3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit
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- Marta Michel
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1 3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate Normalverteilung (Definition, Eigenschaften) Empfohlene Literatur: Mood, Graybill, Boes (1974), Kapitel IV, S Wilfling (2008), Kapitel 4 94
2 3.1 Gemeinsame Verteilung und Randverteilung Jetzt: Gleichzeitige Betrachtung mehrerer Zufallsvariablen Einsatzgebiete: Diverse ökonomische Anwendungen Statistische Inferenz 95
3 Definition 3.1: (Zufallsvektor) Gegeben seien die n Zufallsvariablen X 1,, X n zu ein und demselben Zufallsexperiment, d.h. X i : Ω R für i = 1,..., n. Dann nennt man X = (X 1,..., X n ) eine n-dimensionale Zufallsvariable oder einen n-dimensionalen Zufallsvektor. Bemerkungen: In der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man für Zufallsvektoren oft auch die Schreibweisen X = (X 1,..., X n ) oder einfach X 1,..., X n 96
4 Für n = 2 schreibt man oft X = (X, Y ) oder (X, Y ) oder X, Y Für die Realisationen benutzt man Kleinbuchstaben: x = (x 1,..., x n ) R n oder x = (x, y) R 2 Jetzt: Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsvektors X 97
5 Definition 3.2: (Gemeinsame Verteilungsfunktion) Für den Zufallsvektor X = (X 1,..., X n ) heißt die Funktion F X1,...,X n : R n [0, 1] mit F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = P (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) die gemeinsame Verteilungsfunktion von X = (X 1,..., X n ). Bemerkung: Definition 3.2 bezieht sich sowohl auf diskrete als auch auf stetige Zufallsvariablen X 1,..., X n 98
6 Einige Eigenschaften der bivariaten VF (n = 2): F X,Y (x, y) ist monoton steigend in x und y lim x F X,Y (x, y) = 0 lim y F X,Y (x, y) = 0 lim x + y + F X,Y (x, y) = 1 Bemerkung: Für die n-dimensionale VF F X1,...,X n (x 1,..., x n ) gelten analoge Eigenschaften 99
7 Jetzt: Gemeinsam diskrete versus stetige Verteilungen Definition 3.3: (Gemeinsam diskrete Verteilung) Der Zufallsvektor X = (X 1,..., X n ) heißt gemeinsam diskret, wenn es nur endlich (oder abzählbar unendlich) viele Realisationen x = (x 1,..., x n ) gibt, so dass und P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n ) > 0 P (X1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n ) = 1, wobei die Summation über alle möglichen Realisationen des Zufallsvektors erfolgt. 100
8 Definition 3.4: (Gemeinsam stetige Verteilung) Der Zufallsvektor X = (X 1,..., X n ) heißt gemeinsam stetig, falls es eine nicht-negative Funktion f X1,...,X n (x 1,..., x n ) gibt, so dass xn x1 F X1,...,X n (x 1,..., x n ) =... f X 1,...,X n (u 1,..., u n ) du 1... du n gilt. Die Funktion f X1,...,X n heißt gemeinsame Dichtefunktion des Zufallsvektors. Beispiel: Betrachte für X = (X, Y ) die Dichtefunktion f X,Y (x, y) = { x + y, für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst 101
9 Dichtefunktion f X,Y (x, y) fhx,yl x y
10 Für die Verteilungsfunktion folgt F X,Y (x, y) = y x f X,Y (u, v) du dv = y 0 x 0 (u + v) du dv =... = 0.5(x 2 y + xy 2 ), für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0.5(x 2 + x), für (x, y) [0, 1] [1, ) 0.5(y 2 + y), für (x, y) [1, ) [0, 1] 1, für (x, y) [1, ) [1, ) (Beweis: Übungsaufgabe) 103
11 Bemerkungen: Es gilt: n F X1,...,X n (x 1,..., x n ) x 1 x n = f X1,...,X n (x 1,..., x n ) Das Volumen unter der Dichtefunktion repräsentiert Wahrscheinlichkeiten: P (a u 1 < X 1 a o 1,..., au n < X n a o n ) = a o n a u n... a o 1 a u 1 f X1,...,X n (u 1,..., u n ) du 1... du n 104
12 In dieser VL: Fokus auf stetige Zufallsvektoren Für diskrete Zufallsvektoren gelten analoge Aussagen (vgl. Mood, Graybill, Boes (1974), Kapitel IV) Jetzt: Bestimmung der Verteilung einer einzelnen Zufallsvariablen X i aus der gemeinsamen Verteilung des Zufallsvektors (X 1,..., X n ) Randverteilung 105
13 Definition 3.5: (Randverteilung) Es sei X = (X 1,..., X n ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit den Verteilungs- und Dichtefunktionen F X1,...,X n bzw. f X1,...,X n. Dann heißen F X1 (x 1 ) = F X1,...,X n (x 1, +, +,..., +, + ) F X2 (x 2 ) = F X1,...,X n (+, x 2, +,..., +, + )... F Xn (x n ) = F X1,...,X n (+, +, +,..., +, x n ) die Randverteilungsfunktionen bzw. 106
14 f X1 (x 1 ) = f X2 (x 2 ) = f X 1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) dx 2... dx n f X 1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 3... dx n f Xn (x n ) = f X 1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2... dx n 1 die Randdichten der einzelnen (univariaten) Zufallsvariablen X 1,..., X n. 107
15 Beispiel: Gegeben sei die bivariate Dichtefunktion f X,Y (x, y) = { 40(x 0.5) 2 y 3 (3 2x y), für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst 108
16 Dichtefunktion f X,Y (x, y) 3 fhx,yl x y
17 Für die Randdichte von X gilt: f X (x) = (x 0.5)2 y 3 (3 2x y)dy = 40(x 0.5) (3y3 2xy 3 y 4 )dy [ = 40(x 0.5) y4 2x 4 y4 1 ] 1 5 y5 = 40(x 0.5) 2 ( 3 4 2x = 20x x 2 27x ) 0 110
18 Randdichte f X (x) fhxl x 111
19 Für die Randdichte von Y gilt: f Y (y) = (x 0.5)2 y 3 (3 2x y)dx = 40y 3 1 = 10 3 y3 (y 2) 0 (x 0.5)2 (3 2x y)dx 112
20 Randdichte f Y (y) fhyl y 113
21 Bemerkungen: Beim Übergang zu den Randverteilungen ergibt sich ein Informationsverlust (aus gemeinsamer Verteilung folgen die Randverteilungen, aber nicht umgekehrt) Neben den einzelnen univariaten Randverteilungen ergeben sich auch die multivariaten Randverteilungen aus der gemeinsamen Verteilung von X = (X 1,..., X n ) 114
22 Beispiel: Es sei n = 5, d.h. X = (X 1,..., X 5 ) mit gemeinsamer Dichtefunktion f X1,...,X 5 Dann ist die Randdichte von Z = (X 1, X 3, X 5 ) = f X1,X 3,X 5 (x 1, x 3, x 5 ) + + f X 1,...,X 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) dx 2 dx 4 (Herausintegrieren nicht interessierender Komponenten) 115
23 3.2 Bedingte Verteilungen und stochastische Unabhängigkeit Jetzt: Verteilung einer ZV en X unter der Bedingung, dass eine andere ZV en Y bereits einen bestimmten Wert y angenommen hat (Bedingte Verteilung von X unter Y = y) 116
24 Definition 3.6: (Bedingte Verteilung) Es seien X = (X, Y ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X,Y (x, y). Die bedingte Dichte von X unter der Bedingung Y = y ist definiert durch f X Y =y (x) = f X,Y (x, y). f Y (y) Analog ist die bedingte Dichte von Y unter der Bedingung X = x definiert als f Y X=x (y) = f X,Y (x, y). f X (x) 117
25 Bemerkung: Bedingte Dichten für Zufallsvektoren werden analog definiert, z.b. f X1,X 2,X 4 X 3 =x 3,X 5 =x 5 (x 1, x 2, x 4 ) = f X1,X 2,X 3,X 4,X 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) f X3,X 5 (x 3, x 5 ) 118
26 Beispiel: Gegeben sei die bivariate Dichtefunktion f X,Y (x, y) { 40(x 0.5) = 2 y 3 (3 2x y), für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst mit der Randdichte f Y (y) = 10 3 y3 (y 2) (vgl. Folien ) 119
27 Dann gilt für die bedingte Dichte f X Y =y (x) = f X,Y (x, y) f Y (y) = 40(x 0.5)2 y 3 (3 2x y) 10 3 y3 (y 2) = 12(x 0.5)2 (3 2x y) 2 y 120
28 Bedingte Dichte f X Y =0.01 (x) von X unter Y = 0.01 Bedingte 3 Dichte x 121
29 Bedingte Dichte f X Y =0.95 (x) von X unter Y = 0.95 Bedingte 1.2 Dichte x 122
30 Jetzt: Benutze Konzepte der gemeinsamen Verteilung bzw. der bedingten Verteilung zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit (zunächst für 2 ZV e) Definition 3.7: (Stochastische Unabhängigkeit [I]) Es sei (X, Y ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X,Y (x, y). Dann heißen X und Y stochastisch unabhängig, falls die gemeinsame Dichtefunktion dem Produkt der Randdichten entspricht: f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) für alle x, y R. 123
31 Bemerkungen: Alternativ drückt man die Unabhängigkeit auch über die gemeinsame Verteilungsfunktion aus: X und Y sind genau dann unabhängig, wenn gilt: F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) für alle x, y R. Sind X und Y unabhängig, so gilt für die bedingten Verteilungen: f X Y =y (x) = f X,Y (x, y) f Y (y) f Y X=x (y) = f X,Y (x, y) f X (x) = f X(x) f Y (y) f Y (y) = f X(x) f Y (y) f X (x) = f X (x) = f Y (y) Sind X und Y unabhängig und g und h zwei stetige Funktionen, so sind auch g(x) und h(y ) unabhängig 124
32 Jetzt: Verallgemeinerung auf n ZV en Definition 3.8: (Stochastische Unabhängigkeit [II]) Es sei (X 1,..., X n ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X1,...,X n (x 1,..., x n ) sowie Verteilungsfunktion F X1,...,X n (x 1,..., x n ). Dann heißen X 1,..., X n stochastisch unabhängig, falls für alle (x 1,..., x n ) R n gilt bzw. f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = f X1 (x 1 )... f Xn (x n ) F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ). 125
33 Bemerkungen: Für diskret verteilte Zufallsvektoren definiert man analog: X 1,..., X n sind stochastisch unabhängig, falls für alle Realisationen (x 1,..., x n ) R n gilt: P (X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P (X 1 = x 1 )... P (X n = x n ) bzw. F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ). Bei Unabhängigkeit ergibt sich die gemeinsame Verteilung aus den Randverteilungen (sonst nicht) Sind X 1,..., X n stochastisch unabhängig und g 1,..., g n stetige Funktionen, so sind auch die transformierten ZV en Y 1 = g 1 (X 1 ),..., Y n = g n (X n ) stochastisch unabhängig 126
34 3.3 Erwartungswerte und gemeinsame momentenerzeugende Funktion Jetzt: Definition des Erwartungswertes einer Funktion g : R n R (x 1,..., x n ) g(x 1,... x n ) eines stetig verteilten Zufallsvektors X = (X 1,..., X n ) 127
35 Definition 3.9: (E-Wert einer Funktion) Es sei (X 1,..., X n ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit Dichtefunktion f X1,...,X n (x 1,..., x n ) und g : R n R eine reellwertige stetige Funktion. Dann ist der Erwartungswert der Funktion des Zufallsvektors definiert als E[g(X 1,..., X n )] = g(x 1,..., x n ) f X1,...,X n (x 1,..., x n ) dx 1... dx n. 128
36 Bemerkungen: Für einen diskret verteilten Zufallsvektor (X 1,..., X n ) lautet die entsprechende Definition E[g(X 1,..., X n )] = g(x 1,..., x n ) P (X 1 = x 1,..., X n = x n ), wobei über alle Realisationen des Vektors zu summieren ist Definition 3.9 umfasst den Erwartungswert einer einzelnen ZV en X: Setze n = 1 sowie g(x) = x E(X 1 ) E(X) = + xf X(x) dx Definition 3.9 umfasst die Varianz einer ZV en X: Setze n = 1 und sowie g(x) = [x E(X)] 2 Var(X 1 ) Var(X) = + [x E(X)]2 f X (x) dx 129
37 Definition 3.9 umfasst die Kovarianz zweier ZV en: Setze n = 2 sowie g(x 1, x 2 ) = [x 1 E(X 1 )] [x 2 E(X 2 )] Cov(X 1, X 2 ) = + + [x 1 E(X 1 )][x 2 E(X 2 )]f X1,X 2 (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 Mit der Kovarianz folgt der Korrelationskoeffizient: Corr(X 1, X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) Var(X 1 ) Var(X 2 ) Eigenschaften von Erwartungswerten, Varianzen, Kovarianzen, Korrelationskoeffizienten siehe Übung 130
38 Jetzt: Erwartungswerte und Varianzen für Zufallsvektoren Definition 3.10: (E-Wertvektor, Kovarianzmatrix) X = (X 1,..., X n ) sei ein Zufallsvektor. Unter dem Erwartungswertvektor von X versteht man den Vektor der Erwartungswerte E(X) = E(X 1 ). E(X n ) Unter der Kovarianzmatrix von X versteht man die folgende Matrix von Varianzen und Kovarianzen: Cov(X) =. Var(X 1 ) Cov(X 1, X 2 )... Cov(X 1, X n ) Cov(X 2, X 1 ) Var(X 2 )... Cov(X 2, X n ) Cov(X n, X 1 ) Cov(X n, X 2 )... Var(X n ). 131
39 Bemerkung: Offensichtlich ist jede Kovarianzmatrix symmetrisch Frage: Wie verhalten sich Erwartungswertvektoren und Kovarianzmatrizen unter linearen Transformationen von Zufallsvektoren Es seien X = (X 1,..., X n ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor A eine (m n)-matrix reeller Zahlen b ein (m 1) Spaltenvektor reeller Zahlen 132
40 Offensichtlich gilt: Y = AX + b ist ein (m 1)-Zufallsvektor: Y = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn X 1 X 2. X n + b 1 b 2. b m = a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n + b 1 a 21 X 1 + a 22 X a 2n X n + b 2. a m1 X 1 + a m2 X a mn X n + b m 133
41 Für den Erwartungswertvektor von Y gilt: E(Y) = a 11 E(X 1 ) + a 12 E(X 2 ) a 1n E(X n ) + b 1 a 21 E(X 1 ) + a 22 E(X 2 ) a 2n E(X n ) + b 2. a m1 E(X 1 ) + a m2 E(X 2 ) a mn E(X n ) + b m = AE(X) + b Für die Kovarianzmatrix von Y gilt: Var(Y 1 ) Cov(Y 1, Y 2 )... Cov(Y 1, Y n ) Cov(Y Cov(Y) = 2, Y 1 ) Var(Y 2 )... Cov(Y 2, Y n ) Cov(Y n, Y 1 ) Cov(Y n, Y 2 )... Var(Y n ) (Beweis: Übung) = ACov(X)A 134
42 Bemerkung: Vgl. Analogien zu den univariaten Fällen: E(a X + b) = a E(X) + b Var(a X + b) = a 2 Var(X) Bisher: Erwartungswerte für unbedingte Verteilungen Jetzt: Erwartungswerte für bedingte Verteilungen (vgl. Definition 3.6, Folie 117) 135
43 Definition 3.11: (Bedingter E-Wert einer Funktion) Es sei (X, Y ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X,Y (x, y) und g : R 2 R eine reellwertige stetige Funktion. Dann ist der bedingte Erwartungswert der Funktion unter der Bedingung X = x definiert als E[g(X, Y ) X = x] = + g(x, y) f Y X (y) dy. 136
44 Bemerkungen: Für einen diskret verteilten Zufallsvektor (X, Y ) analoge Definition gilt eine Die Definition 3.11 kann auf höher dimensionale Verteilungen verallgemeinert werden Für g(x, y) = y erhält man als Spezialfall E[g(X, Y ) X = x] = E(Y X = x) Man beachte, dass E[g(X, Y ) X = x] im Allgemeinen eine Funktion von x darstellt 137
45 Beispiel: Man betrachte die gemeinsame stetige Dichtefunktion f X,Y (x, y) = { x + y, für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst Für die bedingte Verteilung von Y unter X = x folgt f Y X (y) = x + y x + 0.5, für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst Mit g(x, y) = y ergibt sich der bedingte Erwartungswert als E(Y X = x) = 1 0 y x + y x dy = 1 x ( x ) 138
46 Bemerkungen: Wir betrachten die Funktion g(x, y) = g(y) (d.h. g hängt nicht von x ab) Nun bezeichne h(x) = E[g(Y ) X = x] Wir berechnen nun den unbedingten Erwartungswert der Transformation h(x) Es gilt: 139
47 E {E[g(Y ) X = x]} = E[h(X)] = + h(x) f X(x) dx = = + E[g(Y ) X = x] f X(x) dx [ + + g(y) f Y X (y) dy ] f X (x) dx = + + g(y) f Y X (y) f X(x) dy dx = + + g(y) f X,Y (x, y) dy dx = E[g(Y )] 140
48 Satz 3.12: Es sei (X, Y ) ein beliebig diskret oder stetig verteilter Zufallsvektor. Dann gilt und insbesondere E[g(Y )] = E {E[g(Y ) X = x]} E[Y ] = E {E[Y X = x]}. Jetzt: Drei weitere wichtige Rechenregeln für bedingte und unbedingte Erwartungswerte 141
49 Satz 3.13: Es seien (X, Y ) ein beliebig diskret oder stetig verteilter Zufallsvektor und g 1 ( ), g 2 ( ) zwei eindimensionale Funktionen. Dann gilt für die bedingten Erwartungswerte: 1. E[g 1 (Y ) + g 2 (Y ) X = x] = E[g 1 (Y ) X = x] + E[g 2 (Y ) X = x]. 2. E[g 1 (Y ) g 2 (X) X = x] = g 2 (x) E[g 1 (Y ) X = x]. 3. Falls X und Y stochastisch unabhängig sind, so gilt für die unbedingten Erwartungswerte E[g 1 (X) g 2 (Y )] = E[g 1 (X)] E[g 2 (Y )]. 142
50 Abschließend: Momentenerzeugende Funktion für Zufallsvektoren Definition 3.14: (Gemeinsame momentenerz. Funktion) Es sei (X 1,..., X n ) ein beliebig diskret oder stetig verteilter Zufallsvektor. Dann ist dessen gemeinsame momentenerzeugende Funktion definiert durch m X1,...,X n (t 1,..., t n ) = E [ e t 1 X t n X n ], falls dieser Erwartungswert für alle Werte von t 1,..., t n mit h < t j < h für irgendein h > 0 und alle j = 1,..., n existiert. 143
51 Bemerkungen: Anhand der gemeinsamen momentenerzeugenden Funktion m X1,...,X n (t 1,..., t n ) lassen sich mit bestimmten Rechenoperationen die folgenden Objekte bestimmen: die marginalen momentenerzeugenden Funktionen m X1 (t 1 ),..., m Xn (t n ) die Momente der Randverteilungen sogenannte gemeinsame Momente 144
52 Zentrales Resultat: (vgl. Satz 2.23, Folie 85) Zu einer gegebenen gemeinsamen momentenerzeugenden Funktion m X1,...,X n (t 1,..., t n ) gehört eine eindeutige gemeinsame Verteilungsfunktion F X1,...,X n (x 1,..., x n ) 145
53 3.4 Die multivariate Normalverteilung Jetzt: Verallgemeinerung der univariaten Normalverteilung Definition 3.15: (Multivariate Normalverteilung) Es sei X = (X 1,..., X n ) ein n-dimensionaler stetiger Zufallsvektor. X heißt multivariat normalverteilt mit Parametern µ = µ 1. µ n und Σ = σ 2 1 σ 1n..... σ n1 σ 2 n falls für x = (x 1,..., x n ) R n die Dichtefunktion { f X (x) = (2π) n/2 [det(σ)] 1/2 exp 1 2 (x µ) Σ 1 (x µ), } lautet. 146
54 Bemerkungen: Für die Definition und Eigenschaften der Determinanten einer Matrix A, det(a), vgl. Chang (1984, S. 92 ff) Übliche Notation X N(µ, Σ) µ ist ein Spaltenvektor mit µ 1,..., µ n R Σ ist (per Annahme) eine reguläre, positiv definite, symmetrische (n n)-matrix Bedeutung der Parameter: E(X) = µ und Cov(X) = Σ 147
55 Dichte der multivariaten Standardnormalverteilung N(0, I n ): { φ(x) = (2π) n/2 exp 1 } 2 x x Man beachte die Analogien zur univariaten Dichte in Definition 2.24, Folie 91 Eigenschaften der N(µ, Σ)-Verteilung: Teilvektoren (Randverteilungen) von X sind wieder normalverteilt, d.h. falls dann gilt: X = [ X1 X 2 ] N ([ µ1 µ 2 ] X 1 N(µ 1, Σ 11 ) X 2 N(µ 2, Σ 22 ), [ Σ11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ]) 148
56 Somit sind alle univariaten Elemente des Zufallsvektors X = (X 1,..., X n ) univariat normalverteilt: X 1 N(µ 1, σ 2 1 ) X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). X n N(µ n, σ 2 n ) Auch die bedingten Verteilungen sind wiederum (uni- oder multivariat) normal: X 1 X 2 = x 2 N ( µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 (x 2 µ 2 ), Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21 Lineare Transformationen: Es seien A eine (m n)-matrix und b ein (m 1)-Vektor reeller Zahlen sowie X = (X 1,..., X n ) N(µ, Σ). Dann gilt: AX + b N(Aµ + b, AΣA ) ) 149
57 Beispiel: Es sei X N(µ, Σ) ([ 0 N 1 ], [ Gesucht ist die Verteilung von Y = AX + b mit [ ] [ ] A =, b = Es gilt Y N(Aµ + b, AΣA ) ]) Matrixalgebra ergibt [ 3 Aµ + b = 6 ] und AΣA = [ ] 150
58 Jetzt: Spezialisierung auf bivariaten Fall (n = 2), d.h. [ ] [ X = (X, Y ) µx σ 2, E(X) =, Σ = X σ XY Es gilt µ Y σ Y X σ 2 Y ] σ XY = σ Y X = Cov(X, Y ) = σ X σ Y Corr(X, Y ) = σ X σ Y ρ Mit Definition 3.15 und n = 2 gilt dann für die Dichte f X,Y (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 exp [ (x µx ) 2 σ 2 X (Herleitung: Übungsaufgabe) 1 2 ( 1 ρ 2) 2ρ(x µ X)(y µ Y ) + (y µ Y ) 2 ]} σ X σ Y σy 2 151
59 Dichte f X,Y (x, y) mit µ X = µ Y = 0, σ x = σ Y = 1 sowie ρ = fhx,yl y 2 0 x
60 Dichte f X,Y (x, y) mit µ X = µ Y = 0, σ x = σ Y = 1 sowie ρ = fhx,yl y 2 0 x
61 Bemerkungen: Für die Randverteilungen gilt X N(µ X, σ 2 X ) und Y N(µ Y, σ 2 Y ) Besonderheit der Normalverteilung: Ist ρ = Corr(X, Y ) = 0 (d.h. sind X und Y unkorreliert), so sind X und Y stochastisch unabhängig Die bedingten Verteilungen sind gegeben durch X Y = y N Y X = x N ( ( (Beweise: Übungsaufgabe) µ X + ρ σ X (y µ Y ), σ 2 ( X 1 ρ 2 )) σ Y µ Y + ρ σ Y σ X (x µ X ), σ 2 Y ( 1 ρ 2 )) 154
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