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1 Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die sogenannte axiomatische Darstellung der reellen Zahlen begründet wird. Diese Darstellung wird in der Mathematik vorgezogen, da sie einen besseren Überblick über die Eigenschaften der reellen Zahlen erlaubt. 2.1 Zahlbereiche Als Kind entwickelt der Mensch einen Begriff von Zahlen naturgemäß durch das Zählen. Der dafür ausreichende erste Zahlbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = { 1, 2, 3,... }. Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }. Diese Menge ist wiederum nicht abgeschlossen unter Division, also führt man die Menge der rationalen Zahlen { } p Q = q : p, q Z, q > 0 p und q sind teilerfremd ein. In dieser Zahlenmenge kann man zwar die klassischen Operationen durchführen, aber dennoch ist diese Menge noch nicht ausreichend, um etwa die Welt zu beschreiben. So erfüllt etwa die Diagonallänge d eines 27 A. Deitmar, Analysis, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014

2 28 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Tisches mit Kantenlänge 1 nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung d 2 = = 2. Diese Zahl d kann aber keine rationale Zahl sein, wie die folgende Proposition zeigt. Proposition Es gibt keine rationale Zahl r mit r 2 = 2. Beweis. Angenommen doch, etwa r = p q, dann kann man annehmen, dass nicht beide Zahlen p und q durch 2 teilbar sind, denn sonst kann man ja den gemeinsamen Faktor 2 aus dem Bruch herauskürzen. Durch Quadrieren erhält man 2 = r 2 = p2, also p 2 = 2q 2. Damit ist p 2 eine gerade Zahl und q 2 folglich ist auch p gerade, etwa p = 2k mit k Z. Es folgt 2q 2 = p 2 = (2k) 2 = 4k 2, also q 2 = 2k 2. Damit ist auch q eine gerade Zahl, was der Annahme, dass nicht beide p und q durch 2 teilbar sind, widerspricht! Da die rationalen Zahlen also zur Beschreibung der Welt nicht ausreichen, führt man die reellen Zahlen ein, in denen es unter anderem auch eine Zahl r = 2 gibt, deren Quadrat die Zahl 2 ist. In der Schule versteht man unter der Menge der reellen Zahlen die Menge aller Dezimalzahlen mit eventuell unendlich vielen Nachkommastellen, also zum Beispiel π = 3, oder 2 = 1, In diesem Buch werden Dezimalzahlen allerdings nicht benutzt und dies geschieht aus gutem Grund. Zunächst einmal haben auch die Dezimalzahlen ihre Tücken, da die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl nicht eindeutig ist, so ist zum Beispiel 0, = 1, wobei die linke Seite die Dezimalzahl mit unendlich vielen Neunen sein soll. Wenn man also mit Dezimalzahlen arbeiten will und diese die reellen Zahlen eindeutig darstellen sollen, muss man Neuner-Enden verbieten, was zu unangenehmen Fallunterscheidungen führt. Darüber hinaus gibt es aber auch noch grundsätzlichere Gründe, Dezimalzahlen nicht zu benutzen. Um sich vor Irrtümern zu schützen, muss der Mathematiker sich nämlich Klarheit über alle Rechengesetze verschaffen, die in R gelten. Hierzu benutzt man die sogenannte axiomatische Darstellung der reellen Zahlen. Das bedeutet, dass man eine möglichst kleine Anzahl von Rechengesetzen finden will, aus denen sich alle anderen durch Schlussfolgerungen herleiten lassen. Diese grundlegenden Rechengesetze werden dann Axiome genannt. Diese Axiome stützen sich naturgemäß nicht so sehr auf die Darstellung

3 2.2. KÖRPER 29 der reellen Zahlen zum Beispiel als Dezimalzahlen, sondern auf die Gesetze, die zwischen ihnen gelten. Der interessante Punkt ist, dass diese Gesetze tatsächlich ausreichen, um die reellen Zahlen eindeutig festzulegen, man also im Grunde gar keine explizite Darstellung nötig hat. Die Axiome, die man zur Beschreibung der reellen Zahlen benutzt, werden in den nächsten Abschnitten angegeben. 2.2 Körper Die in den reellen Zahlen geltenden Rechengesetze, die nur die Addition und Multiplikation betreffen, führen zum Begriff des Körpers, einer Menge in der es Addition und Multiplikation gibt. In einem allgemeinen Körper gelten die üblichen, von der Schule bekannten Rechenregeln, wenngleich sich ein Körper durchaus substantiell von der Menge der reellen Zahlen unterscheiden kann. Definition Ein Körper ist ein Tripel (K, +, ), bestehend aus einer Menge K und zwei Abbildungen von K Knach K, die Addition und Multiplikation genannt werden und in der Form (a, b) a + b, (a, b) ab geschrieben werden, wobei verlangt wird, dass für alle a, b, c Kdie folgenden Axiome K1-K3 erfüllt sind K1 Addition (K1.1) a + (b + c) = (a + b) + c (K1.2) Es gibt ein Element 0 in K so dass a + 0 = a gilt. (K1.3) Zu jedem a Kgibt es ein b Kmit a + b = 0. (K1.4) a + b = b + a Man sagt zu diesen Gesetzen auch: (K, +) ist eine abelsche Gruppe. K2 Multiplikation (K2.1) a(bc) = (ab)c (K2.2) Es gibt ein Element 1 in K {0}, so dass a1 = a gilt. (K2.3) Zu jedem a in K {0} gibt es ein b K {0} mit der Eigenschaft ab = 1. Assoziativität neutrales Element inverses Element Kommutativität Assoziativität neutrales Element inverses Element

4 30 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN (K2.4) ab = ba Insbesondere ist dann (K {0}, ) eine abelsche Gruppe. K3 Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac. Kommutativität Diese Axiome sind nun in dem Sinne vollständig, dass sich alle üblichen Rechenregeln, die nur die Addition und Multiplikation betreffen, aus ihnen herleiten lassen. Beispiele Die Menge Q ist mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper. Jeder Körper hat mindestens zwei Elemente, die Null und die Eins. Die reichen allerdings auch schon, denn auf der Menge F 2 = {0, 1} kann man Addition und Multiplikation so definieren, dass ein Körper entsteht. In diesem Körper gilt dann = 0. Addition und Multiplikation in F 2 sind durch folgende Tabellen vollständig beschrieben: Anhand dieser Tabellen kann man die Körperaxiome K1-K3 überprüfen. Die Menge R der reellen Zahlen ist mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper. Lemma In einem Körper K sind die neutralen Elemente 0 und 1 eindeutig bestimmt. Ferner sind zu gegebenem a Kdas Inverse der Addition und, falls a 0 ist, das Inverse der Multiplikation eindeutig bestimmt. Man schreibt dann auch ( a) für das additive Inverse und a 1 für das multiplikative Inverse. Beweis. Sei 0 ein weiteres neutrales Element der Addition. Dann gilt 0 = (0 ist neutral) = (Kommutativität) = 0 (0 ist neutral).

5 2.2. KÖRPER 31 Seien nun b und c zwei additive Inverse zu a K. Dann gilt c = c + 0 (0 ist neutral) = c + (a + b) (b ist invers zu a) = (c + a) + b (Assoziativität) = (a + c) + b (Kommutativität) = 0 + b (c ist invers) = b + 0 (Kommutativität) = b (0 ist neutral) Die entsprechenden Aussagen für die Multiplikation werden analog bewiesen. Eine Ausführung dieses Beweises sei dem Leser zur Übung empfohlen. Schreibweise: Statt a + ( b) schreibt man einfacher a b. Ebenso schreibt man statt ab 1 auch a. Man kann aus den Körperaxiomen die üblichen b Rechenregeln herleiten, wie zum Beispiel a c b d = ac bd oder a b + c d = ad+bc bd für a, b, c, d Kmit b 0 d. Um diese beiden Rechenregeln zu beweisen, kann man sich am Beweis des letzten Lemmas orientieren. Lemma (Folgerungen aus den Körperaxiomen). Sei K ein Körper. a) Für a, b Khat die Gleichung a + x = b genau eine Lösung in K, nämlich das Element x = b a. b) Für jedes a Kgilt ( a) = a. c) Für alle a, b Kgilt (a + b) = a b. d) Für jedes a 0 und jedes b Khat die Gleichung ax = b genau eine Lösung in K, nämlich x = ba 1. e) Für alle a, b, c Kgilt (a + b)c = ac + bc. f) Für jedes a Kgilt a0 = 0. g) (Nullteilerfreiheit) Ist das Produkt ab zweier Elemente eines Körpers gleich Null, so muss mindestens eines der beiden Elemente Null sein. h) Für alle a Kgilt ( 1)a = a. i) Es gilt ( 1)( 1) = 1.

6 32 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Beweis. (a) Das Element x = b a stellt sich als die gesuchte Lösung heraus: a + (b a) = a + (b + ( a)) (Schreibweise) = a + (( a) + b) (Kommutativität) = (a + ( a)) + b (Assoziativität) = 0 + b (Inverses Element) = b (Neutrales Element). Nun zur Eindeutigkeit. Ist x Keine Lösung der Gleichung, so gilt x = 0 + x (Neutrales Element) = (( a) + a) + x (Inverses Element) = ( a) + (a + x) (Assoziativität) = ( a) + b (x ist Lösung) = b + ( a) (Kommutativität) = b a (Schreibweise). (b) Es gilt a + ( a) = 0, also ist a das eindeutig bestimmte additive Inverse zu ( a), also a = ( a). (c) Ab jetzt lassen werden bei den Rechnungen die expliziten Begründungen weggelassen (in der Hoffnung, der Leser möge sie selbst finden). (a + b) + ( a b) = (b + a) + ( a b) = b + (a + ( a b) = b + ((a a) b) = b + (0 b) = b b = 0. Also ist ( a b) das eindeutig bestimmte additive Inverse zu a + b, was gerade bedeutet (a + b) = ( a b). (d) ist analog zu (a) und (e) folgt aus (a + b)c = c(a + b) = ca + cb = ac + bc. (f) Es gilt für ein beliebiges Körperelement a, a0 = a0 + 0 = a0 + (a a) = (a0 + a) a = (a0 + a1) a = a(0 + 1) a = a1 a = a a = 0. (g) Ist a = 0 oder b = 0 so folgt nach (f) und der Kommutativität schon ab = 0. Ist nun umgekehrt ab = 0 und ist a 0, so existiert das multiplikative Inverse a 1 und es folgt b = 1b = (a 1 a)b = a 1 (ab) = a 1 0 = 0.

7 2.2. KÖRPER 33 (h) Für ein Körperelement a gilt ( 1)a = ( 1)a + 0 = ( 1)a + a a = (( 1) + 1)a a = 0a a = 0 a = a. (i) Es gilt ( 1)( 1) + ( 1) = (( 1) + 1)( 1) = 0( 1) = 0, also folgt ( 1)( 1) = 1 nach der Eindeutigkeit des additiven Inversen. Damit ist alles bewiesen. Definition (Potenzen) Für x Ksind die Potenzen x n die Körperelemente x 0 = 1, x 1 = x, x 2 = xx,... x n+1 = x n x. Lemma In K gelten die Rechenregeln: wobei x, y K,m, n N 0. x n+m = x n x m, (x n ) m = x nm, x n y n = (xy) n, Beweis. Übungsaufgabe. Bislang sind noch nicht sehr viele Körper in diesem Buch aufgetreten. Außer Q und R eigentlich nur noch F 2. Es gibt aber sehr viel mehr Körper. Die folgende Proposition gibt ein Konstruktionsverfahren an, nach dem man neue Körper aus alten bauen kann. Proposition (Adjunktion einer Wurzel). Sei K ein Körper und sei α K ein Element, für das die Gleichung x 2 = α keine Lösung x in K hat. Als Beispiel kann K = Q und α = 2 dienen. Dann ist die Menge L = K Kmit der komponentenweisen Addition und der Multiplikation (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac + bdα, ac + bc) ein Körper. Man kann K durch die Abbildung a (a, 0) als eine Teilmenge von L auffassen. In L hat die Gleichung x 2 = α die Lösungen x = (0, 1) und x = (0, 1). Schreibweise. Das Element (0, 1) des Körpers L wird auch als α geschrieben. Ein beliebiges Element von L kann dann in der Form (a, b) = a + b α geschrieben werden. Der Körper L entsteht aus K durch Adjunktion einer Wurzel und man schreibt ihn auch in der Form L = K( α). Man beachte, dass die Multiplikation sich aus der Regel α α = α und dem Distributivgesetz ergibt: (a + b α)(c + d α) = ac + bdα + (ad + bc) α.

8 34 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Beweis. Man kann die Körperaxiome problemlos nachrechnen. Das neutrale Element der Addition, oder Nullelement ist 0 L = (0, 0). Das neutrale Element der Multiplikation ist 1 L = (1, 0). Das Inverse zur Multiplikation erhält man wie folgt: Sei (a, b) (0, 0), also a 0 oder b 0. Dann ist a 2 b 2 α 0, denn sonst wäre a 2 = b 2 α, also b 0 und a/b wäre dann eine Lösung von x 2 = α, was ja nicht sein kann. Dann ist das Element ( ) a a 2 b 2 α, b a 2 b 2 α ein multiplikatives Inverses zu (a, b), denn ( ) ( a (a, b) a 2 b 2 α, b a 2 a 2 b 2 = α a 2 b 2 α b2 α a 2 b 2 α, ab a 2 b 2 α + ) ab a 2 b 2 α = (1, 0). Beispiel Das prominenteste Beispiel einer Adjunktion einer Wurzel ist die Wurzel aus 1, die zum Körper R der reellen Zahlen adjungiert wird. Die Gleichung x 2 = 1 hat in R keine Lösung, wie später streng bewiesen wird. Nach Proposition existiert dann ein Erweiterungskörper C = R ( 1 ) in dem 1 eine Wurzel hat. Man nennt C den Körper der komplexen Zahlen. Man kann sich den Körper C = R 2, als Ebene vorstellen. Die Addition ist durch (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) gegeben, kann also als Hintereinandersetzen von Vektoren realisiert werden, wie im folgenden Bild zu sehen ist. z + w w z Die Multiplikation ist durch (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc)

9 2.3. ANORDNUNG 35 gegeben und kann wie folgt visualisiert werden: Die Längen der beteiligten Vektoren werden multipliziert und die Winkel, die sie mit der positiven x-achse bilden, addiert: zw w α + β z α β Diese Aussagen können im Moment noch nicht streng bewiesen werden, was aber im Abschnitt 4.6 nachgeholt wird. Für die komplexe Zahl 1 = (0, 1) verwendet man den Buchstaben i. Eine beliebige komplexe Zahl z schreibt man also in der Form z = x + iy, x, y R und es gilt i 2 = 1. Im folgenden steht zunächst der Körper der reellen Zahlen im Vordergrund. Der Körper der komplexen Zahlen tritt erst im Abschnitt 4.5 wieder auf. 2.3 Anordnung Neben den Grundrechenarten kennen die reellen Zahlen auch Größenvergleiche, d.h., man kann sagen, wann eine Zahl größer oder kleiner als eine andere ist. Die Größenvergleiche vertragen sich in bestimmter Weise mit den Rechenarten, was zum Begriff des angeordneten Körpers führt. Definition Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Relation < auf K, die folgende Axiome O1-O4 für alle a, b, c K erfüllt. Man liest a < b als a kleiner b. (O1) Je zwei Zahlen sind vergleichbar, das heißt für a, b Kgilt genau einer der drei Fälle: a < b oder a = b oder b < a. (O2) a < b, b < c a < c Transitivität

10 36 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN (O3) a < b a + c < b + c (O4) a < b, 0< c ac < bc Additivität Multiplikativität Man schreibt auch a > b statt b < a und liest dies als a größer b. Das Zeichen wird im Sinne von kleiner oder gleich benutzt, also a b a < b oder a = b. Eine reelle Zahl a heißt positiv, falls a 0 und negativ, falls a 0. Ferner heißt a strikt positiv, falls a > 0 und strikt negativ, falls a < 0. Aus (O1) folgt: a b und b a a = b. Beispiele Die Körper Q und R sind mit der gewöhnlichen kleiner -Relation angeordnete Körper. Nicht auf jedem Körper existiert eine Anordnung. Zum Beispiel kann man auf dem Körper F 2 keine Anordnung finden, denn ist 0 < 1, so folgt durch Addition der Eins 1 = < = 0, also 1 < 0 und ebenso folgt aus 1 < 0 auch 0 < 1, also in jedem Fall ein Widerspruch! Lemma (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen). Seien a, b, x, y Elemente des angeordneten Körpers K. a) Es gilt x < y 0 < y x. b) Man kann Ungleichungen addieren. Gilt etwa a < b und x < y, so folgt a + x < b + y. c) Man kann Ungleichungen bedingt multiplizieren: 0 < a < b, 0 x < y ax < by. d) Bei Vorzeichenwechsel dreht sich das Anordnungszeichen um, es gilt x < y x > y. e) Man kann Ungleichungen mit strikt negativen Zahlen multiplizieren, dann drehen sie sich allerdings um: a < b, x < 0 ax > bx.

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