FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

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1 FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Lehrstuhl für Rechnertechnik und Rechnerorganisation Prof. Dr. Arndt Bode Einführung in die Rechnerarchitektur Wintersemester 21/217 Lösungsvorschlag zur Einführung Darstellung ganzer Zahlen Antworten zu den Fragen im Text Boolsche Algebra Was heisst eigentlich analog, diskret, digital und binär? Analog: Kontinuierlich, stetig veränderbar, keine Rastung. Fast alle physikalischen Werte sind analog. Problem ist die Unterscheidbarkeit durch Rauschen, thermische Einflüsse und andere Abweichungen. Diskret: Es gibt einzelne Abstufungen. Digital: Die Eigenschaft, nur diskrete Werte anzunehmen. Binär: Zwei, sich gegenseitig auschließende Zustände (z. B. und 1). Dual: Stellenwertsystem mit und 1 (für die Zahldarstellung). Welche anderen physikalischen Größen kennen Sie oder können Sie sich zur Repräsentation der Werte und 1 vorstellen? Hier gibt es im Prinzip beliebig viele Möglichkeiten, solche Werte darzustellen, z. B.: Stromstärke: Bei alten Fernschreibern war die sogenannte 2 ma-stromschleife eine gängige Variante der Datenübertragung, bei der die beiden logischen Werte Stromstärken von +2 ma und 2 ma auf der Übertragungsleitung entsprachen. Lichtintensität: Gerade bei Glasfaserleitungen oder auch bei Infrarotübertragungen werden logische Werte über An/Aus von Lichtquellen definiert. Dabei werden diese allerdings aus Störsicherheitsgründen und zur Rückgewinnung eines Zeichentaktes häufig noch mit verschiedenen Codierungen versehen. Frequenz: Ein typisches Beispiel hierfür sind althergebrachte Modems und Akustikkoppler, bei denen die logischen Werte im einfachsten Fall durch zwei verschieden hohe Töne verwirklicht werden. 1

2 Wie sehen die Wahrheitstabellen für die einfachen unären und binären Operatoren NEG (Negation), UND und ODER aus? e e 1 1 e 1 e 2 e 1 e e 1 e 2 e 1 +e Zahlsysteme Welches Merkmal macht den entscheidenden Unterschied des arabischen zum römischen System der Zahldarstellung aus? Der entscheidende Unterschied ist die Radixschreibweise. Während es für stellenwertbasierte Zahlsysteme einfache Algorithmen für die vier Grundrechenarten gibt, existieren derartige Verfahren für das römische Zahlsystem nicht. Warum sind gerade diese Systeme in der Informatik gebräuchlich? Die Basis 2 ist das natürliche Zahlsystem der Informatik, da die heutigen Rechnern zugrundeliegende Digitaltechnik auf der Unterscheidung zwischen zwei Zuständen beruht. Oktal- und Hexadezimalsytem sind mnemotechnische Hilfsmittel, die die langen Folgen von Nullen und Einsen des Binärsystems in eine für den Menschen besser lesbare Form bringen, wobei aber zugleich eine sehr einfache Umrechnung vom bzw. ins binäre Format möglich ist. Was ist zum Fall B = 1 zu sagen? Mit B = 1 lässt sich kein Zahlsystem nach der Radixschreibweise definieren. Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle: binär oktal dezimal hexadezimal AB 1 2

3 Darstellung von Zahlen im Rechner Welcher Zahlenbereich kann mit einem 8 Bit breiten Zahlenformat dargestellt werden? Mit einem 8 Bit breiten Zahlformat können vorzeichenlose Zahlen im Bereich [ 1 ;2 1 ] ([ ; ]) dargestellt werden. Allgemein kann ein n Bit breites Format den Bereich [;2 n 1] darstellen. Führen Sie folgende Operationen nach den bekannten Regeln für das Rechnen auf dem Papier aus. 21 Bitposition Operand Operand Übertrag Ergebnis 7421 Bitposition Operand 1-1 Operand 2 1 Übertrag Ergebnis x 7 11 x Übertrag Welchen logischen Verknüpfungen entsprechen die Elementaroperationen auf den einzelnen Stellen bei der Addition (Summe und Übertrag)? Die Elementaroperationen a <op> b: Addition Summe a \ b exklusives oder (XOR) Addition Übertrag a \ b logisches und (AND)

4 Negative Zahlen Einer-Komplement Wie erkennt man am einfachsten, ob eine Zahl positiv oder negativ ist? Haben alle Zahlen eine eindeutige Darstellung? Im Einer- wie im Zweierkomplement ist eine negative Zahl an einer 1 in der höchstwertigen Bit-Position erkennbar. Während im Einerkomplement zwei Darstellungen der Null existieren (die positive 2 und die negative ), haben im Zweierkomplement alle Zahlen eine eindeutige Darstellung. Zweier-Komplement Berechnen Sie mit 9 Bit Stellenanzahl 2 8. Im Zweierkomplement rechnet man immer modulo 2 n, wenn n die Breite des Datenformats ist. Beispiel: tatsächliches Ergebnis Ergebnis im Register Vorzeichen, Übertrag und Überlauf Unter welchen Voraussetzungen kann es bei Addition und Subtraktion zum Überlauf kommen? Ein Überlauf tritt auf bei der Addition wenn beide Operanden positiv sind und das Ergebnis größer als 2 n 1 1 ist wenn beide Operanden negativ sind und das Ergebnis kleiner als 2 n 1 ist bei der Subtraktion wenn der 1. Operand positiv, der 2. Operand negativ und das Ergebnis größer als 2 n 1 1 ist wenn der 1. Operand negativ, der 2. Operand positiv und das Ergebnis kleiner als 2 n 1 ist Wie kann ein Überlauf anhand der Carrybits festgestellt werden? Ein Überlauf liegt immer dann vor, wenn (das für die höchstwertige Bitstelle benötigte Übertragsbit) und (das aus der höchsten Stelle entstehende Übertragsbit) verschieden sind. 4

5 Overflow: Overflow: Overflow: Overflow: 1 Abbildung 1: Die Lösungen zu den Rechenbeispielen (1)

6 Overflow: Overflow: Overflow: Overflow: Abbildung 2: Die Lösungen zu den Rechenbeispielen (2)