Algorithmen I. Prof. Jörn Müller-Quade Institut für Theoretische Informatik Web:

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1 Algorithmen I Prof. Jörn Müller-Quade Institut für Theoretische Informatik Web: (Folien von Peter Sanders) KIT Institut für Theoretische Informatik

2 Kap. 8: Repräsentation von Graphen Einleitung 736 stellt L. Euler die folgende touristische Frage: Straÿen- oder Computernetzwerke Zugverbindungen (Raum und Zeit) Soziale Netzwerke (Freundschafts-, Zitier-, Empfehlungs-,... ) Aufgabenabhängigkeiten Scheduling-Probleme Werte und arithmetische Operationen Compilerbau... KIT Institut für Theoretische Informatik

3 Repräsentation von Graphen self loop s t Was zählt, sind die Operationen! H w z w y x Eine triviale Repräsentation Felder v v G u Verkettete Listen u s x K 5 Matrizen Implizit w v U t Diskussion u u K 3,3 w v undirected w v bidirected KIT Institut für Theoretische Informatik 3

4 Notation und Konventionen Graph G = ( }{{} V, }{{} E ): Knoten Kanten n = V m = E Knoten: s,t,u,v,w,x,y,z Kanten e E. Oder: Knotenpaare (manchmal Knotenmengen der Gröÿe ) KIT Institut für Theoretische Informatik 4

5 Notation und Konventionen Graph G = ( }{{} V, }{{} E ): Knoten Kanten n = V m = E Knoten: s,t,u,v,w,x,y,z Kanten e E. Oder: Knotenpaare (manchmal Knotenmengen der Gröÿe ) WICHTIG: Buchstabenzuordnungen sind unverbindliche Konvention Manchmal werden ganz andere Buchstaben verwendet. Im Zweifel immer genau sagen, was was ist. Das gilt für die ganze theoretische Informatik! KIT Institut für Theoretische Informatik 4

6 Ungerichtete gerichtete Graphen Meist repräsentieren wir ungerichtete Graphen durch doppelt gerichtete Graphen wir konzentrieren uns auf gerichtete Graphen KIT Institut für Theoretische Informatik 5

7 Operationen Ziel: O(Ausgabegröÿe) für alle Operationen Grundoperationen: Statische Graphen: Konstruktion, Konversion und Ausgabe (O(m + n) Zeit) Navigation: Gegeben v, nde ausgehende Kanten. Dynamische Graphen: Knoten/Kanten einfügen/löschen s y z w v x t u KIT Institut für Theoretische Informatik 6

8 Weitere Operationen Zugri auf assoziierte Information s z 4 v t Mehr Navigation: Finde eingehende Kanten Kantenanfragen: (z,x) E? 7 y 6 5? w x 5 3 u KIT Institut für Theoretische Informatik 7

9 Kantenfolgenrepräsentation Folge von Knotenpaaren (oder Tripel mit Kantengewicht) + kompakt + gut für I/O Fast keine nützlichen Operationen auÿer alle Kanten zu durchlaufen Beispiele: Übung: isolierte Knoten suchen, Kruskals MST-Algorithmus (später), Konvertierung. u (u,v),(v,w),(w,u),(u,w) w v KIT Institut für Theoretische Informatik 8

10 Adjazenzfelder V =..n oder 0..n Kantenfeld E speichert Ziele und zwar gruppiert nach Startknoten V speichert Index der ersten ausgehenden Kante Dummy-Eintrag V [n + ] speichert m + 4 V n 5=n E m 7=m+ Beispiel: Ausgangsgrad(v) = V[v + ] V[v] KIT Institut für Theoretische Informatik 9

11 Kantenliste Adjazenzfeld Zur Erinnerung: KSort (BucketSort) Function adjacencyarray(edgelist) V=,0,...,0 : Array [..n + ] of N foreach (u,v) EdgeList do V [u]++ for v := to n + do V [v] += V [v ] foreach (u,v) EdgeList do E[ V [u]] = v return (V,E) // count // prefix sums // place 4 V n 5=n E m 7=m+ KIT Institut für Theoretische Informatik 0

12 Beispiel 3 4 n 5=n+ V count prefix sum distribute V E m 7=m+ KIT Institut für Theoretische Informatik

13 Operationen für Adjanzenzfelder Navigation: einfach Kantengewichte: E wird Feld von Records (oder mehrere Felder) Knoteninfos: V wird Feld von Records (oder mehrere Felder) a d c e b f 3 n 5=n+ 4 V E m w a b c d e f 7=m+ KIT Institut für Theoretische Informatik

14 Operationen für Adjanzenzfelder Navigation: einfach Kantengewichte: E wird Feld von Records (oder mehrere Felder) Knoteninfos: V wird Feld von Records (oder mehrere Felder) Eingehende Kanten: umgedrehten Graphen speichern Kanten löschen: explizite Endindizes Batched Updates: neu aufbauen a d c e b f 3 n 5=n+ 4 V E m w a b c d e f 7=m+ KIT Institut für Theoretische Informatik

15 Kantenanfragen Hashtabelle H E speichert (ggf. zusätzlich) alle Kanten. Unabhängig von der sonstigen Graphrepräsentation KIT Institut für Theoretische Informatik 3

16 Adjazenzlisten speichere (doppelt) verkettete Liste adjazenter Kanten für jeden Knoten. + einfaches Einfügen von Kanten + einfaches Löschen von Kanten (ordnungserhaltend) mehr Platz (bis zu Faktor 3) als Adjazenzfelder mehr Cache-Misses n n m KIT Institut für Theoretische Informatik 4

17 Adjazenzlisten aufrüsten Knotenlisten für Knotenupdates Eingehende Kanten Kantenobjekte (in globaler Kantenliste) Zeiger auf Umkehrkante 0 3 E list out list in list rev from to (0,) (0,) 0 0 V list first first deg deg out in out in (,) 0 (,3) (,) (,3) KIT Institut für Theoretische Informatik 5

18 Customization (Zuschneiden) Anpassen der (Graph)Datenstruktur an die Anwendung. Ziel: schnell, kompakt. benutze Entwurfsprinzip: make the common case fast Listen vermeiden Mögliches Problem: Software-Engineering-Alptraum Möglicher Ausweg: Trennung von Algorithmus und Repräsentation KIT Institut für Theoretische Informatik 6

19 Beispiel: DAG-Erkennung Beispiel aus Notations-Kapitel (generisch, leicht variiert): Function isdag(g = (V,E)) while v V : indegree(v) = 0 do invariant G is a DAG i the input graph is a DAG V := V \ {v} E:= E \ ({v} V V {v}) return V =0 KIT Institut für Theoretische Informatik 7

20 Beispiel: DAG-Erkennung Function isdag(g = (V, E)) // Adjazenzarray! dropped:= 0 compute array indegree of indegrees of all nodes// Zeit O(m + n)! droppable={v V : indegree[v] = 0} : Stack while droppable /0 do invariant G is a DAG i the input graph is a DAG v:= droppable.pop dropped++ foreach edge (v,w) E do indegree[w] if indegree[w] = 0 then droppable.push(w) return V = dropped Laufzeit: O(m + n) (auch ohne dynamische Graphdatenstruktur!) KIT Institut für Theoretische Informatik 8

21 Adjazenz-Matrix A {0,} n n with A(i,j) = [(i,j) E] + platzezient für sehr dichte Graphen platzinezient sonst. Übung: was bedeutet sehr dicht hier? + einfache Kantenanfragen langsame Navigation ++ verbindet lineare Algebra und Graphentheorie Beispiel: C = A k. C ij =# k-kanten-pfade von i nach j Wichtige Beschleunigungstechniken: O(log k) Matrixmult. für Potenzberechnung Matrixmultiplikation in subkubischer Zeit, z. B., Strassens Algorithmus KIT Institut für Theoretische Informatik 9

22 Pfade zählen mittels LA Adjanzenzmatrix: A {0,} n n mit A(i,j) = [(i,j) E] Sei C:= A k. Behauptung: C ij =# k-kanten-pfade von i nach j. Beweis: IA (k = ) C = A = A stimmt nach Denition von A. Schluss k k + : C ij = (A k A) ij = A k ila lj l A k il =#k-kanten-pfade von i nach l (nach IV). A k il A lj =#k + -Kanten-Pfade von i nach j mit (l,j) als letzter Kante. Jede mögliche letzte Kante wird genau einmal gezählt. Übung: zähle Pfade der Länge k KIT Institut für Theoretische Informatik 0

23 Beispiel, wo Graphentheorie bei LA hilft Problemstellung: löse Bx = c Sei G = (..n,e = {{i,j} : B ij 0}) Nehmen wir an, G habe zwei Zusammenhangskomponenten tausche Zeilen und Spalten derart, dass ( )( ) ( ) B 0 x c = 0 B x c zu lösen bleibt. Übung: Was passiert, wenn (..n,e = {(i,j) : B ij 0}) ein DAG ist? KIT Institut für Theoretische Informatik

24 Implizite Repräsentation Kompakte Repräsentation möglicherweise sehr dichter Graphen Implementiere Algorithmen direkt mittels dieser Repräsentation Beispiel: Intervall-Graphen Knoten: Intervalle [a,b] R Kanten: zwischen überlappenden Intervallen KIT Institut für Theoretische Informatik

25 Zusammenhangstest für Intervallgraphen V = {[a,b ],...,[a n,b n ]} E = {{[a i,b i ],[a j,b j ]} : [a i,b i ] [a j,b j ] /0} Idee: durchlaufe Intervalle von links nach rechts. Die Anzahl überlappender Intervalle darf nie auf null sinken. Annahme: Startpunkte in Sortierung vor Endpunkten! Function isconnected(l : SortedListOfIntervalEndPoints) : {0, } remove rst element of L; overlap := foreach p L do if overlap= 0 return false if p is a start point then overlap++ else overlap // end point return true O(n logn) Algorithmus für bis zu O ( n ) Kanten! Übung: Zusammenhangskomponenten nden KIT Institut für Theoretische Informatik 3

26 Beispiel Function isconnected(l : SortedListOfIntervalEndPoints) : {0, } remove rst element of L; overlap := foreach p L do if overlap= 0 return false if p is a start point then overlap++ else overlap // end point return true KIT Institut für Theoretische Informatik 4

27 Graphrepräsentation: Zusammenfassung Welche Operationen werden gebraucht? Wie oft? Adjazenzarrays gut für statische Graphen Pointer exibler, aber auch teurer Matrizen eher konzeptionell interessant KIT Institut für Theoretische Informatik 5

28 Kap. 9: Graphtraversierung Ausgangspunkt oder Baustein fast jedes nichttrivialen Graphenalgorithmus KIT Institut für Theoretische Informatik 6

29 Graphtraversierung als Kantenklassizierung forward s tree backward cross KIT Institut für Theoretische Informatik 7

30 Graphtraversierung als Kantenklassizierung Baumkanten: Elemente des Waldes, der bei der Suche gebaut wird Vorwärtskanten: verlaufen parallel zu Wegen aus Baumkanten Rückwärtskanten: verlaufen antiparallel zu Wegen aus Baumkanten Querkanten: alle übrigen forward s tree backward cross KIT Institut für Theoretische Informatik 8

31 Breitensuche Baue Baum von Startknoten s, der alle von s erreichbaren Knoten mit möglichst kurzen Pfaden erreicht. Berechne Abstände: s b c d e f g tree backward cross forward 0 3 KIT Institut für Theoretische Informatik 9

32 Breitensuche Einfachste Form des Kürzeste-Wege-Problems Umgebung eines Knotens denieren (ggf. begrenzte Suchtiefe) Einfache, eziente Graphtraversierung (auch wenn Reihenfolge egal) s b c d e f g tree backward cross forward 0 3 KIT Institut für Theoretische Informatik 30

33 Breitensuche Algorithmenidee: Baum Schicht für Schicht aufbauen s b c d e f g tree backward cross forward 0 3 KIT Institut für Theoretische Informatik 3

34 Function bfs(s) : Q:= s // aktuelle Schicht while Q do exploriere Knoten in Q merke dir Knoten der nächsten Schicht in Q Q:= Q s b c d e f g tree backward cross forward 0 3 KIT Institut für Theoretische Informatik 3

35 Repräsentation des Baums Feld parent speichert Vorgänger. noch nicht erreicht: parent[v] = Startknoten/Wurzel: parent[s] = s s b c e g tree parent d f KIT Institut für Theoretische Informatik 33

36 Function bfs(s : NodeId) : (NodeArray of NodeId) (NodeArray of N 0 { }) d=,..., : NodeArray of N 0 { }; d[s]:= 0 parent=,..., : NodeArray of NodeId; parent[s]:= s Q = s,q = : Set of NodeId // current, next layer for (l := 0; Q ; l++ ) invariant Q contains all nodes with distance l from s foreach u Q do foreach (u,v) E do // scan u if parent(v) = then // unexplored Q := Q {v} d[v]:= l + ; parent(v):= u (Q,Q ):= (Q, ) // next layer return (parent,d) // BFS = {(v,w) : w V,v = parent(w)} KIT Institut für Theoretische Informatik 34

37 Repräsentation von Q und Q mittels FIFO Q,Q einzelne FIFO-Queue Standardimplementierung in anderen Büchern + Oberächlich einfach Korrektheit mglw. weniger evident Übung! = Ezient (?) Übung: ausprobieren! KIT Institut für Theoretische Informatik 35

38 Alternative Repräsentation von Q und Q Zwei Stapel Schleife ausrollen loop Q Q ; Q Q Beide Stapel in ein Feld der Gröÿe n Q Q KIT Institut für Theoretische Informatik 36