Beispiel 4 (Einige weitere Aufgaben)

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Elmar Schreiber
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1 1 Beispiel 4 (Einige weitere Aufgaben) Aufgabe 1 Bestimmen Sie für die folgenden Zweierstichproben, d. h. Stichproben, die jeweils aus zwei Beobachtungen bestehen, a) den Durchschnitt x b) die mittlere quadratische Abweichung (Varianzen) s 2 c) die Streuung s d) den Variationskoeffizienten v= s x für jeden der unten angegebenen sieben Fälle und diskutieren Sie, wie die vier Größen zusammenhängen. Beantworten Sie insbesondere, ob und welche "Gesetzmäßigkeiten" Sie erkennen! Beobachtungen Fall Fall Fall Fall Fall Fall Fall Lösung: Das Streudiagramm der Zahlen (x 1. Spalte, y = 2. Spalte)

2 Aufgabe 2 Man errechne für die Datenreihe 10, 15, 13, 18, 25, 31, 26, 24, 20, 18, 15, 12, 15, 20, 18 a) die Spannweite b) den Quartilsabstand c) die mittlere absolute Abweichung vom Median. Lösung: a) Spannweite: = 21 b) Die Reihe sortiert ergibt: 10, 12, 13, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 20, 20, 24, 25, 26, 31; n=15, Median 8. Beobachtung: 18 Quartil Beobachtung: 13; Quartil Beobachtung: 24 c) [ (18-15) + 2(20-18) ]/15 = [ ]/15 = 66/15 = 4.4 2

3 Aufgabe 3 Diskutieren Sie den Vorschlag des sog. optimalen Wertpapierportefeuilles, der sagt, Wertpapiere eines Portefeuilles sollten zumindest zwei Forderungen genügen: (a) Der Mittelwert µ (Durchschnitt) der Rendite sollte bei gleicher Varianz σ 2 (Streuung σ) der größte sein. (b) Bei gleicher Durchschnittsrendite µ sollte die Streuung σ möglichst klein sein. Stellen Sie diesen Vorschlag graphisch dar! Hinweis 1:Nehmen Sie dabei an, die in Frage kommenden Wertpapiere haben alle eine positive Rendite. Hinweis 2:Illustrieren Sie Ihre Graphik mit sechs Wertpapieren für die Sie die Durchschnittsrendite und Streuung aus den vergangenen zwölf Monatsbeobachtungen haben: (µ 1, σ 1 ), (µ 2, σ 2 ),., (µ 6, σ 6 ). Ein mögliches Beispiel von sechs Wertpapieren ist das folgende: 3 µ i σ i Wertpapier Wertpapier Wertpapier Wertpapier Wertpapier Wertpapier Lösungshinweis Benutzen Sie das Streudiagramm der Zahlen (x = 1. Spalte, y = 2. Spalte)

4 Aufgabe 4 Bestimmen Sie für die folgenden 12 Beobachtungen, abgeschlossene Dienstjahre der 12 Bediensteten des Postamts Hamburg 45: { 3, 5, 2, 7, 3, 4, 1, 6, 3, 4, 7, 3 } a) die Spannweite b) den Mittelwert c) die Varianz und Streuung d) den Median sowie die vier Quartile Lösung a) [1, 7], d.h. 6 b) ( )/12 = 48/12 = 4 c) [(3-4) 2 + (5-4) 2 + (2-4) 2 + (7-4) 2 + (3-4) 2 + (4-4) 2 + (1-4) 2 + (6-4) 2 + (3-4) 2 + (4-4) 2 + (7-4) 2 + (3-4) 2 ]/12 = [ ]/12 = 40/12 = 10/3 = s= 3 = 10 = 3.3 = , 3 bzw. s 1.8, da nach den großen Einmaleins 18x18 = 324 d) Für Median und Quartile sind die Beobachtungen zu ordnen: { 3, 5, 2, 7, 3, 4, 1, 6, 3, 4, 7, 3 } { 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7} Der Median ist 3 (die sechste Beobachtung von insgesamt 12); die Quartile folgen ebenso Q 1 = 3, Q 2 = 3, Q 3 = 5, Q 4 = 7. { 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7} 4 Aufgabe 5 Die folgenden n Beobachtungen seien die Zahl der Kinder von jeweils n Familien (nach W. Krämer, Statistik verstehen, Campus, 1992): { 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 6 } n = 9 { 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 6 } n = 10 { 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 9 } n = 9 { 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 18 } n = 9 a) Bestimmen Sie jeweils den Median. b) Wie empfindlich ist der Median im Vergleich zum Mittelwert? Lösung a) Für den Median sind die Beobachtungen zu ordnen, was hier bereits erfolgt ist. Im Fall 1: Der Median ist 1 (die mittlere Beobachtung von insgesamt 9); im Fall 2: der Median ist ebenfalls 1, die letzte Beobachtung der ersten Hälfte, die 5. von 10 Beobachtungen, im Fall 3: der Median ist ebenfalls 1. im Fall 4: der Median ist ebenfalls 1. b) Für den Vergleich zum Mittelwert gilt es, Fall 1, 3 und 4 zu vergleichen: M D 1 15/9 = 5/3 1 18/9 = 6/3 = /9 =9/3 = 3 M.a.W. der Median ist sehr insensitiv auf Datenänderungen, nicht jedoch so der Mittelwert (Ausreißerproblem)

5 5 Aufgabe 6 Eine Verwaltung wird auf ihre Effizienz hin überprüft, indem untersucht wird welche Wartezeit zwischen einem eingehenden Antrag und dessen Bearbeitungsbeginn verstreicht. Dabei ergab sich folgende Häufigkeitstabelle: Anzahl der verstreichenden Tage Anzahl der Anträge a) Zeichnen Sie das Stabdiagramm und die empirische Verteilungsfunktion F. b) Welcher Anteil der Anträge muß - mindestens 6 Tage - mehr als 6 Tage - höchstens 3 Tage auf seine Bearbeitung warten? d) Geben Sie den Modus und den Median an. e) Bestimmen Sie den Mittelwert, die mittlere quadratische Abweichung, die Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. Aufgabe 7 An einem Baggersee B wird täglich die Wassertemperatur X (in Grad Celsius) gemessen. Man erhält folgende klassifizierte Meßergebnisse: Temperatur Anzahl Messungen 14 x < x < x < x < x 24 5 a) Ermitteln Sie die empirische Dichte f und die empirische Verteilungsfunktion F der Wassertemperatur an den Klassenobergrenzen. b) Zeichnen Sie das Histogramm sowie den Graphen der Verteilungsfunktion. c) Berechnen Sie den Median, die durchschnittliche Temperatur und die empirische Standardabweichung der Temperatur im See. d) Für welche Temperatur a gilt: F(a) = 0.40? e) Wie groß ist der Anteil der Messungen, bei denen die Wassertemperatur von 20.5 Grad nicht überschritten worden ist?

6 6 Aufgabe 8 Man betrachtet die Anzahl X der Zigaretten, die pro Person innerhalb einer Stunde in einem Raum mit 50 Personen geraucht wurden. Man erhielt folgendes Ergebnis: Anzahl der Zigaretten Anzahl der Personen a) Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl X von Zigaretten pro Person im Raum. b) Berechnen Sie die empirische Standardabweichung der Anzahl von Zigaretten pro Person im Raum. c) Berechnen Sie den Wert der empirischen Verteilungsfunktion an der Stelle 2.2. Aufgabe 9 Eine Größe X nimmt die drei Werte 1, 2 und 3 mit jeweils gleicher Häufigkeit p an. Bestimmen Sie allgemein: a) das arithmetische Mittel, b) die mittlere quadratische Abweichung, c) die Streuung der Größe und ihre Spannweite Aufgabe 10 Bestimmen Sie für die drei Häufigkeitsverteilungen a) h[x=100] = h[x=1] = h[x=0] = b) h[x= -1] = 1/36 h[x= +4] = 35/36 c) h[x= - 1.5] = 11/36 h[x= +16.0] = 25/36 das arithmetische Mittel und die mittlere quadratische Abweichung (empirische Varianz) Lösung: a) E(X) = 1, var(x) = 0.99 b) E(X) = 139/ , var(x) = 0.99 c) E(X) = 767/ , var(x) = 0.99

7 Aufgabe 11 (Eine Frage zum Unterschied von Median und Mittelwert) Vergleichen Sie die drei folgenden Häufigkeiten Verteilung 1 Wert Häufigkeit Verteilung 2 Wert Häufigkeit Verteilung 3 Wert Häufigkeit a) Für welche Verteilung liegt der Median über dem Mittelwert, für welche darunter, für welche sind beide Werte gleich? b) Welche der drei Verteilungen wäre die Verteilung, die sich am besten als eine Verteilung der Vermögen in der Bundesrepublik eignet Lösung zu a) M = 2.5 = 3, D = 4; M = 2, D = 3.1; M= 2.5 = 3, D = 3 zu b) D soweit weit möglich über M, also Verteilung 1 oder 2, nicht ganz einfach zu entscheiden Aufgabe 12 Nach einem Marathonlauf werden 50 zufällig ausgewählte Läufer auf ihren Gewichtsverlust Y hin untersucht. Es ergeben sich folgende Werte: Klasse Gewichtsverlust (in kg) Anzahl der Läufer 1 [0,3) 16 2 [3,4) 12 3 [4,6] 22 a) Bestimmen Sie die empirische Verteilungsfunktion F(Y) an den Klassenobergrenzen. b) Wie groß ist der Anteil der Läufer mit einem Gewichtsverlust Y bis zu 3.25 kg? c) Wie hoch ist (approximativ) das arithmetische Mittel des Gewichtsverlustes Y? d) Welche (approximative) Standardabweichung hat der Gewichtsverlust Y? 7

8 8 Aufgabe 13 Für Saatkartoffeln wurde die Anzahl Z der "keimfähigen Augen" ermittelt. Für Kiste 1 ergaben sich folgende Werte: Anzahl der Kartoffeln Anzahl der "keimfähigen Augen" a) Errechnen Sie das arithmetische Mittel sowie die empirische Streuung des Merkmals Z für Kiste 1. b) Für Kartoffeln in den Kisten 2 und 3 ergaben sich folgende Werte: Kiste 2 Kiste 3 Anzahl der Kartoffeln Arithmetisches Mittel des Merkmals Z 7 6 Empirische Streuung des Merkmals Z Berechnen Sie das arithmetische Mittel sowie die Standardabweichung des Merkmals Z für Kartoffeln aus allen drei Kisten.

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