Partialbruchzerlegung

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1 Partialbruchzerlegung Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen z j der Ordnung m j, r = p q, lässt sich in der Form r(z) = f (z) + n j=1 q(z) = c(z z 1) m1 (z z n ) mn r j (z), r j (z) = a j, a j,m j z z j (z z j ) m, j zerlegen. Dabei ist f (z) = f 0 + f 1 z + + f d z d ein Polynom vom Grad d = Grad p Grad q (f = 0, falls d < 0). Die rationalen Funktionen r j werden als Hauptteile von r an den Polstellen bezeichnet. Sie beschreiben jeweils das Wachstum von r(z) für z z j. Partialbruchzerlegung 1-1

2 Partialbruchzerlegung Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen z j der Ordnung m j, r = p q, lässt sich in der Form r(z) = f (z) + n j=1 q(z) = c(z z 1) m1 (z z n ) mn r j (z), r j (z) = a j, a j,m j z z j (z z j ) m, j zerlegen. Dabei ist f (z) = f 0 + f 1 z + + f d z d ein Polynom vom Grad d = Grad p Grad q (f = 0, falls d < 0). Die rationalen Funktionen r j werden als Hauptteile von r an den Polstellen bezeichnet. Sie beschreiben jeweils das Wachstum von r(z) für z z j. Die Partialbruchzerleung kann auf verschiedene Weise bestimmt werden. Partialbruchzerlegung 1-2

3 (i) Koeffizientenvergleich: Partialbruchzerlegung 1-3

4 (i) Koeffizientenvergleich: Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom q führt ein Vergleich der Koeffizienten der Monome z k in der Identität p(z) = f (z)q(z) + n r j (z)q(z) auf ein quadratisches lineares Gleichungssystem für f i und a j,i. j=1 Partialbruchzerlegung 1-4

5 (i) Koeffizientenvergleich: Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom q führt ein Vergleich der Koeffizienten der Monome z k in der Identität p(z) = f (z)q(z) + n r j (z)q(z) auf ein quadratisches lineares Gleichungssystem für f i und a j,i. (ii) Grenzwertmethode: j=1 Partialbruchzerlegung 1-5

6 (i) Koeffizientenvergleich: Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom q führt ein Vergleich der Koeffizienten der Monome z k in der Identität p(z) = f (z)q(z) + n r j (z)q(z) auf ein quadratisches lineares Gleichungssystem für f i und a j,i. (ii) Grenzwertmethode: Für einfache Polstellen z j (m j = 1) ist a j,1 = lim z zj (z z j )r(z) = j=1 p(z j ) k j (z j z k ). Partialbruchzerlegung 1-6

7 (i) Koeffizientenvergleich: Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom q führt ein Vergleich der Koeffizienten der Monome z k in der Identität p(z) = f (z)q(z) + n r j (z)q(z) auf ein quadratisches lineares Gleichungssystem für f i und a j,i. (ii) Grenzwertmethode: Für einfache Polstellen z j (m j = 1) ist a j,1 = lim z zj (z z j )r(z) = j=1 p(z j ) k j (z j z k ). Falls f 0 ( Grad p Grad q), erhält man das Polynom f durch Subtraktion der bereits bestimmten Hauptteile von der rationalen Funktion r. Partialbruchzerlegung 1-7

8 Bei Polstellen z j höherer Ordnung (m j > 1) lässt sich nur der führende Term mit der Grenzwertmethode berechnen: a j,mj = lim z zj (z z j ) m j r(z). Man kann jedoch die Methode rekursiv anwenden, indem man die jeweils berechneten Terme abzieht. Partialbruchzerlegung 1-8

9 Bei Polstellen z j höherer Ordnung (m j > 1) lässt sich nur der führende Term mit der Grenzwertmethode berechnen: a j,mj = lim z zj (z z j ) m j r(z). Man kann jedoch die Methode rekursiv anwenden, indem man die jeweils berechneten Terme abzieht. (iii) Polynomdivision: Partialbruchzerlegung 1-9

10 Bei Polstellen z j höherer Ordnung (m j > 1) lässt sich nur der führende Term mit der Grenzwertmethode berechnen: a j,mj = lim z zj (z z j ) m j r(z). Man kann jedoch die Methode rekursiv anwenden, indem man die jeweils berechneten Terme abzieht. (iii) Polynomdivision: Im Fall Grad p Grad q kann das Polynom f durch Polynomdivision bestimmt werden: p = fq + g mit Grad g < Grad q. Zur Bestimmung der Partialbruchzerlegung von g/q = r f ist sowohl ein Koeffizientenvergleich als auch die Grenzwertmethode anwendbar. Partialbruchzerlegung 1-10

11 (iv) Interpolation: Partialbruchzerlegung 1-11

12 (iv) Interpolation: Gleichungen für die zu bestimmenden Koeffizienten f i und a j,i können ebenfalls durch Einsetzen von Testwerten z l gewonnen werden. Diese Methode wird oft mit der Grenzwertmethode bei Polstellen höherer Ordnung kombiniert. Partialbruchzerlegung 1-12

13 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = 1): Partialbruchzerlegung 2-1

14 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = 1): Polynomdivision (r = p/q = f Rest g) r(z) f (z) = g(z) q(z) = g(z) c(z z 1 ) (z z n ) Polynome g und q teilerfremd, z j verschieden, Grad g < n Partialbruchzerlegung 2-2

15 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = 1): Polynomdivision (r = p/q = f Rest g) r(z) f (z) = g(z) q(z) = g(z) c(z z 1 ) (z z n ) Polynome g und q teilerfremd, z j verschieden, Grad g < n Lagrange-Form des Polynoms g mit Grad < n: n g(z) = g(z j ) z z k, g(z j ) = p(z j ) f (z j )q(z j ) = p(z j ) z j z k j=1 k j Partialbruchzerlegung 2-3

16 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = 1): Polynomdivision (r = p/q = f Rest g) r(z) f (z) = g(z) q(z) = g(z) c(z z 1 ) (z z n ) Polynome g und q teilerfremd, z j verschieden, Grad g < n Lagrange-Form des Polynoms g mit Grad < n: n g(z) = g(z j ) z z k, g(z j ) = p(z j ) f (z j )q(z j ) = p(z j ) z j z k j=1 k j Division durch q(z) = c(z z 1 ) (z z n ) [ ] n p(z j ) r(z) f (z) = c k j (z j z k ) j=1 d.h. a j = [...] = lim z zj (z z j )r(z) 1 z z j, Partialbruchzerlegung 2-4

17 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = 1): Polynomdivision (r = p/q = f Rest g) r(z) f (z) = g(z) q(z) = g(z) c(z z 1 ) (z z n ) Polynome g und q teilerfremd, z j verschieden, Grad g < n Lagrange-Form des Polynoms g mit Grad < n: n g(z) = g(z j ) z z k, g(z j ) = p(z j ) f (z j )q(z j ) = p(z j ) z j z k j=1 k j Division durch q(z) = c(z z 1 ) (z z n ) [ ] n p(z j ) r(z) f (z) = c k j (z j z k ) j=1 1 z z j, d.h. a j = [...] = lim z zj (z z j )r(z) analoge, jedoch technisch kompliziertere Behandlung von Polstellen höherer Ordnung Partialbruchzerlegung 2-5

18 Beispiel: Partialbruchzerlegung von r(z) = p(z) q(z) = z 3 z 2 + z 2 Partialbruchzerlegung 3-1

19 Beispiel: Partialbruchzerlegung von r(z) = p(z) q(z) = z 3 z 2 + z 2 (i) Polynomialer Anteil (Zählergrad Nennergrad): Partialbruchzerlegung 3-2

20 Beispiel: Partialbruchzerlegung von r(z) = p(z) q(z) = z 3 z 2 + z 2 (i) Polynomialer Anteil (Zählergrad Nennergrad): Polynomdivision ( z 3 ) : (z 2 + z 2) = z 1 + 3z 2 z 2 + z 2 ( z 3 +z 2 2z ) z 2 + 2z ( z 2 z +2) 3z 2 Partialbruchzerlegung 3-3

21 Beispiel: Partialbruchzerlegung von r(z) = p(z) q(z) = z 3 z 2 + z 2 (i) Polynomialer Anteil (Zählergrad Nennergrad): Polynomdivision ( z 3 ) : (z 2 + z 2) = z 1 + 3z 2 z 2 + z 2 ( z 3 +z 2 2z ) z 2 + 2z ( z 2 z +2) 3z 2 r = f + g/q mit f (z) = z 1, g(z) = 3z 2 Partialbruchzerlegung 3-4

22 (ii) Polstellen und Ansatz: Partialbruchzerlegung 3-5

23 (ii) Polstellen und Ansatz: Mitternachtsformel Polstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 und q(z) = (z 1)(z + 2) Partialbruchzerlegung 3-6

24 (ii) Polstellen und Ansatz: Mitternachtsformel Polstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 und Ansatz für die Partialbruchzerlegung q(z) = (z 1)(z + 2) g(z) q(z) = 3z 2 z 2 + z 2 = a 1 z 1 + a 2 z + 2 Partialbruchzerlegung 3-7

25 (ii) Polstellen und Ansatz: Mitternachtsformel Polstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 und Ansatz für die Partialbruchzerlegung q(z) = (z 1)(z + 2) g(z) q(z) = 3z 2 z 2 + z 2 = a 1 z 1 + a 2 z + 2 (iii) Bestimmung der Koeffizienten a k : Partialbruchzerlegung 3-8

26 (ii) Polstellen und Ansatz: Mitternachtsformel Polstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 und Ansatz für die Partialbruchzerlegung q(z) = (z 1)(z + 2) g(z) q(z) = 3z 2 z 2 + z 2 = a 1 z 1 + a 2 z + 2 (iii) Bestimmung der Koeffizienten a k : Grenzwertmethode 3z 2 a 1 = lim (z 1) z 1 z 2 + z 2 = 3z 2 z + 2 = 1 z=1 3 Partialbruchzerlegung 3-9

27 (ii) Polstellen und Ansatz: Mitternachtsformel Polstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 und Ansatz für die Partialbruchzerlegung q(z) = (z 1)(z + 2) g(z) q(z) = 3z 2 z 2 + z 2 = a 1 z 1 + a 2 z + 2 (iii) Bestimmung der Koeffizienten a k : Grenzwertmethode 3z 2 a 1 = lim (z 1) z 1 z 2 + z 2 = 3z 2 z + 2 = 1 z=1 3 analog a 2 = 3z 2 z 1 = 8 z= 2 3 Partialbruchzerlegung 3-10

28 (ii) Polstellen und Ansatz: Mitternachtsformel Polstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 und Ansatz für die Partialbruchzerlegung q(z) = (z 1)(z + 2) g(z) q(z) = 3z 2 z 2 + z 2 = a 1 z 1 + a 2 z + 2 (iii) Bestimmung der Koeffizienten a k : Grenzwertmethode 3z 2 a 1 = lim (z 1) z 1 z 2 + z 2 = 3z 2 z + 2 = 1 z=1 3 analog insgesamt a 2 = 3z 2 z 1 = 8 z= 2 3 r(z) = f (z) + g(z) ( 1/3 = (z 1) + q(z) z 1 + 8/3 ) z + 2 Partialbruchzerlegung 3-11

29 Beispiel: r(z) = 5z2 5z + 6 z 3 3z 2 einfache Polstelle bei z 1 = 3, doppelte Polstelle bei z 2 = 0 Partialbruchzerlegung 4-1

30 Beispiel: r(z) = 5z2 5z + 6 z 3 3z 2 einfache Polstelle bei z 1 = 3, doppelte Polstelle bei z 2 = 0 Zählergrad < Nennergrad = keine Polynomdivision notwendig Partialbruchzerlegung 4-2

31 Beispiel: r(z) = 5z2 5z + 6 z 3 3z 2 einfache Polstelle bei z 1 = 3, doppelte Polstelle bei z 2 = 0 Zählergrad < Nennergrad = keine Polynomdivision notwendig Ansatz für die Partialbruchzerlegung: 5z 2 5z + 6 z 3 3z 2 = a 1 z 2 + a 2 z + a 3 z 3 Partialbruchzerlegung 4-3

32 Grenzwertmethode a 1 = lim z 2 5z2 5z + 6 z 0 z 3 3z 2 = 5z2 5z + 6 z 3 = 2 z=0 a 3 = lim (z 3) 5z2 5z + 6 z 3 z 3 3z 2 = 5z2 5z + 6 z 2 = 4 z=3 Partialbruchzerlegung 4-4

33 Grenzwertmethode a 1 = lim z 2 5z2 5z + 6 z 0 z 3 3z 2 = 5z2 5z + 6 z 3 = 2 z=0 a 3 = lim (z 3) 5z2 5z + 6 z 3 z 3 3z 2 = 5z2 5z + 6 z 2 = 4 z=3 Vergleich der Funktionswerte an einem Punkt z 0, z.b. z = = 2 + a 2 2 d.h. a 2 = 1 und r(z) = 2 z z + 4 z 3 Partialbruchzerlegung 4-5

34 Beispiel: r(z) = z2 5z + 4 z 3 3z 2 + z + 5 Partialbruchzerlegung 5-1

35 Beispiel: (i) Polstellen und Ansatz: r(z) = z2 5z + 4 z 3 3z 2 + z + 5 Partialbruchzerlegung 5-2

36 Beispiel: (i) Polstellen und Ansatz: reelle Polstelle z 1 = 1 r(z) = z2 5z + 4 z 3 3z 2 + z + 5 Partialbruchzerlegung 5-3

37 Beispiel: (i) Polstellen und Ansatz: reelle Polstelle z 1 = 1 Polynomdivision r(z) = z2 5z + 4 z 3 3z 2 + z + 5 (z 3 3z 2 + z + 5) : (z + 1) = z 2 4z + 5 Partialbruchzerlegung 5-4

38 Beispiel: (i) Polstellen und Ansatz: reelle Polstelle z 1 = 1 Polynomdivision r(z) = z2 5z + 4 z 3 3z 2 + z + 5 (z 3 3z 2 + z + 5) : (z + 1) = z 2 4z + 5 Mitternachtsformel komplex konjugierte Polstellen z 2,3 = 2 ± = 2 ± i Partialbruchzerlegung 5-5

39 Beispiel: (i) Polstellen und Ansatz: reelle Polstelle z 1 = 1 Polynomdivision r(z) = z2 5z + 4 z 3 3z 2 + z + 5 (z 3 3z 2 + z + 5) : (z + 1) = z 2 4z + 5 Mitternachtsformel komplex konjugierte Polstellen Faktorisierung des Nennerpolynoms z 2,3 = 2 ± = 2 ± i q(z) = (z + 1)(z 2 i)(z 2 + i) Partialbruchzerlegung 5-6

40 Ansatz p(z) q(z) = a z b z 2 i + c z 2 + i Partialbruchzerlegung 5-7

41 Ansatz p(z) q(z) = a z b z 2 i + c z 2 + i (ii) Koeffizientenvergleich: Partialbruchzerlegung 5-8

42 Ansatz p(z) q(z) = a z b z 2 i + c z 2 + i (ii) Koeffizientenvergleich: Multiplikation mit dem Hauptnenner z 2 5z + 4 = a(z 2 i)(z 2 + i) + b(z + 1)(z 2 + i) + c(z + 1)(z 2 i) Partialbruchzerlegung 5-9

43 Ansatz p(z) q(z) = a z b z 2 i + c z 2 + i (ii) Koeffizientenvergleich: Multiplikation mit dem Hauptnenner z 2 5z + 4 = a(z 2 i)(z 2 + i) + b(z + 1)(z 2 + i) + c(z + 1)(z 2 i) Vergleich der Koeffizienten von 1, z, z 2 lineares Gleichungssystem für a, b und c: 4 = 5a + ( 2 + i)b + ( 2 i)c 5 = 4a + ( 1 + i)b + ( 1 i)c 1 = a + b + c Partialbruchzerlegung 5-10

44 Ansatz p(z) q(z) = a z b z 2 i + c z 2 + i (ii) Koeffizientenvergleich: Multiplikation mit dem Hauptnenner z 2 5z + 4 = a(z 2 i)(z 2 + i) + b(z + 1)(z 2 + i) + c(z + 1)(z 2 i) Vergleich der Koeffizienten von 1, z, z 2 lineares Gleichungssystem für a, b und c: 4 = 5a + ( 2 + i)b + ( 2 i)c 5 = 4a + ( 1 + i)b + ( 1 i)c 1 = a + b + c Lösung: a = 1, b = i/2 und c = i/2 Partialbruchzerlegung 5-11

45 komplexe Partialbruchzerlegung r(z) = 1 z i/2 z 2 i + i/2 z 2 + i Partialbruchzerlegung 5-12

46 komplexe Partialbruchzerlegung r(z) = 1 z i/2 z 2 i + i/2 z 2 + i Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme reelle Partialbruchzerlegung r(z) = 1 z z 2 4z + 5 Partialbruchzerlegung 5-13

47 Reelle Partialbruchzerlegung Eine reelle rationale Funktion r mit reellen Polstellen x j und komplex konjugierten Polstellen u k ± iv k der Vielfachheit m j bzw. n k, r = p q, lässt sich in der Form q(x) = c j (x x j ) m j ((x u k ) 2 + vk 2 )n k, k r(x) = f (x) + j m j ν=1 a j,ν (x x j ) ν + k n k µ=1 b k,µ (x u k ) + c k,µ ((x u k ) 2 + v 2 k )µ zerlegen, mit einem Polynom f vom Grad d = Grad p Grad q (f = 0, falls d < 0). Die Zahl der Summanden pro Polstelle entspricht der Vielfachheit. Partialbruchzerlegung 6-1

48 Insbesondere gilt für einfache Polstellen r(x) = f (x) + j a j x x j + k b k (x u k ) + c k (x u k ) 2 + v 2 k. Partialbruchzerlegung 6-2

49 Insbesondere gilt für einfache Polstellen r(x) = f (x) + j a j x x j + k b k (x u k ) + c k (x u k ) 2 + v 2 k. Das Polynom f kann durch Polynomdivision bestimmt werden p = fq + g, Grad g < Grad q, d.h. g ist der Rest bei Division von p durch q. Die Koeffizienten lassen sich dann durch Koeffizientenvergleich in der Darstellung von r f = g/q nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom berechnen. Alternativ kann man ohne Bestimmung von f auch unmittelbar einen Koeffizientenvergleich durchführen. Partialbruchzerlegung 6-3

50 Insbesondere gilt für einfache Polstellen r(x) = f (x) + j a j x x j + k b k (x u k ) + c k (x u k ) 2 + v 2 k. Das Polynom f kann durch Polynomdivision bestimmt werden p = fq + g, Grad g < Grad q, d.h. g ist der Rest bei Division von p durch q. Die Koeffizienten lassen sich dann durch Koeffizientenvergleich in der Darstellung von r f = g/q nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom berechnen. Alternativ kann man ohne Bestimmung von f auch unmittelbar einen Koeffizientenvergleich durchführen. Die reelle Partialbruchzerlegung lässt sich ebenfalls aus der komplexen Form gewinnen, indem man komplex konjugierte Terme zusammenfasst. Partialbruchzerlegung 6-4

51 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = n k = 1): Partialbruchzerlegung 7-1

52 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = n k = 1): komplexe Partialbruchzerlegung r(x) = p(x) q(x) = f (x) + j a j x z j mit z j den (einfachen) Nullstellen des Nennerpolynoms q und a j = lim z zj (z z j )r(z) Partialbruchzerlegung 7-2

53 Beweis: Zerlegung für einfache Polstellen (m j = n k = 1): komplexe Partialbruchzerlegung r(x) = p(x) q(x) = f (x) + j a j x z j mit z j den (einfachen) Nullstellen des Nennerpolynoms q und a j = lim z zj (z z j )r(z) q reell reelle oder Paare komplex konjugierter Nullstellen z k = u + iv, z l = u iv = z k Partialbruchzerlegung 7-3

54 Koeffizienten der entsprechenden Terme der Zerlegung a k = lim z zk (z z k )r(z) = lim z zl (z z l )r(z) = a l d.h. a k = s + it, a l = s it Partialbruchzerlegung 7-4

55 Koeffizienten der entsprechenden Terme der Zerlegung a k = lim z zk (z z k )r(z) = lim z zl (z z l )r(z) = a l d.h. a k = s + it, a l = s it Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme s + it x u iv + s it x u + iv = 2s(x u) 2tv (x u) 2 + v 2 d.h. b = 2s, c = 2t Partialbruchzerlegung 7-5

56 Koeffizienten der entsprechenden Terme der Zerlegung a k = lim z zk (z z k )r(z) = lim z zl (z z l )r(z) = a l d.h. a k = s + it, a l = s it Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme s + it x u iv + s it x u + iv = 2s(x u) 2tv (x u) 2 + v 2 d.h. b = 2s, c = 2t analoge (technisch aufwändigere) Argumentation für Polstellen höherer Ordnung Partialbruchzerlegung 7-6

57 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = p(x) q(x) = 2x 3 9x x + 1 x 3 4x 2 + 5x Partialbruchzerlegung 8-1

58 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = p(x) q(x) = 2x 3 9x x + 1 x 3 4x 2 + 5x (i) Polynomdivision (Grad p Grad q): Partialbruchzerlegung 8-2

59 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = p(x) q(x) = 2x 3 9x x + 1 x 3 4x 2 + 5x (i) Polynomdivision (Grad p Grad q): (2x 3 9x x + 1) : (x 3 4x 2 + 5x) = 2 Rest g(x) = x 2 + x + 1 Partialbruchzerlegung 8-3

60 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = p(x) q(x) = 2x 3 9x x + 1 x 3 4x 2 + 5x (i) Polynomdivision (Grad p Grad q): (2x 3 9x x + 1) : (x 3 4x 2 + 5x) = 2 Rest g(x) = x 2 + x + 1 polynomialer Anteil f (x) = 2 und Zerlegung r(x) = f (x) + g(x) q(x) = 2 + x 2 + x + 1 x 3 4x 2 + 5x Partialbruchzerlegung 8-4

61 (ii) Faktorisierung des Nennerpolynoms and Ansatz: Partialbruchzerlegung 8-5

62 (ii) Faktorisierung des Nennerpolynoms and Ansatz: Polstelle x 1 = 0 Partialbruchzerlegung 8-6

63 (ii) Faktorisierung des Nennerpolynoms and Ansatz: Polstelle x 1 = 0 weitere Polstellen durch quadratische Ergänzung q(x)/x = x 2 4x + 5 = (x 2) Partialbruchzerlegung 8-7

64 (ii) Faktorisierung des Nennerpolynoms and Ansatz: Polstelle x 1 = 0 weitere Polstellen durch quadratische Ergänzung q(x)/x = x 2 4x + 5 = (x 2) u ± iv = 2 ± i Partialbruchzerlegung 8-8

65 (ii) Faktorisierung des Nennerpolynoms and Ansatz: Polstelle x 1 = 0 weitere Polstellen durch quadratische Ergänzung q(x)/x = x 2 4x + 5 = (x 2) u ± iv = 2 ± i Ansatz g(x) q(x) = x 2 + x + 1 x((x 2) ) = a x + b(x 2) + c (x 2) Partialbruchzerlegung 8-9

66 (iii) Koeffizientenvergleich: Partialbruchzerlegung 8-10

67 (iii) Koeffizientenvergleich: Multiplikation mit dem Nennerpolynom q im Ansatz x 2 + x + 1 = a((x 2) ) + b(x 2)x + cx Partialbruchzerlegung 8-11

68 (iii) Koeffizientenvergleich: Multiplikation mit dem Nennerpolynom q im Ansatz x 2 + x + 1 = a((x 2) ) + b(x 2)x + cx Vergleich der Koeffizienten von 1, x und x 2 lineares Gleichungssystem mit der Lösung 1 = 5a 1 = 4a 2b + c 1 = a + b a = 1 5, b = 6 5, c = 3 5 Partialbruchzerlegung 8-12

69 (iii) Koeffizientenvergleich: Multiplikation mit dem Nennerpolynom q im Ansatz x 2 + x + 1 = a((x 2) ) + b(x 2)x + cx Vergleich der Koeffizienten von 1, x und x 2 lineares Gleichungssystem mit der Lösung 1 = 5a 1 = 4a 2b + c 1 = a + b a = 1 5, b = 6 5, c = 3 5 resultierende reelle Partialbruchzerlegung r(x) = f (x) + p(x) ( ) 1/5 q(x) = 2 + 6/5(x 2) + ( 3/5) + x (x 2) Partialbruchzerlegung 8-13

70 (iv) Alternative: Partialbruchzerlegung 8-14

71 (iv) Alternative: Bestimmung der Ansatzparameter für den rationalen Anteil mit der Grenzwertmethode Partialbruchzerlegung 8-15

72 (iv) Alternative: Bestimmung der Ansatzparameter für den rationalen Anteil mit der Grenzwertmethode Multiplikation von g(x)/q(x) mit x und Setzen von x = = a + 0 = a = 1 5 Partialbruchzerlegung 8-16

73 (iv) Alternative: Bestimmung der Ansatzparameter für den rationalen Anteil mit der Grenzwertmethode Multiplikation von g(x)/q(x) mit x und Setzen von x = = a + 0 = a = 1 5 Setzen von x = ( ) = 1/5 2 + c = c = 3 5 Partialbruchzerlegung 8-17

74 (iv) Alternative: Bestimmung der Ansatzparameter für den rationalen Anteil mit der Grenzwertmethode Multiplikation von g(x)/q(x) mit x und Setzen von x = = a + 0 = a = 1 5 Setzen von x = ( ) = 1/5 2 + c = c = 3 5 Bestimmung von b durch Testen eines Punktes x 2, z.b. x = ((1 2) ) = 1/5 b(1 2) + ( 3/5) + 1 (1 2) = b = 6/5 Partialbruchzerlegung 8-18

75 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = p(x) q(x) = x 3 x 4 + 2x Partialbruchzerlegung 9-1

76 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von (i) Polstellen und Ansatz: r(x) = p(x) q(x) = x 3 x 4 + 2x Partialbruchzerlegung 9-2

77 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von (i) Polstellen und Ansatz: r(x) = p(x) q(x) = x 3 x 4 + 2x q(x) = (x 2 + 1) 2 = doppelte Polstellen ±i, d.h. u = 0 und v = 1 Partialbruchzerlegung 9-3

78 Beispiel: reelle Partialbruchzerlegung von (i) Polstellen und Ansatz: r(x) = p(x) q(x) = x 3 x 4 + 2x q(x) = (x 2 + 1) 2 = doppelte Polstellen ±i, d.h. u = 0 und v = 1 Ansatz x 3 (x 2 + 1) 2 = b 1x + c 1 x b 2x + c 2 (x 2 + 1) 2 Partialbruchzerlegung 9-4

79 (ii) Bestimmung der Koeffizienten: Partialbruchzerlegung 9-5

80 (ii) Bestimmung der Koeffizienten: Multiplikation des Ansatzes mit q x 3 = (b 1 x + c 1 )(x 2 + 1) + b 2 x + c 2 = b 1 x 3 + c 1 x 2 + (b 1 + b 2 )x + (c 1 + c 2 ) Partialbruchzerlegung 9-6

81 (ii) Bestimmung der Koeffizienten: Multiplikation des Ansatzes mit q x 3 = (b 1 x + c 1 )(x 2 + 1) + b 2 x + c 2 = b 1 x 3 + c 1 x 2 + (b 1 + b 2 )x + (c 1 + c 2 ) Vergleich der Koeffizienten von 1, x, x 2 und x 3 lineares Gleichungssystem 1 = b 1 0 = c 1 0 = b 1 + b 2 0 = c 1 + c 2 mit der Lösung b 1 = 1, c 1 = 0, b 2 = 1, c 2 = 0 Partialbruchzerlegung 9-7

82 (iii) Alternative Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung: Partialbruchzerlegung 9-8

83 (iii) Alternative Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung: Ansatz z 3 (z i) 2 (z + i) 2 = a z i + b (z i) 2 + c z + i + d (z + i) 2 Partialbruchzerlegung 9-9

84 (iii) Alternative Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung: Ansatz z 3 (z i) 2 (z + i) 2 = a z i + b (z i) 2 + c z + i + d (z + i) 2 Grenzwertmethode b = lim z i (z i) 2 r(z) = i3 (2i) 2 = i 4 Partialbruchzerlegung 9-10

85 (iii) Alternative Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung: Ansatz z 3 (z i) 2 (z + i) 2 = a z i + b (z i) 2 + c z + i + d (z + i) 2 Grenzwertmethode b = lim z i (z i) 2 r(z) = d = b = i/4 ein Term der Zerlegung i3 (2i) 2 = i 4 i/4 (z i) 2 i/4 (z + i) 2 = z (z 2 + 1) 2 Partialbruchzerlegung 9-11

86 (iii) Alternative Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung: Ansatz z 3 (z i) 2 (z + i) 2 = a z i + b (z i) 2 + c z + i + d (z + i) 2 Grenzwertmethode b = lim z i (z i) 2 r(z) = d = b = i/4 ein Term der Zerlegung i3 (2i) 2 = i 4 i/4 (z i) 2 i/4 (z + i) 2 = z (z 2 + 1) 2 zweiter Term r(z) z (z 2 + 1) 2 = z z Partialbruchzerlegung 9-12

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