Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

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1 Dr. Jürge Seger IDUKTIVE STTISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUG - LÖSUGE erutatioe. zahl der erutatioe vo verschiedefarbige erle!! 0. zahl der erutatioe vo 0 uerierte Kugel! 0! Die Wahrscheilichkeit, die 0 Kugel zufällig i eier bestite Reihefolge zu ziehe, beträgt! , zahl der erutatioe vo siebe Bücher auf eie Bücherregal! 7!.00. zahl der erutatioe vo sechs Bildertitel!! 70 Die Wahrscheilichkeit, die Titel zufällig richtig zuzuorde, beträgt! 70 0,009. zahl der erutatioe der Buchstabe des Wortes "ISSISSII" Das Wort ISSISSII besteht aus Buchstabe Die Buchstabe sid icht alle verschiede, soder bestehe aus Klasse utereiader gleicher Buchstabe I I I I,,, S S S S

2 ÜBUG - LÖSUGE Die Zahl der erutatioe beträgt daher!!!!! !!!!!.. Zahl der erutatioe der Kugel i eier Ure: a. we die Reihefolge der Kugel beliebig ist!!! 0! !!!!.0 b. we die gleichfarbige Kugel ebeeiader ageordet werde!! Die gleichfarbige Kugel köe als eie Kugel aufgefaßt werde, da die erutatioe, die dadurch etstehe, daß die gleichfarbige Kugel utereiader vertauscht werde, icht uterschiede werde köe. 7. zahl der orduge vo sechs verschiedee BWL-, vier verschiedee VWL- ud zwei verschiedee Statistik-Bücher auf eie Regal: a. we die Reihefolge beliebig ist.!! b. we die Bücher aus jede Fachgebiet zusaestehe üsse. Wir bereche die erutatioe der Bücher i jeder Gruppe, die dadurch etstehe, daß die BWL-, die VWL- ud die Statistik-Bücher utereiader vertauscht werde BWL:! 70 VWL:! Statistik:! ud die erutatioe der drei Büchergruppe Fachgebiete! Die Zahl der ögliche orduge beträgt da!!!!!!!!

3 ÜBUG - LÖSUGE c. we ur die vier VWL-Bücher zusaestehe üsse. Die vier VWL-Bücher werde wie ei dickes Buch behadelt. Die Zahl der "Bücher" beträgt da ud die Zahl ihrer erutatioe ist! 9! uch we die VWL-Bücher zusaestehe üsse, köe sie auf verschiedee Weise ageordet werde. Daher üsse wir och die erutatioe berücksichtige, die durch Vertauschug der vier VWL-Bücher utereiader etstehe ud ultipliziere das Ergebis it!!!! 9! Kobiatioe ohe Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug 8. zahl der ordug vo 0 Leute auf eier Bak it Sitzplätze Es geht u die Frage, wie viele öglichkeite es gibt, aus 0 ersoe auszuwähle, we die Reihefolge beachtet werde soll. Zu bereche ist die zahl der Kobiatioe. Ordug vo 0 Eleete ohe Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug! 0! 0! k! 0!! zahl der Siegerliste latz - bei 0 aschafte Wie viele öglichkeite es gibt, aus 0 aschafte uter Beachtug der Reihefolge auszuwähle. Zu bereche ist die zahl der Kobiatioe. Ordug vo 0 Eleete ohe Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug! 0! 0! k! 0! 7! Wahrscheilichkeit, die sechs Tabelleerste der Budesliga i der richtige Reihefolge vorherzusage Zu bereche ist zuächst die zahl der Kobiatioe. Ordug vo 8 Eleete Budesligaklubs ohe Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug

4 ÜBUG - LÖSUGE! 8! 8!..080 k! 8!! Die Wahrscheilichkeit für eie dieser Kobiatioe ud dait die Wahrscheilichkeit, die Erstplazierte i der richtige Reihefolge vorherzusage, beträgt 7,0 8 0, !..080 k! Für die drei Tabelleerste der Budesliga gilt! 8! 8!.89 k! 8!!! k!.89 0,0000. zahl der füfstellige Zahle aus de Ziffer bis 9 ohe Wiederholug a. we jede Zahl zulässig ist. Zu bereche ist die zahl der Kobiatioe. Ordug vo 9 Eleete Ziffer ohe Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug! 9! 9!.0 k! 9!! b. we die Zahle gerade sei solle. Es gibt gerade Edziffer. Wir begie daher it der letzte Stelle: Es gibt öglichkeite, die letzte Stelle zu besetze. Da bleibe och 8 Ziffer für die. Stelle, 7 für die., für die. ud für die. Stelle übrig. 8! 8! 87.70!! c. we die erste beide Ziffer jeder Zahl ugerade sei solle. Es gibt ugerade Ziffer. Wir begie it der. Stelle: Es gibt öglichkeite, die. Stelle it eier ugerade Ziffer zu besetze. Für die. Stelle bleibe och ugerade Ziffer übrig. Da habe wir och 7 Ziffer für die. Stelle, für die. ud für die. Stelle.! 7! ! 7!

5 ÜBUG - LÖSUGE. Wahrscheilichkeit, daß vo 0 ersoe ehrere a gleiche Tag Geburtstag habe Wir uterscheide das Ereigis, daß idestes ersoe vo 0 a gleiche Tag Geburtstag habe das Ereigis, daß alle 0 ersoe a verschiedee Tage Geburtstag habe die ege aller ögliche orduge vo 0 Geburtstage Zuächst bereche wir die Gesatzahl der Fälle, d.h. der ögliche orduge der 0 Geburtstage. Da jede der 0 ersoe a jede Tag i Jahr Geburtstag habe ka, ist das die Zahl der Kobiatioe 0er Ordug vo ubeschräkt wiederholbare Eleete it Berücksichtigug der ordug. 0,97 0 Die Berechug der Fälle, i dee eitritt, wäre sehr aufwedig. Dazu üßte die Zahl der Fälle, i dee,, usw. schließlich alle 0 ersoe a eie Tag Geburtstag habe, erittelt werde. Eifacher ist es, die Zahl der Fälle zu bereche, i dee das Kopleetärereigis eitritt, daß also alle 0 ersoe a verschiedee Tage Geburtstag habe. Das ist die Zahl der Kobiatioe 0er Ordug vo Eleete ohe Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug.!...,700 0! Die Wahrscheilichkeit, daß alle 0 ersoe a verschiedee Tage Geburtstag habe, beträgt da! 0!,700 0,8807 0,970 Da ist die Wahrscheilichkeit, daß idestes ersoe a gleiche Tag Geburtstag habe 0,988 llgeei beträgt die Wahrscheilichkeit dafür, daß idestes vo k ersoe a gleiche Tag Geburtstag habe! k!. k k.. k

6 ÜBUG - LÖSUGE Kobiatioe ohe Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der ordug. Wahrscheilichkeit, bei ittwochs-lotto sechs Richtige zu habe Die zahl der Tippöglichkeite bei der Ziehug vo aus Zahle beträgt! k!! Es hadelt sich u die zahl der Kobiatioe. Ordug vo verschiedee Eleete ohe Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der ordug. Da es zwei uabhägige Ziehuge gibt, uterscheide wir die Ereigisse Richtige bei Ziehug i ; i, i Die Wahrscheilichkeit, bei eier Ziehug Richtige zu habe, daß also eie der ögliche Zahlekobiatioe gezoge wird, beträgt bei jeder Ziehug i Das Ereigis, bei Ziehuge Richtige zu habe, bedeutet bei idestes eier Ziehug Richtige zu habe ud etspricht der Vereiigug vo ud. Da die Ereigisse ud icht disjukt sid, es ist ja öglich bei der. ud der. Ziehug Richtige zu habe, berechet sich die Wahrscheilichkeit, bei weigstes eier der beide Ziehuge Richtige zu habe, ach de dditiossatz Da die Ereigisse ud uabhägig sid, die Kugel werde ach der. Ziehug i die Ure zurückgelegt, gilt der ultiplikatiossatz für stochastisch uabhägige Ereigisse Die Wahrscheilichkeit des gleichzeitige Eitretes vo ud, also bei der. ud der. Ziehug Richtige zu habe, ist gleich de rodukt der Eizelwahrscheilichkeite. Die Wahrscheilichkeit, bei weigstes eier vo zwei Ziehuge Richtige zu habe, beträgt da

7 ÜBUG - LÖSUGE ,0870,08080, ,087 0,80 0, zahl der öglichkeite, füf Karte aus eie Skatspiel zu gebe Bei Kartegebe ka jede Karte ur eial gegebe werde ud kot es auf die Reihefolge, i der die Karte gegebe werde, icht a. Zu bereche ist daher die zahl der Kobiatioe. Ordug vo Eleete Karte ohe Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der ordug.!! 0.7 k!!! 7!. zahl der öglichkeite aus siebe Betriebswirte ud füf Volkswirte eie usschuß it drei Betriebswirte ud zwei Volkswirte zu bilde Wir bezeiche die Zahle der Betriebswirte ud Volkswirte wie folgt 7 B b V v Zahl der wählbare Betriebswirte Zahl der gewählte Betriebswirte Zahl der wählbare Volkswirte Zahl der gewählte Volkswirte a. We jeder Betriebswirt ud jeder Volkswirt i de usschuß gewählt werde ka, da beträgt die Zahl der öglichkeite B V b v b. We ei bestiter Betriebswirt i usschuß sei uß, beträgt die Zahl der öglichkeite B V b v 7 0 0

8 ÜBUG - LÖSUGE 8 c. We zwei bestite Volkswirte icht i usschuß sei köe, beträgt die Zahl der öglichkeite v V b B. zahl der öglichkeite, bei eier Klausur vo 0 Frage i beliebiger Reihefolge zu beatworte!! 0! 0 k 7. Wahrscheilichkeit bei Ziehe Gebe vo füf Karte aus eie Skatspiel a. Die Wahrscheilichkeit, daß uter de gegebee Karte vier sse sid, beträgt 0, Dabei bedeute Zahl der Karte i eie Skatspiel Zahl der gegebee Karte Zahl der sse i eie Skatspiel Zahl der gegebee sse b. Die Wahrscheilichkeit, daß uter de gegebee Karte Zehe ud Bube sid, beträgt 0, Dabei bedeute Zahl der Zehe i eie Skatspiel Zahl der gegebee Zehe Zahl der Bube i eie Skatspiel Zahl der gegebee Bube

9 ÜBUG - LÖSUGE 9 c. Die Wahrscheilichkeit, daß uter de gegebee Karte Zeh, Bube, Dae, Köig, s i beliebiger Reihefolge sid, beträgt 0, Dabei bedeute i Zahl der Zehe, Bube, Dae, Köige ud sse i eie Skatspiel i Zahl der gegebee Zehe, Bube, Dae, Köige ud sse d. Die Wahrscheilichkeit, daß uter de gegebee Karte weigstes ei s ist, bereche wir it Hilfe der Kopleetärwahrscheilichkeit, daß uter de gegebee Karte kei s ist. 0, 0, Dabei bedeute Zahl der Karte i eie Skatspiel Zahl der gegebee Karte Zahl der sse i eie Skatspiel Zahl der gegebee sse

10 ÜBUG - LÖSUGE 0 8. Wahrscheilichkeite bei Ziehe ohe Zurücklege aus eier Ure Die Ure ethält acht rote, drei weiße ud eu blaue Kugel. Drei Kugel werde ohe Zurücklege gezoge. Die Wahrscheilichkeit r rote, w weiße ud b blaue Kugel zu ziehe, beträgt ach de Ureodell Dabei bedeute R W B r w b 0 R 8 W B 9 die Zahl der Kugel i der Ure die Zahl der rote Kugel i der Ure die Zahl der weiße Kugel i der Ure die Zahl der blaue Kugel i der Ure die Zahl der gezogee Kugel a. Die Wahrscheilichkeit, zwei rote ud eie weiße Kugel zu ziehe, beträgt , b. Die Wahrscheilichkeit, eie rote, eie weiße ud eie blaue Kugel zu ziehe, beträgt , c. Die Wahrscheilichkeit, ur weiße Kugel zu ziehe, beträgt ,

11 ÜBUG - LÖSUGE 9. Gewichace bei Zahlelotto aus 9 a. Die Wahrscheilichkeit, drei Richtige zu habe, beträgt , b. Die Wahrscheilichkeit, füf Richtige it Zusatzzahl zu habe, beträgt , , Die Wahrscheilichkeit ist sechsal so groß, wie die Wahrscheilichkeit Richtige zu habe. 0. Qualitätskotrolle Eier aus 0 Eiheite bestehede Warelieferug werde bei der Qualitätskotrolle drei Eiheite zufällig etoe ohe Zurücklege atürlich!. Die Lieferug wird zurückgewiese, we ehr als eie überprüfte Eiheit fehlerhaft ist. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, daß eie Lieferug it % usschuß akzeptiert wird? Bei dieser Qualitätskotrolle wird eie Lieferug ageoe, we höchstes eie defekte Eiheit, d.h. keie oder eie defekte Eiheit festgestellt wird. Wir üsse daher die Zahl der öglichkeite bereche, daß vo etoee Eiheite keie oder eie Eiheit defekt ist. Daher uterscheide wir die Ereigisse alle Eiheite fehlerfrei zwei Eiheite fehlerfrei, fehlerhaft ach de dditiossatz für disjukte Ereigisse xio, ergibt sich die Wahrscheilichkeit der Vereiigug der Ereigisse ud als Sue der Eizelwahrscheilichkeite:

12 ÜBUG - LÖSUGE ,899 0, Kobiatioe it Wiederholug ud it Berücksichtigug der ordug. Wahrscheilichkeit, ei dreistelliges Zahleschloß bei erste Versuch zu öffe Hier geht es u die Frage, wie viele dreistellige Zahle sich aus de Ziffer 0 bis 9 bilde lasse. I Uterschied zu ufgabe ist u die Wiederholug der Ziffer zulässig. Jede Ziffer ka ehrfach, d.h. a zwei oder alle drei Stelle auftrete. Zu bereche ist also die Zahl der Kobiatioe. Ordug vo 0 ubeschräkt wiederholbare Eleete Ziffer it Berücksichtigug der ordug k Die Wahrscheilichkeit, daß bei. Versuch zufällig die richtige Kobiatio gewählt wird, beträgt also k 000 0,00. Wahrscheilichkeit, eie vierstellige i-uer bei drei Versuche zu fide Die zahl der vierstellige i-uer beträgt k Wir bezeiche it i das Ereigis, bei i-te Versuch die richtige i-uer zu fide i das Ereigis, bei i-te Versuch die richtige i-uer icht zu fide Wir bereche zuächst die Kopleetärwahrscheilichkeit, bei drei Versuche die richtige i-uer icht zu fide. B / 0 0 / 0 0 0

13 ÜBUG - LÖSUGE Die Wahrscheilichkeit, bei drei Versuche die richtige i-uer zu fide, ist daher B B 0 0 Wir köe diese Wahrscheilichkeit auch direkt bereche. Dazu üsse wir die Wahrscheilichkeite, die i-uer bei., bei. ud bei. Versuch zu fide, bestie ud addiere B Wahrscheilichkeit eie füfstellige Diebstahlscode ierhalb vo Stude herauszufide Zuächst üsse wir die Frage beatworte, wie viele Versuche ierhalb vo Stude öglich sid? Die Wartezeit bei Versuche beträgt T 0... Bei. Versuch tritt keie Wartezeit ei, bei. Versuch / Stude ud bei jede weitere Versuch verdoppelt sich die Wartezeit. Bei -te Versuch beträgt die Wartezeit Viertelstude. Die Suade i der Klaer bilde eie geoetrische Reihe, die wir it Hilfe der Sueforel vereifache. Da das Zeitliit Stude beträgt, setze wir T gleich ud löse die Gleichug ach der Zahl der Versuche auf. Zuächst vereifache wir die Gleichug durch Uforug 9

14 ÜBUG - LÖSUGE Da löse wir ach auf, ide wir die Gleichug logarithiere l l97 l97 l l97,7, l 0,9 7, Ierhalb vo Stude sid also 7 Versuche öglich. Der Zeitbedarf bei 7 Versuche beträgt,7 Stude ud bei 8 Versuche bereits,7 Stude T 7 < T 8 0 8,7 h T,7 h 7 u uß die Wahrscheilichkeit, de Zahlecode bei 7 Versuche zu fide, berechet werde. Wir wähle wieder de eifachere Weg über die Kopleetärwahrscheilichkeit, bei 7 Versuche de Zahlecode icht zu fide. Wir bezeiche it das Ereigis, de Zahlecode bei i-te Versuch zu fide i i B B das Ereigis, de Zahlecode bei i-te Versuch icht zu fide das Ereigis, de Zahlecode bei 7 Versuche zu fide das Ereigis, de Zahlecode bei 7 Versuche icht zu fide Die Wahrscheilichkeit für 7 Fehlversuche ergibt sich ach de ultiplikatiossatz B / / /

15 ÜBUG - LÖSUGE Die Wahrscheilichkeit, de Zahlecode ierhalb vo 7 Versuche zu fide, ist die Wahrscheilichkeit des Kopleetärereigisses 0, B B oder atürlich ka die Wahrscheilichkeit, de Zahlecode ierhalb vo 7 Versuche zu fide, direkt berechet werde. Dazu üsse wir die Wahrscheilichkeite, de Zahlecode bei.,.,.,.,.,. ud bei 7. Versuch zu fide, bestie ud addiere 7 B I Zahle B

16 ÜBUG - LÖSUGE Die Wahrscheilichkeite, de Zahlecode bei.,.,.,.,.,. ud bei 7. Versuch zu fide, sid alle gleich ud betrage 0. Die Wahrscheilichkeit de Zahlecode bei 7. Versuch zu fide ach Fehlversuche, ist geauso groß wie bei. Versuch! Die Wahrscheilichkeit, de Zahlecode ierhalb vo 7 Versuche zu fide, beträgt also B ,00007