liefert also nicht unmittelbar die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Fläche unter der Dichtefunktion Es sind nur Wahrscheinlichkeiten für Intervalle von Realisationen zu berechnen, also P(a y b). Diese wird dann berechnet als b P( a y b) = f( y) dy a

7 Im psychologischen Kontext ist die die wohl prominenteste Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist theoretischer Natur, da sie (anders als z.b. die Binomialverteilung) nicht direkt aus dem Bedingungskomplex Ξ abgeleitet werden kann. Die ist durch zwei Parameter, μ und σ definiert. f( y, μσ, ) = 1 e 2πσ 1 2 y μ σ 2 Ist eine Zufallsvariable Y normalverteilt, wird dies häufig geschrieben als Y N(μ, σ)

8 Beispiele Der Parameter μ ist direkt der Erwartungswert der σ ist direkt die Varianz der

9 Warum die? 1. Sie ergibt sich, wenn viele Zufallsprozesse bei der Realisierung einer Zufallsvariablen additiv zusammenwirken. 2. Sie ist die Verteilung des Mittelwerts aller Realisierungen bei sehr häufiger Wiederholung eine Zufallsexperiment ( Zentraler Grenzwertsatz ). 3. Sie ist die Verteilung von Zufallsvariablen, wenn diese eine messfehlerbehaftete Erfassung eines Merkmals darstellen. 4. Sie ist mathematisch relativ leicht zu behandeln.

10 Eigenschaften Ist symmetrisch, unimodal und glockenförmig Verschiedene en unterscheiden sich bezüglich Erwartungswert (µ) und/oder Standardabweichung (σ) Der Wertebereich reicht von bis + Die Kurve berührt oder schneidet nie die x-achse Jedes Intervall mit einer Länge größer Null hat eine Wahrscheinlichkeit größer Null Der Typ (i.e. die Form) der Verteilung ändert sich für lineare Transformationen der Zufallsvariable nicht (siehe Transformationsregelen für Erwartungswert und Varianz).

11 Standardnormalverteilung z-transformation Wir haben bereits die z-standardisierung von Realisierungen einer Zufallsvariablen kennen gelernt. Standardisiert man eine normalverteilte Zufallsvariable erhält man die Standardnormalverteilung. Für die Standardnormalverteilung gilt: μ = 0, σ = 1 Die Formel der reduziert sich damit auf f ( z) = 1 e 2π 1 z 2 2 Der Werte der Dichte- und Verteilungsfunktion hängen also nur von z ab

12 Standardnormalverteilung Quantile

13 Standardnormalverteilung Die Regel

14 Standardnormalverteilung Verteilungsfunktion

15 Standardnormalverteilung Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion der wird häufig auch als Φ (Phi) geschrieben. Häufig ist es wichtig, die Inverse der Verteilungsfunktion der zu berechnen, z.b. für die Bestimmung von Quantilen. Die Inverse der Verteilungsfuntion wird dann geschrieben als Φ -1 Sowohl die Verteilungsfunktion als auch die Inverse der Verteilungsfunktion sind mathematisch nicht als einfacher Formelausdruck zu beschreiben (anders als die Dichtefunktion).

16 sapproximation der Binomialverteilung Bei sehr kleinem p kann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung approximiert werden (wie gesehen) Bei großem Produkt n p wird die Binomialverteilung sehr gut durch die approximiert. Daumenregel: Eine gute Approximation ergibt sich bereits für n p q > 9 (also σ² > 9). [Eine alternative Faustregel besagt, dass für eine hinreichend gute Approximation n p 10 und n q 10 sein sollen.] Als Parameter μ ist dann n p einzusetzen, der Parameter σ ist n p q. Eine binomialverteilte ZV Y kann approximiert werden als Y N( np, npq)

17 sapproximation der Binomialverteilung Sind die Faustregeln für eine gute Approximation erfüllt, können sowohl die Punktwahrscheinlichkeit als auch die Intervallwahrscheinlichkeit für die Binomialverteilung aus der approximiert werden. Punktwahrscheinlichkeit: Für ein beliebiges Ereignis Y = y i einer binomialverteilten ZV ist die NV-approximierte Punktwahrscheinlichkeit definiert als P(y i -0.5 y i y i +0.5) = Φ(y i +0.5) - Φ(y i -0.5) Intervallwahrscheinlichkeit: Die Intervallwahrscheinlichkeit u y i o ist analog definiert als P(u-0.5 y i o+0.5) = Φ(u+0.5) - Φ(o-0.5)

18 sapproximation der Binomialverteilung - Stetigkeitskorrektur Die Subtraktion bzw. Addition von 0.5 wird auch als Stetigkeitskorrektur bezeichnet. Die Stetigkeitskorrektur bringt besonders bei hohem n (also dem Grund für die Verwendung der NV- Approximation) nur wenig mehr Rechengenauigkeit bei der Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten. Sie ist aber prinzipiell notwendig, da eine beliebige Kategorie y i (z.b. 4) in der Binomialverteilung theoretisch von y i -0.5 bis y i +0.5 (z.b. 3.5 bis 4.5) reichen muss. Bei fehlender Stetigkeitskorrektur entstehen Lücken in der NV-Approximation. Die Wahrscheinlichkeiten P(Y y i ) und P(Y > y i ) addieren sich dann nicht mehr zu 1, da der Bereich von y i bis y i +1 fehlt.