Christian B. Lang / Norbert Pucker. Mathematische Methoden in der Physik

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1 Christian B. Lang / Norbert Pucker Mathematische Methoden in der Physik Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung xv 1 Unendliche Reihen Folgen und Reihen Achill und die Schildkröte Rechnen mit Grenzwerten Anwendungen von unendlichen Reihen Konvergenz und Divergenz Konvergenztests für Reihen Potenzreihen Einfache Wege zur Potenzreihe Konvergenz und Genauigkeit Anwendungen Was war da noch? Funktionenreihen Divergente Reihen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 44 2 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene Komplexe Reihen Funktionen komplexer Variablen Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen Wurzeln Andere Umkehrfunktionen Riemannsche Blätter Schnittstruktur einiger Funktionen Anwendungen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 74

3 vi Inhaltsverzeichnis 3 Differentialrechnung Die lineare Näherung Funktionen mehrerer Variablen Verschiedene Methoden der Differentiation Kettenregel und Produktregel Implizite Differentiation Extremwertaufgaben Nebenbedingungen Elimination Lagrangesche Multiplikatoren Randpunkte Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Integralrechnung Das Integral Die Stammfunktion Lebesgue-Integral Integrationstechnik Einfache Regeln Transformation der Variablen Partielle Integration Integration entlang einer Kurve Systematische Verfahren Uneigentliche Integrale Differentiation von Integralen Mehrdimensionale Integrale Variablentransformation Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Determinanten Lösung eines linearen Gleichungssystems Matrizen Lineare Algebra der Matrizen Die inverse Matrix Lösung durch Matrixinversion Weiteres Zubehör Lineare Abhängigkeit 184

4 5.2.6 Rang einer Matrix Vektoren und ihre Algebra Vektoren Vektoralgebra Analytische Geometrie Das Eigenwertproblem Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 214 Gewöhnliche Differentialgleichungen Allgemeines Einleitung Klassifikation Gewöhnliche DGen 1. Ordnung Existenz und Eindeutigkeit Lineare DGen 1. Ordnung Nichtlineare DGen 1. Ordnung Numerische Integration Gewöhnliche DGen höherer Ordnung Allgemeines Konstante Koeffizienten Inhomogene lineare DGen mit konstanten Koeffizienten Nichtkonstante Koeffizienten Systeme von DGen Zum Abschluß Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 264 Grundlagen der Vektoranalysis Differentiation von Vektoren Bogenlänge, Krümmung und Torsion Linien- und Oberflächenintegrale Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Bedeutung der Divergenz Bedeutung der Rotation Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 296 vii

5 viii Inhaltsverzeichnis 8 Basissysteme krummliniger Koordinaten Gebräuchliche Koordinatensysteme Bestimmung von Vektorkomponenten Bogen-, Flächen- und Volumenelement Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Integralsätze Der Gaußsche Integralsatz Der Greensche Satz in der Ebene Der Integralsatz von Stokes Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Elemente der Tensorrechnung Definition eines Tensors Rechenregel für Tensoren Beispiele für Tensoren Dere-Tensor Der Trägheitstensor Differentialoperationen und Tensoren Drehung um eine Achse Ko- und kontravariante Darstellung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Funktionenräume Vektorräume Rückblick: Vektoren im E Lineare Räume Metrik, Norm, Skalarprodukt Metrik Norm Skalarprodukt Basis eines Vektorraums Orthonormale Basis Komponentendarstellung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben 370

6 Inhaltsverzeichnis ix Lösungen Literatur Fourierreihe Motivation und Definition Konvergenzkriterien Tips und Beispiele Komplexe Form der Fourierreihe Fourier-Kosinus-und Fourier-Sinus-Reihe Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Integraltransformationen Einleitung Die Laplace-Transformation Die Fouriertransformation Die Diracsche Deltafunktion Faltung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Operatoren und Eigenwerte Einleitung Eigenwertproblem in der linearen Algebra Lineare Operatoren in Vektorräumen Eigenschaften Darstellungen Eigenwertproblem Die Differentialgleichung als Eigenwertproblem Schwingungsgleichung Legendresche Differentialgleichung Sturm-Liouville-Problem Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Spezielle Differentialgleichungen Die Legendresche Differentialgleichung Kugelflächenfunktionen Die Besselsche Differentialgleichung 451

7 x Inhaltsverzeichnis 15.3 Die Hermitesche Differentialgleichung Die Laguerresche Differentialgleichung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Partielle Differentialgleichungen Übersicht Elliptischer Typ Parabolischer Typ Hyperbolischer Typ Lösungsmethoden: Numerische Verfahren Analytische exakte" Verfahren Integraldarstellung Integraltransformation Separation der Variablen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Funktionentheorie Analytische Funktionen Stetigkeit Differenzierbarkeit Potenzreihen Komplexe Integration Linienintegral Integralsatz von Cauchy Integralformel von Cauchy Laurentreihe Residuensatz Schnitte Anwendungen Integrale Fouriertransformation Dispersionsrelationen Hauptwertintegrale Konforme Abbildungen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 526

8 Inhaltsverzeichnis xi 18 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Zufall und Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen Erwartungswerte und Momente Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Poisson-Verteilung Gleichverteilung Normalverteilung Exponentialverteilung Histogramme Funktionen von Zufallsvariablen Fehlerfortpflanzung Mehrere Zufallsvariable Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte Verteilung von Funktionen von Zufallsvariablen Zentraler Grenzweitsatz Autokorrelation Analyse von Daten und Fehlern Schätzung der Parameter einer Verteilung Andere Verfahren Fit, mach mit! Hypothesentest Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Weiterführende Literatur 580 A Abkürzungen und Anmerkungen 581 B Zoologie elementarer Funktionen 589 B.l Polynome und rationale Funktionen 592 B.2 Exponentialfunktion und Logarithmus 594 B.3 Trigonometrische Funktionen 597 C Programmbeispiele 603 Literaturverzeichnis 605 Index 611

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