Das Mathe- Viertelfinale

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1 Das Mathe- Viertelfinale 1. Geben Sie für die folgenden Untersuchungen mögliche statistische Einheiten und Masse an und bestimmen die notwendigen Identifikationskriterien. Geben Sie ferner die zugrundeliegende Skala sowie deren Transformationsmöglichkeiten an. a) Handwerkeranteil in Deutschland b) Alter von Tieren im Zoo c) Benzinverbrauch eines PKWs 2. Gegeben sind die folgenden Beobachtungswerte eines diskreten Merkmals: a) Berechnen Sie die absolute als auch relative Häufigkeiten b) Bestimmen Sie die relativen Summenhäufigkeiten und stellen diese grafisch dar. c) Geben Sie den Mittel- sowie den Zentralwert an. 3. Bei der Bundestagswahl 2002 in Deutschland ergab sich folgende Sitzverteilung für den Bundestag. Partei SPD CDU CSU Grüne FDP PDS Sitze a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten und skizzieren ein Kreisdiagramm (Winkelangabe) b) Zeichnen Sie ein geeignetes Diagramm bzgl. der absoluten Häufigkeiten. 4. Beim Elfmeterschießen hatten 11 Teilnehmer jeweils 10 Versuche und erzielten folgende Treffer: a) Bestimmen Sie den Modus und die Quartile und geben den Mittelwert (4 Nachkommastellen) an. b) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung und den Variationskoeffizient. Torsten Schreiber 1 Mathe-Party 2011

2 5. Gemessen wurde der Zeitaufwand zur Vorbereitung auf eine Klausur und die erreichten Punkte. Zeit Punkte a) Berechnen Sie die Regressionsgerade (Punkte in Abhängigkeit von der Zeit). b) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten. c) Wie groß ist das Bestimmtheitsmaß? 6. Student Hugo benutzt täglich die Bundesbahn (DB) und Straßenbahn (SB). Für die Jahre 2002, 2005 und 2007 notierte er folgende Anzahl von Fahren und Preise DB SB DB SB DB SB Fahrtenzahl Fahrpreis 1,00 0,50 1,50 0,80 2,40 1,00 a) Bestimmen Sie 4 mal den Preisindex von 2007 zur Basis von b) Bestimmen Sie 4 mal den Mengenindex von 2007 zur Basis von Ein Kaufmann verspricht für die Einräumung eines Wegerechtes nach Ablauf von 5 Jahren einen Betrag von Euro zu zahlen. Welchen Barwert hat diese zukünftige Zahlung heute bei 8 % a) Bei einfacher Verzinsung b) Bei Zinseszinsrechnung 8. Der Kontostand am betrug Euro. Im Laufe des Jahres wurden folgende Buchungen vorgenommen. Wie hoch ist nach der englischen Methode der Kontostand am Einzahlung Auszahlung Auszahlung Einzahlung Ein Kapital von Euro werden von 2002 bis 2010 mittel Zinseszins (5%) angelegt. a) Wie groß ist das Endkapital bei jährlicher Verzinsung? b) Wie groß ist das Endkapital bei vierteljährlicher Verzinsung? Torsten Schreiber 2 Mathe-Party 2011

3 10. Ein Kapital von Euro wurde am (deutsche Methode, Variante morgen ) mit 6% angelegt. An welchem Datum im Jahr 2011 beträgt der Kontostand Euro ,16 Euro? 11. Eine Maschine (Neuwert = Euro) soll nach 7 Jahren noch einen Restwert von Euro haben. Erstellen Sie den Abschreibungsplan, wobei die ersten 4 Jahre mit 12% und die restlichen linear abgeschrieben werden sollen 12. Ein Objekt mit einem Anschaffungspreis von Euro soll in 15 Jahren abgeschrieben werden. a) Wie groß ist der Abschreibungssatz ohne nicht abzuschreibenden Betrag? b) Wie groß ist der Abschreibungssatz mit einem nicht abzuschreibenden Betrag von Euro? 13. Peter zahlt ab jährlich Euro auf ein Konto, das mit einem Satz von 3% nachschüssig verzinst wird. a) Nach welcher Zeit beträgt sein Kapital mehr als Euro? b) Welchen Betrag hätte Peter am einmalig anlegen müssen? 14. Ein Sparer schließt einen Ratensparvertrag ab, bei dem er in den ersten 6 Jahren monatlich vorschüssig 120 Euro einzahlt, wobei ihm die Bank 4% Zinsen gibt. Die nächsten 4 Jahre wird das Kapital zu 5% weiterverzinst. a) Bestimmen Sie den Betrag der Ersatzrente für die ersten 6 Jahre b) Auf welchen Endbetrag ist das Kapital nach 10 Jahren angewachsen? 15. Ein Bauherr erhält ein Bauspardarlehen von Euro, das mit 5% jährlichen Darlehenszins belastet wird. Zur Tilgung wird eine nachschüssige Prozentannuität von 12% vereinbart. a) Wie groß ist die Tilgung im 6. Jahr b) Nach welcher Zeit beträgt die Restschuld ,75 Euro? c) Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 5 Jahre. Torsten Schreiber 3 Mathe-Party 2011

4 Das Mathe-Halbfinale 1. Klassifizieren Sie die folgenden Merkmale die anhand von Bestands- und Bewegungsmasse, begründen Sie Ihre Annahme und geben die korrespondierende Masse an. Geben Sie ferner die zugrundeliegende Skala sowie deren Transformationsmöglichkeiten an. a) Verkehrssünder in Fulda im Mai 2011 b) Richtige Antworten in der Statistik-Klausur c) Anzahl der in Statistik eingeschriebenen Studenten(innen) 2. Bei einem Eignungstest konnten maximal 14 Punkte erreicht werden. Insgesamt nahmen 100 Personen an diesem Eignungstest teil, wodurch sich folgende Tabelle ergibt: Punkte Personen a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten b) Bestimmen Sie die relativen Summenhäufigkeiten. c) Stellen Sie die absoluten Häufigkeiten in einem Histogramm dar. d) Bestimmen Sie den Durchschnittswert und geben den Median an. 3. In der Tabelle werden die Etappenzeiten einer Radrundfahrt festgehalten Etappe (km) Zeiten (min) a) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit. b) Begründen Sie das Verfahren, das Sie angewandt haben. 4. Für seine Fahrtzeit vom Wohnort zur Arbeitsstelle benötigt Egon folgende Zeiten (in Minuten): a) Bestimmen Sie den Median, den Mittelwert und das 20%-Quantil. b) Wie groß ist die Spannweite und die Varianz seiner Zeiten. Torsten Schreiber 1 Mathe-Party 2011

5 5. Gemessen wurde die Reifenprofilstärke in Abhängigkeit von ihrer Laufleistung X in 10 Tkm Y in mm 19,6 17,8 16,0 15,5 15,0 11,9 11,3 9,9 6,9 3,5 a) Berechnen Sie die Regressionsgerade x in Abhängigkeit von y. b) Schätzen Sie die Werte für die fehlenden Laufleistungen. c) Wie groß ist der Bestimmtheitskoeffizient? 6. In den Jahren notierte sich Bauer Egon folgende Preise bzgl. seiner Kühe und Schweine Menge Preis Menge Preis Menge Preis Kühe Schweine a) Bestimmen Sie den Preisindex nach Paasche und Laspeyres von 2007 zur Basis von b) Geben Sie die Messzahlen der verkauften Mengen an. 7. Susi hat Euro geerbt und legt das Geld zu 8% (jährliche Verzinsung) auf ein Sparbuch an. Nach welcher Zeit beträgt ihr Guthaben mehr als Euro a) Bei einfacher Verzinsung b) Bei Zinseszinsrechnung 8. Am 1. März wird ein Konto mit 250 Euro eröffnet, am werden 120 abgehoben und am fließen wieder 20 Euro Guthaben auf das Konto. Welcher Kontostand ist am 01. April auf dem Konto zu verzeichnen bei: a) Mittels englischer Methode b) Mittels deutscher Methode c) Mittels französischer Methode 9. Ein Kapital wird zu 7% angelegt und bringt nach einem halben Jahr 420 Euro Zinsen. a) Wie groß ist der angelegt Betrag? b) Wie hoch wären die Zinsen bei einer monatlichen Verzinsung in diesem halben Jahr? Torsten Schreiber 2 Mathe-Party 2011

6 10. Welches Kapital muss am (deutsche Methode, Variante morgen ) mit 8% Zinsen angelegt werden, damit am 01. Mai 1978 ein Kontostand von ,75 Euro vorhanden ist? 11. Ein schöner Computer kostete Euro und soll geometrisch degressiv mit 10% auf einen Restwert von unter 500 Euro abgeschrieben werden. a) In wie vielen Jahren ist der PC abgeschrieben? b) Wie hoch wären die jährlichen Abschreibungen bei linearer Abschreibung? 12. Eine Büroausstattung hat nach 10 Jahren noch einen Buchwert von Euro, wobei mit 20% geometrisch abgeschrieben wurde. c) Wie teuer war die Ausstattung vor 10 Jahren? d) Wie lange hätte die Abschreibung bei 10% gedauert? 13. Einem Selbstständigen werden an seinem 65. Geburtstag von seiner Lebensversicherung Euro ausgezahlt. Er legt diesen Betrag zu 8,5% Zinsen bei einer Bank an. Von dem Kapital und den darauf entfallenden Zinsen möchte er 20 Jahre lang eine jährliche vorschüssige Rentenzahlung erhalten. Wie hoch ist diese pro Jahr? 14. Auf ein Rentenkonto wird vierteljährlich (vorschüssig) ein Betrag von 250 Euro für eine Dauer von 10 Jahren eingezahlt und mit 7% verzinst. a) Wie hoch ist der Endwert nach 20 Jahren? b) Wie hoch ist der zugehörige Rentenbarwert? 15. Ein Spezialfahrzeug im Wert von 1 MIO Euro soll in 10 Jahren mittels linearer Abschreibung auf einen Restwert von Euro reduziert werden. a) Wie groß sind die Annuitäten? b) Wie hoch ist die Restschuld und die Tilgung im 7. Jahr? c) Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 4 Jahre. Torsten Schreiber 3 Mathe-Party 2011

7 Das Mathe-Finale 1. Beschreiben Sie, ob es sich bei den genannten Merkmalen um Bestands- oder Bewegungsmasse handelt. Geben Sie zusätzlich die Identifikationskriterien an und definieren die möglichen Skalen. a) Sozialversicherungsnummern der Einwohne von Fulda b) Anzahl der Kunden einer Bank innerhalb eines definierten Zeitfensters. c) Körpertemperatur der Studenten während der Statistik-Klausur Jugendliche wurde befragt, wie oft sie in der vergangenen Woche ihren Eltern im Haushalt geholfen haben a) Berechnen Sie die absolute als auch relative Häufigkeiten b) Bestimmen Sie die relativen Resthäufigkeiten und stellen diese grafisch dar. c) Geben Sie den Mittelwert sowie den Modus an. 3. In der Tabelle werden die Jahresleistungen der deutschen Siebenkämpferin Sabine Braun in den Jahren 1987 bis 1992 dargestellt. Jahr Punkte a) Berechnen Sie die jährlichen Wachstumsraten und geben den zugehörigen Wachstumsfaktor an. b) Bestimmen Sie einen geeigneten Mittelwert und begründen Ihre Entscheidung. 4. Für seine Fahrtzeit vom Wohnort zur Arbeitsstelle benötigt Egon folgende Zeiten (in Minuten): a) Bestimmen Sie den Median, den Mittelwert und das 20%-Quantil. b) Wie groß ist die Spannweite und die Varianz seiner Zeiten. Torsten Schreiber 1 Mathe-Party 2011

8 5. Bei einer zufällig ausgewählten Gruppe wurde folgende Messwerte erfasst: Körpergröße 1,55 1,57 1,62 1,68 1,75 1,75 1,81 1,83 Gewicht Körpergröße 1,87 1,89 1,9 1,92 1,95 1,95 1,99 2,02 Gewicht a) Berechnen Sie die Regressionsgerade Gewicht in Abhängigkeit der Körpergröße. b) Wie schwer muss demnach eine Person sein, die 1,35 bzw. 1,77 groß ist. c) Zeichnen Sie die Punkte und Ihre Lösungsgerade in ein Schaubild ein? 6. In einer Untersuchung wurden 50 Personen bzgl. Anzahl Kinder und Anzahl Haustiere befragt. Es ergaben sich folgende Tupel mit (Anzahl Kinde; Anzahl Haustiere) (1;0), (1;0), (1;0), (1;1), (1;1), (1;2), (1;3), (1;3), (1;3), (1;4), (1;4), (1;5), (2;0), (2;0), (2;1), (2;1), (2;1), (2;1), (2;1), (2;1), (2;2), (2;2), (2;3), (2;4), (2;4), (3;0), (3;0), (3;0), (3;0), (3;1), (3;2), (3;2), (3;2), (3;3), (3;3), (3;3), (3;4), (3;5), (3;5), (4;2), (4;3), (4;3), (4;3), (4;4), (4;4), (4;4), (4;5), (5;1), (5;3), (5;4), a) Erzeugen Sie die Korrelationstabelle inkl. Randverteilung. b) Wie ist die konditionale Verteilung für 2 Kinder? c) Berechnen Sie für 1 bis 3 Kinder die Kovarianz und die Abhängigkeiten 7. Es werden Euro auf einem Konto angelegt und für 5 Jahre fest angelegt. Nach dieser Zeit werden ,73 Euro gut geschrieben. Wie hoch ist der Prozentsatz a) Bei einfacher Verzinsung b) Bei Zinseszinsrechnung 8. Zu Beginn eines Jahres 2000 sind auf einem Konto Euro vorhanden. Am werden Euro eingezahlt und am werden Euro ausgezahlt. Die Verzinsung erfolgt mittels deutscher Methode zu 4%. Anschließend bleibt das angesparte Geld weitere 5 Jahre fest zu einem Zinssatz von 6% auf der Bank liegen. Am soll das Konto aufgelöst werden. a) Wie hoch ist der Kontostand b) Wie hoch wäre der Kontostand bei englischer Methodik 9. Ein Kapital von Euro erwirtschaftet nach einem viertel Jahr 150 Euro Zinsen. a) Wie hoch ist der gewählte Zinssatz (lineare Verzinsung)? b) Wie hoch wäre der Zinssatz bei einer monatlichen Verzinsung? Torsten Schreiber 2 Mathe-Party 2011

9 10. Es werden Euro zu einem unterjährigen Prozentsatz von 5% am mittels (französischer Methode, Variante gestern ) angelegt. Wie hoch ist der Kontostand am 12. Juni 2010, wenn bei ganzjähriger Verzinsung von der Bank zusätzlich 1% Bonus gezahlt wird? 11. Eine Abfüllanlage wir zu einem Preis von Euro angeschafft und in den ersten 5 Jahren linear auf einen Restwert von Euro abgeschrieben werden. Anschließend mittels degressiver Abschreibung innerhalb von 3 Jahren auf reduziert werden. a) Wie hoch ist der Abschreibungsprozentsatz in den letzten 3 Jahren? b) Erstellen Sie den Abschreibungsplan? 12. In wie vielen Jahren ist ein Objekt mit einem Anschaffungspreis von Euro und einem Abschreibungsprozentsatz von 12% auf unter Euro abgeschrieben. Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 5 Jahre. 13. Ein Sparer will nachschüssig genau 4.147,68 Euro anlegen. Die Einzahlungen werden mit 6% verzinst. Wie viele Jahre wird es dauern, bis er auf seinem Konto einschließlich Zinsen Euro hat? 14. Nach 10 Jahren werden auf einem Konto ein Rentenendwert von ,29 gutgeschrieben. Der Zinssatz beträgt 4%. a) Wie hoch ist die jährliche Rentenrate? b) Wie hoch ist der zugehörige Rentenbarwert? 15. Ein Darlehen von Euro soll in 4 Jahren mittels konstanter, vierteljährlicher vorschüssiger Annuitätentilgung zurück gezahlt werden. a) Wie groß sind die Ersatzannuitäten? b) Berechnen Sie die Formel für den konformen Jahreszins. c) Erstellen Sie den Tilgungsplan. 16. Ein aufgenommener Kredit von Euro soll bei 9% Jahreszins in zwei Jahren bei monatlicher nachschüssiger Ratenzahlung durch konstante Annuitäten zurückgezahlt werden. a) Wie groß ist die jährliche Annuität? b) Bestimmen Sie die monatlichen Zahlungen? c) Berechnen Sie den Tilgungsplan Torsten Schreiber 3 Mathe-Party 2011