Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Transkript

1 Auswertung unvrter Dtenmengen - desrptv Mttlere bsolute Abwechung (Desvton) Vrnz Stndrdbwechung Vrtonsoeffzent Stndrdserung Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III Bblogrfe Bleymüller / Gehlert / Gülcher Verlg Vhlen Sttst für Wrtschftswssenschftler Bleymüller / Gehlert Verlg Vhlen Sttstsche Formeln, Tbellen und Progrmme PowerPontPräsenttonen (Prof. Küc/ Dr. Rcbl), Vorlesungssrpt für Sttst I (Dr. Pu Chen), Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III

2 Mttlere bsolute Abwechung (Desvton) De mttlere bsolute Abwechung wrd mest gegenüber dem rthmetschen Mttel gebldet. Grundlge der Streuungsberechnung snd de Abwechungen ller Enzelwerte vom Mttelwert. De mttlere bsolute Abwechung st ds rthmetsche Mttel ller Enzelbwechungen zum rthmetschen Mttel. MAD Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 3 Bespel: Mttlere Absolute Abwechung Für de Gewchte der 0 betrchteten Personen ergbt sch be enem rthmetschen Mttel von 65 g folgende Mttlere Absolute Abwechung. me Ls Ann Antje Mre Dörte Sven Uwe K Jn ls r x Ls Ann Antje Mre Dörte MAD ( ) 5 0 Mn erhält ls mttlere bsolute Abwechung 5 g. Sven Uwe K Jn ls Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 4

3 Mttlere bsolute Abwechung für gehäufte Dten Legen de Dten gehäuft vor, dnn glt: Anzhl der verschedenen Mermlsusprägungen MAD bsolute Häufget der jewelgen Ausprägung x h gehäufte Mermlsusprägung x f reltve Häufget der jewelgen Ausprägung Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 5 Mttlere bsolute Abwechung für lsserte Dten Legen de Dten lssert vor, dnn glt: Anzhl der Klssen MAD x h ' Klssenmtte bsolute Häufget der jewelgen Klsse x f ' reltve Häufget der jewelgen Klsse Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 6

4 Bespel: mttlere bsolute Abwechung für lsserte Dten Für de n Gewchtslssen erfssten 00 Personen ergbt sch be enem rthmetschen Mttel von (gerundet) 60 g: Klsse von Reltve Absolute Splte * Splte 3 bs unter Häufget Dfferenz 4,5 bs 47,5 0,04 5 0,60 47,5 bs 5,5 0,8 0,80 5,5 bs 57,5 0,6 5,30 57,5 bs 6,5 0,0 0 0,00 6,5 bs 67,5 0, 5 0,60 67,5 bs 7,5 0,09 0 0,90 7,5 bs 77,5 0,05 5 0,75 77,5 bs 8,5 0,03 0 0,60 8,5 bs 87,5 0,0 5 0,50 87,5 bs 9,5 0,0 30 0,30 Mttlere bsolute Abwechung: 7,35 Interpretton: Be enem rthmetschen Mttel von (gerundet) 60 g wechen de Enzelgewchte der 00 Personen durchschnttlch um 7,35 g b. Dmt wrd en Streuberech von 5,65 g bs unter 67,35 g usgewesen. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 7 Mttlere bsolute Abwechung gegenüber dem Medn (MAD*) Wenn ls Lgeprmeter der Vertelung der Medn verwendet wrd, dnn st de Angbe der mttleren bsoluten Abwechung gegenüber dem Medn ussgefähg. Medn MAD * x Me h MAD* st ds rthmetsche Mttel ller Abwechung der Enzelwerte gegenüber dem Medn, d.h. es gbt glech vele negtve we postve Abwechungen gegenüber dem Medn. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 8

5 Medn der bsoluten Abwechungen gegenüber dem Medn (MAD ** ) Es st uch snnvoll, nstelle des rthmetschen Mttels den Medn der Abwechungen zu bestmmen: MAD ** Me ({ Me,..., Me} ) Abwechung zwschen Wert und Medn der Vertelung MAD** gbt den Medn ller Abwechung der Enzelwerte gegenüber dem Medn n. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 9 Bespel: Bede mttlere bsolute Abwechungen gegenüber dem Medn Für ds Körpergewcht der 0 etw glechltrgen Personen ergbt sch be enem Medn von 6,5 g der Zentrlwert der Abwechungen we folgt: r x x - Me 8,5 6,5,5 8,5 6,5 6,5 9,5 5,5 7,5 38,5 Summe50 g Ds rthmetsche Mttel der Abwechungen (MAD*) beträgt 5 g. Abwechungen bsolut, der Größe nch geordnet: Abw. 6,5 6,5 8,5 9,5,5 5,5 6,5 7,5 8,5 38,5 Der Zentrlwert der Abwechungsbeträge (MAD**) st 4 g. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 0

6 Beurtelung der mttleren bsoluten Abwechung De mttlere bsolute Abwechung st ene sehr nschulche und plusble Mßzhl der Streuung. Allen Abwechungen wrd der Betrg berechnet, dmt sch de postven und de negtven Abwechungen n der Summe ncht ufheben. Für symmetrsche Vertelungen st es snnvoll, de mttlere bsolute Abwechung für den oberen und für den unteren Berech getrennt zu ermtteln. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III Beurtelung der mttleren bsoluten Abwechung f(x) Unterer Berech Oberer Berech Für symmetrsche Vertelungen ergeben sch für den unteren und für den oberen Berech unterschedlche mttlere Abstände. x Arthmetsches Mttel f(x) Für symmetrsche Vertelungen snd de Abstände des unteren und des oberen Bereches glech bzw. nnähernd glech. x Arthmetsches Mttel Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III

7 Vrnz De Vrnz st ds m häufgsten verwendete Streuungsmß. Anlog zur mttleren bsoluten Abwechung werden de Abwechungen der Enzelwerte vom Mttelwert gebldet, dese jedoch qudrert. Größere Abwechungen fllen ddurch stärer ns Gewcht. Es glt für Enzeldten: ( )² Enzelbwechungen zwschen Beobchtungswerten und rthmetschem Mttel der Vertelung Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 3 Bespel: Vrnz Für ds Gewcht der 0 betrchteten Personen berechnet mn de Vrnz be enem rthmetschen Mttel von 65 g we folgt: me Ls Ann Antje Mre Dörte Sven Uwe K Jn ls r x (x - ) Summe.984 g² [ 0 ( 44 65) ² + ( 46 65) ² ( 0 65) ²] 98,4 g ² Infolge des Qudrerens ht de Vrnz ncht de gleche Mßenhet we ds Merml selbst. De Interpretton st dher ncht snnvoll. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 4

8 Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 5 Be der Vrnzberechnung nn ene ndere äquvlente Formel vortelhft sen, deren Herletung gezegt wrd: Vrnz - Berechnungsformel ( ) ( ) ) ( ) ² ( Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 6 Für gehäufte bzw. lsserte Mermlsusprägungen ergbt sch de Vrnz we folgt: ( ) ( ) f ² x h ² x Enzelbwechungen zwschen gehäuften Beobchtungswerten bzw. zwschen Klssenmtten und rthmetschem Mttel der Vertelung Reltve Häufget des gehäuften Mermls bzw. der jewelgen Klsse Absolute Häufget des gehäuften Mermls bzw. der jewelgen Klsse Anzhl der verschedenen Mermlsusprägungen bzw. der Klssen Vrnz für gehäufte bzw. lsserte Dten

9 Vrnz für gehäufte bzw. lsserte Dten -Berechnungsformel- Ohne Herletung se uch her de ndere Vrnzformel für gehäufte Dten ngeführt: - mt bsoluten Häufgeten: - mt reltven Häufgeten: x ² h x ² f x x h f ² Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 7 Bespel: Vrnzberechnung be lsserten Dten Für ds lsserte Gewcht der 00 betrchteten Personen ergbt sch be enem rthmetschen Mttel von (gerundet) 60 g de Vrnz we folgt: Klsse h x (Mtte) (x - ) h ( x ) h Summe9.05 g² 00 ( 45 60) 4 + ( 50 60) ( 90 60) ] 90,5 g [ Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 8

10 Stndrdbwechung De Stndrdbwechung ener Grundgesmthet st de postve Wurzel us der Vrnz. Es glt: ² De Stndrdbwechung bestzt de gleche Dmenson we de Mermlsusprägungen und deren Mttelwert, se st zur Interpretton dher besser geegnet ls de Vrnz. De Stndrdbwechung st genu dnn glech ull, wenn lle Dten den glechen Wert hben ( ). Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 9 Bespel: Stndrdbwechung Bespel: Für ds Gewcht der 0 betrchteten Personen ergbt sch be enem rthmetschen Mttel von 65 g de emprsche Vrnz we folgt: me Ls Ann Antje Mre Dörte Sven Uwe K Jn ls r x (x - ) Summe.984 g² [ ( 44 65) ² + ( 46 65) ² ( 0 65) ²] 98,4 g ² 0 98,4 7,74 De Streuung des Gewchtes, gemessen mt der Stndrdbwechung, beträgt 7,74 g. Zum Verglech: De mttlere bsolute Abwechung gegenüber dem rthmetschen Mttel beträgt 5 g. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 0

11 Beurtelung von Vrnz und Stndrdbwechung Vrnz und Stndrdbwechung snd de gebräuchlchsten Streuungsmße, wel se freundlche mthemtsche Egenschften bestzen. Se snd jedoch wenger nschulch ls de mttlere bsolute Abwechung. Infolge des Qudrerens ht de Vrnz ncht de gleche Mßenhet des untersuchten Mermls selbst. De Interpretton st dher ncht snnvoll. Große Abwechungen zum Mttelwert werden stärer gewchtet. De Stndrdbwechung bestzt de gleche Dmenson we de Mermlsusprägungen und deren Mttelwert, se st zur Interpretton dher besser geegnet ls de Vrnz. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III Vrtonsoeffzent Interessert de Streuung ncht n hrer bsoluten Größe, sondern n hrer Relton zum Mttelwert, ermttelt mn den Vrtonsoeffzenten (VC): VC Der Vrtonsoeffzent gbt de reltve Streuung n, ds Verhältns der durchschnttlchen Abwechungen ller Enzelwerte gegenüber dem Mttelwert. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III

12 Bespel: Vrtonsoeffzent Vrert be den 50 Autos de Lestung oder der Hubrum stärer?. Dtendte uto_50.xls Hubrum [ccm] Lestung [PS] Gültge Werte (Lstenwese) Desrptve Sttst Stndrdb Mttelwert wechung ,8 770, ,37 57,48 50 De reltve Streuung, der Vrtonsoeffzent, objetvert den Verglech beder Mermle besser. 57,478 PS VC Lestung 5,37 PS 0,458 En Verglech der beden Vrnzen/Stndrdbwechungen lefert ene verwertbre Aussge, d Lestung und Hubrum unterschedlch dmensonert snd. 770,6cm ³ VC Hubrum.947,8cm ³ 0,396 Interpretton: Im Verhältns zum Mttelwert streut de Lestung stärer ls der Hubrum. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 3 Beurtelung des Vrtonsoeffzenten Der Vrtonsoeffzent st en reltves Streuungsmß. Er st dmensonslos, d Stndrdbwechung und Mttelwert de selbe, sch m Bruch wegürzende Dmenson hben. Der Vrtonsoeffzent st vor llem für de verglechende Beurtelung von unterschedlchen Mermlen geegnet. Sene Berechnung st strenggenommen nur für Mermle snnvoll, de uf ener Verhältnssl gemessen werden önnen und enen bsoluten ullpunt hben. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 4

13 Vrnzzerlegung 0 Für ene Grundgesmthet, de us Telgesmtheten mt den Umfängen,,,, den rthmetschen Mtteln,,..., und den Vrnzen,,...,, besteht, ergbt sch: + ( ) ( j ) j mt Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 5 j j Mttelwertzerlegung 0 j j j j f j j ( ) ( f ) Gewogenes rthmetsches Mttel mt dem Gewchten f Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 6

14 Vrnzzerlegung j j Arthmetsches Mttel der Telgesmthet [ ( j ) + ( )] j ( j ) j Arthmetsches Mttel der Gesmthet Aus deser Formel und mt Hlfe mthemtscher Umformungen lässt sch de Vrnz der Grundgesmthet n zwe Summen zerlegen. (Fortsetzung) 0 Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 7 Vrnzzerlegung (Fortsetzung) + ( ). Summnd: Vrnz nnerhlb der jewelgen Gruppe, Schcht, Telgesmthet. Summnd: Vrnz zwschen den Gruppen, Schchten, Telgesmtheten De erste Summe lefert de durchschnttlche Vrnz nnerhlb der Telgesmtheten und de zwete Summe den durchschnttlchen Abstnd (Vrnz) zwschen den Telgesmtheten. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 8

15 Vrnzzerlegung - Interpretton / st der Antel der -ten Telgesmthet n der Gesmthet für,,,. D. h. de reltve Größe der Telgesmthet. Ds wrd ls Gewcht genutzt. + ( )² Gewchtetes Mttel us den Vrnzen der Telgesmtheten: nterne Vrnz Gewchtetes Mttel der Abwechungen der Mttelwerte der Telgesmtheten vom Gesmtmttel: externe Vrnz Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 9 Bespel: Vrnzzerlegung De 0 Personen werden mt hren Gewchtsngben n zwe Gruppen nch dem Geschlecht ufgetelt: me Ls Ann Antje Mre Dörte x 50 x ,8 5 De Vrnz für de erste Telmenge beträgt 0,8 g², der Mttelwert 50 g. 5 me Sven Uwe K Jn ls ( x 80) x De Vrnz für de zwete Telmenge beträgt 6 g², der Mttelwert 80 g , Interne Vrnz: 73,4 [g²] ( ) ( ) ² + ( ) ² 73, ,4 Externe Vrnz: 5 [g²] De Vrnz der Gesmtmenge beträgt 98,4 g², wobe 5 g² uf de Vrnz zwschen den Telmengen zurüczuführen st. Verglchen mt den gruppennternen Vrnzen von 0,8 g² und 6 g² zegt sch, dss de Dfferenzerung zwschen den Geschlechtern größer st ls nnerhlb der Gruppen. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 30 5

16 Bespel: Vrnzzerlegung De Qudrtmeterprese be Wohnungsmeten wurden für 85 Wohnungen n Berln untersucht. Dbe wurden entsprechend der Lge der Wohnungen zwe Gruppen gebldet (Westberln, Ostberln): Für de gesmte Erhebung stellt sch de Vertelung we folgt dr: SPSS-Ausdruc für Gesmthet (Berln) 0 6,0 0,0 4,0 8,0,0 6,0 30,0 34,0 38,0 4,0 46,0 Std.bw. 5,5 Mttel 7,8 85,00 Pres (DM/m²) Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 3 Bespel: Vrnzzerlegung Qudrtmeterpresvertelung für West- und Ostberln 00 SPSS Ausdruc für Westberln SPSS Ausdruc für Ostberln ,0 4,0 38,0 34,0 30,0 6,0,0 8,0 4,0 0,0 6,0 Std.bw. 4,96 Mttel 9,8 4, ,0 4,0,0 0,0 8,0 6,0 4,0,0 0,0 8,0 6,0 Std.bw. 4,39 Mttel 5,6 394,00 Pres (DM/m²) Pres (DM/m²) Aus den vorlegenden Angben lässt sch de Vrnz zwschen und nnerhlb der Telmengen ermtteln. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 3

17 Bespel: Vrnzzerlegung Anzhl Vrnz Mttelwert Berln 85 6,43 7,8 Ost 394 9,7 5,6 West 4 4,606 9,8 Es glt de Bezehung: ( ) ,7+ 4,606 + ² ,43,05 + 4,406 + ( 5,6 7,8) ² + ( 9,8 7,8) De Vrnz der Gesmtmenge beträgt 6,43 (DM/qm)², wobe 4,4 (DM/qm)² uf de Vrnz zwschen den Telmengen zurüczuführen st. Verglchen mt den gruppennternen Vrnzen von 9,7 (DM/qm)² und 4,6 (DM/qm)² zegt sch, dss de Dfferenzerung nnerhlb der Telmengen größer st ls zwschen den beden Gruppen. Deses Ergebns nn uch dzu benutzt werden, um Grupperungen vorzunehmen oder ncht. Der Antel der externen Vrnz lefert ene Begründung für Grupperungen. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 33 Vrnzen be Lgetrnsformton der Dten Lnere Trnsformton der Ursprungsdten: Fll : Y + X Y y + x De Vrnz der trnsformerten Werte st glech der Vrnz der Ursprungswerte, d ledglch en Socel engefügt wrd: X Mttelwert Mttelwert De Abstände zwschen Mermlswerten und Mttelwert bleben glech, de Vrnz verändert sch ncht. De Vrnz st lge-nvrnt. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 34

18 Vrnz be lnerer Trnsformton der Dten (b ) Fll : Y + b X y + b x De Vrnz der trnsformerten Werte st um den Ftor b² größer ls de Vrnz der Ursprungswerte, denn neben dem Socel () snd de Mermlswerte durch de Multplton mt b gesprezt. y.b Y b X y De Dfferenz zwschen Mermlswert und Mttelwert st um den Ftor b größer, der Ftor b geht mt senem Qudrt n de Vrnz en. De Vrnz st slen-äquvrnt. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 35 Bespel: Lnere Trnsformton der Dten Frge: Beenflusst de Inflton uch de Streuung der Konsumusgben? Es legen für zwe Betrchtungszeträume de Konsumusgben von prvten Hushlten (HH) vor, dese seen von 00 uf 0 Prozent gestegen: 990 HH HH HH 3 HH 4 HH 5 HH 6 HH 7 Konsumusgben n TDM ,837 TDM ²,4 TDM X, 998 X HH HH HH 3 HH 4 HH 5 HH 6 HH 7 Konsumusgben n TDM 4 6,4,6 30 7,6,6 6, ,405 TDM ² 5,37 TDM, , 990 Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 36

19 Bespel: Lnere Trnsformton der Dten De reltve Poston der Hushlte zuennder ht sch ncht verändert, ledglch ufgrund der Inflton snd de enzelnen Verbruchsusgben um den Ftor, gestegen (Ausgbenerhöhung um 0%). Folglch st der Abstnd zwschen Mermlswert und Mttelwert um den Ftor, größer, worus sch für de Vrnz der Ftor,² ergbt. Y + b X Y b X 8,405 TDM ², 5,837 TDM ² Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 37 Beurtelung von Vrnz und Stndrdbwechung Vrnz und Stndrdbwechung snd de gebräuchlchsten Streuungsmße, se snd jedoch wenger nschulch ls de mttlere bsolute Abwechung. Vrnz und Stndrdbwechung snd be Lgetrnsformton der Ursprungswerte unempfndlch. Be lnerer Trnsformton (b ) bewrt ene um ds Qudrt des Ftors veränderte Vrnz. De Vrnz ener Gesmtmenge ergbt sch us der Summe von nterner (nnerhlb der Gruppen) und externer (zwschen den Gruppen) Vrnz. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 38

20 Zusmmenfssung der behndelten Streuungsmße Mttlere bsolute Abwechung sowe Vrnz und Stndrdbwechung bseren uf der mttleren Abwechung ller Enzelwerte von hrem Mttelwert. Spnnwete und Qurtlsbstnd bseren uf Dfferenzen zwschen Mermlswerten. Streuungsmße snd n Abhängget von der Slerung der Mermlswerte zu verwenden. En sehr nschulches Mß, vor llem be öonomschen Schverhlten, st de mttlere bsolute Abwechung. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 39 Stndrdserte Mßzhlen Wll mn mehrere Egenschften (Mermle) der Objete (Enheten) mtennder verglechen, st es erforderlch, de unterschedlchen Mermlsdmensonen uszuschlten. Ds gescheht mttels Stndrdserung. De her behndelten Stndrdserung st de gennnte z-trnsformton Z X mt z Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 40

21 z-trnsformton Es glt: z Abwechung gegenüber dem Mttelwert Dbe bedeuten: z : neuer Wert : lter Wert : Mttelwert der lten Dten : Stndrdbwechung der lten Dten De Dfferenz zwschen Mermlswert und Mttelwert m Zähler sowe de Stndrdbwechung m enner hben de selbe Dmenson, de sch wegürzt. Durch z-trnsformton erhält mn dmensonslose Dten. Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 4 Egenschften der z-trnsformton ds rthmetsche Mttel der neuen Werte st ull, de Vrnz der neuen Werte ht den Wert Ens Gemessene Werte 0 Stndrdserte Werte 0 z Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 4

22 Egenschften der z-trnsformton ds rthmetsche Mttel der neuen Werte st ull, de Vrnz der neuen Werte ht den Wert Ens z z ( ) ( ) 0 z z ( ) Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 43 Bespel: Verglechbret von Dtenrehen durch de z-trnsformton Ws erennt mn drus? () () z () z (),8 34-0,90-0,90, 700-0,63-0,63 3 4,7 6043,7,7 4, ,09 -,09 5,5 34-0,7-0,7 6,3 67 -,36 -,36 7, ,00 0,00 8 3, 44 0,36 0,36 9 4,4 5657,45,45 0 3, ,7 0,7 Mttelwert, ,00 0,00 Streuung, 4,00,00 Bede Dtenrehen drstellen de gleche Vertelung Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III 44