Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

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1 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Bandl Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 14., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 643 Abbildungen, 500 Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Springer Vieweg

2 IX Inhaltsverzeichnis I Allgemeine Grundlagen 1 1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen Definition und Darstellung einer Menge Mengenoperationen 3 2 Die Menge der reellen Zahlen Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag Teilmengen und Intervalle 8 3 Gleichungen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Gleichungen 3. und höheren Grades Allgemeine Vorbetrachtung Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax3 + bx2 + cx 0 = Bi-quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Betragsgleichungen Definition der Betragsfunktion Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel) Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel) 19 4 Ungleichungen 20 5 Lineare Gleichungssysteme Ein einführendes Beispiel Der Gaußsche Algorithmus Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes 35 6 Der Binomische Lehrsatz 37 Übungsaufgaben 41 Zu Abschnitt 1 und 2 41 Zu Abschnitt 3 41

3 X Zu Abschnitt 4 42 Zu Abschnitt 5 42 Zu Abschnitt 6 44 II Vektoralgebra 45 1 Grundbegriffe Definition eines Vektors Gleichheit von Vektoren Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren Vektoroperationen Addition von Vektoren Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 52 2 Vektorrechnung in der Ebene Komponentendarstellung eines Vektors Darstellung der Vektoroperationen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion von Vektoren Skalarprodukt zweier Vektoren Definition und Berechnung eines Skalarproduktes Winkel zwischen zwei Vektoren Linear unabhängige Vektoren Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems 69 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum Komponentendarstellung eines Vektors Darstellung der Vektoroperationen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion von Vektoren Skalarprodukt zweier Vektoren Definition und Berechnung eines Skalarproduktes Winkel zwischen zwei Vektoren Richtungswinkel eines Vektors Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft Vektorprodukt zweier Vektoren Definition und Berechnung eines Vektorproduktes Anwendungsbeispiele Drehmoment (Moment einer Kraft) Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) Spatprodukt (gemischtes Produkt) Linear unabhängige Vektoren 102

4 Inhaltsverzeichnis XI 4 Anwendungen in der Geometrie Vektorielle Darstellung einer Geraden Punkt-Richtungs-Form einer Geraden Zwei-Punkte-Form einer Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zweier paralleler Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Vektorielle Darstellung einer Ebene Punkt-Richtungs-Form einer Ebene Drei-Punkte-Form einer Ebene Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand einer Geraden von einer Ebene Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Abstand zweier paralleler Ebenen Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen 132 Übungsaufgaben 135 Zu Abschnitt 2 und Zu Abschnitt III Funktionen und Kurven Definition und Darstellung einer Funktion Definition einer Funktion Darstellungsformen einer Funktion Analytische Darstellung Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) Graphische Darstellung Parameterdarstellung einer Funktion Allgemeine Funktionseigenschaften Nullstellen Symmetrieverhalten Monotonie Periodizität Umkehrfunktion oder inverse Funktion Koordinatentransformationen Ein einführendes Beispiel Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten Definition der Polarkoordinaten Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten 171

5 XII Inhaltsverzeichnis 4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Reelle Zahlenfolgen Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge Grenzwert einer Folge Grenzwert einer Funktion Grenzwert einer Funktion für x > xo Grenzwert einer Funktion für x > ±oo Rechenregeln für Grenzwerte Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems Stetigkeit einer Funktion Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge) Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Definition einer ganzrationalen Funktion Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynomfunktionen höheren Grades Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion Interpolationspolynome Allgemeine Vorbetrachtung Interpolationspolynom von Newton Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens Gebrochenrationale Funktionen Definition einer gebrochenrationalen Funktion Nullstellen, Definitionslücken, Pole Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld Kegelschnitte Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten Gleichungen eines Kreises Gleichungen einer Ellipse Gleichungen einer Hyperbel Gleichungen einer Parabel Beispiele zu den Kegelschnitten 239

6 Inhaltsverzeichnis XIII 9 Trigonometrische Funktionen Grundbegriffe Sinus- und Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Anwendungen in der Schwingungslehre Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) Die allgemeine Sinus-und Kosinusfunktion Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwinger) Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter Schwingungen Lissajous-Figuren Arkusfunktionen Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen Arkussinusfunktion Arkuskosinusfunktion Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion Trigonometrische Gleichungen Exponentialfunktionen Grundbegriffe Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-funktionen Abklingfunktionen Sättigungsfunktionen Wachstumsfunktionen Gedämpfte Schwingungen Gauß-Funktionen Logarithmusfunktionen Grundbegriffe Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion Exponential- und Logarithmusgleichungen Hyperbel- und Areafunktionen Hyperbelfunktionen Definition der Hyperbelfunktionen Die Hyperbelfunktionen y sinhx und = y coshx = Die Hyperbelfunktionen y tanh* und = y coth* = Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen Areafunktionen Definition der Areafunktionen Die Areafunktionen y = arsinhx und y arcoshx = 305

7 Jfl* artanhx XIV Inhaltsverzeichnis Die Areafunktionen y und y = arcothj: Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes 308 Übungsaufgaben 309 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 9 und Zu Abschnitt 11, 12 und IV Differentialrechnung Differenzierbarkeit einer Funktion Das Tangentenproblem Ableitung 1.3 Ableitung einer Funktion 324 der elementaren Funktionen Ableitungsregeln Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln Logarithmische Ableitung Ableitung der Umkehrfunktion Implizite Differentiation Differential einer Funktion Höhere Ableitungen Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung) Induktionsgesetz Elektrischer Schwingkreis 365

8 Inhaltsverzeichnis XV 3 Anwendungen der Differentialrechnung Tangente und Normale Linearisierung einer Funktion Monotonie und Krümmung einer Kurve Geometrische Vorbetrachtungen Monotonie Krümmung einer ebenen Kurve Charakteristische Kurvenpunkte Relative oder lokale Extremwerte Wendepunkte, Sattelpunkte Ergänzungen Extremwertaufgaben Kurvendiskussion Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton Iterationsverfahren Tangentenverfahren von Newton 407 Übungsaufgaben 414 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt V Integralrechnung Integration als Umkehrung der Differentiation Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Ein einführendes Beispiel Das bestimmte Integral Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grund- oder Stammintegrale Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion Elementare Integrationsregeln Integrationsmethoden Integration durch Substitution Ein einführendes Beispiel Spezielle Integralsubstitutionen 454

9 XVI Inhaltsverzeichnis 8.2 Partielle Integration oder Produktintegration Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden Partialbruchzerlegung Integration der Partialbrüche Numerische Integrationsmethoden Trapezformel Simpsonsche Formel Uneigentliche Integrale Unendliches Integrationsintervall Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) Anwendungen der Integralrechnung Einfache Beispiele aus Physik und Technik Integration der Bewegungsgleichung Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes Flächeninhalt Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen) Flächeninhalt zwischen zwei Kurven Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen) Bogenlänge einer ebenen Kurve Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche) Arbeits- und Energiegrößen Lineare und quadratische Mittelwerte Schwerpunkt homogener Flächen und Körper Grundbegriffe Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers Massenträgheitsmomente Grundbegriffe und einfache Beispiele Satz von Steiner Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers 554 Übungsaufgaben 559 Zu Abschnitt 1 bis Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt

10 Inhaltsverzeichnis XVII VI Potenzreihenentwicklungen Unendliche Reihen Ein einführendes Beispiel Grundbegriffe Definition einer unendlichen Reihe Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Über den Umgang mit unendlichen Reihen Konvergenzkriterien Quotientenkriterium Wurzelkriterium Vergleichskriterien Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen Potenzreihen Definition einer Potenzreihe Konvergenzverhalten einer Potenzreihe Eigenschaften der Potenzreihen Taylor-Reihen Ein einführendes Beispiel Potenzreihenentwicklung einer Funktion Mac Laurinsche Reihe Taylorsche Reihe Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen Näherungspolynome einer Funktion Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden Grenzweitregel von Bernoulli und de L'Hospital Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes 630 Übungsaufgaben 633 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt VII Komplexe Zahlen und Funktionen Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe 646

11 XVIII Inhaltsverzeichnis 1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl Algebraische oder kartesische Form Trigonometrische Form Exponentialform Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen Komplexe Rechnung Grundrechenarten für komplexe Zahlen Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Multiplikation und Division komplexer Zahlen Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) Potenzieren Radizieren (Wurzelziehen) Natürlicher Logarithmus Anwendungen der komplexen Rechnung Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen im Zeigerdiagramm Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen Ein Anwendungsbeispiel: Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung Ortskurven Ein einführendes Beispiel Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve) Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve) Inversion einer Ortskurve Inversion einer komplexen Größe (Zahl) Inversionsregeln Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve 711 Übungsaufgaben 714 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 4 719

12 Inhaltsverzeichnis XIX Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben 721 I Allgemeine Grundlagen 721 Abschnitt 1 und Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Vektoralgebra 728 Abschnitt 2 und Abschnitt III Funktionen und Kurven 743 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt 9 und Abschnitt 11, 12 und IV Differentialrechnung 764 Abschnitt Abschnitt Abschnitt V Integralrechnung 787 Abschnitt 1 bis Abschnitt Abschnitt Abschnitt VI Potenzreihenentwicklungen 807 Abschnitt Abschnitt Abschnitt 3 811

13 XX Inhaltsverzeichnis VII Komplexe Zahlen und Funktionen 822 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise 835 Sachwortverzeichnis 836