3. Inkrementelle Algorithmen
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- Kurt Geiger
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1 3. Ikremetelle Algorithme Defiitio 3.1: Bei eiem ikremetelle Algorithmus wird sukzessive die Teillösug für die erste i Objekte aus der bereits bekate Teillösug für die erste i-1 Objekte berechet, i=1,,. Beispiel Mi-Search: Objekte sid Eiträge des Eigabearrays. Teilproblem bestehed aus erste i Objekte bedeutet Miimum im Teilarray A[1..i] bestimme. 1
2 Sortiere ud ikremetelle Algorithme Eigabe beim Sortiere: Folge vo Zahle (a,a 1 2,,a ). Ausgabe beim Eigabefolge, so dass b Sortiere:Umordug (b,b 1 b 2 b. 1 2,,b ) der Sortieralgorithmus : Verfahre, das zu jeder sortierte Umordug (b,b berechet. 1 Folge (a,a 2,,b 1 ) 2,,a ) Eigabe: (31,41,59,26,51,48) Ausgabe: (26,31,41,48,51,59) 2
3 Isertio-Sort Idee: Sukzessive wird eie Sortierug der Teilarrays A[1..i], 1 i legth(a) berechet. Isertio - Sort( A) for j 2 to legth( A) do key A[ j] Füge A[ j] i die sortierte Folge A[1..j i j 1 while i > 0 ad A[ i] > key do A[ i + 1] A[ i] i i 1 A[ i + 1] key 1] ei. 3
4 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beispiel:
5 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beispiel:
6 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 Beispiel:
7 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel:
8 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key 8
9 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key 9
10 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key 10
11 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key 11
12 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel:
13 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key 13
14 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 i j Beispiel: key=3 14
15 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 i j Beispiel: key=3 15
16 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 i j Beispiel: key=3 16
17 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key=3 17
18 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key=3 18
19 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key=3 19
20 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i 1 j Beispiel: key=3 20
21 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i 1 j Beispiel: key=3 21
22 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key=3 22
23 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: Sortiert 23
24 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key Sortiert 24
25 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key=14 Sortiert 25
26 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 j-1 j Beispiel: Sortiert key=14 26
27 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 j-1 j Beispiel: Sortiert key=14 27
28 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 i j-1 j Beispiel: Sortiert key=14 28
29 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 i i+1 j Beispiel: key=14 29
30 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 i i+1 j Beispiel: key=14 30
31 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 i i+1 j Beispiel: key=14 31
32 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert 32
33 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7 Sortiert 33
34 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7 Sortiert 34
35 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7 35
36 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7 36
37 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7 37
38 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert 38
39 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert key=6 39
40 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6 40
41 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6 41
42 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6 42
43 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6 43
44 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert 44
45 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel:
46 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 Beispiel: Sortiert 46
47 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 Beispiel: Sortiert 47
48 Ivariate bei Isertio-Sort A 0 [i] : afäglicher i-ter Wert vo Array A A[i] : aktueller i-ter Wert vo Array A Ivariate I(j): A[1..j-1] ethält die Zahle i A 0 [1..j-1] i sortierter Reihefolge. Iitialisierug: afags gilt offesichtlich I(2) (ur das erste Elemet ist sortiert) ud damit auch I(j) für j=2. Erhaltug: we am Afag der for-schleife I(j) gilt, da gilt am Ede der for-schleife I(j+1). Termiierug: Am Ede gilt I(legth(A)+1) d.h. A[1.. legth(a)] ethält die sortierte Zahle i A 0 [1..legth(A)], woraus die Korrektheit folgt. 48
49 Ivariate bei Isertio-Sort Satz 3.2 Isertio-Sort sortiert eie Folge vo Zahle aufsteiged. Beweis: Wir zeige, dass die Schleifeivariate I(j) alle Aforderuge erfüllt. Die Iitialisierugs- ud Termiierugsaforderuge der Schleifeivariate I(j) gelte offesichtlich (sofer die Erhaltug gilt). Es bleibt, die Erhaltug der Schleifeivariate zu beweise. 49
50 Ivariate bei Isertio-Sort Erhaltug (j j+1): Ageomme I(j) gelte am Afag der Schleife für ei j Isertiosort merkt sich A[j] i Variable key Sei 1 k j-1 der kleiste Idex mit A[k]>key oder k=j, falls ei solcher icht existiert Der Algorithmus verschiebt A[k,..,j-1] ach A[k+1,..,j] Da wird A[k] auf de Wert key gesetzt Daach gilt: (1) A[1] A[2] A[k-1] wege Aahme I(j) obe (2) A[k-1] A[k] A[k+1] ach Ablauf der Schleife (3) A[k+1] A[k+2] A[j] wege Aahme I(j) obe Aus (1)-(3) folgt I(j+1) ud damit die Erhaltug. Formale Aalyse (ächste Seite): 50
51 Ivariate bei Isertio-Sort Isertio-Sort(A) 1 I(2) for j 2 to legth(a) do I(j) 2 key A[j] I(j) key=a 0 [j] 3 i j-1 j=2 ( I(j,i): A[1..i,i+2..j] ethält sortierte Zahle i A 0 [1..j-1] ) key=a 0 [j] 4 while i>0 ad A[i]>key do I(j,i) key=a 0 [j] key<a[i] i>0 5 A[i+1] A[i] I(j,i-1) key=a 0 [j] key<a[i+1] i>0 6 i i-1 I(j,i) key=a 0 [j] key<a[i+2] i 0 Fall (a): i=0 I(j,0) key=a 0 [j] key<a[2] Fall (b): A[i] key I(j,i) key=a 0 [j] A[i] key<a[i+2] 7 A[i+1] key I(j+1) I(legth[A]+1) A[1..legth[A]] ethält die sortierte Zahle vo A 0 [1..legth[A]] Iitialisierug Erhaltug Termiierug d.h. Algo korrekt 51
52 Isertio-Sort Aalyse (1) Isertio - Sort( A) cost times for j 2 to legth(a) do key A[ j] Eifüge vo A i j 1 [ j] [ ] while i > 0 ad A i [ + 1] A[ i] 1. [ + 1] key c -1 A i do A i i i > key c c c c c 1 c j = 2 j = 2 j = 2 t (t (t j j j 1) 1) Hierbei ist t j j die Azahl der Durchläufe der Abfrage i Zeile 5. 52
53 Isertio-Sort Aalyse (2) Satz 3.3. Isertio-Sort besitzt worst case Laufzeit ( 2 ) Θ. Für de Beweis ist zu zeige: 1. Es gibt ei c2, so dass die Laufzeit vo Isertio - Sort bei alle Eigabe der 2 Größe immer höchstes c ist. 2.Es gibt ei c1, so dass für alle eie Eigabe I der Größe existiert bei der Isertio - Sort midestes Laufzeit 2 c besitzt
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