Der Einsatz von dynamischen Arbeitsblättern zur Unterstützung des funktionalen Denkens in der Sekundarstufe 1

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1 Der Einsatz von dynamischen Arbeitsblättern zur Unterstützung des funktionalen Denkens in der Sekundarstufe 1 Seminar MathemaTech, Edith Lindenbauer Linzer Zentrum für Mathematik Didaktik PH Oberösterreich

2 Der Einsatz von dynamischen Arbeitsblättern zur Unterstützung des funktionalen Denkens in der Sekundarstufe 1 Motivation Problematik Dynamische Arbeitsblätter Forschungsdesign SchülerInnenantworten Lindenbauer Edith 2

3 Funktionales Denken Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktionen ist. (Vollrath, 1989) Zwei Aspekte funktionalen Denkens (Malle, 2000) Zuordnungsaspekt: Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet. Kovariationsaspekt: Jede Veränderung von x zieht eine bestimmte Veränderung von f(x) nach sich und umgekehrt. Lindenbauer Edith 3

4 Funktionales Denken (eigene Abbildung nach Malle, 2000) Lindenbauer Edith 4

5 Probleme im Umgang mit Funktionen Kovariationsaspekt (De Bock et al., 1998; Malle, 2000; Hoffkamp, 2011) Dynamische Mathematiksoftware zur Förderung funktionalen Denkens (Hohenwarter, 2006) Kovariationsaspekt in situativen Einkleidungen leichter erwerbbar (Malle, 2000; De Bock et al.,1998) Lindenbauer Edith 5

6 Kovariationsaspekt Lindenbauer Edith 6

7 Probleme im Umgang mit Funktionen Graph-als-Bild Fehler (Janvier, 1978; Clement, 1989; Schlöglhofer, 2000; Hoffkamp, 2011) Vom Punkt P aus wird eine Kugel auf einem Billardtisch längs der angegebenen Bahn geschossen. Der Funktionswert d(t) gibt den Abstand vom oberen Rand der Tischfläche an. (Schlöglhofer, 2000) Lindenbauer Edith 7

8 Graph-als-Bild Fehler Lindenbauer Edith 8

9 Probleme im Umgang mit Funktionen Illusion-of-linearity (Markovits et al., 1988; De Bock et al. 1998, 2002; Hoffkamp, 2011) Bevorzugung von linearen oder direkt proportionalen Modellen Illusion-of-linearity kann eher überwunden werden, wenn es um Aufgaben in einem realistischen Kontext geht. (DeBock et al., 1998) Lindenbauer Edith 9

10 Illusion-of-linearity Lindenbauer Edith 10

11 Forschungsdesign: Forschungsfragen F1: Welche Vorstellungen insbesondere welche Prä- und Fehlkonzepte haben SchülerInnen verschiedener Altersgruppen der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit funktionalem Denken? F2: Wie können dynamische Materialien gestaltet werden, um SchülerInnen der Sekundarstufe 1 zu unterstützen, geeignete mathematische Vorstellungen zu entwickeln und so Fehler aufgrund von Fehl- und Präkonzepten zum Thema funktionales Denken zu reduzieren? F3: Welchen Einfluss haben dynamische Materialien auf die Vorstellungen und internen Repräsentationen von SchülerInnen der Sekundarstufe 1 insbesondere im Hinblick auf das Verständnis des Kovariationsaspekts von funktionalen Abhängigkeiten? Lindenbauer Edith 11

12 Forschungsdesign: Qualitative Fallstudie Forschungsfrage 1 - (Fehl-)Vorstellungen Literaturrecherche Diagnosetest 1 Diagnostische Interviews (Zazkis & Hazzan, 1999; Hunting 1997; Selter & Spiegel, 1997) Forschungsfrage 2 Materialgestaltung Gestaltungskriterien (Clark & Mayer, 2008) Beobachtung: Audio-, Videoaufzeichnung von SchülerInnen Interviews mit LehrerInnen Forschungsfrage 3 Einfluss der Materialien auf Vorstellungen Beobachtung: Audio-, Videoaufzeichnung von SchülerInnen Diagnosetest 2 Diagnostische Interviews Lindenbauer Edith 12

13 Forschungsdesign: Ablauf Phase 1: Vorbereitung Phase 2: Pilotierung Phase 3: Datenerhebung 8. Schulstufe (Neue Mittelschule) Phase 4: Auswertung Qualitative Auswertung nach Methoden der Grounded Theory (Glaser & Strauss, 1998) Phase 5: Datenerhebung 7. Schulstufe (Neue Mittelschule) Phase 6: Auswertung Lindenbauer Edith 13

14 Forschungsdesign: Datenerhebung Stufe 1 Diagnosetest 1 Aufgaben zur Erhebung typischer Fehlvorstellungen (Bsp. Flächeninhalt) Teilung in 2 Gruppen Stufe 2 Interviews Diagnostische Interviews 4 5 SchülerInnen der Gruppe 1 Stufe 3 Unterrichtssequenz Einsatz dynamischer Arbeitsblätter in Partnerarbeit (3 UE) (Bsp. Dreieck) Audio-, Video- und Bildschirmaufzeichnung bei Gruppe 2 Lindenbauer Edith 14

15 Forschungsdesign: Datenerhebung Stufe 4 Diagnosetest 2 Stufe 5 Interviews Stufe 6 Interviews Aufgaben zur Erhebung typischer Fehlvorstellungen Diagnostische Interviews 4 5 SchülerInnen der Gruppe 2 Interviews zur Gestaltung der Applets 3 4 LehrerInnen Lindenbauer Edith 15

16 Diagnosetest 1: Beispiel (Aufgabe nach Schlöglhofer, 2000) Lindenbauer Edith 16

17 Unterrichtssequenz: Beispiel Dreieck Lindenbauer Edith 17

18 Unterrichtssequenz: Beispiel Dreieck Lindenbauer Edith 18

19 Antworten: Skifahrer Schüler 1 Ich nehme das Zweite, weil am Bild die Piste auch so ist, wie sie am Diagramm dargestellt ist. Beim direkten Hinunterfahren ist der Skifahrer schneller unten wo der nächste Hügel beginnt wird er langsamer, und wenn er da ist, muss er wieder hinunterfahren, was bedeutet, dass er wieder schneller wird. Lindenbauer Edith Schülerin 2 19

20 Antworten: Flächeninhalt 4 Kategorien von Antworten 1. Graph-als-Bild Fehler: Weil die Zeichnung ganz oben genau so aussieht wie die, die ich eingekreist habe. 2. Graph-als-Bild Fehler: Weil der Flächeninhalt mehr wird und dann gleich bleibt. 3. Richtige Antwort jedoch fehlerhafte Begründung 4. Richtige Antwort: Weil das graue Stück immer größer wird... Lindenbauer Edith 20

21 Vermutungen Graph-als-Bild Fehler tritt häufiger auf wenn (spezielle) Lösungsmöglichkeiten angeboten werden tritt seltener auf bei zeitabhängigen Funktionen Lindenbauer Edith 21

22 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Edith Lindenbauer Linzer Zentrum für Mathematik Didaktik PH Oberösterreich

23 Literaturverzeichnis Clark, R.C. & Mayer, R.E. (2008). e-learning and the Science of Instruction. Pfeiffer. Clement, J. (1989). The concept of variation and misconceptions in cartesian graphing. Focus on Learning Problems in Mathematics, Vol. 11, 1-2. De Bock, D., Verschaffel, L. & Jannssens, D. (1998). The predominance of the linear model in secondary school student's solutions of word problems involving length and area of similar plane figures. Educational Studies in Mathematics, Vol. 35 (1). De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D. & Verschaffel, L. (2002). Improper use of linear reasoning: an indepth study of the nature and the irresistability of secondary school students' errors. Educational Studies in Mathematics, Vol. 50 (3). Glaser, B.G. & Strauss, A.L. (1998). Grounded Theory Strategien qualitativer Forschung. Verlag Hans Huber. Hoffkamp, A.(2011). Entwicklung qualitativ-inhaltlicher Vorstellungen zu Konzepten der Analysis durch den Einsatz interaktiver Visualisierungen - Gestaltungsprinzipien und empirische Ergebnisse (Dissertation). Hohenwarter, M. (2006). Funktionales Denken mit der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra. In R. Grothmann (Hrsg.): Eichstätter Kolloquium zur Didaktik der Mathematik. Katholische Universität Eichstätt- Ingolstadt. Hunting, R.P. (1997). Clinical Interview Methods in Mathematics Education Research and Practice. Journal of Mathematical Behavior, 16 (2). Malle, G. et al. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Spektrum Verlag. Malle, G. (2000). Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. Mathematik lehren, 103. Schlöglhofer, F. (2000). Vom Foto-Graph zum Funktions-Graph. Mathematik lehren, 103. Selter, C. & Spiegel, H. (1997). Wie Kinder rechnen. Klett-Grundschulverlag. Vogel, M. (2007). Multimediale Unterstützung zum Lesen von Funktionsgraphen. Mathematica didactica 30(1). Vollrath, H.-J. (1989). Funktionales Denken. Journal für Mathematikdidaktik Nr. 10. Vollrath, H.-J. & Weigand, H.-G. (2007). Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Verlag. Zazkis, R & Hazzan, O. (1999). Interviewing in Mathematics Education Research. Choosing the Questions. Journal of Mathematical Behavior, 17 (4). Lindenbauer Edith 23