5 Komplementäre Verbände

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1 5 Komplementäre Verbände Die Bestimmung von Verbandselementen durch Punkte hat in modularen längenendlichen Verbänden im Falle der Existenz sinnvolle Eigenschaften (vgl. 4.5), die Existenz kann aber mit diesen Voraussetzungen allein noch nicht gesichert werden (vgl. z. B. endliche Ketten). Wir müssen daher noch weiter spezialisieren. 5.1 Komplement und komplementäre Verbände Definition: Ein Verband (L,, ) heißt komplementär, wenn in ihm folgende Eigenschaften gelten: (K01) L hat ein Nullelement (dieses sei N) und ein Einselement (dieses sei) E. (Ko) Für jedes A L existiert ein (Komplement genanntes) Element A mit A A = N und A A = E. Die Bedingung komplementär bezeichnen wir auch mittels (K). Die Komplemente in komplementären Verbänden müssen nicht eindeutig bestimmt sein (Beispiele in 5.1.4), es gibt aber auch Verbände (z. B. die Potenzmengenverbände), in denen die Komplemente eindeutig bestimmt sind. Solche Verbände lassen sich auch algebraisch kennzeichnen Definition: Ein Verband (L, ) heißt Boolesche Algebra, wenn er komplementär und distributiv ist. Es gilt der Satz: Ein komplementärer Verband ist genau dann eine Boolesche Algebra, wenn in ihm die Komplemente eindeutig bestimmt sind. Wir benötigen diesen Satz im weiteren Verlauf nicht, verzichten deshalb auf einen Beweis Beispiele a) (Pot(M),, ) ist für jede Menge M ein distributiver Verband, zu A ist A := M \ A das eindeutig bestimmte Komplement. Diese Verbände sind zugleich bei endlicher Trägermenge Standardrepräsentanten für Boolesche Algebren: Jede endliche Boolesche Algebra ist isomorph zum Potenzmengenverband der Menge ihrer Punkte (Atome). Bei unendlichen Verbänden gilt diese Aussage nicht, vgl. σ-algebren in der Stochastik. b) Ist (L,, ) eine Kette mit mehr als zwei Elementen, so ist dieser Verband nicht komplementär, weil in ihm die vom Null- und Einselement verschiedenen Elemente keine Komplemente besitzen. c) Sei V ein IK-Vektorraum und U(V) der zugehörige Untervektorraumverband. Dann ist U(V) ein komplementärer Verband, die Komplemente sind aber in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Zu einem Untervektorraum U findet man ein Letzte Änderung

2 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Komplement, indem man eine Basis B(U) bestimmt und diese zu einer Basis B(V) des Gesamtraumes ergänzt. Dann ist der von B(V) \ B(U) erzeugte Untervektorraum ein Komplement von U. Die Nichteindeutigkeit der Komplemente sieht man z. B. leicht im Standardraum IK 2. Ist U = Span(e 1 ) der von (e 1 ) aufgespannte Untervektorraum, so sind Span(e 2 ) und Span(e 1 + e 2 ) (e 2 := (0,1)) zwei unterschiedliche Komplemente von U. Damit ist insbesondere auch klar, dass U(V) im Falle dim(v) > 1 nicht distributiv ist. 5.2 Komplementäre Faktorverbände Bei zusätzlichen Eigenschaften einer mathematischen Struktur interessiert man sich, ob diese auf Teilstrukturen vererbt wird. Für Modularität, Distributivität und Längenendlichkeit gilt dies. Teilverbände eines komplementären Verbandes müssen dagegen nicht komplementär sein. Man muss nur dafür sorgen, dass eine Kette mit mindestens drei Elementen als Faktorverband auftritt, wie im nachfolgenden Beispiel: Der im Bild 5.2a abgebildete Verband ist komplementär, so sind z. B. D und A Komplemente zu B und C (und umgekehrt). Der Faktorverband B/N = {N, C, B} ist dagegen nicht komplementär, weil C in dieser dreielementigen Kette kein Komplement besitzt. A D E N Bild 5.2a B C Die Vererbung der Komplementarität auf Teilverbände zeichnen wir deshalb aus durch folgende Definition: Ein Verband (L,, ) heißt relativ komplementär, wenn alle Faktorverbände von L komplementär sind. Im Spezialfall der uns hier interessierenden modularen Verbände gilt Satz: Modulare komplementäre Verbände sind relativ komplementär. Beweis: Seien A, B, C Elemente eines komplementären modularen Verbandes (L,, ) mit A C B. Wir müssen zeigen, dass C in B/A ein Komplement C* besitzt. Zunächst hat C ein Komplement C im Verband L mit C C = N und C C = E (N Nullelement, E Einselement von L). Wir setzen C* := (C B) A. = (C A) B ( = wegen (M))

3 5 Komplementäre Verbände 67 Dann gilt A C* B wegen (C B) B und A A X für alle X L. Mit Hilfe von (M) und (K) berechnen wir (beachte A C B) C C* = C ((C A) B) = (C (C A)) B = (A (C C )) B = (A N) B = = A B = A. C C* = C ((C B) A) = (C (C B)) A = ((C C ) B) A = (E B) A = = B A = B Folgerung: Der Unterraumverband eines Vektorraumes ist relativ komplementär. 5.3 Dimension des Komplements Im Falle des Beispiels treten, obwohl ein Dimensionsverband vorliegt, Komplemente unterschiedlicher Dimension auf. Wenn wir aber zusätzlich (P) voraussetzen, erhalten Komplemente eine eindeutig bestimmte Dimension. Dies zeigt der folgende Satz: Der Verband (L,, ) sei komplementär, längenendlich und modular. Seine Dimension sei n (also Dim(L) = Dim(E) = n). Weiter sei A L mit Dim(A) = d. Dann hat jedes Komplement A von A die Dimension n-d-1, es gilt also Dim(A) + Dim(A ) = n-1 für alle A L, wenn A ein Komplement von A ist. Beweis: Diesen Satz zeigen wir mit Hilfe von (P): Dim(A) + Dim(A ) = Dim(A A ) + Dim(A A ) = Dim(E) + Dim(N) = n 1. Im Gegensatz zum Komplement selbst ist dessen Dimension eindeutig bestimmt. Man bezeichnet die Dimension der Komplemente von A L auch als Kodimension von A, in Zeichen Cod(A). Es gilt nach die Folgerung: Sei (L,, ) ein komplementärer, modularer und längenendlicher Verband (kurz: KML- Verband) der Dimension n und A L. a) Es ist Cod(A) = n Dim(A) 1. b) Sind A und A Komplemente von A mit A A oder A A, so stimmen A und A überein: A A oder A A A = A.

4 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Bemerkung: a) Dimension und Kodimension sind zueinander duale Begriffe, beim Dualisieren einer Aussage sind demnach Dim und Cod auszutauschen. b) Im Verband der Untervektorräume eines Vektorraumes ist bei einem Untervektorraum A zwischen seiner verbandstheoretischen Dimension Dim(A) und seiner vektorraumtheoretischen dim(a) zu unterscheiden. Wegen Dim(A) = dim(a) 1 gilt vektoriellen Dimensionen eines Untervektorraumes A und eines Komplementes A von A die Bedingung dim(a) + dim(a ) = dim(v) = n. 5.4 Bestimmung von Verbandselementen durch Punkte In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass die Bedingung (K) genau die in 4 aufgezeigte Lücke hinsichtlich der Darstellung von Verbandselementen als Vereinigung von Punkten in ML-Verbänden schließt Satz: Sei (L,, ) ein modularer längenendlicher Verband. Dann ist (L,, ) genau dann komplementär, wenn jedes vom Nullelement verschiedene A L als Vereinigung von Punkten darstellbar ist. Dabei soll ein einzelner Punkt natürlich auch eine Vereinigung von Punkten sein. Wenn wir die Vereinigung der leeren Menge von Punkten mit N besetzen, kann sogar der Zusatz ungleich N in entfallen. Statt den Satz wie behauptet für alle A N zu zeigen, beweisen wir ihn zunächst für das Einselement (Lemma5.4.2) und nutzen dann aus, dass KML- Verbände relativ komplementär sind Lemma: Sei (L,, ) ein mindestens nulldimensionaler modularer längenendlicher Verband mit Einselement E. Dann gilt (L,, ) komplementär E ist Vereinigung von Punkten. Beweis des Lemmas: a) (L,, ) komplementär E ist Vereinigung von Punkten: Sei V := {A L / A ist Vereinigung von Punkten}. Dann ist aufgrund der Dimensionsvorgabe M nicht leer, weil alle Punkte (einen solchen gibt es mindestens) zu V gehören. Wegen (L) hat V ein maximales Element M. Für dieses existieren nach Voraussetzung Punkte P 0,., P d mit M = P 0 P d. Nehmen wir M E an, also M E. Für ein Komplement M von M gilt dann M N wegen M N = M, daher gibt es einen Punkt P mit P M. Wegen M M = N liegt P nicht unterhalb von M (sonst wäre M M P). Dann gilt aber M* := M P = P 0. P d P V

5 5 Komplementäre Verbände 69 ist ein zu V gehörendes Element oberhalb von M im Widerspruch zur Maximalität von M. Mithin ist E Vereinigung von Punkten. b) E ist Vereinigung von Punkten (L,, ) ist komplementär. Wir nehmen an, (L,, ) sei nicht komplementär. Dann muss mindestens ein A L kein Komplement besitzen, daher ist die Menge V := { A L / A hat kein Komplement in L} nicht leer. V hat wegen (L) ein maximales Element M, dieses ist vom Einselement E verschieden, weil dieses das Komplement N hat, entsprechend gilt auch M N. Es wäre also N M E. Würde für alle Punkte P die Bedingung P M gelten, so folgte dies auch für deren Vereinigung im Widerspruch zur Voraussetzung, dass E Vereinigung von Punkten ist. Demnach gibt es einen Punkt P, der nicht unterhalb M liegt. Setzen wir A:= M P, so ist A oberhalb von M, hat daher wegen der Maximalität von M ein Komplement A in L. Weiter sei B:= P A. Dann gilt M B = M P A = A A = E. Wir wollen weiter M B = N zeigen. Zunächst ist A (A P) = (M) P (A A ) = P N = P. Weiter gilt N M B = M (A P) A (A P) = P. Wäre M B = P, so würde P M folgen im Widerspruch zur Vorgabe für P. Daher muss M B = N gelten, M hat also im Widerspruch zur Konstruktion von V mit B ein Komplement. Demnach ist (L,, ) komplementär. Zum Beweis von betrachte man für beliebiges A N den Faktorverband A/N. Dieser ist komplementär und längenendlich. In ihm ist A das Einselement. Ist (L,, ) komplementär, so ist dieser Verband auch relativ komplementär, daher A/N komplementär. Somit ist A in A/N Vereinigung von Punkten. Diese gilt dann aber auch für den Gesamtverband (L,, ). In der Gegenrichtung ergibt sich mit 5.4.2, dass alle Verbände A/N komplementär sind, das gilt dann insbesondere auch für A=E, also für E/N = L. Ergänzend bemerken wir aufgrund des Beweises, dass man in 5.4.1/2 die Bedingung (K) auch durch relativ komplementär ersetzen könnte. Außerdem erkennt man im Beweis, dass bereits aus (K) und (L) die Existenz der Vereinigung von Punkten für E folgt. Bei der Gegenrichtung wurde aber die Voraussetzung (M) ausgenutzt. Als Gegenbeispiel betrachte man folgendes

6 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Beispiel Im nebenstehenden Verband ist zwar E Vereinigung der Punkte P und Q, das Element R (ebenfalls ein Punkt) hat aber kein Komplement. E R P Q N Bild 5.4a Folgerung: Sei (L,, ) ein komplementärer modularer längenendlicher Verband und A L. a) Ist Dim(A) = d, so A als Vereinigung von (mindestens und genau) d+1 Punkten darstellbar. b) Im Falle der Erzeugung von A durch d+1 Punkte sind diese genau dann frei, wenn Dim(A) = d gilt. Die Existenz wurde der Vereinigung wurde in diesem Abschnitt begründet, die Anzahlaussage ergibt sich aus den in gezeigten Sätzen. Punkte werden demnach in KML- Verbänden endgültig zu erzeugenden Elementen der Verbandselemente wie Vektorfamilien zu Erzeugendensystemen von Untervektorräumen. Untervektorräume sind spezielle Teilmengen des zugehörigen Vektorraumes. Wir wollen nun genauer zeigen, dass die Menge der Punkte eines Verbandes an die Stelle des Vektorraumes tritt, dass man also Verbandselemente durch die in ihnen enthaltenen Punkte kennzeichnen kann. Die zugehörigen präziseren Aussagen zeigen wir nach Einführung einer neuen Bezeichnung Definition: Sei (L,, ) ein komplementärer modularer längenendlicher Verband. Wir setzen für A L <A> := {P L / P ist Punkt und P A}. Speziell bezeichnen wir die Menge der Punkte von L auch mit IP(L) oder (sofern klar ist, welcher Verband vorliegt) kurz mit IP. Es ist also IP = <E> Folgerung: Sei (L,, ) ein komplementärer modularer längenendlicher Verband. Dann sind die Verbandselemente durch die in ihnen enthaltenen Punkte eindeutig gekennzeichnet, es gelten genauer für A, B L: a) A B <A> b) A = B <A> = c) <A B> = <A> d) <A B> <A> e) A = N A = { } f) A = E <A> = IP Beweis: Zu a): Ist P <A>, so gilt P A B, also auch P . Es sei <A> in enthalten. Ist P <A>, so ist auch P , daher hat P A die Bedingung P B zur Folge. Hieraus ergibt sich: Schreibt man A als Vereinigung von Punkten

7 5 Komplementäre Verbände 71 A = P 0.. P d, so liegt diese Vereinigung und damit A unterhalb von B. Zu b): Doppelte Anwendung von a) liefert diese Behauptung. Zu c): Zunächst ergibt sich aus a) wegen A B A, B die Inklusion Die umgekehrte Inklusion ergibt sich aus Zu d): <A B> <A> . P <A> P A, B P A B P <A B>. Ist P <A>, , so gilt P A und P B, also auch P A B, somit P <A B>. Das Gleichheitszeichen gilt hier nicht wie ein Blick in den Unterraumverband eines zweidimensionalen Vektorraumes IK 2 (IK Körper) zeigt. Für A Span(e 1 ) und B = Span(e 2 ) ((e 1, e 2 ) kanonische Basis von IK 2 ) ist <A B> = IK 2 <A> . e) und f) sind klar. Durch die Bildung von Untervektorräumen eines Vektorraumes V werden spezielle Teilmengen der Potenzmenge Pot(V) ausgezeichnet. Entsprechend werden in KML-Verbänden durch Definition Teilmengen der Punktmenge IP ausgesondert. Wir wollen versuchen, diese speziellen Teilmengen zu kennzeichnen Satz: Sei (L,, ) ein komplementärer modularer längenendlicher Verband und T Pot(IP(L)). Dann gibt es genau dann ein A L mit <A> = T, wenn aus P, Q T stets T folgt. Geometrisch bedeutet dies, dass eine Teilmenge der Punktmenge genau dann als Punktmenge eines Verbandselementes auftritt, wenn sie mit je zwei Punkten P und Q auch alle Punkte der Verbindungsgeraden P Q enthält (P Q). Beweis: a) Zu T Pot(IP(L)) existiere A L mit T = <A>. Wir müssen zeigen, dass für zwei verschiedene Punkte P,Q T die Bedingung gilt. Seien also P, Q T = <A> mit P Q. Dann gelten P A und Q A, somit P Q A und daher wegen 5.4.6a) auch <A> = T. b) Aus P, Q T und P Q folge T. Zu zeigen ist die Existenz von A L mit <A> = T.

8 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Sei L mindestens eindimensional und T nicht leer, sonst ist nichts zu zeigen. Wegen der Endlichkeit der Dimension enthält T eine Maximalzahl unabhängiger Punkte P 0, P 1,.., P d. Wir setzen und zeigen <A> = T. b1) <A> T: A := P 0 P d. Wir beweisen durch vollständige Induktion, dass beim schrittweisen Hinzunehemen eines Punktes zur Menge der bereits gefundenen unanhängigen Punkte diese Inklusion gültig bleibt, genauer Sind bereits P 0,., P r unabhängige Punkte aus T bestimmt (r < d), für deren Vereinigung A r = P 0. P r die Bedingung <A r > T gilt und gibt es einen weiteren Punkt P r+1, so dass P 0,., P r, P r+1 frei ist, so gilt auch für A r+1 := P 0.. P r P r+1 die Bedingung <A r+1 > T. Ausgehend von der leeren Mengen (r= 1) sehen wir, dass der Schritt auf r = 0 gilt, denn ist P 0 ein Punkt aus T, so ist er frei, für A 0 = P 0 gilt mit <A 0 > = {P 0 }unsere Behauptung. Wir setzen voraus, dass sie für r < d gelte und nehmen P r+1 hinzu. Sei also P aus <A r+1 >. Es ist P T zu beweisen. Wir können nach Induktionsvoraussetzung annehmen, dass P nicht zu <A r > gehört und weiter P als von P r+1 verschieden ansehen. Dann ist (P P r+1 ) A r wegen (P) ein von P r+1 verschiedener Punkt Q <A r >. Wegen Q P P r+1 stimmt daher die Gerade Q P r+1 mit der Geraden P P r+1 überein. Aus der für T vorausgesetzten Abgeschlossenheit gegenüber der Punktmengen von Verbindungsgeraden erhalten wir daher P = <Q P r+1 > T, also wie behauptet P T. b2) <A> ist keine echte Teilmenge von T (es gilt also dann wegen b1) <A> = T): Nehmen wir an, es würde <A > T (aber <A> T) gelten. Dann würde ein Punkt Q aus T existieren mit Q A. Dann wären P 0,.., P d+1,q unabhängig im Widerspruch zur Maximalität von d. Aus dem Dualitätsprinzip ergibt sich der Satz (Darstellung von Elementen als Durchschnitt von Hyperebenen): In einem (KML)-Verband ist jedes vom Einselement E verschiedene Element A als Durchschnitt von Hyperebenen darstellbar. Aufgabe: Übertragen Sie die Darstellungssätze dieses Paragraphen für Punkte detailliert in solche für Hyperebenen (vgl ).