3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit

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1 3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate Normalverteilung (Definition, Eigenschaften) Empfohlene Literatur: Mood, Graybill, Boes (1974), Kapitel IV, S Wilfling (2008), Kapitel 4 94

2 3.1 Gemeinsame Verteilung und Randverteilung Jetzt: Gleichzeitige Betrachtung mehrerer Zufallsvariablen Einsatzgebiete: Diverse ökonomische Anwendungen Statistische Inferenz 95

3 Definition 3.1: (Zufallsvektor) Gegeben seien die n Zufallsvariablen X 1,, X n zu ein und demselben Zufallsexperiment, d.h. X i : Ω R für i = 1,..., n. Dann nennt man X = (X 1,..., X n ) eine n-dimensionale Zufallsvariable oder einen n-dimensionalen Zufallsvektor. Bemerkungen: In der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man für Zufallsvektoren oft auch die Schreibweisen X = (X 1,..., X n ) oder einfach X 1,..., X n 96

4 Für n = 2 schreibt man oft X = (X, Y ) oder (X, Y ) oder X, Y Für die Realisationen benutzt man Kleinbuchstaben: x = (x 1,..., x n ) R n oder x = (x, y) R 2 Jetzt: Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsvektors X 97

5 Definition 3.2: (Gemeinsame Verteilungsfunktion) Für den Zufallsvektor X = (X 1,..., X n ) heißt die Funktion F X1,...,X n : R n [0, 1] mit F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = P (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) die gemeinsame Verteilungsfunktion von X = (X 1,..., X n ). Bemerkung: Definition 3.2 bezieht sich sowohl auf diskrete als auch auf stetige Zufallsvariablen X 1,..., X n 98

6 Einige Eigenschaften der bivariaten VF (n = 2): F X,Y (x, y) ist monoton steigend in x und y lim x F X,Y (x, y) = 0 lim y F X,Y (x, y) = 0 lim x + y + F X,Y (x, y) = 1 Bemerkung: Für die n-dimensionale VF F X1,...,X n (x 1,..., x n ) gelten analoge Eigenschaften 99

7 Jetzt: Gemeinsam diskrete versus stetige Verteilungen Definition 3.3: (Gemeinsam diskrete Verteilung) Der Zufallsvektor X = (X 1,..., X n ) heißt gemeinsam diskret, wenn es nur endlich (oder abzählbar unendlich) viele Realisationen x = (x 1,..., x n ) gibt, so dass und P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n ) > 0 P (X1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n ) = 1, wobei die Summation über alle möglichen Realisationen des Zufallsvektors erfolgt. 100

8 Definition 3.4: (Gemeinsam stetige Verteilung) Der Zufallsvektor X = (X 1,..., X n ) heißt gemeinsam stetig, falls es eine nicht-negative Funktion f X1,...,X n (x 1,..., x n ) gibt, so dass xn x1 F X1,...,X n (x 1,..., x n ) =... f X 1,...,X n (u 1,..., u n ) du 1... du n gilt. Die Funktion f X1,...,X n heißt gemeinsame Dichtefunktion des Zufallsvektors. Beispiel: Betrachte für X = (X, Y ) die Dichtefunktion f X,Y (x, y) = { x + y, für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst 101

9 Dichtefunktion f X,Y (x, y) fhx,yl x y

10 Für die Verteilungsfunktion folgt F X,Y (x, y) = y x f X,Y (u, v) du dv = y 0 x 0 (u + v) du dv =... = 0.5(x 2 y + xy 2 ), für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0.5(x 2 + x), für (x, y) [0, 1] [1, ) 0.5(y 2 + y), für (x, y) [1, ) [0, 1] 1, für (x, y) [1, ) [1, ) (Beweis: Übungsaufgabe) 103

11 Bemerkungen: Es gilt: n F X1,...,X n (x 1,..., x n ) x 1 x n = f X1,...,X n (x 1,..., x n ) Das Volumen unter der Dichtefunktion repräsentiert Wahrscheinlichkeiten: P (a u 1 < X 1 a o 1,..., au n < X n a o n ) = a o n a u n... a o 1 a u 1 f X1,...,X n (u 1,..., u n ) du 1... du n 104

12 In dieser VL: Fokus auf stetige Zufallsvektoren Für diskrete Zufallsvektoren gelten analoge Aussagen (vgl. Mood, Graybill, Boes (1974), Kapitel IV) Jetzt: Bestimmung der Verteilung einer einzelnen Zufallsvariablen X i aus der gemeinsamen Verteilung des Zufallsvektors (X 1,..., X n ) Randverteilung 105

13 Definition 3.5: (Randverteilung) Es sei X = (X 1,..., X n ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit den Verteilungs- und Dichtefunktionen F X1,...,X n bzw. f X1,...,X n. Dann heißen F X1 (x 1 ) = F X1,...,X n (x 1, +, +,..., +, + ) F X2 (x 2 ) = F X1,...,X n (+, x 2, +,..., +, + )... F Xn (x n ) = F X1,...,X n (+, +, +,..., +, x n ) die Randverteilungsfunktionen bzw. 106

14 f X1 (x 1 ) = f X2 (x 2 ) = f X 1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) dx 2... dx n f X 1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 3... dx n f Xn (x n ) = f X 1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2... dx n 1 die Randdichten der einzelnen (univariaten) Zufallsvariablen X 1,..., X n. 107

15 Beispiel: Gegeben sei die bivariate Dichtefunktion f X,Y (x, y) = { 40(x 0.5) 2 y 3 (3 2x y), für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst 108

16 Dichtefunktion f X,Y (x, y) 3 fhx,yl x y

17 Für die Randdichte von X gilt: f X (x) = (x 0.5)2 y 3 (3 2x y)dy = 40(x 0.5) (3y3 2xy 3 y 4 )dy [ = 40(x 0.5) y4 2x 4 y4 1 ] 1 5 y5 = 40(x 0.5) 2 ( 3 4 2x = 20x x 2 27x ) 0 110

18 Randdichte f X (x) fhxl x 111

19 Für die Randdichte von Y gilt: f Y (y) = (x 0.5)2 y 3 (3 2x y)dx = 40y 3 1 = 10 3 y3 (y 2) 0 (x 0.5)2 (3 2x y)dx 112

20 Randdichte f Y (y) fhyl y 113

21 Bemerkungen: Beim Übergang zu den Randverteilungen ergibt sich ein Informationsverlust (aus gemeinsamer Verteilung folgen die Randverteilungen, aber nicht umgekehrt) Neben den einzelnen univariaten Randverteilungen ergeben sich auch die multivariaten Randverteilungen aus der gemeinsamen Verteilung von X = (X 1,..., X n ) 114

22 Beispiel: Es sei n = 5, d.h. X = (X 1,..., X 5 ) mit gemeinsamer Dichtefunktion f X1,...,X 5 Dann ist die Randdichte von Z = (X 1, X 3, X 5 ) = f X1,X 3,X 5 (x 1, x 3, x 5 ) + + f X 1,...,X 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) dx 2 dx 4 (Herausintegrieren nicht interessierender Komponenten) 115

23 3.2 Bedingte Verteilungen und stochastische Unabhängigkeit Jetzt: Verteilung einer ZV en X unter der Bedingung, dass eine andere ZV en Y bereits einen bestimmten Wert y angenommen hat (Bedingte Verteilung von X unter Y = y) 116

24 Definition 3.6: (Bedingte Verteilung) Es seien X = (X, Y ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X,Y (x, y). Die bedingte Dichte von X unter der Bedingung Y = y ist definiert durch f X Y =y (x) = f X,Y (x, y). f Y (y) Analog ist die bedingte Dichte von Y unter der Bedingung X = x definiert als f Y X=x (y) = f X,Y (x, y). f X (x) 117

25 Bemerkung: Bedingte Dichten für Zufallsvektoren werden analog definiert, z.b. f X1,X 2,X 4 X 3 =x 3,X 5 =x 5 (x 1, x 2, x 4 ) = f X1,X 2,X 3,X 4,X 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) f X3,X 5 (x 3, x 5 ) 118

26 Beispiel: Gegeben sei die bivariate Dichtefunktion f X,Y (x, y) { 40(x 0.5) = 2 y 3 (3 2x y), für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst mit der Randdichte f Y (y) = 10 3 y3 (y 2) (vgl. Folien ) 119

27 Dann gilt für die bedingte Dichte f X Y =y (x) = f X,Y (x, y) f Y (y) = 40(x 0.5)2 y 3 (3 2x y) 10 3 y3 (y 2) = 12(x 0.5)2 (3 2x y) 2 y 120

28 Bedingte Dichte f X Y =0.01 (x) von X unter Y = 0.01 Bedingte 3 Dichte x 121

29 Bedingte Dichte f X Y =0.95 (x) von X unter Y = 0.95 Bedingte 1.2 Dichte x 122

30 Jetzt: Benutze Konzepte der gemeinsamen Verteilung bzw. der bedingten Verteilung zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit (zunächst für 2 ZV e) Definition 3.7: (Stochastische Unabhängigkeit [I]) Es sei (X, Y ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X,Y (x, y). Dann heißen X und Y stochastisch unabhängig, falls die gemeinsame Dichtefunktion dem Produkt der Randdichten entspricht: f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) für alle x, y R. 123

31 Bemerkungen: Alternativ drückt man die Unabhängigkeit auch über die gemeinsame Verteilungsfunktion aus: X und Y sind genau dann unabhängig, wenn gilt: F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) für alle x, y R. Sind X und Y unabhängig, so gilt für die bedingten Verteilungen: f X Y =y (x) = f X,Y (x, y) f Y (y) f Y X=x (y) = f X,Y (x, y) f X (x) = f X(x) f Y (y) f Y (y) = f X(x) f Y (y) f X (x) = f X (x) = f Y (y) Sind X und Y unabhängig und g und h zwei stetige Funktionen, so sind auch g(x) und h(y ) unabhängig 124

32 Jetzt: Verallgemeinerung auf n ZV en Definition 3.8: (Stochastische Unabhängigkeit [II]) Es sei (X 1,..., X n ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X1,...,X n (x 1,..., x n ) sowie Verteilungsfunktion F X1,...,X n (x 1,..., x n ). Dann heißen X 1,..., X n stochastisch unabhängig, falls für alle (x 1,..., x n ) R n gilt bzw. f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = f X1 (x 1 )... f Xn (x n ) F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ). 125

33 Bemerkungen: Für diskret verteilte Zufallsvektoren definiert man analog: X 1,..., X n sind stochastisch unabhängig, falls für alle Realisationen (x 1,..., x n ) R n gilt: P (X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P (X 1 = x 1 )... P (X n = x n ) bzw. F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ). Bei Unabhängigkeit ergibt sich die gemeinsame Verteilung aus den Randverteilungen (sonst nicht) Sind X 1,..., X n stochastisch unabhängig und g 1,..., g n stetige Funktionen, so sind auch die transformierten ZV en Y 1 = g 1 (X 1 ),..., Y n = g n (X n ) stochastisch unabhängig 126

34 3.3 Erwartungswerte und gemeinsame momentenerzeugende Funktion Jetzt: Definition des Erwartungswertes einer Funktion g : R n R (x 1,..., x n ) g(x 1,... x n ) eines stetig verteilten Zufallsvektors X = (X 1,..., X n ) 127

35 Definition 3.9: (E-Wert einer Funktion) Es sei (X 1,..., X n ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit Dichtefunktion f X1,...,X n (x 1,..., x n ) und g : R n R eine reellwertige stetige Funktion. Dann ist der Erwartungswert der Funktion des Zufallsvektors definiert als E[g(X 1,..., X n )] = g(x 1,..., x n ) f X1,...,X n (x 1,..., x n ) dx 1... dx n. 128

36 Bemerkungen: Für einen diskret verteilten Zufallsvektor (X 1,..., X n ) lautet die entsprechende Definition E[g(X 1,..., X n )] = g(x 1,..., x n ) P (X 1 = x 1,..., X n = x n ), wobei über alle Realisationen des Vektors zu summieren ist Definition 3.9 umfasst den Erwartungswert einer einzelnen ZV en X: Setze n = 1 sowie g(x) = x E(X 1 ) E(X) = + xf X(x) dx Definition 3.9 umfasst die Varianz einer ZV en X: Setze n = 1 und sowie g(x) = [x E(X)] 2 Var(X 1 ) Var(X) = + [x E(X)]2 f X (x) dx 129

37 Definition 3.9 umfasst die Kovarianz zweier ZV en: Setze n = 2 sowie g(x 1, x 2 ) = [x 1 E(X 1 )] [x 2 E(X 2 )] Cov(X 1, X 2 ) = + + [x 1 E(X 1 )][x 2 E(X 2 )]f X1,X 2 (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 Mit der Kovarianz folgt der Korrelationskoeffizient: Corr(X 1, X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) Var(X 1 ) Var(X 2 ) Eigenschaften von Erwartungswerten, Varianzen, Kovarianzen, Korrelationskoeffizienten siehe Übung 130

38 Jetzt: Erwartungswerte und Varianzen für Zufallsvektoren Definition 3.10: (E-Wertvektor, Kovarianzmatrix) X = (X 1,..., X n ) sei ein Zufallsvektor. Unter dem Erwartungswertvektor von X versteht man den Vektor der Erwartungswerte E(X) = E(X 1 ). E(X n ) Unter der Kovarianzmatrix von X versteht man die folgende Matrix von Varianzen und Kovarianzen: Cov(X) =. Var(X 1 ) Cov(X 1, X 2 )... Cov(X 1, X n ) Cov(X 2, X 1 ) Var(X 2 )... Cov(X 2, X n ) Cov(X n, X 1 ) Cov(X n, X 2 )... Var(X n ). 131

39 Bemerkung: Offensichtlich ist jede Kovarianzmatrix symmetrisch Frage: Wie verhalten sich Erwartungswertvektoren und Kovarianzmatrizen unter linearen Transformationen von Zufallsvektoren Es seien X = (X 1,..., X n ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor A eine (m n)-matrix reeller Zahlen b ein (m 1) Spaltenvektor reeller Zahlen 132

40 Offensichtlich gilt: Y = AX + b ist ein (m 1)-Zufallsvektor: Y = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn X 1 X 2. X n + b 1 b 2. b m = a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n + b 1 a 21 X 1 + a 22 X a 2n X n + b 2. a m1 X 1 + a m2 X a mn X n + b m 133

41 Für den Erwartungswertvektor von Y gilt: E(Y) = a 11 E(X 1 ) + a 12 E(X 2 ) a 1n E(X n ) + b 1 a 21 E(X 1 ) + a 22 E(X 2 ) a 2n E(X n ) + b 2. a m1 E(X 1 ) + a m2 E(X 2 ) a mn E(X n ) + b m = AE(X) + b Für die Kovarianzmatrix von Y gilt: Var(Y 1 ) Cov(Y 1, Y 2 )... Cov(Y 1, Y n ) Cov(Y Cov(Y) = 2, Y 1 ) Var(Y 2 )... Cov(Y 2, Y n ) Cov(Y n, Y 1 ) Cov(Y n, Y 2 )... Var(Y n ) (Beweis: Übung) = ACov(X)A 134

42 Bemerkung: Vgl. Analogien zu den univariaten Fällen: E(a X + b) = a E(X) + b Var(a X + b) = a 2 Var(X) Bisher: Erwartungswerte für unbedingte Verteilungen Jetzt: Erwartungswerte für bedingte Verteilungen (vgl. Definition 3.6, Folie 117) 135

43 Definition 3.11: (Bedingter E-Wert einer Funktion) Es sei (X, Y ) ein stetig verteilter Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion f X,Y (x, y) und g : R 2 R eine reellwertige stetige Funktion. Dann ist der bedingte Erwartungswert der Funktion unter der Bedingung X = x definiert als E[g(X, Y ) X = x] = + g(x, y) f Y X (y) dy. 136

44 Bemerkungen: Für einen diskret verteilten Zufallsvektor (X, Y ) analoge Definition gilt eine Die Definition 3.11 kann auf höher dimensionale Verteilungen verallgemeinert werden Für g(x, y) = y erhält man als Spezialfall E[g(X, Y ) X = x] = E(Y X = x) Man beachte, dass E[g(X, Y ) X = x] im Allgemeinen eine Funktion von x darstellt 137

45 Beispiel: Man betrachte die gemeinsame stetige Dichtefunktion f X,Y (x, y) = { x + y, für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst Für die bedingte Verteilung von Y unter X = x folgt f Y X (y) = x + y x + 0.5, für (x, y) [0, 1] [0, 1] 0, sonst Mit g(x, y) = y ergibt sich der bedingte Erwartungswert als E(Y X = x) = 1 0 y x + y x dy = 1 x ( x ) 138

46 Bemerkungen: Wir betrachten die Funktion g(x, y) = g(y) (d.h. g hängt nicht von x ab) Nun bezeichne h(x) = E[g(Y ) X = x] Wir berechnen nun den unbedingten Erwartungswert der Transformation h(x) Es gilt: 139

47 E {E[g(Y ) X = x]} = E[h(X)] = + h(x) f X(x) dx = = + E[g(Y ) X = x] f X(x) dx [ + + g(y) f Y X (y) dy ] f X (x) dx = + + g(y) f Y X (y) f X(x) dy dx = + + g(y) f X,Y (x, y) dy dx = E[g(Y )] 140

48 Satz 3.12: Es sei (X, Y ) ein beliebig diskret oder stetig verteilter Zufallsvektor. Dann gilt und insbesondere E[g(Y )] = E {E[g(Y ) X = x]} E[Y ] = E {E[Y X = x]}. Jetzt: Drei weitere wichtige Rechenregeln für bedingte und unbedingte Erwartungswerte 141

49 Satz 3.13: Es seien (X, Y ) ein beliebig diskret oder stetig verteilter Zufallsvektor und g 1 ( ), g 2 ( ) zwei eindimensionale Funktionen. Dann gilt für die bedingten Erwartungswerte: 1. E[g 1 (Y ) + g 2 (Y ) X = x] = E[g 1 (Y ) X = x] + E[g 2 (Y ) X = x]. 2. E[g 1 (Y ) g 2 (X) X = x] = g 2 (x) E[g 1 (Y ) X = x]. 3. Falls X und Y stochastisch unabhängig sind, so gilt für die unbedingten Erwartungswerte E[g 1 (X) g 2 (Y )] = E[g 1 (X)] E[g 2 (Y )]. 142

50 Abschließend: Momentenerzeugende Funktion für Zufallsvektoren Definition 3.14: (Gemeinsame momentenerz. Funktion) Es sei (X 1,..., X n ) ein beliebig diskret oder stetig verteilter Zufallsvektor. Dann ist dessen gemeinsame momentenerzeugende Funktion definiert durch m X1,...,X n (t 1,..., t n ) = E [ e t 1 X t n X n ], falls dieser Erwartungswert für alle Werte von t 1,..., t n mit h < t j < h für irgendein h > 0 und alle j = 1,..., n existiert. 143

51 Bemerkungen: Anhand der gemeinsamen momentenerzeugenden Funktion m X1,...,X n (t 1,..., t n ) lassen sich mit bestimmten Rechenoperationen die folgenden Objekte bestimmen: die marginalen momentenerzeugenden Funktionen m X1 (t 1 ),..., m Xn (t n ) die Momente der Randverteilungen sogenannte gemeinsame Momente 144

52 Zentrales Resultat: (vgl. Satz 2.23, Folie 85) Zu einer gegebenen gemeinsamen momentenerzeugenden Funktion m X1,...,X n (t 1,..., t n ) gehört eine eindeutige gemeinsame Verteilungsfunktion F X1,...,X n (x 1,..., x n ) 145

53 3.4 Die multivariate Normalverteilung Jetzt: Verallgemeinerung der univariaten Normalverteilung Definition 3.15: (Multivariate Normalverteilung) Es sei X = (X 1,..., X n ) ein n-dimensionaler stetiger Zufallsvektor. X heißt multivariat normalverteilt mit Parametern µ = µ 1. µ n und Σ = σ 2 1 σ 1n..... σ n1 σ 2 n falls für x = (x 1,..., x n ) R n die Dichtefunktion { f X (x) = (2π) n/2 [det(σ)] 1/2 exp 1 2 (x µ) Σ 1 (x µ), } lautet. 146

54 Bemerkungen: Für die Definition und Eigenschaften der Determinanten einer Matrix A, det(a), vgl. Chang (1984, S. 92 ff) Übliche Notation X N(µ, Σ) µ ist ein Spaltenvektor mit µ 1,..., µ n R Σ ist (per Annahme) eine reguläre, positiv definite, symmetrische (n n)-matrix Bedeutung der Parameter: E(X) = µ und Cov(X) = Σ 147

55 Dichte der multivariaten Standardnormalverteilung N(0, I n ): { φ(x) = (2π) n/2 exp 1 } 2 x x Man beachte die Analogien zur univariaten Dichte in Definition 2.24, Folie 91 Eigenschaften der N(µ, Σ)-Verteilung: Teilvektoren (Randverteilungen) von X sind wieder normalverteilt, d.h. falls dann gilt: X = [ X1 X 2 ] N ([ µ1 µ 2 ] X 1 N(µ 1, Σ 11 ) X 2 N(µ 2, Σ 22 ), [ Σ11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ]) 148

56 Somit sind alle univariaten Elemente des Zufallsvektors X = (X 1,..., X n ) univariat normalverteilt: X 1 N(µ 1, σ 2 1 ) X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). X n N(µ n, σ 2 n ) Auch die bedingten Verteilungen sind wiederum (uni- oder multivariat) normal: X 1 X 2 = x 2 N ( µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 (x 2 µ 2 ), Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21 Lineare Transformationen: Es seien A eine (m n)-matrix und b ein (m 1)-Vektor reeller Zahlen sowie X = (X 1,..., X n ) N(µ, Σ). Dann gilt: AX + b N(Aµ + b, AΣA ) ) 149

57 Beispiel: Es sei X N(µ, Σ) ([ 0 N 1 ], [ Gesucht ist die Verteilung von Y = AX + b mit [ ] [ ] A =, b = Es gilt Y N(Aµ + b, AΣA ) ]) Matrixalgebra ergibt [ 3 Aµ + b = 6 ] und AΣA = [ ] 150

58 Jetzt: Spezialisierung auf bivariaten Fall (n = 2), d.h. [ ] [ X = (X, Y ) µx σ 2, E(X) =, Σ = X σ XY Es gilt µ Y σ Y X σ 2 Y ] σ XY = σ Y X = Cov(X, Y ) = σ X σ Y Corr(X, Y ) = σ X σ Y ρ Mit Definition 3.15 und n = 2 gilt dann für die Dichte f X,Y (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 exp [ (x µx ) 2 σ 2 X (Herleitung: Übungsaufgabe) 1 2 ( 1 ρ 2) 2ρ(x µ X)(y µ Y ) + (y µ Y ) 2 ]} σ X σ Y σy 2 151

59 Dichte f X,Y (x, y) mit µ X = µ Y = 0, σ x = σ Y = 1 sowie ρ = fhx,yl y 2 0 x

60 Dichte f X,Y (x, y) mit µ X = µ Y = 0, σ x = σ Y = 1 sowie ρ = fhx,yl y 2 0 x

61 Bemerkungen: Für die Randverteilungen gilt X N(µ X, σ 2 X ) und Y N(µ Y, σ 2 Y ) Besonderheit der Normalverteilung: Ist ρ = Corr(X, Y ) = 0 (d.h. sind X und Y unkorreliert), so sind X und Y stochastisch unabhängig Die bedingten Verteilungen sind gegeben durch X Y = y N Y X = x N ( ( (Beweise: Übungsaufgabe) µ X + ρ σ X (y µ Y ), σ 2 ( X 1 ρ 2 )) σ Y µ Y + ρ σ Y σ X (x µ X ), σ 2 Y ( 1 ρ 2 )) 154

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