Modelle für Daten mit kontinuierlichen Wertebereich Verteilungen mit (Wahrscheinlichkeits-)Dichte. Normalverteilung N (µ, σ 2 ) mit Dichte

Transkript

1 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.1 Modelle für Daten mit kontinuierlichen Wertebereich Verteilungen mit (Wahrscheinlichkeits-)Dichte I) Werte in (, ), Parameter µ (, ), σ 2 > 0 Normalverteilung N (µ, σ 2 ) mit Dichte p(x) = ϕ µ,σ 2(x) = 1 (x µ) 2 2πσ 2 e 2σ 2 Speziell: Standardnormalverteilung N (0, 1) Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: b Ws(a < X < b) = p(x)dx a ( b µ = Φ µ,σ 2 (b) Φ µ,σ 2 (a) = Φ σ ) ( a µ Φ σ )

2 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.2 II) Werte in (0, ), Parameter µ (, ), σ 2 > 0. Eine Zufallsgröße X heißt lognormalverteilt mit Parameter µ und σ 2, wenn ln X N (µ, σ 2 )-verteilt ist. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: ln : (0, ) (, ) streng monoton, ln X normalverteilt Ws(a < X < b) = Ws(ln a < ln X < ln b) ( ) ( ) ln b µ ln a µ = Φ Φ, 0 a b, σ σ wobei ln 0 :=, Φ( ) = 0, ln :=, Φ( ) = 1 Dichte p(x) = 1 2πσ 2 1 (ln x µ) 2 x e 2σ 2 für x > 0, = 0 für x 0

3 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.3

4 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.4 Modellbildung: a) Positive Daten mit rechtsschiefem Histogramm und einem deutlichen Gipfel rechts von der 0. b) Multiplikative Kombination vieler kleiner Effekte Beispiele: X N j=1 ε j ln X N j=1 ln ε j normalverteilt Aktienkurse (im Black-Scholes-Ansatz zur Bewertung von Optionen und anderen Finanzderivaten - σ = Volatilität) Einkommensverteilung eines Landes (klassisches Modell für 50er und 60er Jahre), Bereich um das Dichtemaximum herum ˆ= Mittelstandsbauch) Gegenwärtig: Zweigipflige Verteilung ( 2 3 -Gesellschaft)

5 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.5 SO 2 -Luftkonzentration, generell Konzentrationen von Spurenelementen in Stoffen Niederschlagsmenge (vorausgesetzt, es regnet überhaupt) an einem festen Tag Betriebsdauer von Kfz-Bauteilen vor Ausfall III) Werte in (0, ), Parameter λ > 0 Exponentialverteilung Exp(λ) mit Dichte p(x) = λe λx für x 0, = 0 für x 0 Verteilungsfunktion: F (z) = Ws(X z) = 1 e λz Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: Ws(a < X < b) = F (b) F (a) = e λa e λb, speziell: Ws(X > a) = e λa

6 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.6

7 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.7

8 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.8

9 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.9

10 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.10

11 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.11

12 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.12 Modellbildung: Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses λ = Maß für die Dichte, mit der die Ereignisse aufeinanderfolgen λ groß Wartezeit X eher klein, d.h. Ws(X > c) klein für große c. Beispiele: Wartezeit bis zur Ankunft des nächsten Kunden im Laden Wartezeit bis zum nächsten Zerfall eines Atoms in radioaktivem Präparat Wartezeit zwischen Inbetriebnahme und Ausfall eines Transistors im Dauerbetrieb

13 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.13 Poisson-Prozess kombiniert Exp(λ) und P(λ) Modellbildung: Zeitpunkte des Eintretens von gleichartigen Ereignissen in rein zufälliger Abfolge, u.a. Grundlage der Bedienungstheorie (Warteschlangentheorie, Queuing): Zeitpunkte, wenn Kunden das System (Kasse, Server im Netz, Landebahn auf Flughafen,...) benutzen wollen. Poisson-Prozess auf [0, ) ist zufällige Folge von Zeitpunkten 0 < T 1 < T 2 <... mit 1) Anzahl der Punkte (d.h. der Ereignisse) in Zeitintervall der Länge L, z.b. zwischen t und t + L, ist P(λ L)-verteilt

14 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie ) Abstände zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten, d.h. die Zufallsgrößen T 1, T 2 T 1, T 3 T 2, T 4 T 3,... sind unabhängig voneinander und Exp(λ)-verteilt. λ heißt Intensität des Poisson-Prozesses und misst die Dichte der Punkte. X = 2, X = 3 unabhängig P(λ 1) bzw. P(λ 3)-verteilt

15 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.15 IV) Werte in (0, ), Parameter λ, β > 0. Eine Zufallsgröße X heißt Weibull-verteilt mit Parameter λ und β, wenn X β Exp(λ)-verteilt ist. β = 1 2 X bzw. β = 2 X 2 exponentialverteilt Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: x x β streng monoton auf (0, ), X β exponentiell verteilt Ws(a < X < b) = Ws(a β < X β < b β ) wobei e := 0 = e λaβ e λbβ, 0 a b

16 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.16 Dichte p(x) = λβ x β 1 e λxβ für x > 0, = 0 für x 0. Speziell: β = 1 Exp(λ) Modellbildung a) Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses (Ausfall eines Gerätes in der Zuverlässigkeitstheorie) b) Positive Daten mit rechtsschiefem Histogramm und einem deutlichen Gipfel (auch bei 0) λ Maß für die Ereignisdichte λ groß Wartezeit X eher klein.

17 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.17

18 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.18

19 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.19

20 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.20 β < 1: Das Ereignis tritt entweder sehr schnell oder sehr spät ein (verglichen mit Exp(λ)) β > 1: Wartezeiten in mittlerem Bereich sind besonders wahrscheinlich (verschleißbedingter Ausfall eines Geräts) Beispiele: Betriebsdauer eines mechanischen Geräts (in Tagen) bis zum Ausfall durch Werkstoffermüdung (β > 1). Zeit bis zum Versagen einer elektronischen Komponente, die ständigen Vibrationen ausgesetzt ist (β 1). Weibull (β > 1) oder lognormal? Weibull (β < 1) oder exponentiell (β = 1)?

21 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.21

22 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.22

23 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.23

24 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.24

25 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.25

26 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.26

27 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.27

28 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.28 Verteilungsfunktionen kontinuierlicher Verteilungen: standardnormal F (t) = Φ(t) = t 1 2π e x2 2 dx, Φ( t) = 1 Φ(t) normal F (t) = Φ µ,σ 2(t) = Φ ( ) t µ σ, < t < lognormal F (t) = Φ ( ) ln t µ σ, t > 0 exponential F (t) = 1 e λt, t 0 Weibull F (t) = 1 e λtβ, t 0 uniform F (t) = t α β α, α t β Ws(a X b) = F (b) F (a)

29 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.29 Beispiel: Neues Gerät, dessen Betriebsdauer Exp(λ)-verteilt ist. Wie lange kann ich es benutzen, wenn ich zu 95% sicher sein will, dass es nicht ausfällt? Gesucht: t mit Ws(X > t) = 0, 95 0, 95 = e λt t = 1 λ ln 0, 95 z.b. λ = 1 100d t = 5, 13 d Alternativ: F (t) = Ws(X t) = 0, 05, d.h. t = q 0,05 = 0, 05-Quantil von Exp(λ) Zur Erinnerung: q α = α-quantil, wenn F (q α ) = α

30 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.30 Dieselbe Situation, aber nun sei die Betriebsdauer lognormal(µ, σ 2 )- verteilt. Gesucht: 0,05-Quantil t, d.h. ( ) ln t µ F (t) = Φ = 0, 05 σ oder (Φ( x) = 1 Φ(x)) : ( ) µ ln t Φ = 0, 95 σ µ ln t σ ist 0, 95-Quantil von N (0, 1) ln t = µ + 1, 645 σ Z.B.: µ = 4,258 und σ = 0,833 (ähnliche Lage und Streuung wie Exp( )) ln t = 2, 888, t = 17, 96 d

31 Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Folie 6.31 Schätzer für Verteilungsparameter N (µ, σ 2 ): ˆµ = X N, ˆσ 2 = s 2 N Exp(λ): ˆλ = 1 X N lognormal(µ, σ 2 ): ˆµ = 1 N Weibull(λ, β): 1 ˆλ = 1 N N j=1 N j=1 ln(x j ), ˆσ 2 = 1 N 1 X j ˆβ, N j=1 ( ln(xj ) ˆµ ) 2 ˆβ nur numerisch berechenbar Poisson-Prozess: Z = Anzahl Ereignisse in Zeitintervall der Länge T beobachtet Z ist P(λ T )-verteilt ˆλ = Z T