Graphentheoretische Beschreibung der Petrinetze

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1 Graphentheoretische Beschreibung der Petrinetze Eldar Sultanow Hasso-Plattner-Institut an der Universität Potsdam Zusammenfassung Abläufe lassen sich durch Graphen darstellen Beispiele für Abläufe aus dem alltäglichen Leben sind Geschäftsvorgänge und Computer-Kommunikation Sie enthalten einzelne, wohlunterscheidbare Ereignisse oder Aktivitäten, bei denen Informationen erzeugt, benutzt, oder verändert werden Desweiteren gibt es Bedingungen, die für diese Ereignisse notwendig oder hinreichend sind, damit sie stattfinden Die Ereignisse können jeweils voneinander abhängig sein, unabhängig nebeneinander stattfinden oder unvorhersehbar eintreten Diese Eigenschaften lassen sich mit Petrinetzen formal darstellen Sie sind eine Modellierungssprache, die für verschiedene Ebenen der Abstraktion verwendet wird Einfache Vertreter sind das B/E- und S/T-System Mit Petrinetzen beschreiben wir nichtsequenzielle, verteilte Systeme, die Darstellung von Kontroll- und Datenfluss, kausale Abhängigkeiten, Nichtdeterminismus und Nebenläufigkeit Unter Verwendung von Petrinetzen werden Systemeigenschaften nachgewiesen und Korrektheitsbeweise durchgeführt Keywords: Petrinetz, Netzgraph, Stellen- Transitions-System, Sequenzgraph 1 Petrinetze Die Geschichte der Petrinetze begann im Jahre 1962 mit der Dissertation von Carl Adam Petri über die Kommunikation mit Automaten im Institut für instrumentelle Mathematik in Bonn Petrinetze dienen zur Beschreibung nebenläufiger, kommunizierender Prozesse und sind ein Systemmodell für Vorgänge, Organisationen und Geräte, bei welchen geregelte Flüsse, insbesondere Nachrichtenflüsse, eine Rolle spielen [1] 11 Netzgraph 111 Definition Ein Netzgraph ist ein gerichteter Graph Formal ausgedrückt ist der Netzgraph ein Tripel N = ( S, T, F) mit zwei Eigenschaften: 1 S T =, das heißt es gibt zwei unterschiedliche Knotentypen 2 F ( S T) ( T S), es gibt also keine Relation zwischen Knoten gleichen Typs Die Elemente der Menge S heißen Stellen, die der Menge T heißen Transitionen F ist die Flussrelation, ihre Elemente sind wieder Typel und bilden die Kanten in dem Netzgraph Die Stellen werden graphisch als Kreise, die Transitionen als Rechtecke dargestellt Zwischen den Knoten gezeichnete Pfeile kennzeichnen die Flussrelation 112 Vor- und Nachbereiche Die Menge aller Eingangsknoten eines Knoten x bezeichnen wir als Vorbereich: { (, ) } x = y y x F i Und wir definieren alle Ausgangsknoten eines Knoten x als Nachbereich: xi = y ( x, y) F { } Also gelten als Vorbereich einer Transition alle Stellen, die einen Pfeil auf diese Transition haben Und als Nachbereich einer Transition gelten alle Stellen, die einen Pfeil von dieser Transition weg auf sich haben Wenn x i > 1 ist, nennt man x vorwärtsverzweigt, entsprechend gilt bei i x > 1, x ist rückwärtsverzweigt Ein Netzgraph ist schlicht, wenn keine zwei Knoten denselben Vorund denselben Nachbereich haben Wenn also gilt: x, y: ix= iy xi= yi x= y 113 Teilnetze Ein Netz N = ( S, T, F ) ist ein Teilnetz des Netzes N = ( S, T, F), wenn für die Knotenmengen S S, T T und die Flussrelation F = F (( S T ) ( T S )) gilt Die Stellen und Transitionen, die über Kanten mit dem Restnetz verbunden sind, heißen auch Rand des Teilnetzes Der Rand Rand( N, N) zwischen dem Teilnetz N und dem Netz N ist definiert als Rand( N, N ) = { x S T ( xi i x) ( S T ) } Der Vor- und Nachbereich des Knoten x ist bezogen auf das Netz N Stellenberandet wird ein Teilnetz N genannt, wenn für den Rand Rand( N, N) S gilt Analog dazu wird ein Teilnetz als transitionsberandet bezeichnet, wenn - 1 -

2 der Rand die Eigenschaft Rand( N, N) T erfüllt [5] 114 Beispiel für ein Netzgraph Wir definieren den in Abbildung 1 dargestellten Netzgraphen: S = s, s, s T = { } { t, t } 1 2 {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} F = s t s t s t s t t s t s Abbildung 3 Stellenberandete Abstraktion Abbildung 1 Beispiel eines Netzgraphen Dieser Netzgraph ist nicht schlicht, wegen t = t = s, s t = t = s i i { } und { } Schlinge i i Zwei Knoten s und t bilden eine Schlinge, falls (,) st F und (, ts) F ist Zwischen beide Knoten gibt es einen vorwärts und einen rückwärts gerichteten Pfeil Eine Schlinge ist also eine Kante, bei der Anfangs- und Endknoten zusammenfallen 116 Vergröberung und Verfeinerung von Netzgraphen Die Vergröberung ist eine lokale Abstraktion Es werden mehrere Knoten zu einer Stelle oder Transition zusammengefasst, die diese Knotenmenge ersetzt Dabei muss das neu entstandene Netz immer noch bipartit sein Somit darf eine Menge von Knoten nur zusammengefasst werden, falls alle Knoten am Rand vom gleichen Typ sind Und genau von diesem Typ muss dann der Knoten sein, der diese Menge ersetzt Die Verfeinerung wird benutzt, um die innere Struktur einer Transition oder Stelle genauer zu konkretisieren Auch hier muss die bipartite Eigenschaft der Petrinetze erhalten bleiben Ob und wann man Verfeinerung beziehungsweise Vergröberung einsetzt, hängt jeweils vom gewünschten Abstraktionsgrad ab Grundsätzlich wird das System am Anfang möglichst grob modelliert und später Schritt für Schritt verfeinert, bis das Gesamtmodell alle Aspekte des Systems beinhaltet In Abbildung 3 ist ein Beispiel der stellenberandeten Abstraktion oder umgekehrt, die Verfeinerung einer Stelle illustriert Dagegen ist in Abbildung 4 ein Beispiel für die Vergröberung eines transitionsberandeten Teilnetzes beziehungsweise die Verfeinerung einer Transition dargestellt Zusammenfassend können wir sagen, dass als Abstraktion ein stellenberandetes Netz als eine Stelle und ein transitionsberandetes Netz als eine Transition betrachtet wird Abbildung 4 Transitionsberandete Abstraktion 117 Einbettung und Restriktion von Netzgraphen Die Erweiterung eines Modells um Systemteile erfolgt durch Hinzufügen neuer Kanten und Knoten Man bezeichnet diesen Vorgang als Einbettung Im Gegensatz zur Verfeinerung werden hier Knoten nicht durch andere ersetzt, sondern neue Knoten und Kanten hinzugefügt Die Restriktion ist das Gegenstück zur Einbettung Durch sie werden Knoten und Kanten aus einem Netz entfernt Die Einbettung wie die Restriktion können bedeutende Auswirkungen auf das Verhalten des durch das Modell beschriebenen Systems haben 118 Faltung und Entfaltung von Netzgraphen Ein aus gleichstrukturierten Teilnetzen bestehender Netzgraph kann in sofern vereinfacht werden, indem man diese gleichen Teilnetze einfach aufeinander legt Es dürfen aber nur Knoten gleichen Typs übereinandergelegt werden Desweiteren müssen alle Relationsbeziehungen erhalten bleiben und die Teilnetze isomorph sein - 2 -

3 Jedoch müssen hier die Teilnetze nicht wie bei der Vergröberung am Netzrand Knoten gleichen Typs aufweisen Diese Abstraktion nennt man Faltung Entsprechend wird das Verdoppeln von Teilnetzen als Entfaltung bezeichnet, wobei zwei gleichstrukturierte Teilnetze entstehen In dem Beispiel aus Abbildung 5 werden die beiden Transitionen t 1 und t 2 zu einer Transition t 12 und die zwei Stellen s 2 und s 3 zu einer Stelle s 23 zusammengelegt Abbildung 5 Beispiel der Faltung/Entfaltung eines Netzgraphen 119 Isomorphismus bei Netzgraphen Da die Wahl der Stellen- und Transitionsbezeichnungen frei wählbar ist, kann es vorkommen, dass zwei völlig unterschiedlich aussehende Netzgraphen von der Struktur her gleich sind Äquivalenz zwischen zwei Netzgraphen N 1 und N 2 besteht genau dann, wenn eine bijektive, kanten-, stellen- und transitionserhaltende Abbildung, also ein Isomorphismus zwischen den Netzgraphen existiert Die beiden Netzgraphen heißen dann isomorph 12 Stellen-Transitions-System Die bisher betrachteten Netzgraphen bieten noch keine ausreichende Möglichkeit der Ablaufmodellierung Abläufe enthalten Dynamik und Veränderung Um diese Möglichkeit der Veränderung in Netzgraphen einzubauen, müssen die Netzgraphen noch erweitert werden Die Hauptidee dabei ist, dass Stellen verschiedene Zustände annehmen können, und sich die Zustände in Abhängigkeit der Zustände benachbarter Stellen und Transitionen ändern können Zeichnerisch werden diese Zustände als Marken in den Stellen dargestellt 121 Definition Ein 6-Tupel Y = ( S, T, F, K, W, M) heißt Stellen-Transitions-System beziehungsweise S/T- System, falls - ( ST,, F ) ein Netzgraph ist N - K: S { }, die Kapazitäten der Stellen eventuell unbeschränkt sind - W : F N Kantengewicht ist - M : S N { } Startmarkierung ist, wobei gilt: s S: M( s) K( s) Bei der grafischen Darstellung werden die Zustände der Stellen dadurch ausgedrückt, indem man die Anzahl M(s) der Marken einer Stelle als Punkte in den Stellenkreis zeichnet Und die Kantengewichte werden an die Kanten geschrieben Unbeschriftete Kanten haben ein Gewicht von eins Die Kapazitäten werden an die Stellen geschrieben Unbeschriftete Stellen haben eine Kapazität von unendlich 122 Erzeuger-Verbraucher-Beispiel für ein Stellen-Transitions-System Das in Abbildung 6 gezeigte Stellen-Transitions- System lässt sich formal wie folgt beschreiben: S = { s, s, s s, s } 1 2 3, 4 5 T = { t1, t2, t3, t4} F = {( t1, s1),( s1, t2),( t2, s2),( s2, t1),( t2, s3), ( s, t ),( t, s ),( s, t ),( t, s ),( s, t )} K = {( s1, ),( s2, ),( s3,6),( s4, ),( s5, )} W = {(( t1, s1),1), (( s1, t2),1), (( t2, s2),1), (( s2, t1),1), (( t2, s3), 2),(( s3, t3),3),(( t3, s4),1), (( s4, t4),1),(( t4, s5),1),(( s5, t3),1)} M = {( s,1),( s,),( s,2),( s,),( s,1)} Abbildung 6 Beispiel eines Stellen- Transitions-Systems Dieses Erzeuger-Verbraucher-System hat einen begrenzten Zwischenspeicher Der eigentliche Produktionsschritt findet in der Transition t 2 statt, wobei zwei Einheiten produziert werden Diese gelangen in den Zwischenspeicher s 3, welcher eine Kapazität von sechs Einheiten hat Für jeden Schritt in t 3 benötigt der Verbraucher je 3 Einheiten aus dem Speicher Die Startmarkierung - 3 -

4 gibt an, dass es einen Erzeuger und einen Verbraucher gibt, und dass bereits zwei Einheiten im Speicher liegen 123 Markierungen und Schaltregeln Damit sich die Zustände ändern können, beziehungsweise die Marken im Netz wandern, werden Schaltregeln definiert Eigentlich sieht es nur so aus als würden die Marken wandern, vielmehr werden n Marken an einer Stelle entnommen und m Marken einer anderen Stelle hinzugefügt Der Eindruck des Wanderns entsteht nur für den Fall: n= m Die Markierung des S/T- Systems ist eine Abbildung M : S N mit s S: M( s) K( s) In einer Markierung M können Transitionen entweder aktiv oder inaktiv sein Eine Transition t T heißt aktiviert unter M, falls: - s i t: M( s) W( s, t), alle Stellen im Vorbereich der Transition besitzen genügend Marken - s ti : M( s) K( s) W( s, t), in allen Stellen des Nachbereiches der Transition ist ausreichend Platz für Marken Ist eine Transition t aktiviert, so können aus dem Vorbereich die entsprechenden Marken entnommen und in den Nachbereich eingefügt werden So entsteht aus einer Markierung M eine Folgemarkierung M Wir sagen dann, t schaltet von M nach M Ms ( ) Wst (, ) fallss its, ti M( s) + W( t, s) falls s ti, s it M (,) s t = M () s W(,) s t + W(, t s) falls s t i i t M ( s) sonst Diese Aktivierungsbedingungen zusammen mit der Definition der Folgemarkierung werden als Schaltregel bezeichnet In dem Erzeuger- Verbraucher-Beispiel aus Abbildung 6 ist die Transition t 3 genau dann aktiviert, wenn im Speicher s 3 mindestens drei Marken sind, und die Stelle s 5 markiert ist Da die Stelle s 4 im Nachbereich eine unendliche Kapazität hat, spielt ihre Markierung keine Rolle Die Stelle s3 im Nachbereich der Transition t 2 dagegen ist in ihrer Kapazität beschränkt, und t2 kann nur schalten, falls höchstens vier Marken in s3 liegen 124 Bedingungs-Ereignis-Systeme Ein Bedingungs-Ereignis-System ist ein eingeschränktes Stellen-Transitions-System Bedingungen haben nur zwei Zustände, entweder sie gelten oder sie gelten nicht Bedingungen können Aussagen über beliebig komplexe Systeme sein und aufgrund von Ereignissen wahr werden oder ihre Gültigkeit verlieren Ereignisse benötigen bestimmte Vorraussetzungen, also erfüllte Vorbedingungen, und führen meist zu vorher nicht erfüllten Nachbedingungen Ein Bedingungs-Ereignis-System ist ein S/T-System Y = ( S, T, F, K, W, M) mit schlingenfreiem, schlichten Netz N = ( S, T, F), K = 1 und W = 1 Eine Stelle kann also nur eine Marke aufnehmen und ist anschließend belegt Stellen werden Bedingungen genannt und die Transitionen entsprechen den Ereignissen Alle Kantengewichte sind Eins So reduziert sich ein Bedingungs- Ereignis-System auf 4-Tupel: ( BEFM,,, ) In diesem Kontext bezeichnet man eine Markierung auch als Fall Ein B/E-System ist leichter zu verstehen als ein S/T-System, da nur endlich viele Fälle existieren 125 Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit Da in einem B/E-System die Stellen nur zwei Zustände haben können, ist es einfach, für eine Bedingung ein Komplement also Gegenteil zu definieren Es gilt folgender Satz: Eine Bedingung b B eines B/E-Systems heißt Komplement b der Bedingung b B, falls ib= b i und ib = bi Der Vorbereich einer Bedingung ist jeweils der Nachbereich ihres Komplements und umgekehrt Ergänzt man ein vorhandenes B/E-System um nicht vorhandene Komplemente für alle Bedingungen, spricht man von Vervollständigung Ein System heißt widerspruchsfrei, falls in allen möglichen Fällen für alle Paare b und b gilt, dass genau einer der beiden Bedingungen markiert ist (Abbildung 7) Abbildung 7 vervollständigtes und widerspruchsfreies B/E-System 126 Schaltfolgen und Häufigkeitsvektoren In Abhängigkeit wie viele Transitionen in einer Markierung aktiviert sind, kann es keine, eine oder mehrere mögliche Folgemarkierungen geben, die - 4 -

5 ihrerseits wiederum Folgemarkierungen haben können Eine solche Reihe von möglichen Folgemarkierungen heißt Schaltfolge Deren erste Markierung ist immer die Startmarkierung M Formal können wir eine Schaltfolge als Tupel hintereinander schaltender Transitionen schreiben: f = ( t2, t1, t1, t5, t3 ) Der Häufigkeitsvektor h= ( h1, h2,, h n ) beschreibt für eine Schaltfolge f die Anzahl der Schaltungen pro Transition, wobei h i die Anzahl der Vorkommnisse der Transition t i in f angibt Zu einem Häufigkeitsvektor können mehrere Schaltfolgen existieren Aber allen Permutationen einer Schaltfolge ist genau ein Häufigkeitsvektor zugeordnet So ist (2,2,2,1) Häufigkeitsvektor für folgende zwei Schaltfolgen des Erzeuger- Verbraucher-Systems aus Abbildung 6: f = ( t, t, t, t, t, t, t ) f2 = ( t2, t1, t2, t3, t4, t1, t3) Sei Y ein Stellen-Transitions-System mit einer Startmarkierung M Eine Markierung M = {( si, k) S N i = 1,2,, n} lässt sich auch als Vektor m darstellen, dessen i - te Komponente die Markenzahl der Stelle s i ist: m= ( M( s1), M( s2),, M( s n )) Für eine erreichbare Markierung m und ein Häufigkeitsvektor h gilt: T m= m + C h Hierbei ist C die Inzidenzmatrix und m die als Vektor dargestellte Startmarkierung von Y Der Schaltfolge f = ( t2, t1, t2, t3) des Erzeuger- Verbraucher-Systems ist der Häufigkeitsvektor (1,2,1,) zugeordnet Es ergeben sich die vier Folgemarkierungen nach jedem Schaltschritt: (,1,4,,1), (1,,4,,1), (,1,6,,1), (,1,3,1,) Und die letzte Markierung erhalten wir unter Verwendung der Gleichung: (,1,3,1,) = (1,, 2,,1) + (1, 2,1,) Erreichbarkeit Alle Markierungen einer Schaltfolge sind erreichbare Markierungen des Systems Und die Menge aller erreichbaren Markierungen aller möglichen Schaltfolgen ist die Erreichbarkeitsmenge des Systems Die Erreichbarkeitsmenge kann, sobald unendliche Kapazitäten existieren, unendlich groß werden Das muss sie aber nicht, wir sehen es im Beispiel aus Abbildung 8 Abbildung 8 System mit endlicher Erreichbarkeitsmenge Sei Startmarkierung M = {( s1,2),( s2,),( s3,)} und man berechnet alle weiteren möglichen Markierungen, dann ergibt sich folgende Erreichbarkeitsmenge: M = {( s,2),( s,),( s,)} M = {( s,1),( s,1),( s,)} M = {( s,),( s,2),( s,)} M = {( s,1),( s,),( s,1)} M = {( s,),( s,1),( s,1)} M5 = {( s1,),( s2,),( s3,2)} Zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen den Markierungen benutzt man einen gerichteten Erreichbarkeitsgraphen, der als Knoten die Markierungen trägt und als Kanten zwischen den Markierungen die schaltenden Transitionen Zu dem S/T-System aus Abbildung 8 gehört der in Abbildung 9 dargestellte Erreichbarkeitsgraph Abbildung 9 Erreichbarkeitsgraph Ein von M ausgehender Pfad im Erreichbarkeitsgraphen entspricht einer Schaltfolge Die Berechnung einer Erreichbarkeitsmenge lässt sich mittels der Breitensuche eines Suchbaumes durchführen Die Wurzel des Suchbaumes entspricht der Startmarkierung M Jede neu gefundene Markierung wird in die Erreichbarkeitsmenge aufgenommen bis alle Folgemarkierungen in dieser Erreichbarkeitsmenge vorhanden sind Würde man mittels Tiefensuche nach den Markierungen suchen, könnte es passieren das nicht alle Markierungen gefunden werden Die Größe der Erreichbarkeitsmenge hängt weniger von der Anzahl der Kanten und Knoten ab, als von den Stellenkapazitäten und Kantengewichten Erreichbarkeitsmengen von B/E-Systemen lassen sich naturgemäß schneller berechnen, da jeweils Kapazität und Kantengewicht nicht größer als Eins sind - 5 -

6 128 Inzidenzmatrix und Adjazenzmatrix Für bestimmte Analysezwecke ist es wichtig von Stellen-Transitions-Systemen eine Inzidenzmatrix zu erstellen Zum Beispiel lassen sich dann Invarianten berechnen Inzidenzmatrizen haben für jede Transition eine Spalte und für jede Stelle eine Zeile Die Einträge der Matrix werden wie folgt bestimmt: c = W( t, s ) W( s, t ) ij j i i j Ist ein Kantengewicht nicht definiert, da die entsprechende Kante in dem jeweiligen S/T- System nicht existiert, wird der Wert Null für dieses Kantengewicht gewählt Der Wert von c ij drückt aus, wie viel Marken beim Schalten von t j der Stelle s i hinzugefügt oder abgezogen werden Bei positiven c ij werden Marken hinzugefügt, bei negativen c ij werden sie der Stelle abgezogen Folgende Matrix ist die Inzidenzmatrix für das Erzeuger-Verbraucher Beispiel C = Sei C eine Matrix, die lediglich angibt, zwischen welchen Knoten eine Kante existiert: c = sgn( c ) ij Alle Einträge der Matrix C sind dann nur Elemente aus der Menge { 1,,1} Die Adjazenzmatrix eines bipartiten Graphen lässt sich durch die Inzidenzmatrix darstellen, wenn wir die Knoten so anordnen, dass zunächst nur Knoten vom einen Typ und dann die des anderen Typs stehen Die Adjazenzmatrix A ist dann eine ( n n) -Matrix, wobei n die Summe aus der Zeilenanzahl und Spaltenanzahl von C ist Sie nimmt folgende Gestalt an: ij C A = T C bezeichnet hierbei eine Matrix geeigneter Dimension, die nur aus Nullen besteht Die folgende Matrix ist die Adjazenzmatrix für das in Abbildung 6 dargestellte Erzeuger-Verbraucher- System A = Es sei A eine ( n n) -Matrix Wir nennen das Polynom f ( ) det( ) A x = x E A charakteristisches Polynom von A Hier ist E die Einheitsmatrix, eine quadratische Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich Eins sind: 1 1 E = 1 Die reellen Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix A heissen die Eigenwerte der Matrix A Weiterhin sei G ein Graph und A seine Adjazenzmatrix mit den Eigenwerten λ1 λn Dann nennen wir λ 1 λ n auch Eigenwerte des Graphen G Ist A eine Matrix, die sich aus der Adjazensmatrix A ergibt, ähnlich definiert wie C : a ij = sgn( aij ) so sind auch alle Einträge der Matrix A nur aus der Menge { 1,,1} C A = T C Kantengewichte bleiben in den Matrizen C und A unberücksichtigt Für Bedingungs-Ereignis- Systeme gilt: C = C beziehungsweise A = A, denn dort sind die Kantengewichte jeweils Eins 129 Invarianten Die Erstellung von Invarianten kommt aus dem Bereich der linear-algebraischen Netzanalyse Es geht dabei um die Frage, ob im Netz Teilmengen von Stellen existieren, deren Gesamtsumme an Marken stets konstant bleibt Diese Frage ist beispielsweise bedeutend für die Modellierung eines Systems, in dem nichts verloren gehen darf Bei S/T-Systemen, die als Kantengewichte nur Eins zulassen, bilden alle zu einem Zyklus gehörenden Stellen eine solche Menge Hier wird die Markenanzahl durch unterschiedliche - 6 -

7 Kantengewichte weder erhöht noch verringert Diese Stellenmengen nennen wir S-Invarianten Ein Beispiel dafür ist die Stellenmenge { s1, s2, s 3} in Abbildung 1 links = 2 3 Entsprechend den S-Invarianten lassen sich auch T-Invarianten für Transitionen berechnen, nur wird hier die Inzidenzmatrix für das lineare Gleichungssystem nicht transponiert: Cy = Abbildung 1 Stellen-Invariante bei Zyklus in S/T-Systemen Bei S/T-Systemen mit gewichteten Kanten ist ein Zyklus kein hinreichender Beweis für die Existenz einer Stellen-Invariante [1] Hier kann sich die Markenzahl auch innerhalb eines Zyklus durch unterschiedliche Kantengewichte ändern Nun soll für die gewichtete Version des Netzes der rechten Seite von Abbildung 1 gelten: 6 M( s1) + 3 M( s2) + 2 M( s3) = 6 Die Summe der mit konstanten Faktoren multiplizierten Markenzahl soll für jede Markierung genau 6 betragen Diese Summe lässt sich auch als Skalarprodukt des Vektors m mit einem anderen Vektor x schreiben: x = (6,3,2,,), x m= 6 Im folgenden soll geprüft werden, ob dies für alle erreichbaren Markierungen m gilt Wir wissen: T m= m+ C h Multipliziert man diese Gleichung mit dem Vektor x, so erhält man T x m= x m+ x C h T Wenn xc = ist, erhält man die gewünschte Bedingung x m= x m für alle erreichbaren Markierungen m In diesem Zusammenhang definieren wir die S-Invariante: Ein Vektor n x Z, x heisst S-Invariante genau dann T wenn xc = S-Invarianten sind also definiert als die Lösungen eines linearen Gleichungssystems mit der Inzidenzmatrix C Sie beschreiben eine Menge von Stellen, deren Gesamtmarkenzahl immer innerhalb fester Grenzen bleibt, nie null oder unendlich gross wird Die triviale Lösung, der Nullvektor ist keine gültige Invariante Für ein S/T-System werden im allgemeinen nur die erzeugenden S-Invarianten also die Basis des Lösungsraumes angegeben Die Linearkombination von S-Invarianten ergibt wiederum eine S-Invariante Für das Beispiel in Abbildung 1 ist die Matrixschreibweise: Kausalität Durch Kausalität wird beschrieben, welche Ereignisse im Sinne einer notwendigen Voraussetzung stattgefunden haben müssen, bevor ein anderes Ereignis stattfinden kann In diesem Sinne unterscheiden wir für das Eintreten von Ereignissen zwischen notwendigen und hinreichenden Voraussetzungen Abbildung 11 kausale Netzsituation Im oberen Beispiel von Abbildung 11 ist das Schalten der Transition t 1 notwendig für das Schalten der Transition t 2 Im Gegensatz dazu ist das Schalten im unteren Beispiel der Transitionen t 3 oder t 4 hinreichend für das Schalten von t Nebenläufigkeit Sind in einer Markierung mehrere Transitionen aktiviert, ist die Reihenfolge, wie sie schalten nicht vorgegeben Wenn sich diese Transitionen durch ihr Schalten nicht beeinflussen also aktivieren oder deaktivieren, ist das Ergebnis unabhängig der Schaltfolge immer gleich Es besteht weder eine notwendige, noch eine hinreichende Kausalität zwischen ihnen Eine Transitionenmenge ist nebenläufig aktiviert, wenn jede Transitionsfolge eine zulässige Schaltfolge ist Man kann die Transitionen dann gleichzeitig schalten Abbildung 12 nebenläufig aktivierte Transitionen

8 Die Transitionenmenge { t 1, t 2, t 3 } ist nebenläufig aktiviert, denn ( t1, t2, t 3), ( t1, t3, t 2), ( t2, t1, t 3) und so weiter sind zulässige Schaltfolgen In allen Fällen ist die entstehende Markierung identisch (Abbildung 12) 1212 Konflikt und Kontakt Wenn mehrere Transitionen aktiviert sind und sich ihre Vorbereiche überschneiden, aber in diesem Vorbereich nicht genug Marken vorhanden sind, um alle aktivierten Transitionen zu schalten, stehen diese im Konflikt zueinander Transitionen stehen also im Konflikt, wenn sie gleichzeitig, aber nicht nebenläufig aktiviert sind Es ist dann nicht festgelegt welche dieser Transitionen schaltet Hier liegt ein lokaler Nichtdeterminismus vor [1] Im Beispiel aus Abbildung 13 (links) haben die zwei im Verzweigungskonflikt stehenden Transitionen t 1 und t 2 eine gemeinsame Eingangsstelle Wegen Markenmangel deaktiviert das Schalten von t 1 die Transition t 2 In Abbildung 13 (mitte) stehen die beiden Transitionen im regulierten Konflikt durch Entscheidungsregel Ein Markenüberschuss kann den sogenannten Wettbewerbskonflikt hervorrufen wie in Abbildung 13 (rechts) Man bezeichnet diesen auch als Kontakt Kontakt kommt dann vor, wenn im Nachbereich mehrerer Transitionen gemeinsame, kapazitäts-beschränkte Stellen liegen { M1, M2,, M k } die Menge aller von M aus erreichbaren Markierungen Das System heißt dann B-sicher, falls gilt: M () s B() s i 1 i k s S Eine Stelle heisst beschränkt, wenn die Markenzahl auf ihr nie eine kritischen Grenze übersteigt Gilt für alle Stellen dieselbe Grenze n, spricht man von n -sicher Also sind alle Stellen eines n -sicheren Systems beschränkt Bei sicheren Systemen wurde der Vor- und Nachbereich der Stellen korrekt modelliert und die Kapazität kann nie überschritten werden Das System heisst beschränkt, falls ein n existiert, so dass das System n -sicher ist Der zu einem beschränkten System gehörende Erreichbarkeitsgraph ist endlich Und die Sicherheit ist in endlicher Zeit berechenbar, falls die Erreichbarkeitsmenge endlich ist Man braucht nur für jede Markierung überprüfen, ob alle Stellen unterhalb der kritischen Grenze liegen Unendliche Erreichbarkeitsmengen können nicht n -sicher sein Wäre die Markenzahl an allen Stellen immer kleiner als n, so kann es nur endlich viele Markierungen geben Diese Idee der Überprüfung von Stellen lässt sich auch auf Transitionen übertragen Möchte man zum Beispiel wissen, ob eine Transition nicht häufiger als n -mal schaltet, wird diese Transition auf ihre n-sicherheit überprüft Die Sicherheit einer Transition wird über eine extra eingefügte Beobachtungsstelle erreicht, die eine unendliche Kapazität hat und bei jedem Schalten der Transition eine weitere Marke hinzu bekommt (Abbildung 14) Abbildung 13 im Konflikt stehende Transitionen Um das unvorhersehbare Ausgehen solcher Konflikte zu lösen, fügt man konfliktlösende Elemente dem Netz hinzu, indem man die Vorbereiche der im Konflikt stehenden Transitionen so erweitert, dass nicht mehr alle beteiligten Transitionen aktiviert werden 1213 Sicherheit und Beschränktheit Formal wird Sicherheit folgendermaßen definiert: Es sei Y = ( S, T, F, K, W, M) ein S/T-System und B: S N { } eine Abbildung, die jeder Stelle eine kritischen Markenzahl zuordnet Weiterhin sei Abbildung 14 Transition t wird durch zusätzliche Stelle s überprüft 1214 Lebendigkeit Eine Transition t eines S/T-Systems heißt tot, wenn sie unter keinen erreichbaren Markierungen aktiviert ist Sie heißt aktivierbar, falls sie mindestens unter einer Markierung aktiviert ist Eine Transition ist lebendig, falls für jede Markierung gilt, dass diese Transition in mindestens einer Folgemarkierung wieder aktivierbar ist Diese Begriffe werden nun für das ganze S/T-System definiert: - Ein S/T-System heißt schwach lebendig oder deadlockfrei, falls unter jeder - 8 -

9 erreichbaren Markierung mindestens eine Transition aktiviert ist - Ein S/T-System heißt lebendig oder stark lebendig, wenn alle Transitionen lebendig sind, also alle Transitionen immer wieder aktiviert werden können - Ein S/T-System ist tot, wenn keine Transition aktiviert ist Eine tote Markierung wird auch Deadlock genannt In nebenläufigen Systemen blockieren sich Prozesse gegenseitig, indem sie aufeinander warten Ein klassisches Beispiel dafür sind 4 Autos an einer Kreuzung ohne Ampel Es lassen sich Eigenschaften über die Lebendigkeit eines Systems am Erreichbarkeitsgraphen zeigen Im Erreichbarkeitsgraphen eines stark lebendigen S/T- Systems ist jede Transition mit mindestens einer Kante vertreten Und eine tote Markierung hat im Erreichbarkeitsgraphen keine abgehenden Kanten 1215 Synchronie In Synchronieaussagen sind Informationen darüber enthalten, wie oft Ereignisse in Abhängigkeit anderer Ereignisse eintreten Zum Beispiel kann man zeigen, wie abhängig zwei Transitionen t 1, t 2 voneinander sind Dazu überprüft man jede aller möglichen Schaltfolgen, wie häufig die jeweilige Transition geschaltet wurde Für jede Schaltfolge lässt sich dann die Differenz der beiden Werte bilden Das Supremum aller Differenzen heißt Synchronieabstand Der Synchronieabstand sagt etwas darüber aus, wie stark das eine Ereignis dem anderen vorauseilt oder das andere hinterherhinkt Je kleiner dieser Abstand, desto synchroner beziehungsweise je größer der Abstand ist, desto asynchroner sind die Ereignisse Zwei alternierende Ereignisse haben den Synchronieabstand von Eins Ungefähr gleichzeitig eintretende Ereignisse haben den Abstand Zwei Treten beide Ereignisse nie ein, haben sie einen Synchronieabstand von Null Der Synchronieabstand erfüllt die Eigenschaften einer Metrik [1] Verhaltensmuster zugrunde liegen muss eingesetzt Die Verwendung der durch Petrinetze gegebenen mathematischen Abstraktion ermöglicht die Wiederverwendung von bereits entwickelten Lösungsansätzen So können beispielsweise gewonnene Erfahrungen bei der Modellierung von beliebigen Arbeitsvorgängen wieder verwendet werden Ein komplexeres Beispiel für die Ablaufmodellierung von allgemeinen Vorgängen ist das im Anhang dargestellte Kalendersystem Jede Markierung dieses Petrinetzes gibt ein entsprechendes Datum an Literatur [1] Projektgruppe Process Landscaping Seminar Petrinetze und Petrinetz-Werkzeuge, 232 [2] Martin, Wiederkehr, Feldmeilen Petrinetze und deren Analyseverfahren, [3] Dipl Ing Dirk Sackmann Operations Research Fachhochschule Braunschweig/ Wolfenbüttel, Fachbereich Wirtschaft Wolfsburg, September 22 [4] Bruno Müller-Clostermann Modelle der Informatik, 1992 Universität Essen, Fachbereich Mathematik und Informatik [5] Dipl Ing Markus König Planung und Steuerung von Arbeitsvorgängen mit Hilfe von Petrinetzen Universität Hannover, Institut für Bauinformatik [6] Martina Gruß, Harald Selke Über die explizite Konstruktion von Expandergraphen Diplomarbeit für den integrierten Studiengang Mathematik im Rahmen des Hauptstudiums HS II, März 1992 [7] H Boseck Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1965 Anhang 2 Schlussfolgerungen Petrinetze bieten eine Darstellung von Abläufen, ohne dass Mehrdeutigkeiten bei der Interpretation aufkommen Durch die formale Definition werden genaue mathematische Analysen und Korrektheitsbeweise ermöglicht Das Verstehen von Abläufen und Entdecken von Denkfehlern erfolgt durch die schrittweise Simulation Petrinetze werden für die Modellierung von in Software stattfindenden Abläufen, die Darstellung von geschäftslogischen Prozessen und allgemeinen Vorgängen, denen nicht zwangsweise ein - 9 -

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