Aufgabe 1. Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology

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1 Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology Aufgabe 1 Senden Sie die Hausübung bis spätestens per an hw1.spsc@tugraz.at. Verwenden Sie MatrikelNummer1 MatrikelNummer2 als Betreff. Eine vollständige Abgabe besteht aus den von Ihnen erstellten Octave Dateien (*.m) und einem Simulationsprotokoll (PDF). Komprimieren Sie alle Dateien in eine zip-datei mit Dateinamen YourMatrNo YourColleaguesMatrNo.zip und hängen Sie diese an die an. Zusätzlich zur müssen Sie die ausgedruckten Simulationsprotokolle und die Lösungen für die analytischen Aufgaben in unseren Briefkasten in der Inffeldgasse 16c, Erdgeschoß, einwerfen (am Wochenende ist der Zugang zum Briefkasten nicht möglich). Drucken Sie dazu für jede Teilaufgabe den Angabezettel separat aus und klammern sie ihn mit der jeweiligen Lösung/dem jeweiligen Simulationsprotokoll zusammen. Fügen Sie Ihre(n) Namen und Ihre Matrikelnummer(n) auf jedem Angabezettel ein. Wenn Sie Ihre analytischen Lösungen mittels L A TEX erstellen, können Sie bis zu zwei Bonuspunkte erhalten. Bei handschriftlichen Lösungen analytischer Beispiele bitten wir Sie, diese ordentlich, gut strukturiert und leserlich zu verfassen. Ansonsten werden fünf Punkte abgezogen.

2 Octave Aufgabe 1.1 (8 Punkte) Ziel dieser Aufgabe ist es, sich ein wenig mit Octave vertraut zu machen. Bearbeiten Sie hierfür die folgenden Aufgaben: (a) [2 Punkt(e)] Erstellen Sie die zwei Matrizen X=rand(3,2) und Y=repmat(1:2:5,2,1). Berechnen Sie, wenn möglich, Z1=X*Y, Z2=Y*X, Z3=X.*Y und Z4=X.*Y. Was ist das Ergebnis der Berechnungen und welche Berechnungen sind möglich? Welche Auswirkung hat der.-operator, was bewirkt der -Operator? Beschreiben Sie die Funktionsweise von repmat. (b) [2 Punkt(e)] Erzeugen Sie die Vektoren x=randn(5,1) und y=randn(1,5). Berechnen Sie z1=x*y und z2=y*x. Beschreiben Sie den Unterschied von z1 und z2; erwähnen Sie insbesondere die Dimensionen von z1 und z2. Welche der beiden Multiplikationen wird als Bildung des inneren Produktes, welche als Bildung des dyadischen Produktes, bezeichnet? Implementieren Sie eine Funktion c=mynorm2(a,b), die den quadratischen euklidischen Abstand der Vektoren a und b bestimmt. Stellen Sie sicher, dass die Funktion für alle Vektoren a,b gleicher Länge korrekt funktioniert, egal ob es sich um Zeilen- oder Spaltenvektoren handelt. Implementieren Sie die Berechnung der Norm mittels einer for-schleife. Überprüfen Sie die Funktionsweise durch Vergleich mit der Matlab Funktion norm(a-b)^2. Führen Sie eine Million Berechnungen von Distanzen zwischen a = rand(5,1); b=rand(5,1) durch, einerseits mittels norm(a-b)^2 und andererseits mittels mynorm2(a,b). Stoppen Sie die jeweils benötigten Ausführungszeiten mittels der Befehle tic und toc. Was fällt Ihnen dabei auf? Geben Sie die gemessenen Zeiten im Protokoll an. Erstellen Sie nun eine weitere Funktion c=mynorm2mm(a,b), welche den quadratischen euklidischen Abstand von a und b als Vektorprodukt errechnet, das heißt, Sie sollen keine for-schleife verwenden. Vergleichen Sie die Ausführungszeit von mynorm2mm(a,b) mit mynorm2(a,b). Welche Implementierung ist schneller und warum? (c) [2 Punkt(e)] Erzeugen Sie die Matrix X = complex(rand(5,2), rand(5,2)). Setzen Sie Y1 = X und Y2 = X.. Welchen Unterschied zwischen Y1 und Y2 können Sie beobachten? Berechnen Sie die Frobenius-Norm von X, d.h. X F = 5 2 X ij 2, (1) i=1 ohne die Verwendung des Befehls norm und ohne die Verwendung von Schleifen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit jenem, dass Sie durch Verwendung des norm-befehles erhalten (welchen Parameter müssen Sie setzen um die Frobenius-Norm mittels norm zu berechnen?). (d) [2 Punkt(e)] Implementieren Sie die Funktion rot(theta), die die Rotationsmatrix für den Winkel theta erzeugt, d.h. [ ] cos(theta) -sin(theta) = rot(theta). (2) sin(theta) cos(theta) Geben Sie die Rotationsmatrizen für die Winkel 0, 90, 180, 270, und 360 Grad an. Erzeugen Sie den Punkt p=[1;0] und rotieren Sie diesen mittels geeigneter Multiplikation mit der Rotationsmatrix rot(pi/2) um 90 Grad. Wie lauten die neuen Koordinaten des Punktes? j=1

3 Erzeugen Sie Punkte mit zufälligen Koordinaten im ersten Quadranten und stellen Sie diese als Matrix dar. Rotieren Sie all diese Punkte mittels einer einzigen Matrizenmultiplikation in den 3. Quadranten. Überprüfen Sie unter Zuhilfenahme der Funktion all, dass alle Punkte korrekt rotiert wurden und geben Sie in Ihrem Skript gegebenfalls mittels disp eine Erfolgsmeldung aus.

4 Octave Aufgabe 1.2 (8 Punkte) Die Faltungsoperation kann als Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten angeschrieben werden y[n] = a 0 x[n]+a 1 x[n 1]+...+a Na 1x[n N a +1], (3) mit dem Eingangssignal x[n] und den Koeffizienten a[n] als x = [x[0], x[1],..., x[n x 1]] T und a = [a[0], a[1],..., a[n a 1]] T. Das Ausgangssignal sei y = [y[0], y[1],..., y[n y 1]] T, mit N y = N x +N a 1. Des weiteren gilt folgende Bedingung: x[n] = 0 für n / {0,...,N x 1}, und a[n] = 0 für n / {0,...,N a 1}. (a) [2 Punkt(e)] Gleichung (3) kann als Matrix - Vektor Multiplikation angeschrieben werden y = Ax, (4) mit A als Faltungsmatrix. Diskutieren Sie die Eigenschaften und Dimension von A? Tipp: Die Faltungsmatrix kann mittels dem Befehl convmtx erstellt werden. (b) [3 Punkt(e)] Schreiben Sie eine Funktion y = mtxfilter(a,x), welche Gleichung (4) implementiert. Innerhalb dieser Funktion sollen Sie weder den Befehl for die Faltung conv, noch den Befehl für die automatische Erstellung der Faltungsmatrix convmtx benutzen. Überprüfen Sie die Richtigkeit Ihrer Implementierung mittels Vergleich mit dem Ergebnis von conv. (c) [3 Punkt(e)] Testen Sie Ihre Funktion mit dem Eingangssignal ( x[n] = sin 2π 10 n ) ( +sin 2π 40 n ) ( +sin 2π 60 n ) n = 0,...,N x 1 N x N x N x und den Filterkoeffizienten { ( 1) n sin(0.5π(n D)) for n = 0,1,...,D 1,D+1,...N 0.5π(n D) a 1, a[n] = 1 for n = D. für N x = 128, N a = 32 und D = N a /2 und führen Sie folgende Experimente durch: Benutzen Sie die Funktion mtxfilter um das Ausgangssignal y[n] zu berechnen. Erstellen Sie ein neues Figure und zeichnen Sie in drei getrennten Diagrammen mittels subplot das Eingangssignal, die Impulsantwort des Filters und das Ausgangssignal. Beschriften Sie die Achsen mittels xlabel, ylabel und title. Berechnen Sie die diskrete Fouriertransformierte des Ein- und Ausgangssignals mittels der Funktion fft. Zeichnen und beschriften Sie das logarithmische Amplitudenspektrum beider Signale in einem Diagramm. Der Befehl hold on erlaubt das Zeichnen mehrerer überlappender Kurven.

5 Analytische Aufgabe 1.3 (9 Punkte) (a) [5 Punkt(e)] Analyisieren Sie folgende Signale auf Periodizität. Geben Sie für periodische Signale die Periode N 0 an. 1 Punkt: x 1 [n] = cos(0.2n) n Z 1 Punkt: x 2 [n] = cos 2 ((π/6)n+π/4) n Z 1 Punkt: x 3 [n] = e j2πn/5 e jπn/10 n Z 1 Punkt: x 4 [n] = 9 k=0 ejπkn/5 n Z 1 Punkt: x 5 [n] = ( 3) 1 (nmod 6) + 1 tan((π/4)n+2π/3) n Z 4 Hinweis: Sie können Ihre Ergebnisse einfach mittels Octave überprüfen. (b) [4 Punkt(e)] Analysieren Sie die folgenden zeitdiskreten Systeme mit Input x[n] und Output y[n] auf Linearität, und Zeitvarianz/Zeitinvarianz. 1 Punkt: y[n] = e j π 4 x[n] 1 Punkt: y[n] = 0.5x[n] 3x[n 2] 1 Punkt: y[n] = 2x[n] cos(πn/8)x[n 2] 1 Punkt: y[n] = 0.5δ[n] 2x[n 1]x[n 2] Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.