Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-5

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1 20.7 Berechnung linearer Netzwerke.7. Netzwerksanalyse Der Lernende kann - den Netzwerkgraf eines Netzwerkes skizzieren und die Zahl der Knoten und Zweige ermitteln - die Zahl der unabhängigen Knotengleichungen bestimmen - die Zahl der unabhängigen Maschen ermitteln und diese im Netzwerkgraf eintragen a) Netzwerksgraf Ein Netzwerk wird beschrieben durch Knoten, Zweige und Maschen. Bei den Zweigen muss unterschieden werden zwischen Zweigen mit Stromquellen, deren Zweigströme gleich denen der Stromquellen und damit bekannt sind und den Zweigen, die Spannungsquellen und/oder Widerstände enthalten. k Zahl der Knoten : z i Zahl der Zweige mit Stromquellen: z Zahl der Zweige mit Spannungsquellen und/oder Widerständen z = z+ z Gesamtzahl der Zweige m g i Zahl der unabhängigen Maschen Bei vorgegebenen Quellen (Quellenspannung, Quellenstrom einschließlich Vorzeichen) sind die in den z Zweigen fließenden z Zweigströme als Unbekannte eines Gleichungssystems zu verstehen, das demzufolge z Gleichungen aufweisen muss. Die z Gleichungen werden durch vielfache Anwendung von Knoten- und Maschensatz gewonnen. Um die Werte z i, z, k und m zu bestimmen, ist die Kenntnis der Netzwerkstruktur notwendig. Die Netzwerkstruktur wird durch einen Streckenkomplex oder Netzwerkgraf beschrieben. Werden in die z Zweige des Grafs die Zweigstromzählpfeile eingetragen, erhält man den gerichteten Netzwerkgraf. Aufstellung des Netzwerkgrafen: I q I q I I R I R R R I 2 U q z= k=

2 2 b) Bestimmung der unabhängigen Knotengleichungen Die Anwendung des Knotensatzes liefert k Knotengleichungen. Davon sind aber nur k- Gleichungen unabhängig, das heißt nur k- Gleichungen liefern eine neue Aussage im Gleichungssystem der Zweigströme. Nachweis am Netzwerk mit 2 Knoten: K : I + + = 0 K 2 : -I - - = Gleichung K 2 liefert keine neue Aussage Abb..7.2 Bestimmung der Knotenzahl k Jedes beliebige Netzwerke lässt sich mit dem Knotensatz in ein Gebilde mit zwei Knoten zerlegen, stellt man sämtliche k Knotengleichungen eines Netzwerkes auf, ergibt die Addition aller k Gleichungen den Wert Null. I Netzwerk Abb..7. Bestimmung der unabhängigen Knotengleichungen c) Bestimmung der unabhängigen Maschengleichungen Da mit dem Knotensatz im Gleichungssystem der z Zweigströme nur k- Gleichungen aufgestellt werden können muss der Maschensatz die fehlenden m Gleichungen liefern, ein lineares Gleichungssystem ist eindeutig bestimmt: z = (k - ) + m (.7.0) Da sich in einem Netzwerk wesentlich mehr als m Maschen aufstellen lassen, ist m die Zahl der unabhängigen Maschen, deren Maschengleichungen jeweils eine neue Aussage im Gleichungssystem einbringen. Zur Bestimmung der m unabhängigen Maschen in einem Netzwerk werden 2 Methoden verwendet.

3 22 Auftrennmethode: Aus dem Netzwerk wird eine beliebige Masche markiert und nummeriert (a,b,c...), gleichzeitig wird der Umlaufsinn zur Aufstellung der Maschengleichung angegeben. Ma I q Ein Zweig dieser Masche wird aufgetrennt. 2 a) Es wird eine weitere Masche markiert, wobei der aufgetrennte Zweig nicht mehr benutzt werden darf. Es wird wieder ein Zweig dieser Masche aufgetrennt. 2 Ma I q b) Die Maschenmarkierung wird solange fortgesetzt, bis keine Masche aus nicht aufgetrennten Zweigen mehr gebildet werden kann. I q 2 Ma Die Zahl der markierten Maschen ist dann die Zahl der unabhängigen Maschen m. Mc Beispiel: m = c) Abb..7. a), b), c) Bestimmung und Festlegung der unabhängigen Maschen mit der Auftrennmethode

4 2 Methode des vollständigen Baums a) Im Netzwerk werden Zweige so ausgewählt und markiert, dass alle Knoten ohne die Bildung von Maschen miteinander verbunden werden (Baum). 2 Ma I q Es werden dabei k- Zweige erfasst und als vollständiger Baum bezeichnet. Mc Alle nicht markierten Zweige sind sogenannte Verbindungszweige, ihre Zahl entspricht der Zahl der unabhängigen Maschen. b) I q Die m Maschen werden nun so gebildet und markiert (a,b,c...), dass für eine Masche immer einer der Verbindungszweige benutzt wird. Der benutzte Verbindungszweig steht für weitere Maschen nicht mehr zur Verfügung. 2 Ma Mc c) I q In einem Netzwerk lassen sich mehrere vollständige Bäume zeichnen. 2 Ma Mc Abb.7. a),b),c) Bestimmung und Festlegung der unabhängigen Maschen mit der Methode des vollständigen Baumes Für Netzwerke mit kleiner unabhängiger Maschenzahl ist die Auftrennmethode zweckmäßig, für größere Netzwerke kommt nur die Methode des vollständigen Baumes zur Anwendung.

5 Zweigstromverfahren Der Lernende kann - das Wesen des Zweigstromverfahrens erklären - das Netzwerk analysieren und z, k und m bestimmen - mit Knoten- und Maschensatz die z Gleichungen der Zweigströme aufstellen - ein lineares Gleichungssystem lösen a) Wesen des Zweigstromverfahrens Beim Zweigstromverfahren wird das Gleichungssystem der z Zweigströme nach Gl.(.7.0) aufgestellt. Knotensatz Maschensatz z = (k - ) + m (.7.0) für k- Knoten und für m unabhängigen Maschen Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit z unbekannten Zweigströmen. Das Zweigstromverfahren ist universell anwendbar für Netzwerke mit linearen und nichtlinearen Bauelementen und beliebigen Zeitfunktionen der Quellen. Nachteilig ist die große Zahl der Unbekannten und damit der Gleichungen. Bearbeitungsschritte:. Netzwerkstruktur, Graf Nummerierung der k Knoten Nummerierung der z Zweige, Eintragung der Zweigstromzählpfeile Eintragung der m Maschen, Nummerierung und Richtungsfestlegung 2. Übertragung der Zweigstromzählpfeile; Knoten und Maschen in das Netzwerk. Aufstellung der k- Knotengleichungen und m Maschengleichungen. Darstellung des Gleichungssystems als erweiterte Koeffizientendeterminante. Übergang zu Zahlenwertgleichungen, erweiterte Koeffizientendeterminante. Lösung des Gleichungssystems b) Berechnungsablauf Beispiel.7.0 R = Ω = Ω = 2Ω R = Ω R = Ω U q = 0V = V U q = 2V R U q U q R R Abb..7. Beispiel zum Zweigstromverfahren

6 2. Struktur, Bestimmung und Nummerierung von k, m, gerichteter Graf, Ma 2 Mc z = ; k = ; m = z - (k - ) = Abb..7.7 Beispiel zum Zweigstromverfahren Netzwerkgraf 2. Übertragung der Festlegungen im gerichteten Graf in das Netzwerk U q I R Ma I R R Mc I U q Abb..7.7 Beispiel, Netzwerk mit Knoten, Maschen und Zweigstromzählpfeilen. Aufstellung der k- Knotengleichungen und m Maschengleichungen : I + + =0 : - +I +I =0 Ma: U q -I R + - =0 : - +U q + +I R Mc; -I R +I R =0. Darstellung des Gleichungssystems als erweiterte Koeffizientendeterminante I I I R U q 0 - R U q R R 0

7 2. Übergang zu Zahlenwertgleichungen, erweiterte Koeffizientendeterminante Wegen U = R I {}[ U U] = { R}[ R] {}[] I I {} {}{} [ R ] [] I [ R] [] I U = I R [ U] [ U] V Ω [U] = V; [R] = Ω [] I = = A {U}={R}{I} { I } { } { } { I } { I } Lösung des Gleichungssystems Für die Lösung des Gleichungssystems wird der Rechner benutzt. Taschenrechner haben meistens ein Lösungsprogramm für ein lineares Gleichungssystem bis zu Unbekannten, das so gestaltet ist, dass die Zahlenwerte der erweiterten Koeffizientendeterminante eingegeben werden können. I = 0.9A I2 = 0.0A I = 0.A = U = I R = 2.7V U2 = = - 2.2V U = = -.V I = 0.2A U = I R = -.70V I = 0.2A U = I R = -.70V Beispiel.7.02 a) Das Netzwerk ist zu analysieren, der Graf ist zu zeichnen und k, z, m sind zu bestimmen. b) Die Zweigströme sind mit dem Zweigstromverfahren zu berechnen. [] I = [ U] [ R] U q = 0V = V U q = 20V R... R = 0Ω I A =.0A I B = 0.A U q R I A R R U q I B R I C

8 27 I A a) z = k = m=z-(k-)= I B 2 Ma Mc I C b) I I A U q Ma R I R R U q : -I -I A + +I =0 : -I B +I + +I =0 : - -I +I =0 Ma: -U q +I R +I R - + =0 : -I R -U q + -I R =0 Mc: - + +I R -I R =0 I B Mc I I C R I [] I = A [ U] = V [ R] = Ω [ G] = S {I } { } { } {I } {I } {I } {I } { } { } {I } {I } {I } {I A } {I B } {R } -{ } 0 { } 0 0 {U q }- { } { } -{R } 0 -{R } {U q } { } 0 0 -{R } {R } { } I =0.00A =0.2A =.87A I =-0.7A I =-0.2A I =0.20A

9 28.7. Knotenspannungsverfahren Der Lernende kann - das Wesen des Knotenspannungsverfahrens erklären - das Netzwerk analysieren und z, k bestimmen - das Netzwerk mit Knotenspannungen versehen - das Gleichungssystem der Knotenspannungen aufstellen - die Zweigströme aus den Knotenspannungen berechnen a) Wesen des Knotenspannungsverfahrens In einem Netzwerk mit k Knoten liefern nur k- Knoten unabhängige Knotengleichungen. Legt man die k- Knoten fest und ordnet dem nichtbenutzten Knoten (Bezugsknoten) das Potential ϕ k = 0 zu, so lässt sich das Potenzial aller übrigen k- Knoten gegenüber diesem Bezugsknoten eindeutig festlegen mit ϕ ; ϕ 2 bis ϕ k-. Aus der Differenz zwischen dem Knotenpotenzial und dem Potenzial des Bezugsknotens wird eine Knotenspannung definiert als U kν = ϕ ν - ϕ k. mit ϕ k = 0 wird U kν = ϕ ν. (.7.02) Diese Knotenspannungen können mit einem gegenüber den Zweigwiderständen hochohmigem Spannungsmessgerät an einer konkreten Schaltung einfach gemessen werden. Sind die Knotenspannungen eines Netzwerkes bekannt, lassen sich die z Zweigströme des Netzwerkes nacheinander unter Verwendung der Knotenspannung berechnen. Dazu benutzt man den Maschensatz. Es werden Maschen gebildet, die nur den Zweig, dessen Zweigstrom errechnet werden soll, und Knotenspannungen enthalten. Der Maschenumlauf erfolgt dabei zweckmäßigerweise in Richtung des Zweigstromes. I A ϕ R I U U ϕ K =0 I C U q z = ; k = Abb..7.8 Beispiel, Netzwerk mit Knoten, Knotenspannungs- und Zweigstromzählpfeilen ϕ I B M: I R - U q + U k2 - U k = 0 I = G (U k - U k2 + U q ) (.7.0) M2: - U k2 = 0 = G 2 U k2 M : - - U k = 0 = G (U k + U q ) Für die Berechnung der Zweigströme sind damit nur k- Knotenspannungen notwendig. Die Zahl der Unbekannten hat sich von z beim Zweigstromverfahren auf k- beim Knotenspannungsverfahren verringert. Die mit den zunächst nicht bekannten Knotenspannungen berechneten Zweigströme werden in die k- Knotengleichungen des Netzwerkes eingesetzt: K : - I A + I + = 0 -I A + G (U k - U k2 + U q ) + G (U k + U q ) = 0 (.7.0) K 2 : - I + I B + = 0 - G (U k - U k2 + U q ) + I B + G 2 U k2 = 0

10 29 Da k- < z hat das Gleichungssystem im Vergleich mit dem Zweigstromverfahren weniger Unbekannte. Nach Lösung des Gleichungssystem der k- Knotenspannungen lassen sich die z Zweigströme über die eingangs aus der Anwendung des Maschensatzes aufgestellten Gleichungen aus den Knotenspannungen berechnen. Das Prinzip besteht also gegenüber dem Zweigstromverfahren darin, dass die Kirchhoff schen Gesetze nicht geschlossen, sondern nacheinander angewendet werden. Dadurch wird ein Gleichungssystem mit einer geringeren Zahl von Unbekannten erhalten, das sich einfacher lösen lässt. Zum anderen wird in einem Netzwerk oft das Potenzial der Knoten benötigt, die mit den Knotenspannungen bestimmt sind. In der Analyse des Netzwerkes entfällt außerdem die Bestimmung und Markierung der Zahl der unabhängigen Maschen, da nur die Zahl der Zweigströme und die Knotenzahl benötigt werden. Da mit der Knotensatzanwendung alle an Knoten vorhandenen Ströme, also auch Einströmungen von außen oder durch Stromquellen des Netzwerkes erfasst werden und durch die z-fache Anwendung des Maschensatzes alle in den Zweigen vorhandenen Spannungsquellen, ist das Verfahren universell für Netzwerke mit linearen und nichtlinearen Bauelementen bei beliebigen Zeitverläufen der Quellengrößen anwendbar. b) Anwendung Bei der Anwendung des Knotenspannungsverfahrens ergeben sich folgende Bearbeitungsschritte:. Netzwerkstruktur, Bestimmung von z und k, gerichteter Graf 2. Festlegung des Bezugsknotens, Eintragung der Zählpfeile der Knotenspannungen gerichtet von den verbleibenden k- Knoten zum Bezugsknoten. Aufstellung der z Maschengleichungen zur Bestimmung der z Zweigströme. Aufstellung der k- Knotengleichungen und Einsetzen der Zweigströme nach. in die Knotengleichungen, Gleichungssystem der Knotenspannungen. Lösung des Gleichungssystems. Errechnung der Zweigströme nach. Beispiel.7.0 R = Ω = Ω = 2Ω R = Ω R = Ω U q = 0V = V U q = 2V R U q U q R R Abb..7.9 Berechnungsbeispiel

11 0. und 2. Struktur, gerichteter Graf, Knotenspannungen k = ; z = Bestimmung m nicht notwendig Bezugsknoten ; k = 2 ; 2 U U Abb..7.0 Berechnungsbeispiel, Graf U q R I U U I R R I U q Abb..7. Berechnungsbeispiel, Netzwerk mit Knotenspannungs- und Zwqeigstromzählpfeilen. Maschengleichung zur Bestimmung der Zweigströme M: I R - U q - U k = 0 I = G (U k + U q ) M2: - -U k = 0 = G 2 (U k + U q ) M: + U q + U k2 - U k = 0 = G (U k - U k2 - U q ) M: I R - U k2 = 0 I = G U k2 M: I R - U k2 = 0 I = G U k2. Aufstellung der k- Knotengleichungen, Gleichungssystem der Knotenspannungen : I + + = 0 G (U k + U q ) + G 2 (U k + U q ) + G (U k - U k2 - U q ) = 0 : - + I + I = 0 - G (U k - U k2 - U q ) + G U k2 + G U k2 = 0 U k U k2 G + G 2 + G - G -(U q G + G 2 - U q G ) - G G + G + G -(U q G )

12 . Lösung des Gleichungssystems Zur rechentechnischen Lösung des Gleichungssystems wird zu Zahlenwertgleichungen übergegangen: U = I R [U] = V; [I] = A; [R] = Ω {U} = {I} {R} { U } { U } / + / + /2 - /2 -(0/ + / - 2/2 - /2 /2 + / + / - (2/2) { U } { U } U =-7.2V U =-.70V. Errechnung der Zweigströme I = G (U k + U q ) {I } = (/)( ) I =0.9A = G 2 (U k + U q ) { } = (/)( ) =-0.0A = G (U k - U k2 - U q ) { } = (/2)( ) =-0.A I = G U k2 {I } = (/)(-.70) I =-0.2A I = G U k2 {I } = (/)(-.70) I =-0.2A Beispiel.7.0 a) Das Netzwerk ist zu analysieren, der Graf zu zeichnen und k und z sind zu bestimmen b) Der Bezugsknoten ist festzulegen, die Knotenspannungen sind einzuführen und zu berechnen. c) Aus den Knotenspannungen sind die Zweigströme zu berechnen. R = 00Ω = 80Ω = 20Ω R = 0Ω R = 20Ω U q = 220V I A = 2 A I B = A R C R I A R U q I B R

13 2 I C I B I C I B U U I I 2 R U q U R I 2 U U q I A I A R k= z= m=2 M: I R +U q +U =0 M2: +U -U =0 M: -U =0 M: I (R +R )+U =0 I =G (-U -U q ) =G 2 (U -U ) =G U I =-G U G = R + R : I C + + =0 : -I A - -I =0 U (G 2 +G )-U G 2 =-I C -U G 2 +U (G +G 2 +G )=I A -U q G [] I = A [ U] = V [ R] = Ω [ G ] = S {U } {U } {G 2 } + -{G 2 } -{I C } {G } -{G 2 } {G }+{G 2 } + {G } {I A }- {U q }{G } {U } {U } U =.9V U =2.V I =G (-U -U ) =-2.A q I=G 2 2 (U-U ) =0.7A I =G U =0.A I =-G U =-0.2A

14 .7. Maschenstromverfahren Der Lernende kann - das Wesen des Maschenverfahrens erklären - das Netzwerk analysieren und z, k und m bestimmen - das Netzwerk mit Maschenströmen versehen - das Gleichungssystem der Maschenströme aufstellen - die Zweigströme aus den Maschenströmen berechnen a) Wesen des Maschenstromverfahrens Beim Maschenstromverfahren werden analog zum Knotenspannungsverfahren die Kirchhof schen Sätze nicht geschlossen angewandt, sondern unter Verwendung der Hilfsgröße Maschenstrom nacheinander. Das führt im Vergleich mit dem Zweigstromverfahren zur Verringerung der Zahl der zu lösenden Gleichungen von z auf m. Beim Maschenstromverfahren werden zunächst die m unabhängigen Maschengleichungen benutzt um die Hilfsgröße Maschenstrom zu errechnen. Anschließend werden unter Anwendung des Knotensatzes die Zweigströme aus den Maschenströmen bestimmt. Die Analyse der Netzwerkstruktur muss vollständig (z, k, m) bis zur Markierung der m unabhängigen Maschen durchgeführt werden Das Maschenstromverfahren geht von der Überlegung aus, dass in den Zweigen einer Masche, die nicht Bestandteil anderer angrenzender Maschen sind, die Zweigströme gleichen Betrag haben. Nachstehend werden die Überlegungen am gerichteten Graf eines Netzwerkes durchgeführt. U q R R R U q R I I a I c I I b I I = I (.7.0) : =-I - (.7.0) : I = -I (.7.07) I Abb..7.2 Einführung von Maschenstromzählpfeilen

15 In den Zweigen, die Bestandteil zweier oder mehrerer Maschen sind, liefert der Knotensatz den Zweigstrom als vorzeichenbehaftete Addition der Zweigströme der angrenzenden Maschen. Hier kommt das Überlagerungsprinzip zur Wirkung, wodurch die Anwendung des Maschenstromverfahrens auf lineare Netzwerke beschränkt ist. Wird in jeder Masche ein im Sinne des Maschenumlauf fließenden Maschenstrom eingeführt, so können die Zweigströme aus den Maschenströmen berechnet werden.. Für die Zweige, die Bestandteil zweier oder mehrerer Maschen sind, werden die Zweigströme durch mehrfache (maximal k--) Anwendung des Knotensatzes berechnet. 2. Alle anderen Zweigströme sind betragsmäßig gleich den Maschenströmen. Sie brauchen nur vorzeichenmäßig durch Vergleich des Zweigstromzählpfeils mit dem Maschenstromzählpfeil bestimmt werden. : =I a -I b K 2 : I =I b -I c I I b I I a I I c I = I a I = -I a I I = = I Ib = I b I = -I b Abb..7. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen I = I c I = I c Der Maschensatz wird nun unter Verwendung der Maschenströme für jede Masche angewendet. Der Maschenstrom erzeugt in allen Zweigwiderständen der Masche Spannungsabfälle, die Maschenströme benachbarter Maschen erzeugen durch deren Maschenströme in den Zweigwiderständen, die Bestandteil beider Maschen sind, ebenfalls Spannungsabfälle die im Maschensatz entsprechend dem Zählpfeil der Maschenströme addiert werden. Die m Maschengleichungen der unabhängigen Maschen liefern ein Gleichungssystem mit m unbekannten Maschenströmen Das Maschenstromverfahren lässt sich unproblematisch auf Netzwerke anwenden, die von außen keine Ströme eingespeist bekommen und keine Stromquellen aufweisen. Treten Stromquellen im Netzwerk auf ist eine besondere Betrachtung notwendig. Die Anwendung des Maschenstromverfahrens ist für solche Netzwerke nicht zweckmäßig.

16 b) Anwendung auf Netzwerke ohne Stromquellen oder Einspeisungen Bei der Anwendung des Verfahrens ergeben sich die Bearbeitungsschritte. Netzwerkstruktur, Bestimmung z, k, m, m Maschenstromzählpfeile in Maschenumlaufrichtung eintragen 2. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen Für Zweige, die Bestandteil zweier oder mehrerer Maschen sind, werden die Maschenströme überlagert Für alle anderen Zweige wird ein Vorzeichenvergleich zwischen Maschen- und Zweigstrom durchgeführt.. Eintragung der Zweigstromzählpfeile und Maschenstromzählpfeile in das Netzwerk.. Aufstellung der m Maschenstromgleichungen. Lösung des Gleichungssystems der m Maschenströme. Errechnung der z Zweigströme nach den Beziehungen aus 2. Beispiel.7.0: R = Ω = Ω = 2 Ω R = Ω R = Ω U q = 0 V = V U q = 2 V R U q U q R R Abb..7. Berechnungsbeispiel. Struktur, Bestimmung z, k, m, Maschenstromzählpfeile I a 2 I b I c z = ; k = ; m = z - (k - ) = Abb..7. Berechnungsbeispiel, Netzwerkanalyse

17 2. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen Zweige 2 und sind Bestandteil zweier Maschen In den Zweigen, und Vorzeichenvergleich Zweigstrom, Maschenstrom : =I a -I b : I =I b -I c I =-I a =I b I =I c. Eintragung Zweigstromzählpfeile, Maschenstromzählpfeile in das Netzwerk U q I R I R R I I a I b I c U q. Aufstellung der Maschenstromgleichungen M a : U q + I a (R + ) - I b - = 0 M b : - I a + I b ( + + R ) + U q - I c R = 0 M c : - I b R + I c (R + R ) = 0. Lösung des Gleichungssystems I a I b I c M a : R U q + M b : R -R - - U q M c 0 -R R + R 0 Zahlenwertgleichungen: { I a } { I b } { I c } Errechnung der z Zweigströme {U} = {R}{I} [U] = V; [R] = Ω; [I] = A I a = - 0.9A I b = - 0.A I c = - 0.2A : =I a -I b =-0.9A-(-0.) =-0.A : I =I b -I c =-0.-(-0.2) =-0.2A I =-I a =I b I =I c =0.9A =-0.A =-0.2A0

18 7 Beispiel.7.0 a) Das Netzwerk ist zu analysieren, der Graf zu zeichnen und z, k und m zu bestimmen b) In den Maschen sind Maschenströme einzuführen und zu berechnen. c) Die Zweigströme sind aus den Maschenströmen zu berechnen. R U q U q U q = 0 V = V U q = 20 V R... R = 0Ω R R R z= k= m= Ma 2 Mc R U q U q I I a I R I b R R I c I I Ma: I a (R + +R )-I b R -I c -U q + =0 : -I a R +I b ( +R +R )-I c R -U q =0 Mc: -I a -I b R +I c ( +R +R )- =0

19 8 I a I b I c R + +R -R - U q - -R +R +R -R U q - -R +R +R [] I = A [ U] = V [ R] = Ω [ G] = S {I a } {I b } {I c } I a =0.2A I b =.2A I c =.2A I =I a =0.2A =-I a +I c =0.00A =I b =.2A I =I a -I b =.0.2A I =-I c =-.2A I =I c -I b =-0.2A