Mathematik Vorkurs. Fachhochschule Konstanz Fachbereich Elektrotechnik & Informationstechnik Prof. Birkhölzer

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1 Mthemtik Vorkurs Fchhochschule Kostz Fchbereich Versio 5.8 Copright 0

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3 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?.... Mthemtik Wozu?..... Hitergrud: Aspekte der Mthemtik..... Mthemtische Aspekte im Alltg eies Igeieurs.... Mthemtik Wie? Techike ud Fertigkeite Sprche Abstrktio ud Kozepte Aufgbe zur Methodik der Mthemtik Lösuge zur Methodik der Mthemtik...0. Mthemtik Ws?..... Arithmetik..... Algebr..... Alsis..... Geometrie... Rechetechike.... Brüche..... Erweiter ud Kürze..... Grudrecherte Awedug: Umreche vo Eiheite Aufgbe zu Brüche Lösuge zu Brüche...9. Poteze..... Grudlge..... Multipliktio..... Poteze vo Poteze..... Negtive Epoete Aufgbe zu Poteze Lösuge zu Poteze...7. Wurzel Defiitio Aufgbe zu Wurzel Lösuge zu Wurzel.... Qudrtische Biome..... Formel für qudrtische Biome..... Qudrtische Ergäzug..... Aufgbe zu qudrtische Biome...5 Versio 5.8 Copright 0

4 .. Lösuge zu qudrtische Biome Gleichuge Hitergrud Defiitio eier Gleichug ud eies Gleichugssstems Liere Gleichugsssteme Gleichuge i Produktform Qudrtische Gleichuge Betrgsgleichuge Allgemeie Gleichuge Aufgbe zu Gleichuge Lösuge zu Gleichuge Ugleichuge Defiitio Recheregel Aufgbe zu Ugleichuge Lösuge zu Ugleichuge...59 Zeiche Sprche Vorwort: Adere Schreibweise Logische Bezeichuge Defiitio des Begriffs Aussge Verküpfuge vo Aussge Logische Fuktioe Logische Gesetze Qutifizierede Redeteile Aufgbe zu logische Bezeichuge Lösuge zu logische Bezeichuge Bezeichuge für Mege Smbole ud Opertioe Wichtige Zhlemege Krtesisches Produkt Aufgbe zu Bezeichuge für Mege Lösuge zu Bezeichuge für Mege Summe ud Produkte Summesmbol Produktsmbol Aufgbe zu Summe- ud Produkt-Smbol Lösuge zu Summe- ud Produkt-Smbol...8 Versio 5.8 Copright 0

5 .5 Fkultät ud Biomilkoeffiziet Fkultät Biomilkoeffiziet Psclsches Dreieck Awedug: Biomischer Lehrstz Aufgbe zu Fkultät ud Biomilkoeffiziet Lösuge zu Fkultät ud Biomilkoeffiziet Mthemtische Beweistechike Direkte Beweise Idirekte Beweise Vollstädige Iduktio...98 Wichtige Fuktioe Gerde Fuktiosgleichug Aufstelle eier Gerdegleichug Ausblick Regressio Aufgbe zu Gerde Lösuge zu Gerde...0. Potezfuktioe Fuktiosgleichug Defiitiosbereich Eigeschfte Grphe Aufgbe zu Potezfuktioe Lösuge zu Potezfuktioe Epoetilfuktioe Fuktiosgleichug Eigeschfte Grph..... Aufgbe zu Epoetilfuktioe Lösuge zu Epoetilfuktioe.... Logrithmusfuktioe..... Defiitio des Logrithmus..... Rechegesetze für Logrithme Allgemeie Fuktiosgleichug Eigeschfte der Fuktio Grph...8 Versio 5.8 Copright 0

6 ..6 Umrechug vo Logrithmusfuktioe Umrechug vo Epoetilfuktioe Aufgbe zu Logrithmusfuktioe Lösuge zu Logrithmusfuktioe....5 Trigoometrische Fuktioe Defiitioe Wikel ud Bogemß Eigeschfte Grphe Wichtige Formel für trigoometrische Fuktioe Aufgbe zu trigoometrische Fuktioe Lösuge zu trigoometrische Fuktioe....6 Arkusfuktioe Defiitios- ud Wertebereiche Grphe Aufgbe zu Arkusfuktioe Lösuge zu Arkusfuktioe Mthemtischer Begriff der Fuktio Motivtio Defiitio des Begriffs der Fuktio Aufgbe zum Begriff der Fuktio Lösuge zum Begriff der Fuktio....8 Progrmme zur Drstellug vo Fuktioe... Versio 5.8 Copright 0

7 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? Mthemtik Wozu, Wie, Ws?. Mthemtik Wozu? Mthemtik wird ls seprte Vorlesug m Afg Ihres Studiums eie wichtige, für mche uch schwierige Rolle spiele ber Sie uch drüber hius i dere Vorlesuge städig begleite. Deswege ist es wert, m Afg eie erste Atwort uf die Frge zu gebe, wozu ds Gze? Gibt es heute icht Computer, die ds Reche überehme? Scho Tscherecher köe oft j scho smbolisch differeziere Diese Frge k m m beste betworte, we m zuächst sortiert, ws Mthemtik eigetlich ist... Hitergrud: Aspekte der Mthemtik M k die Bedeutug vo Mthemtik i drei Aspekte eiteile:. Techike ud Fertigkeite Dies kee Sie us de Afäge Ihrer Schulzeit: Mthemtik = Reche, gefge beim kleie Eimleis bis hi z.b. zu Differeziere ud Itegriere. Mthemtik lere heißt uch, gewisse Grudfertigkeite eizuübe, so dss m Sie schell ud sicher beherrscht, ählich wie Figerübuge beim Klvier.. Sprche Jeder ket mthemtische Formel. Diese beütze eie spezifische Mege vo Sprchelemete mit speziell defiierter Bedeutug (Semtik) ud spezielle Regel, wie diese Smbole verwedet werde dürfe (St). Mthemtik lere heißt uch, diese Sprchelemete zu lere, ählich wie ds Vokbel- ud Grmmtiklere bei eier Fremdsprche.. Abstrktio ud Kozepte Mthemtik betrchtet i der Regel keie Gegestäde oder Probleme der rele Welt. Sttt vo dem zeitliche Verluf eies Stroms über der Zeit wird vo eier Fuktio f vo gesproche, sttt vo Geschwidigkeite oder Beschleuiguge vo Differetile, sttt vom Etwurf eier Steuerug vo Eistez, Stetigkeit, Eideutigkeit, etc. Mthemtik lere scheit mchml uch zu bedeute, Lösuge für Probleme zu bekomme, die es scheibr ohe Mthemtik gr icht gebe würde. Versio 5.8 Seite vo Copright 0

8 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?.. Mthemtische Aspekte im Alltg eies Igeieurs Wozu ud w werde diese Aspekte i Ihrem Berufslltg wichtig werde?. Techike ud Fertigkeite Kei Igeieur wird heute dzu gestellt, ls Rechekecht Poteze, Ableituge oder Itegrle zu bereche. Diese Aufgbe überehme heute ttsächlich die Computer. K m deswege uf diese Fertigkeite komplett verzichte? Am Beispiel des Eimleis werde Sie sich diese Frge selber scho betwortet hbe: Es gibt scho lge Tscherecher, die die Multipliktio für us erledige, trotzdem wäre es etrem mühsm, we wir icht 95% oder mehr der im Lebe fllede Multipliktioe im Kopf reche köte. Ählich ist es mit de igeieur-mthemtische Grudtechike ud Fertigkeite: Ableituge, Itegrle, komplee Zhle, Vektore ud Mtrize werde Ihe i Ihrem Berufslltg immer wieder begege, beim Lese i Artikel ud Bücher, bei Vorträge, i Diskussioe, etc. I lle diese Fälle wäre es etrem uprktisch, erst ihr smbolisches Mthemtik-Progrmm uf dem Computer zu strte. Deswege ist es wichtig, dss wir Ihe im Sie vo Figerübuge gewisse Grudfertigkeite im höhere Reche uch ohe Computer ud Tscherecher vermittel. Auf der dere Seite werde Sie türlich jedes Itegrl, ds Sie später i Ihrem Beruf, z.b. i eier für ds Fuktioiere eier Awedug wichtige Formel, bereche, icht ur vo Hd oder im Kopf bestimme, soder mit Hilfe eies etsprechede Mthemtik-Progrmms überprüfe (dies gilt hoffetlich ber uch umgekehrt!). Isofer ist es sivoll, dies uch scho im Rhme des Studiums uszuprobiere. Wir wolle Sie dzu usdrücklich ermutige, uch dmit Sie mit de Stärke ud Schwäche (icht immer ht j der Computer Recht) solcher Progrmme Erfhruge smmel. Allerdigs k ud soll die Mthemtik-Vorlesug keie Eiführug i die Bedieug eier Mthemtik-Softwre sei. Sie bruche uch icht zu befürchte, dss Sie etscheidede Nchteile i der Vorlesug oder Prüfug hbe, we Sie uf de Kuf oder die Nutzug solcher Progrmme oder Tscherecher (die j trotz llem uch icht gz billig sid) verzichte.. Sprche Die mthemtische Sprche ht vor llem zwei Ziele: Präzisio, d.h. ei Schverhlt soll eideutig ud umissverstädlich beschriebe werde. Prägz, d.h. ei Schverhlt soll so kurz wie möglich beschriebe werde. Versio 5.8 Seite vo Copright 0

9 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? Gerde weil sich Igeieure i der Regel mit Aufgbe us der rele Welt beschäftige, rbeite Sie oft mit Schverhlte oder Algorithme mit beträchtlicher Kompleität. Betrchte Sie z.b. eie eifche Nchrichteverbidug, bei der Dte vo eiem Seder zu eiem Empfäger trsportiert werde solle. Dbei müsse die Dte codiert, komprimiert, verschlüsselt, i ei Trägersigl eigebettet, gesedet, empfge, etrhiert, etschlüsselt, dekomprimiert ud decodiert werde. All dies sid Abbilduge oder Fuktioe im Sie vo Kpitel.7. We Sie versuche, lle diese Abläufe ud Umformuge ur mit Hilfe der türliche Sprche zu formuliere, werde Sie eie mehrere Dutzede Seite lge, whrscheilich kum verstädliche Tet erhlte. Spätestes dieser Stelle werde Sie froh sei, we Sie über eie kompkte Formelsprche verfüge, die es Ihe erlubt, die obe gete Algorithme uf ei bis zwei Seite zu beschreibe. I der Geschichte der Techik lsse sich deswege gewisse Durchbrüche ud Fortschritte uch der Etwicklug vo Sprchelemete festmche, mit dee ei komplees Problem besser, d.h. oft prägter, beschriebe werde kote. Ei Beispiel dfür us euerer Zeit ist die Beschreibug des dmische Verhltes vo komplee Ssteme, z.b. eier komplee Schltug, der Bewegug vo mehrere Körper oder de Abläufe i eier Chemielge. Mit Hilfe vo Vektore ud Mtrize geligt es, die Beschreibug eies solche Sstems i eiem eizige Ausdruck zusmmezufsse: A Dies ist eie ugeheure Hilfe für die weitere Arbeit mit solche Ssteme, z.b. dem Etwurf optimler Steueruge oder robuster Regler. Modere Regelugstechik wäre ohe diese Sprche kum dekbr. Sie werde dies im Rhme der Vorlesug Regelugstechik geuer kee lere. Präzisio ud Prägz sid die Vorussetzuge jeder Fchsprche, ud die mthemtische Sprche ist ei wesetlicher Teil der Fchsprche eies Igeieurs. Beide sid leider zugleich eie wesetliche Eistiegshürde für de Neulig. Dies gilt ber geuso für jede dere Fchsprche oder Sprche. Vokbel- ud Grmmtiklere ist immer Arbeit, ber fehlede Vokbel ud Grmmtik bedeute rumstotter ud rdebreche, dies gilt uch für die mthemtische Ausdrucksweise eies Igeieurs.. Abstrktio ud Kozepte Stelle Sie sich vor, Sie wolle Ihrem Computer eie E-Mil Ihre Freudi / Ihre Freud schreibe, ud ds Progrmm twortet: Sstemfehler: Nur zur Übertrgug vo wisseschftliche Tete geeiget Versio 5.8 Seite vo Copright 0

10 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? Die erste E-Mil-Ssteme wurde ämlich zwische merikische Uiversitäte istlliert, uter derem mit dem Ziel, wisseschftliche Dte uszutusche. Heute hbe wir us gz selbstverstädlich dr gewöht, mit E-Mil icht ur beliebige Tete, soder uch gz dere Dte, z.b. Töe, Bilder, etc. verschicke zu köe. Dies geligt ur, weil die dhiter stehede Ifrstruktur, wie z.b. Server oder Router, so weit wie möglich vo de rele Dige bstrhiert, ud mit llgemeie Kozepte wie Iformtio, Dtepket oder Dtei operiere. Dies gilt für viele gute Werkzeuge ud uch für die Mthemtik. Ausgehed vo rele Probleme wird versucht, die dhiter stehede llgemeie Frgestelluge zu formuliere, diese d so llgemei wie möglich zu löse ud die Lösug d türlich wieder uf ds kokrete Problem zuwede. Diese Schritte muss m immer zusmme sehe. Dbei werde Sie vor llem i de etsprechede Fchvorlesuge lere, techische Probleme mit Hilfe vo mthemtische Kozepte zu beschreibe bzw. die vo der Mthemtik bereitgestellte Lösuge zuwede, währed die Mthemtik-Vorlesug sozusge für de bstrkte Teil zustädig ist. Wäre es d icht eifcher, ur die Lösuge i Form vo fertige Rezepte zu bekomme, ohe de Umweg über die Abstrktio? Dies wäre d richtig, we Sie sich vorgeomme hätte, ur immer wieder Bestehedes zu reproduziere. Dfür werde Sie ber whrscheilich icht bezhlt werde. Die spezifische Fähigkeit des Igeieurs besteht j gerde dri, Bektes uf eue Frgestelluge zuwede bzw. soweit zu modifiziere, dss sich dmit eue Aweduge (Lösuge, Märkte) ergebe. Ageomme z.b., Sie wolle Ptiete mehr Mobilität ermögliche ud deswege die Dte vo Überwchugssesore icht mehr per Kbel soder per Fukstrecke übertrge. Dbei stelle Sie fest, dss für die Übertrgugsrte der Fukstrecke die Dte komprimiert werde müsse. Gott sei Dk ei bektes Problem, Algorithme für die Komprimierug bruche icht mehr erfude zu werde: Also ei fertiges Rezept, wedbr ch Lehrbuch!? Leider stelle Sie ber fest, dss die Sie iteressierede Algorithme etweder ur für Dte mit 8 Bit (ei Bit ist eie Stelle i eier Dulzhl) oder für 6 Bit ls fertige Pkete vorhde sid, die Dte ihres mediziische Geräts ber Bit hbe. Spätestes d sid Sie gezwuge, die bekte Algorithme zu verstehe, um Sie geu de richtige Stelle für Bit zu modifiziere. Ohe Verstädis der Kozepte ur mit fertige Rezepte wird Ihe ds icht gelige. Abstrktio, Modellbildug, Etwicklug vo llgemeie Kozepte ud Awedug vo bekte Lösuge uf eue Probleme sid Kerufgbe jedes Igeieurs ud gleichzeitig die Triebfeder der Mthemtik Versio 5.8 Seite vo Copright 0

11 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?. Mthemtik Wie? Wie wird Mthemtik gelehrt ud m beste gelert? Auch ds lässt sich wieder de drei Aspekte vo Kpitel.. erläuter... Techike ud Fertigkeite Rechetechike werde i der Mthemtik-Vorlesug eie Rolle spiele ud türlich uch i der Prüfug gefrgt werde. Eiige Techike ud Grudketisse, die Sie zu Begi ihres Studiums kee sollte, sid i de Kpitel ud wiederholt ud zusmmegefsst. Diese Ihlte, z.b. Reche mit Biome, Löse eier qudrtische Gleichug, Grphe der trigoometrische Fuktioe, werde i der Mthemtik-Vorlesug ud i dere Vorlesuge immer wieder beötigt, ohe dss Sie jedes Ml wieder usführlich erläutert werde köe. Je besser Sie diese Grudlge beherrsche, desto mehr köe Sie sich d uf die eigetliche Ihlte kozetriere. I der Mthemtik-Vorlesug werde Sie lere Fuktioe zu lsiere, zu differeziere, zu itegriere ud zu trsformiere, mit Vektore ud Mtrize zu reche, Gleichugssstem ud Differetilgleichuge zu löse, Folge ud Reihe zu bereche ud mit komplee Zhle umzugehe. Techike ud Fertigkeite muss m triiere. Mthemtik ist icht ur Verstehe, soder uch Arbeit. So wie Weige die Begbug vo Mozrt hbe, ist icht jeder ei mthemtisches Geie wie Guß oder Euler. Dies ist ber uch icht otwedig: respektbel Klvier spiele k jeder lere. Geuso k jeder vo Ihe respektbel Mthemtik lere, Sie bruche dzu uf keie spezielle Begbug oder Erleuchtug zu wrte. Dzu gehört llerdigs Triig, d.h. gz eifch uch selber reche bzw. Aufgbe ud Probleme selber löse. Es werde Ihe dzu immer i usreicheder Zhl Aufgbe ud Übuge gebote werde. I diesem Skript gehöre deswege uch zu jedem Abschitt Übugsufgbe. Ziel der Übuge ist icht, Ihe ds Ergebis der Recheufgbe mitzuteile. Deswege ist es uch icht sivoll, Übugsstude zu hbe, i dee ei Professor, Tutor oder Studet der Tfel vorrechet. Eiziger Zweck der Übuge ist ds Selbermche. Dies ist usschließlich Ihre eigee Vertwortug, dzu muss ud wird Ihe uch iemd eie Zeit oder Ort vorschreibe. Es gibt llerdigs och eie zweite wichtige Lereffekt: Zu erkee, w m selber icht mehr weiterkommt ud etere Hilfe beötigt. Diese Fähigkeit ist später uch im Beruf sehr hilfreich. Dzu ist i diesem Kurs die Betreuug d ud uch später im Studium wird Ihe bei Frge ud Probleme immer weitergeholfe werde. Nutze Sie dieses Agebot. Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

12 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?.. Sprche Leider (oder Gott sei Dk) beütze icht lle Techiker ud Nturwisseschftler weltweit die gleiche Sprche oder die gleiche Zeiche, siehe dzu uch Kpitel.. Die ubhägige Vrible heißt icht immer, soder mchml uch t oder i oder l oder q, bei der Mege der türliche Zhle ist die Null ml mit dbei ud mchml fehlt sie, Vektore werde mit eiem Pfeil oder eiem Uterstrich oder eiem Überstrich oder i Fettdruck drgestellt. Sie werde dies uch der Fchhochschule Kostz bemerke. (Alle gute Tete gemeism ber ist: Mthemtische Formelsprche wird defiiert ud d möglichst kosequet verwedet. I diesem Skript fide Sie die etsprechede Defiitioe i Kpitel ). Ziel ist es deswege, dss Sie de Umgg mit eier formle Sprche beherrsche lere, ohe dbei für immer uf bestimmte Nme oder Smbole festgelegt zu sei. Es ist lso durchus icht Schlmperei soder Absicht, we die ubhägige Vrible i der Vorlesug oder im Studium sttt ml t heißt. Wie bei de Fertigkeite obe erfordert dies Übug ud Gewöhug durch wiederholte Verwedug. Sätze ud Aussge werde i der Mthemtik-Vorlesug deswege uch bewusst immer wieder i Formelsprche usgedrückt, uch we bei eifche Zusmmehäge eie Tetform ebeflls möglich wäre. Je besser Sie ber eifche Beispiele mit dieser Form vertrut werde, desto eher werde Sie später die kompliziertere Formel verstehe. Versuche Sie uch immer wieder bei Ihre eigee Arbeite, z.b. bei Übugsufgbe, die etsprechede mthemtische Sprche so kosequet wie möglich zu beutze... Abstrktio ud Kozepte Trotz der beide bisher gete Pukte (Fertigkeite ud Sprche), ds wichtigste Ziel der Mthemtik ist, Ihe ei Verstädis der verwedete Kozepte zu vermittel. Auch dieses Verstädis gewit m wieder m beste durch Awedug ud Verwedug. Eie wichtige solche Verwedug eies mthemtische Kozepts ist dbei häufig die Begrüdug eies druf ufbuede Kozepts, z.b. i eiem mthemtische Beweis. I diesem Sie sid mthemtische Beweise ichts deres ls Übugsufgbe zum Triiere der vermittelte Kozepte. Beweise werde icht deswege vorgeführt, weil wir sost befürchte, dss Sie us icht glube, soder um die dhiter liegede ud verwedete Kozepte zu erkläre ud Ihre Awedug zu übe. Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

13 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? Whrscheilich werde die weigste vo Ihe später eue mthemtische Beweise fide müsse, trotzdem ist es wichtig, dss Sie Beweise ud Beweistechike verstehe. Sie übe dmit die Verwedug der gelerte Kozepte ud Sie köe beurteile, wie Sie im Sie vo Kpitel.. bekte Rezepte icht ur mooto reproduziere, soder modifiziere bzw. i eue Zusmmehäge verwede köe. Betrchte Sie lso mthemtische Beweise icht ls ei überflüssiges Übel, soder ls die eigetliche Herusforderug Ihre Igeieursgeist ud geieße Sie evetuell uch die Schöheit ud Elegz mcher Vrite. Versio 5.8 Seite 7 vo Copright 0

14 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?.. Aufgbe zur Methodik der Mthemtik Ds Prkpltz-Problem Diese Aufgbe (smt Erläuterug) stmmt us dem Vortrg Sie lutet: Der Softwre-Igeieur m Scheidewege vo Herbert Klere Auf eiem Prkpltz stehe PKWs ud Motorräder ohe Beiwge. Zusmme seie es Fhrzeuge mit isgesmt r Räder. Gebe Sie eie Algorithmus, um z.b. i eiem Computerprogrmm die Zhl der PKWs us de Zhle r ud zu bereche. Ds MU-Rätsel Dieses Rätsel soll de Umgg mit formle Ssteme demostriere, es ist us dem Buch Gödel, Escher, Bch, Dougls R. Hofstdter Klett-Cott Verlg, 985 Gegebe ist ei formles Sstem, ds MIU-Sstem. Es ht folgede Eigeschfte: Es verwedet ur drei Buchstbe des Alphbets: M, I, U Aus diese drei Buchstbe werde Kette (Wörter des Sstems) gebildet, bei dee die Buchstbe eie feste Reihefolge besitze, z.b. MIUIU I diesem Sstem ist folgede Aufgbe gestellt: Erzeuge Sie die Kette MU us der Afgskette MI. Dzu bietet ds MIU-Sstem die folgede Umformugsregel: Regel : A eie Kette, dere letzter Buchstbe ei I ist, k ei U gehägt werde. Beispiel: MIIII k umgeformt werde zu MIIIIU. Regel : Eie Kette der Form M (wobei für eie beliebige Buchstbefolge steht) k umgeformt werde zu M. Beispiel: MIU k umgeformt werde zu MIUIU. Regel : Die Buchstbefolge III eier beliebige Stelle der Kette k durch ei U ersetzt werde. Beispiel: MUIIIU k umgeformt werde zu MUUU. Versio 5.8 Seite 8 vo Copright 0

15 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? Regel : Die Buchstbefolge UU eier beliebige Stelle der Kette k gestriche werde. Beispiel: MUUU k umgeformt werde zu MU. Beim Arbeite mit dem MIU-Sstem, dürfe Sie ur diese vier Regel (Rechegesetze) wede. Viel Spß beim Reche, ber seie Sie icht frustriert, we Ihe die Umformug icht geligt. Schue Sie vielleicht trotzdem icht i die Lösug, soder überlege Sie, wo ds Problem liegt. Amerkug: Ws ht ds MU-Rätsel mit Mthemtik zu tu?. Ds MIU-Sstem ist wie die Mthemtik ei formles Sstem, i dem gewisse Regel gelte, ud i dem Sie usgehed vo eiem bekte Stz (MI), eie eue Behuptug MU beweise, d.h. mit Hilfe der geltede Regel bleite, solle.. Sie werde schell feststelle, dss die Lösug icht so trivil ist. Ählich wie bei mche prktische Awedugsprobleme, bei dee m mchml herumkobelt ud doch durch Probiere icht uf die Lösug kommt. D k es helfe, eie Schritt zurückzutrete ud mit ei weig Abstrktio ds Problem sstemtisch zugehe. Versio 5.8 Seite 9 vo Copright 0

16 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?..5 Lösuge zur Methodik der Mthemtik Lösug des Prkpltz-Problems Es sei P die Zhl der PKWs ud M die Zhl der Motorräder. Aus dem Gleichugssstem P M P M r ergibt sich zuächst r P. Dies ist ls Algorithmus ber keieswegs usreiched, wie die folgede Beispiele zeige: = ud r = 9 ergibt P =,5, d.h. derthlb PKW = 5 ud r = ergibt P = -, d.h. es fehle vier PKW = ud r = 0 ergibt P =, d.h. es gibt PKW uter Fhrzeuge Der vollstädige Algorithmus muss lso lute: We r ud gze positive Zhle sid, r gerde ist ud ußerdem gilt r r, d ist P, dereflls gibt es keie Lösug. We ur die uvollstädige Formel i eiem Progrmm implemetiert würde, käme es zu de obe gete prdoe Ergebisse, mit etsprechede Folge für die weitere Verrbeitug (z.b. we Rechuge erstellt würde). Es kommt gr icht so selte vor, dss so etws übersehe wird. Versio 5.8 Seite 0 vo Copright 0

17 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? Lösug des MU-Rätsels Durch Herumprobiere werde Sie verschiedee Kette, ml lägere, ml kürzere, erzeugt hbe. Vielleicht sid Sie d druf gestoße, dss ds Problem scheied de I liegt. Es geligt eifch icht, die I komplett zu lösche, es bleibt immer eies übrig. We Sie jetzt eie Schritt zurücktrete ud bstrhiere, so besteht die Aufgbe dri, de I-Gehlt, d.h. die Azhl der I i eier Zeichekette, uf Null zu brige. Es würde uch scho reiche, we der I-Gehlt ei Vielfches vo drei wäre, d j d mit Regel, lle I sukzessive gestriche werde köte. Ausgehed vo dieser Überlegug k m die Regel drufhi lsiere, wie mit Ihe der I-Gehlt verädert wird: Regel verädert de I-Gehlt überhupt icht, d ur ei U gehägt wird. Ds gleiche gilt für Regel, bei der ur zwei U gestriche werde. Für Regel gilt: We der I-Gehlt vor Awedug der Regel ei Vielfches vo drei ist, d ist er es uch dch, umgekehrt, we der I-Gehlt kei Vielfches vo drei ist, d ist er es uch dch icht. Regel k lso icht dzu verwedet werde, ei Vielfches vo drei ls I-Gehlt zu erzeuge, we die Ausggskette kei Vielfches vo drei ls I-Gehlt ht. Bleibt ur Regel. Diese verdoppelt de I-Gehlt, d.h. I-Gehlt eu = *I-Gehlt lt Flls i dieser Gleichug I-Gehlt eu ei Vielfches vo sei soll, muss die drei uch i I-Gehlt lt ethlte sei (d die rechte Seite der Gleichug j lle Teiler der like Seite ethlte muss, ud offesichtlich icht durch drei teilbr ist), d.h. I- Gehlt lt muss bereits ei Vielfches vo drei sei. Also k uch Regel icht dzu verwedet werde, ei Vielfches vo drei ls I-Gehlt zu erzeuge, we die Ausggskette kei Vielfches vo drei ls I-Gehlt ht. Zusmmefssed k m lso zeige: keie Regel erzeugt us eiem I-Gehlt, der kei Vielfches vo drei ist, eie I-Gehlt ls Vielfches vo drei. Dies bedeutet, m k die Kette MU icht us der Kette MI bilde. Ich hoffe, ds Rätsel ht Ihe trotzdem Spß gemcht. Versio 5.8 Seite vo Copright 0

18 Mthemtik Wozu, Wie, Ws?. Mthemtik Ws? Mthemtik gliedert sich i viele Themegebiete, die Sie im Studium mehr oder mider itesiv kee lere werde. A dieser Stelle soll deswege ur eie kurze Übersicht über die wichtigste ud große Teilgebiete dieses Spektrums gegebe werde... Arithmetik Die Arithmetik ist die Lehre vo de Zhle ud ihre Verküpfuge, d.h. ursprüglich vom klssische Reche (Brüche, Poteze, Logrithme, etc.). Sie werde dvo eiiges i Kpitel wieder fide. Obwohl Sie vielleicht hoffte, mit dem Reche lere im wesetlich fertig zu sei werde Sie im Studium zwei wichtige Teilgebiet der Arithmetik evetuell eu kee lere: die Kombitorik bzw. Whrscheilichkeitsrechug ud die komplee Zhle. Erstere ist z.b. im Bereich der Nchrichte ud Kommuiktiostechik wichtig, uter derem zum Verstädis des Begriffs der Iformtio im techische Sie. Letztere sid eie Erweiterug des Zhlerums, ursprüglich getriebe vo der Suche ch Lösuge für Gleichuge des Tps. Für komplee Zhle werde Sie wieder gz eu lere müsse zu ddiere ud zu multipliziere. Im Zeitlter der Computer bekommt dieser Bereich i Form der umerische Mthemtik, d.h. der zhlemäßige Behdlug vo mthemtische Probleme, eie eue, wichtige Bedeutug. Numerische Verfhre werde vor llem i de jeweilige Fchvorlesuge behdelt... Algebr Algebr ist ursprüglich die Lehre vo Gleichuge ud ihre Lösuge. Im Studium wird Ihe ds vor llem i Form der liere Algebr, de Methode ud Werkzeuge zur Lösug vo liere Gleichugsssteme begege. Liere Algebr ht sich dbei zu eiem große, weit über ds Them Gleichugsssteme hius wedbre Werkzeugkste etwickelt, i dem Sie Vektore, Determite ud Mtrize kee lere werde. Diese Werkzeuge sid z.b. uch eie wesetliche Grudlge moderer Regelugstechik. Drüber hius versteht m uter Algebr heute die llgemeie Utersuchug vo mthemtische Strukture, die durch Verküpfuge defiiert sid. Zum Beispiel ht die Mege der reelle Zhle mit de Verküpfuge Plus ud Ml gewisse Eigeschfte wie Distributivgesetz ud Assozitivgesetz. Diese Eigeschfte erlube ds Reche (z.b. Löse vo Gleichuge) i solche Strukture. Gesetze, Versio 5.8 Seite vo Copright 0

19 Mthemtik Wozu, Wie, Ws? die für eie Struktur bewiese sid, köe für dere Strukture vom gleiche Tp sofort übertrge werde. Im Studium wird dieser Aspekt m Beispiel der Struktur eies Vektorrums verwedet. Vektore sid Ihe evetuell i der Schule bereits ls Pfeile im Rum begeget. Eie wichtige Eigeschft besteht dri, dss jeder Pukt im Rum ls Summe vo so gete Bsisvektore drgestellt werde k. Dies ist der Grudgedke eies Koorditesstems, bei dem die Bsisvektore die Eiheitsvektore i -, - ud z-richtug sid. Sie werde später sehe, dss uch Fuktioe eie Vektorrum bilde köe. Dmit köe Kozepte, die Sie vo Pfeile im Rum kee uch uf Fuktioe übertrge werde. Speziell gibt es uch für Fuktioe gewisse Bsisfuktioe, us dee (fst) jede dere Fuktio ufgebut werde k. Diese forme somit ei Koorditesstem, i dem jede Fuktio durch ihre Koordite usgedrückt werde k. Diese Idee, z.b. i Form der Fourier-Trsformtio, ist eie wesetliche Grudlge der Siglverrbeitug, z.b. bei der Komprimierug vo Musikdte i MP-Formt. Komprimierug bedeutet dbei, diejeige Bsisfuktioe bei der Übertrgug wegzulsse, die keie relevte Iformtioe liefer, z.b. weil Ihre Frequez ußerhlb des meschliche Hörbereichs liege... Alsis Alsis ist i Abgrezug zur Arithmetik ds Teilgebiet der Mthemtik, i dem mit Grezwerte gerbeitet wird. Begied i der Reissce ist dieser Zweig vor llem getriebe vo Aufgbe ud Probleme i de Nturwisseschfte etstde. Die wesetliche Bereiche sid die Differetilrechug ud die Itegrlrechug, ud dmit ei sehr großes Awedugsspektrum begied mit der llgemeie Theorie vo Fuktioe ud ihre Eigeschfte (Stetigkeit, Differezierbrkeit) bis hi zu Differetilgleichuge zur Beschreibug ud Alse vo dmische Ssteme. Alsis i ll diese Forme, begied mit de Eigeschfte eier Fuktio über Differetilrechug ud Itegrlrechug bis hi zu der Lösug vo Differetilgleichuge, immt deswege eie breite Rum i der Mthemtik-Vorlesug ei... Geometrie Die Geometrie ls die Lehre vo der Größe ud Gestlt vo Dige ht turgemäß für Elektrotechiker eie gerigere Bedeutug. Sie müsse sich icht mit Abrollkurve vo Getriebeelemete oder dergleiche beschäftige. Geometrie wird Ihe deswege huptsächlich i der Form der ltische Geometrie begege, z.b. zur Beschreibug vo elektrische Felder im Rum. Versio 5.8 Seite vo Copright 0

20 Rechetechike Rechetechike. Brüche.. Erweiter ud Kürze Erweiter Beim Erweiter werde Zähler ud Neer eies Bruches mit demselbe Fktor multipliziert, dbei ädert sich ur die Form, der Wert des Bruches bleibt uverädert. b c c R \{0} bc (..) Beispiele: 5 erweitert mit 7 : 8 5 Kürze Beim Kürze wird Zähler ud Neer durch eie gemeisme Fktor dividiert (gekürzt). Dbei verädert sich der Wert des Bruches icht. m mb m 0 b (..) Beispiel: b ( b) ( b) b ( b) ( b) Versio 5.8 Seite vo Copright 0

21 Rechetechike Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0.. Grudrecherte Additio / Subtrktio Brüche werde ddiert bzw. subtrhiert, idem m die Eizelbrüche uf de Hupteer erweitert ud d die Zähler ddiert bzw. subtrhiert. Der Hupteer ist ds kleiste gemeisme Vielfche der Eizeleer. d b c b d d c b (..) Beispiele: m m m m m m m m m m m ) ( ) ( ) ( Multipliktio Zwei Brüche werde multipliziert, idem m ihre Zähler ud ihre Neer miteider multipliziert. d b c d c b (..) Beispiele: ) ( Divisio Zwei Brüche werde dividiert, idem m mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. c d b d c b (..5)

22 Rechetechike Beispiel: ² 6 ² 7b b 7b b 6 7 Drstellug ls Mehrfchbrüche Im Zähler ud Neer vo Brüche k wieder ei Bruch stehe. Berücksichtigt m, dss der Bruchstrich ebeso ei Divisioszeiche ist wie der Doppelpukt ud bechtet m die Regel für die Divisio vo Brüche, so k der eifche Doppelbruch leicht umgeformt werde. b c d c d (..6) b d b c Beispiel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).. Awedug: Umreche vo Eiheite Eie wichtige Awedug der Bruchrechug im lltägliche Lebe des Igeieurs cm ist ds Umreche vo Eiheite i Ausdrücke, z.b. eier Geschwidigkeit vo s km i. h 5 km 0 cm ud h 600s ud (..6) ist dies eifche Bruch- Mit de Beziehuge rechug, z.b. km cm s h km km 50,8 5 0 h h Bevor m uötige Fehler mcht, sollte m im Zweifel solche Beziehuge lieber etws usführlicher hischreibe. Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

23 Rechetechike.. Aufgbe zu Brüche Bereche Sie die folgede Ausdrücke ud vereifche Sie soweit wie möglich r r c 9 (7b² b² b²) 9b c bc b ² b b² b 98² : 9 5b 5 m : ( m ) r Versio 5.8 Seite 7 vo Copright 0

24 Rechetechike ² ² : b b² b² 7 8 : : Führe Sie folgede Umrechuge durch: 5 6 mv V 0 cm i die Eiheit m km m 7 i die Eiheit h s mv ka mm VA i die Eiheit m Versio 5.8 Seite 8 vo Copright 0

25 Rechetechike..5 Lösuge zu Brüche 7 r bc c b 5b 5 r b b m V Versio 5.8 Seite 9 vo Copright 0

26 Rechetechike 6 7 m 0,8 s VA 70 m Versio 5.8 Seite 0 vo Copright 0

27 Rechetechike. Poteze.. Grudlge Defiitio mit gz-zhligem Epoete Terme N (..) I dieser Formel bezeichet m ls Bsis ud ls Epoete. Allgemeie Vereibrug: 0 R \{0} (..) Spezielle Bse: Vorsicht: 0 0 für ist icht defiiert! Additio Poteze vo Vrible lsse sich i lgebrische Summe ur so zusmmefsse, dss m jeweils gleiche Poteze mit gleicher Bsis zusmmefsst. (..) Beispiele: + = = 90 (-) - + = = - Versio 5.8 Seite vo Copright 0

28 Rechetechike.. Multipliktio Poteze mit gleicher Bsis Beispiel für die mit Multipliktio vo Poteze mit gleicher Bsis: 5 Allgemei gilt, Poteze mit gleiche Bse werde multipliziert, idem m die Bsis mit der Summe der Epoete der Fktore poteziert: m m (..) Beispiele: ( b) ( b) 5-0 ( b) Multipliktio vo Poteze mit gleichem Epoete Beispiel für die mit Multipliktio vo Poteze mit gleichem Epoete: b bbb (b)(b)(b) (b) Allgemei gilt, Poteze mit gleichem Epoete werde multipliziert, idem m ds Produkt der Bse mit dem gemeisme Epoete poteziert: ) b ( b (..5) Beispiele: Vorsicht ( ) 8 ( ) ( ) ( )( ) (-) ( ) Für die llgemeie Multipliktio vo Poteze, die weder eie gleiche Bsis och eie gleiche Epoete hbe, lässt sich keie llgemeie Umformug gebe. z.b. 5 ist ugleich(!) 5 Beweis: Selber chreche! Versio 5.8 Seite vo Copright 0

29 Rechetechike.. Poteze vo Poteze Allgemei gilt, eie Potez wird poteziert, idem m die Bsis mit dem Produkt der beide Epoete poteziert. m m. ( ) (..6) Begrüdug: m m m ml m ml Wege der Vertuschbrkeit der Fktore i eiem Produkt gilt stets ( Beispiele: ) m 6 m ( 6 6 ( ) 6 m ). ber ( ) 8.. Negtive Epoete Defiitio Ausggspukt ist die Beziehug 0. Wedet m die Recheregel (..), so ergibt sich 0 oder - Deswege vereibrt m llgemei für egtive Epoete: - 0 (..7) Die Eischräkug 0 ist otwedig, um die Divisio durch 0 uszuschließe. Beispiel: 0,5 8 Versio 5.8 Seite vo Copright 0

30 Rechetechike Versio 5.8 Seite vo Copright 0 Divisio Der Epoet des Quotiete ist gleich der Differez der Epoete vo Divided ud Divisor. m- m, ( 0) (..8) Poteze mit gleichem Epoete werde dividiert, idem m ihre Bse dividiert ud diese Quotiete mit dem gemeisme Epoete poteziert. b b, (b 0) (..9) Beispiele: b b b b b ) ( ) ( 8 ) (

31 Rechetechike Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0..5 Aufgbe zu Poteze Bereche Sie die folgede Ausdrücke bzw. vereifche Sie soweit wie möglich. 7 : b b 8 m m 5 ) ( ) ( ) ( ) ( c c b b z c b z c b 9 0 b b

32 Rechetechike 8 57 : b 5 5 b : 8 b m m rs rt u m rsu rut b 0 9 : 5 5 : Schreibe Sie die folgede Ausdrücke i der Form , 5 0, ,0000, , 000 m 0 (mit <<0). Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

33 Rechetechike..6 Lösuge zu Poteze 8 b 5 m c c b z b b 5 Versio 5.8 Seite 7 vo Copright 0

34 Rechetechike Keie Vereifchug möglich ( wäre flsch) r s t u 0 b 5, 0, , Versio 5.8 Seite 8 vo Copright 0

35 Rechetechike. Wurzel.. Defiitio Die -te Wurzel ist diejeige (positive) Zhl, die mit poteziert ergibt, d.h. für die -te Wurzel gilt folgede Defiitiosgleichug: 0 (..) M führt folgede Schreibweise ei: (..) Dmit ergibt sich us de beide Gleichuge mit (..6): Allgemeie Schreibweise m m (..) Alle Regel der Potezrechug, isbesodere (..), (..), (..5), (..6) ud (..8), gelte uch für ds Reche mit rtiole bzw. reelle Epoete (Wurzel). (..) Beispiele: Versio 5.8 Seite 9 vo Copright 0

36 Rechetechike.. Aufgbe zu Wurzel Bereche bzw. vereifche Sie die folgede Ausdrücke bzw. schreibe Sie die Ausdrücke ls Poteze. z z , b Versio 5.8 Seite 0 vo Copright 0

37 Rechetechike 8 5 : b b 5 Versio 5.8 Seite vo Copright 0

38 Rechetechike.. Lösuge zu Wurzel z b 8 b 5 Versio 5.8 Seite vo Copright 0

39 Rechetechike. Qudrtische Biome.. Formel für qudrtische Biome Der Umgg mit qudrtische Biome ist ei zetrles Rechemittel, ds i viele Berechuge beötigt wird. Deshlb ist es ötig die Rechegesetze ute vorwärts ud rückwärts uswedig zu köe.. Tp: ( b b) b (..). Tp: ( b b) b (..). Tp: ( b b)( b) (..) Beispiele: u u ( u ) u u ( u )( u ) u (0 ) Versio 5.8 Seite vo Copright 0

40 Rechetechike Versio 5.8 Seite vo Copright 0.. Qudrtische Ergäzug Mchml ist es erforderlich eie Ausdruck i die Form eies Bioms zu brige (z.b. qudrtische Form eier verschobee Prbel). Dies geschieht mit Hilfe des. oder. Bioms, idem es rückwärts gewedet wird. d c d c d d d c d (..) Beispiele: ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7

41 Rechetechike.. Aufgbe zu qudrtische Biome Multipliziere Sie us ud vereifche Sie soweit wie möglich ( )( ) ( b) ( c d) 5 ( b) ( ² b²) 6 7 ( )( ) Fide Sie die Biome 8 ² 8 9 ² 9 0 ² ² 80 5 ² ² Kürze Sie soweit möglich 6 9² b b² 9² b² Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

42 Rechetechike 7 8 ² ² ² ² Vereifche Sie die folgede Terme mit Hilfe vo Biome b b Führe Sie eie qudrtische Ergäzug durch ² ² 6 ² 7 ² ² 6 ² Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

43 Rechetechike.. Lösuge zu qudrtische Biome ² 6 9 ² 9 6² 8b b² 9c² 6cd d² 5 b ² 9 8 ( ) 9 ( )( ) 0 ( 9)² ( 8 5)² ( )( ) ( )( ) b b 9 0 Versio 5.8 Seite 7 vo Copright 0

44 Rechetechike b b ( 5)² ( )² Versio 5.8 Seite 8 vo Copright 0

45 Rechetechike.5 Gleichuge.5. Hitergrud Aussge Eie Aussge im mthemtische Si ist ei sprchliches Gebilde, dem etweder der Whrheitswert whr oder der Whrheitswert flsch zukommt. (.5.) Aussgeform Eie Aussgeform ist ddurch gekezeichet, dss i ihr midestes eie Vrible uftritt, dere Wert och offe ist, dss ber us der Aussgeform eie Aussge wird, sobld m diese Vrible durch bestimmte Werte belegt. (.5.) Beispiel: NN ist der Kompoist der Oper Fidelio (Aussgeform) Belegug vo NN mit : ist der Kompoist der Oper Fidelio (Aussge, mit Whrheitswert flsch ) Belegug vo NN mit Beethove: Beethove ist der Kompoist der Oper Fidelio (Aussge, mit Whrheitswert whr ).5. Defiitio eier Gleichug ud eies Gleichugssstems Eie Gleichug ist eie Aussgeform, bei der sivolle, us Vrible ud Kostte zusmmegesetzte mthemtische Ausdrücke durch ei Gleichheitszeiche miteider verbude werde. Die Vrible et m uch Ubekte der Gleichug. (.5.) Beispiel: 8 5 Versio 5.8 Seite 9 vo Copright 0

46 Rechetechike Löse eier Gleichug: Eie Gleichug zu löse heißt, diejeige Beleguge für die Vrible zu ermittel, die die gegebee Gleichug zu eier whre Aussge mche. (.5.) Beispiel: Gleichug (Aussgeform) 5 Belegug : 5 flsche Aussge Belegug : 5 whre Aussge ist Lösug dieser Gleichug! Gleichugssstem: Eie Stz verschiedeer Gleichuge, die gleichzeitig erfüllt werde solle, et m ei Gleichugssstem. Ei Gleichugssstem zu löse heißt, diejeige Beleguge für die Vrible zu ermittel, die lle Gleichuge des Gleichugssstems gleichzeitig zu eier whre Aussge mche. (.5.5) Beispiel:. Gleichug. Gleichug Lösugsmege: Die Mege ller Beleguge der Vrible, die die Gleichug(e) zu eier whre Aussge mche, heißt Lösugsmege L der Gleichug bzw. Gleichugssstems. Ethält die Gleichug oder ds Gleichugssstem mehrere verschiedee Vrible, so beschreibt m die Lösugsmege m beste mit Hilfe vo Tupel, siehe Kpitel, speziell (..7). (.5.6) Beispiele: 5 L ² 0 L, 8 5 L (, ) R (, ) (, ), R Versio 5.8 Seite 0 vo Copright 0

47 Rechetechike.5. Liere Gleichugsssteme Ei lieres Gleichugssstem besteht us eier Azhl vo liere Gleichuge für mehrere Ubekte. Es k ch folgedem llgemeie Schem gelöst werde:. Auflöse eier Gleichug ch eier Vrible, so dss sich eie Vrible durch die dere Vrible usdrücke lässt.. Diese Ausdruck für die eie Vrible i die dere Gleichuge eisetze ud uf diese Weise eie Vrible elimiiere.. Schritt ud so lge wiederhole, bis ur och eie Vrible übrig ist, die sich d usreche lässt. Die dere Vrible mit Hilfe der etsprechede Terme bestimme. (.5.7) I der Mthemtik-Vorlesug werde weitere Verfhre besproche werde, um uch größere Gleichugsssteme effiziet löse zu köe. Beispiele: ()-Gleichugssstem: ( I) ( II) ( II') i ( I) z i ( II') z 5 6 9z z z 5 z z 5 z z ( II') ()-Gleichugssstem: ( I) ( II) ( III) ( III' ) i ( II) i ( III' ) ud i ( I) : ( III' ) Versio 5.8 Seite vo Copright 0

48 Rechetechike.5. Gleichuge i Produktform Regel: Lässt sich eie Gleichug der Form 0 Form f f f 0 zerlege, so sid lle Lösuge der i Gleichuge f i 0 f i ei Produkt der uch Lösuge der ursprügliche Gleichug f 0 (.5.8). Beispiel:. Beispiel: ² 9 0 ( )( ) 0 L, lässt sich schreibe ls : L 5,,,, ( ² )( ² 5)( ) 0 Versio 5.8 Seite vo Copright 0

49 Rechetechike.5.5 Qudrtische Gleichuge Die llgemeie Form eier qudrtische Gleichug lutet: ² b c 0 (.5.9) Lösugsformel:, b b² c (.5.0). Beispiel. Beispiel ² 6 0 ² ( ),, L, ³ ² 0 ( ² ) 0 ² (),, L,, Beispiel: 0² 9 0 z² 0z 9 0 Substituti o : 0 0² z, 0 8 z 9 ² z z ² z L,,,,, z ² Versio 5.8 Seite vo Copright 0

50 Rechetechike.5.6 Betrgsgleichuge Defiitio des Betrgs Der Betrg eier reelle Zhl ist der Abstd uf der reelle Zhlegerde vom Nullpukt. Er wird durch ds Smbol gekezeichet ud ist stets positiv. für für drus folgt: ( ) 0 0 für für (.5.) Beispiel: Welche Wert besitzt, für ud 5? Lösug: Versio 5.8 Seite vo Copright 0

51 Rechetechike Löse eier Betrgsgleichug Betrgsgleichuge muss m durch Flluterscheidug löse:. Fll: Argumet des Betrgs größer Null.. Fll: Argumet des Betrgs kleier Null. (.5.) Beispiel: Lösug der Betrgsgleichug :. Fll: I diesem Fll dürfe die Betrgsstriche weglsse werde ud m erhält die eifche Gleichug: (Bedigug 0, 5 ist erfüllt)..fll: I diesem Fll erhält m die Gleichug: (Bedigug 0, 5 ist erfüllt). Die Betrgsgleichug besitzt demch die beide Lösuge: ud Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

52 Rechetechike.5.7 Allgemeie Gleichuge Nebe de bisher beschriebee (Stdrd-)Forme köe Gleichuge türlich uch jede dere mthemtische Form hbe. Beispiele: l l 5, 5 si Idem m die like Seite eier Gleichug uf die rechte Seite brigt, erhält m folgede Aussge: Die llgemeiste Form eier Gleichug ist f ( ) 0 (.5.) Dies bedeutet: Ds Löse eier Gleichug etspricht der Suche ch de Nullstelle eier Fuktio. Etspreched der Vielflt der mögliche Gleichuge gibt es uch etspreched viele Lösugsstrtegie. Diese lsse sich i zwei Gruppe eiteile: Lösug durch Umformug Dbei versucht m im Prizip, die Gleichug ch der gesuchte Vrible ufzulöse. Dzu muss m etsprechede Recheregel geschickt ud zielgerichtet eisetze. Letzteres erfordert mchml ber uch eifch probiere. Wichtig ist dbei der Begriff der Äquivlezumformug: Eie Äquivlezumformug ist eie Umformug eier Gleichug, bei der dere Lösugsmege icht verädert wird. (.5.) Beispiele: Additio ud Subtrktio vo idetische Terme uf beide Seite eier Gleichug sid Äquivlezumformuge. z.b. ud hbe die gleiche Lösugsmege L { }. Die Multipliktio ud Divisio mit eier Kostte ugleich Null sid ebeflls Äquivlezumformuge. Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

53 Rechetechike Die Multipliktio eier Gleichug mit Null ist jedoch keie Äquivlezumformug, d z.b. die Lösugsmege L { } ht, ber 0 ( ) 0 die Lösugsmege L R. Qudriere ist ebeflls keie Äquivlezumformug, d z.b. die Lösugsmege L {} ud 9 die Lösugsmege L {, } ht. Durch ds Qudriere kommt i diesem Fll lso eie Lösug dzu. Offesichtlich sollte m beim Löse vo Gleichuge durch Umforme eigetlich ur Äquivlezumformuge verwede. Dies ist jedoch icht immer möglich, z.b. we m qudriere muss. I diesem Fll muss m d m Ede durch Eisetze überprüfe, ob die gefudee Lösugs-Kdidte ttsächlich uch Lösuge der ursprügliche Gleichug sid. Beispiele: l l 5 5 l 5 e 5 e (siehe Kpitel.) Eisetze zeigt, dss ur, 9 6, eie Lösug ist Numerische Lösug Ntürlich k m uch versuche, eie Lösug durch geschicktes Suche zu fide. Heute mcht m ds meistes mit Computer. I der Regel reicht es dbei, we m eie usreiched geue Approimtio der Lösug fidet. Es gibt eie Vielzhl solcher Suchverfhre. Ds eifchste ist eie Itervllschchtelug. Ds Vorgehe dbei soll dieser Stelle eiem Beispiel erläutert werde: Beispiel: Gesucht sid die Lösuge vo si. Eie erste Lösug k m durch Überlegug fide: 0. Versio 5.8 Seite 7 vo Copright 0

54 Rechetechike Für die Suche ch weitere Lösuge setzt m verschiedee Werte i die Gleichug ei. Z.B. k m mit L begie. Dies ist offesichtlich keie Lösug, de si. Probiert m dererseits, so ist R si. D bei dem eie Wert die like Seite größer ls die rechte Seite ist ud die Verhältisse bei dem dere Wert geu umgekehrt sid, k m drus ber folger, dss zwische diese beide Werte eie Lösuge liege muss, d.h. ei Wert, bei dem die beide Seite gleich sid. (Amerkug: Streg geomme beötigt m dzu uch och ds Argumet der Stetigkeit, d.h. dss keie Sprüge uftrete. Dieses Kozept wird i der Vorlesug Grudlge der Alsis och besproche werde) Bei der Itervllschchtelug wählt m jetzt eie Wert ierhlb dieses Ursprugsitervlls, um ds i Frge kommede Itervll so schrittweise zu verkleier.,5 I diesem Fll wählt m z.b. M, 5 ud erhält si,5. Mit der gleiche Überlegug wie obe, k m jetzt lso folger, dss die Lösug i dem Itervll zwische, 5 ud liege muss. M R Diese Schritte werde jetzt so oft wiederholt, bis m die Lösug usreiched geu eigegrezt ht. Ei solcher Prozess lässt sich mit Hilfe eies Computers recht eifch utomtisiere. M erhält dmit: Auf ähliche Weise oder mit Hilfe der Smmetrie fidet m uch och die letzte Lösug: Versio 5.8 Seite 8 vo Copright 0

55 Rechetechike Versio 5.8 Seite 9 vo Copright Aufgbe zu Gleichuge Löse Sie die folgede liere Gleichugsssteme 0 7 r t r t v u u v v u z z z z z 8 5 7

56 Rechetechike Löse Sie die folgede qudrtische Gleichuge 9 ² ² ², ² ² ² t t ² ³ 6² ² ³ Löse Sie die folgede Gleichuge i Produktform 0 ( )( ) ² 8² Versio 5.8 Seite 50 vo Copright 0

57 Rechetechike Löse Sie die folgede Betrgsgleichuge 7 5 ² ² ( ² 6) 5 6 Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

58 Rechetechike Löse Sie die folgede llgemeie Gleichuge durch Umformug Löse Sie die folgede Gleichuge mit eier Itervllschchtelug cos 5 Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

59 Rechetechike.5.9 Lösuge zu Gleichuge t r 5 Ds Gleichugssstem ht keie Lösug u 7 v 5 7 z 0 0 z L L, 5 L, Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

60 Rechetechike L, keie (reelle) Lösug L 0,0 5 L 5 6 L,,, 7 L 0,, 5 8 L 0, 9 L 5, 5 Hiweis: L, 0, L L 6,,,, 6 L, L 9, 5 5 L, 6 L, 7 L,,, L L Versio 5.8 Seite 5 vo Copright 0

61 Rechetechike 0 7 L L 7, keie Lösug L, L 5 L 7, 6 L, 7 8 L, 6 L, 9 keie (reelle) Lösug 0 L, L L L 5 5, 5 0, , 6 Versio 5.8 Seite 55 vo Copright 0

62 Rechetechike.6 Ugleichuge.6. Defiitio Uter eier Ugleichug versteht m i der Mthemtik eie Aussgeform, i der Vrible ud Kostte mit eiem der Opertioszeiche,,, verküpft sid..6. Recheregel Umformuge vo Ugleichuge köe mit de folgede vier Recheregel erfolge. Die Regel sid jeweils ur für ei Opertioszeiche gegebe, sie gelte sigemäß uch für die dere Ugleichheitszeiche. Regel : Vertuscht m die beide Seite eier Ugleichug miteider, so ist ds Ugleichheitszeiche umzukehre. (.6.) Regel : Addiert m zu beide Seite eier Ugleichug eie beliebige reelle Zhl, so bleibt die Ugleichug bestehe. b c b c c R (.6.) Regel : Multipliziert m beide Seite eier Ugleichug mit eier reelle Zhl, so muss m zwei Fälle uterscheide: c b c b c b c we we c 0 c 0 Geu wie Gleichuge dürfe Ugleichuge bei der Umformug iemls mit Null multipliziert werde. (.6.) Regel : Für b 0 (d.h. beide Seite positiv oder beide Seite egtiv) kehrt sich ds Ugleichheitszeiche bei der Bildug des Kehrwerts uf beide Seite der Ugleichug um: We b 0 d b b (.6.) Versio 5.8 Seite 56 vo Copright 0

63 Rechetechike Beispiel für die Umformug eier Ugleichug mit Hilfe der Regel (.6.) ud (.6.): Ergebis: L ] ; ]. Grphische Lösug Jede Ugleichug k m uf die Form f ( ) 0 bzw. f ( ) 0 brige. Die Lösugsmege der Ugleichug sid d lle Itervlle der reelle Zhle, i dee der Grph der Fuktio f () oberhlb der -Achse verläuft. Dzu k m z.b. die Schittpukte des Grphe mit der -Achse bestimme, d.h. die Lösuge der Gleichug f ( ) 0, ud d für die dzwische liegede Itervlle prüfe, ob der Grph für dieses Itervll jeweils oberhlb oder uterhlb der -Achse verläuft. Versio 5.8 Seite 57 vo Copright 0

64 Rechetechike.6. Aufgbe zu Ugleichuge Bestimme Sie die reelle Lösugsmege der folgede Ugleichuge: ² ² ( 6) Versio 5.8 Seite 58 vo Copright 0

65 Rechetechike.6. Lösuge zu Ugleichuge (Die ute verwedete Bezeichuge fide sich i Kpitel.) L ], [ R L ], [ R L R L ],] [, [ R 5 L [, 5 ] R 5 6 L ], [ ]0,[ R 0 7 L ],[ [, [ R 8 L ], [ R 9 L ], [ ], [ R 0 L ] 8, [ R 8 L ], [ R L ], [ ], [ R Versio 5.8 Seite 59 vo Copright 0

66 Zeiche Sprche Zeiche Sprche. Vorwort: Adere Schreibweise Für lle Smbole, die i diesem Kpitel eigeführt werde, k m dere Stelle dere Bezeichuge fide. Dies ist kei Mgel oder eie fehlerhfte Defiitio dieses Skripts oder derer Tete, soder eifch die Ttsche der Vielfältigkeit der Welt, geuso wie es uch verschiedee türliche Sprche ud Dilekte gibt. M k dies beduer ud bekämpfe, m sollte es ber zuächst eifch kzeptiere ud lere dmit zu lebe. Etscheided ist: We m sich ds Prizip vo strukturierter Formelsprche gewöht ht ud de Umgg mit solche Smbole beherrscht, d fällt es uch reltiv leicht, die eie oder dere Abweichug vo dem Gewohte zu verstehe, so ählich wie m bei sicherer Beherrschug der deutsche Sprche uch de bdische Dilekt i Kostz verstehe wird. Gute Bücher ud Arbeite (ds gilt z.b. uch für Diplomrbeite) ethlte immer eie Abschitt, i dem die verwedete Formelzeiche defiiert ud erklärt werde, dem m sich bei Bedrf orietiere k. Versio 5.8 Seite 60 vo Copright 0

67 Zeiche Sprche. Logische Bezeichuge.. Defiitio des Begriffs Aussge Im Kpitel.5 wurde bereits der Begriff der Aussge verwedet: Eie Aussge im mthemtische Si ist ei sprchliches Gebilde, dem etweder der Whrheitswert whr oder der Whrheitswert flsch zukommt. (..) Beispiele: Kostz liegt m Bodesee + = 5+ = 0 Offesichtlich sid ber icht lle sprchliche Gebilde uch Aussge, z.b. sid die folgede Ausdrücke keie Aussge im mthemtische Si (wrum?): Wie spät ist es? + = 7 Die Fchhochschule liegt m Seerhei Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

68 Zeiche Sprche.. Verküpfuge vo Aussge Viele Aussge bzw. Aussgeforme (siehe Kpitel.5) sid ber icht eifch elemetr, wie die Beispiele obe, soder us mehrere Teile zusmmegesetzt, z.b. Kostz liegt m Bodesee ud die FH Kostz liegt m Seerhei. Die erste Aufgbe mthemtischer Logik besteht dri, eideutige Bezeichuge ud Bedeutuge für diese Verküpfuge eizuführe. Dzu verwedet m Whrheitstbelle. Eie Whrheitstbelle ist ichts deres ls eie logische Wertetbelle, bei der für jede mögliche Kombitio der Eiggswerte der Ergebiswert der Verküpfug gezeigt wird. Bezeichuge: icht ud oder we, d geu d, we bzw. ist äquivlet zu Bedeutug: Teilussge Verküpfug A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w (..) Beispiele: (Kostz liegt m Bodesee) (die FH Kostz liegt m Seerhei) (=5) (=) (=5) (Vorlesug begit um cht Uhr) (Hörerzhl = Studetezhl/ ) (Studete lese Skript) (Prüfug ist i weiger ls eier Woche) Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

69 Zeiche Sprche M muss de Whrheitswert der Verküpfug vo dem Whrheitswert der Teilussge uterscheide. I dem letzte Beispiel köe beide Teilussge ud Studete lese Skript Prüfug ist i weiger ls eier Woche für sich geomme whr oder flsch sei. Die Verküpfug Studete lese Skript geu d we Prüfug i weiger ls eier Woche ist ber offesichtlich eie gz dere Aussge, dere Whrheitswert icht direkt vo de Whrheitswerte der Teilussge bhägt... Logische Fuktioe I der Digitlelektroik wird mit de Werte 0 (uwhr bzw. Spug us) ud (whr bzw. Spug ei) gerechet. Dbei werde i geeigeter Weise Eigäge mit Hilfe der Opertioe ud, oder ud icht zu eiem Ausgg verküpft. Eie digitle Schltug ist lso im mthemtische Sie eie Verküpfug vo Eiggs -Aussge zur eier Ausggs -Aussge, oder ders usgedrückt eie logische Fuktio. M k eie solche logische Fuktio etweder ls Formel, z.b. A E E, oder mit Hilfe eier Whrheitstbelle drstelle. E Eigäge Fuktioswert E E E A w w w w w w f f w f w w w f f w f w w w f w f w f f w w f f f w Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

70 Zeiche Sprche.. Logische Gesetze Ei (logisches) Gesetz ist eie (logische) Aussge, die (immer) whr ist. Logische Gesetze beweist m mit Whrheitstbelle oder mit Hilfe vo bereits bewiesee logische Gesetze. Logische Gesetze köe dzu verwedet werde, Aussge umzuforme, z.b. um sie zu vereifche oder um sie i eier elektroische Schltug besser implemetiere zu köe. Logische Umkehrug ( A B) ( B A) (..) I Worte: Die Folgerug us A folgt B ist äquivlet zu der Folgerug us icht B folgt icht A. Beweis: A B A B A B ( B) ( A) (A B) (( B) ( A)) w w f f w w w w f f w f f w f w w f w w w f f w w w w w DeMorgsche Gesetze Für zwei Aussge A ud B gelte (Sätze vo DeMorg): ( A B) ( A) ( B) ( A B) ( A) ( B) (..) Beweis (der erste Aussge): A B A B (A B) ( B) ( A) ( A B) ( A) ( B) w w f f f f w w f f w f f w f w w f f f w f f w w w w w Versio 5.8 Seite 6 vo Copright 0

71 Zeiche Sprche Beispiel: Ich will icht m Wocheede Rd fhre oder m Wocheede Schwimme gehe ( ( Rd fhre Schwimme gehe) ) ist äquivlet zu Ich will icht m Wocheede Rd fhre ud ich will icht m Wocheede Schwimme gehe (( Rd fhre) ( Schwimme gehe) ) Distributivsätze Für drei Aussge A, B ud C gelte: A (B C ) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (..5) Vereifcht gesgt bedeutet ds, m k bei logische Aussge die Klmmer i der obe drgestellte Weise umgruppiere. Geu geomme bedeutet der Ausdruck A (B C) (A B) (A C) z.b.: Die Aussge A ud (B oder C) ist geu d whr, we (A ud B) oder (A ud C) whr ist. Dbei ist och Zuflucht geomme zu eier hlb smbolische Ausdrucksweise, d i der türliche Sprche die Klmmerug vo Aussge meistes icht eideutig ist. Umformug der Folgerug Für zwei Aussge A ud B gilt: ( A B) ( A) B (..6) Versio 5.8 Seite 65 vo Copright 0