Vorlesung 7 GRAPHBASIERTE BILDSEGMENTIERUNG

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1 Vorlesung 7 GRAPHBASIERTE BILDSEGMENTIERUNG 195

2 Bildsegmentierung! Aufgabe: Bestimme inhaltlich zusammenhängende, homogene Bereiche eines Bildes! Weit verbreitetes Problem in der Bildverarbeitung! Viele verschiedene Algorithmenklassen! Graphbasierte Segmentierung nur eine dieser Klassen! Wahl des Algorithmus stark anwendungsabhängig [ 0016/16_fig1.jpg] 196

3 Wie wird aus einem Bild ein Graph?! Für jedes Pixel einen Knoten! Lokale Nachbarschaft (z. B. 8-NB)! Kantengewichte: Berücksichtigen Ort und Farbunterschied 197

4 Kantengewichte des Graphen! Kante (u, v):! Distanzwert d(u, v)! sigma: 10 bis 20% des Bereichs von d! w(i, j) :=... (siehe Tafel)! Hohe Distanz bedeutet niedriges Gewicht! Aufgabe: Finde geeignete Partitionierung der Knotenmenge 198

5 Optimierungsproblem! Idee: Schneide möglichst wenig schwere Kanten! Aber: Vermeide auch zu kleine Cluster! Normalisierter Kantenschnitt Ncut(A, B): Ncut(A, B) := cut(a, B) / vol(a) + cut(a, B) / vol(b)! Volumen vol(x): Summe der gewichteten Knotengrade der Knoten in X! Umformung ergibt: min x Ncut(x) = min y y T Ly / y T D y! x, y: Indikatorvektoren, x(i) aus {-1, 1}, y(i) aus {1, -b}, y = (1 + x)-b(1-x), b reell, y T D1 = 0! D: Gradmatrix! L: Laplacematrix D-W, W: Gewichtsmatrix = gew. Adjazenzmatrix 199

6 Optimale und relaxierte Lösung! min y y T Ly / y T D y! Nebenbedingungen:! y(i) aus {1, -b}, b reell! y T D1 = 0! Diskretes Optimierungsproblem: NP-schwer! Relaxierung: Erlaube, dass y reelle Werte annimmt:! y(i) aus [-b, 1]! Relaxierung führt auf verallgemeinertes Eigen(wert)problem: Ly = λdy! Denn: Lösung des Rayleigh-Quotienten, Courant-Fischer- Theorem 200

7 Algorithmus [Shi und Malik, PAMI 22:6, Aug. 2000] NCUT-ALGORITHMUS nach Shi & Malik Eingabe: ungerichteter Graph G = (V, E, w) mit w ij 0! Konstruiere die Matrizen D und L! Löse Lv = λdv für EV v 2 zum zweitkleinsten EW! Finde einen guten Splitting-Punkt p // teste konstante # zufälliger Werte für minimalen Ncut! Für alle Knoten i von G! Wenn v 2 (i) p // Stabilitätskriterium für EV?! Dann V+ = V+ {i}! Sonst V = V {i}! Entscheide, ob eine Partition weiter aufgeteilt werden sollte. Wenn ja, partitioniere den Teil rekursiv.! Ausgabe: Clusterung des Graphen 201

8 Laufzeit! Eigenwertproblem mit Standardverfahren (z.b. QR- Verfahren): O(n 3 )! In der Praxis Bildsegementierung:! nur ein EV, nur geringe Genauigkeit benötigt! oft sind Graphen nur dünn besetzt! Lanczos-Verfahren mit Laufzeit O(tn + t * MATMULT(n))! t = maximal gebrauchte # Matrix-Vektor-Multiplikationen O( n)! MATMULT(n) = die dazugehörigen Kosten = O(n)! Gesamt: O(n 1.5 ) typischerweise 202

9 Verallgemeinerung auf k Segmente Idee! Verwende nicht nur einen EV, sondern k Stück!! Wende geometrisches Clustering im Raum der EV an!! Siehe Tafel! 203

10 Verallgemeinerung auf k Segmente Algorithmus KWAY-NCUT-ALGORITHMUS Eingabe: ungerichteter Graph G = (V, E, w) mit w ij 0! Konstruiere die Matrizen D und L! Löse Lv=λDv für die generalisierten EV v 2,...,v k+1! Sei U die Matrix mit den v i als Spaltenvektoren und interpretiere die Zeilen von U als k-dimensionale Punkte! Clustere die k-dim. Punkte mit einem geometrischen Algorithmus, z.b. k-means, und übertrage das Ergebnis auf die korrespondierenden Knoten des Graphen Ausgabe: Clusterung der Daten in Cluster A 1,..., A k 204

11 k-means und Lloyds Algorithmus! Zielfunktion: Summe über quadratischen Abstand zu Zentren (Tafel)! Initial: Z.B. k zufällige Zentren (bessere Methoden existieren)! Zuweisung: Jeder Knoten wird an das nächstgelegene Zentrum zugewiesen! Neue Zentren: Schwerpunkt jedes Clusters wird Zentrum 205

12 Praxisübung Anwendung verschiedener Algorithmen! NetworKit beinhaltet eine Reihe von Algorithmen zum Clustern von Graphen! Anwendung dieser Algorithmen auf Bilder! Erster experimenteller Eindruck 206

13 Zusammenfassung Vorlesungen 6+7! Gute Clusterungen wichtig in vielen Anwendungen! LP:! Knoten sollte zum dominanten Cluster seiner Nachbarn gehören! Einfache algebraische Darstellung! Schnell, Qualität mittelmäßig! MCL:! Random Walks identifizieren dichte Gebiete! Einfache algebraische Darstellung! Gute Qualität, hoher Rechen- und Speicheraufwand! Spektral:! Relaxierung führt zu EW-Problem, natürliche algebr. Darstellung! Enge Verbindung zu Random-Walk-Verfahren! Andere graphbasierte Verfahren zur Segmentierung existieren! 207

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