Serie 4: Flächeninhalt und Integration

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Serie 4: Flächeninhalt und Integration"

Transkript

1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt die Graphen der Funktionen f() = + + und g() = a) Berechnen Sie die Stellen < < 3, an denen sich die Graphen der beiden Funktionen schneiden. b) Berechnen Sie das Integral 3 (f() g())d. c) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche.. Bestimmen Sie zu jeder Funktion f aus den Aufgaben a) - g) eine Stammfunktion. Erledigen Sie so viel wie möglich im Kopf. Überprüfen Sie Ihre Antworten durch Differentiation. Es ist f() =... a) i. ii. iii. + b) i. 3 4 ii. 4 iii

2 c) i. ii. 5 iii. 5 d) i. 3 ii. iii. + e) i. 3 3 ii. 3 3 iii f) i. π sin π ii. 3 sin iii. sin π 3 sin 3 g) i. sec ii. 3 sec 3 iii. sec 3 3. Diskutieren Sie den Graph der Funktion anhand der folgenden Schritte: a) Was ist der Definitionsbereich von f? f() = 4 3 b) Ist diese Funktion gerade, ungerade oder weder gerade, noch ungerade? c) Was sind die Nullstellen von f? d) Was ist die Ableitung von f? e) Wo ist die Tangente des Funktionsgraphen waagrecht? Hinweis: Das Polynom verschwindet genau dann, wenn = 0 oder = 0. Da = 0 ein quadratisches Polynom in ist, können wir seine Nullstellen mittels Mitternachtsformel bestimmen: = 0 genau dann, wenn = oder = 3, also = ± oder = ± 3. f) Was sind die offenen Intervalle, auf denen die Funktion wächst und auf denen sie fällt? g) Besitzt f lokale Etremwerte? Sattelpunkte? h) Was sind die einseitigen Grenzwerte lim f(), + lim f()? i) Was ist der Grenzwert j) Skizzieren Sie den Graph von f. lim f()? +

3 4. Wir betrachten die Gleichung 0. sin = a) Zeigen Sie, dass diese Gleichung wenigstens eine Lösung zwischen 0 und π besitzt. Hinweis: Zwischenwertsatz. b) Approimieren Sie diese Lösung, indem Sie zwei Iterationsschritte des Newtonschen Verfahrens für f() = 0. sin 0.85 mit dem Startwert 0 = π berechnen. Benutzen Sie einen Taschenrechner für die Iteration. 5. Die Ableitung einer Potenzfunktion p, wobei p eine beliebige reelle Zahl (für > 0) ist, ist ( p ) = p p. Es folgt, dass Stammfunktionen von Funktionen der Form p p wie folgt aussehen p p d = p + Konst. Division durch p, sofern dies nicht Null ist, liefert p d = p p + Konst. oder, durch Umbenennung des Eponenten (p = a + ), erhält man die folgende Formel, gültig für a : a d = a+ a+ + Konst. Für den Fall p =, verwenden wir die Ableitung der Logarithmusfunktion (ln ) =. Geometrisch betrachtet stellt ln die Fläche zwischen der -Achse und des Graphen von zwischen und dar, wenn > : Zur Bestimmung des zeitlichen Ablaufs der Bewegung eines Planeten hat man die sogenannte ezentrische Anomalie ϕ des Planeten zur Zeit t. Diese genügt der Keplerschen Gleichung ϕ ε sin ϕ = πt U, () wobei die numerische Ezentrizität der Bahnellipse ε = 0., und πt = 0.85 mit U die Umlaufzeit und t U die seit dem Periheldurchgang verstrichene Zeit bezeichnen, realistische Werte sind. 3

4 y ln = t dt = graues Gebiet Im Allgemeinen (für 0) gilt d = ln +Konst, wobei der Fall wenn < 0 von der Kettenregel folgt Erhalten Sie ähnliche Formeln für: a) ( b) a d (ln ) = (ln( )) = =. b) d b c) Was ist der Flächeninhalt zwischen der -Achse und dem Graphen von im + vertikalen Streifen zwischen der y-achse und der Gerade = e? Die Lösungen sind:. a) = 3, = 0, 3 = 3. b) 0 c) 8 3. a), 3 3, b) 3, 3 3, c), 5, + 5. d) 3,,

5 e) 3, 3, 3. f) cos π, 3 cos, cos π + cos 3. π g) tan, tan, tan a) (, ) (, ) (, + ), d.h. R\{± } b) Die Funktion f ist gerade. c) = ± 4 3. d) f () = e) = 0,,3 = ± und 4,5 = ± 3. f) f ist für die Intervalle (, 3), (, 0), (, ), (, 3) monoton fallend und für die Intervalle ( 3, ), (, ), (0, ), ( 3, + ) monoton wachsend. g) f besitzt lokale Minima bei 0 und ± 3, lokale Maima bei ±. h) lim + f() = +, lim f() = i) + 4. a) f(0) = 0.85 < 0, f(π) = π 0.85 > 0 und Zwischenwertsatz. b).058, a) ( b) a d = ( b)a+ a+ + Konst, a b) d = ln b + Konst, b b c) 5

6 MC-Serie 4. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion im Intervall [0, ] ist richtig? f() = 3 (a) f nimmt in [0, ] ihr globales Minimum im Punkt = 3 an. (b) f nimmt in [0, ] ihr globales Maimum im Punkt = 3 an. (c) f nimmt in [0, ] ihr globales Minimum im Punkt = 3 an. (d) f nimmt in [0, ] ihr globales Maimum im Punkt = 3 an. 6

7 . Das Maimum der Funktion im Intervall [, 5] ist f() = ln (a) 0. (b). (c) e. (d) ln

8 3. Das Minimum der Funktion im Intervall [, 5] ist f() = ln (a) 0. (b). (c) e. (d) ln Es sei f : D R eine dreimal differenzierbare Funktion und D. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (a) Gilt f () = 0, so nimmt f in ein Etremum an. (b) Gilt f () = 0, f () > 0, so nimmt f in ein Maimum an. (c) Gilt f () = f () = 0 und f () 0, so hat f in einen Wendepunkt. (d) Nimmt f in ein Etremum an, so gelten f () = 0 und f () 0. 8

9 5. Sei n eine Approimation von einer Nullstelle des Polynoms p() = α wobei α > 0. Was ist unter Anwendung des Newtonverfahrens die nächste Approimation n+? (a) n+ = ) (3 n + αn. (b) n+ = ) ( n αn. (c) n+ = ) ( n + αn. (d) n+ = ) (3 n αn. 9

10 6. Approimieren Sie den Wert 5, indem Sie zwei Iterationsschritte des Newtonschen Verfahrens für f() = 5 mit dem Startwert 0 = 3 berechnen. Dann ergibt sich die Approimation: (a) = 7 3 (b) = 47 (c) = (d) =

11 7. Welche ist eine korrekte Stammfunktion von + + +? (a) arctan() + ln +. (b) arctan() ( + ). (c) arsinh() + ln +. (d) arsinh() ( + ). 8. Seien F, G Stammfunktionen von f, g : (a, b) R. Welche der Aussagen ist falsch? (a) F + G ist eine Stammfunktion von f + g. (b) F G ist eine Stammfunktion von fg. (c) Sei c R. Dann ist F + c eine Stammfunktion von f. (d) F G ist eine Stammfunktion von fg + F g.

12 9. Wie gross ist der Flächeninhalt F der Figur im ersten Quadrant, die zwischen der Parabel y = und der Geraden y = liegt? y (a) F = 7 6. (b) F = 4 3. (c) F = 5 6. (d) F = 0 3.

13 0. Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion sin, den beiden Koordinatenachsen und der Geraden = π begrenzt wird y = π π ist (a) π 0 sin t t dt. (b) π 0 sin t t dt. (c) π 0 sin t t dt. (d) π 0 sin t t dt. 3

Serie 4: Gradient und Linearisierung

Serie 4: Gradient und Linearisierung D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F() der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f()

Mehr

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I: Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls und f ) =. ln, falls a) Skizzieren

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen

Mehr

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

1 Differentialrechnung

1 Differentialrechnung BT/MT SS 6 Mathematik II Klausurvorbereitung www.eah-jena.de/~puhl Thema: Üben, üben und nochmals üben!!! Differentialrechnung Aufgabe Differenzieren Sie folgende Funktionen: a y = ln( b f( = a a + c f(

Mehr

Serie 6: Komplexe Zahlen

Serie 6: Komplexe Zahlen D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 6: Komplexe Zahlen Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 26. und 28. Oktober. Es gibt zwei Darstellungsformen

Mehr

Serie 12: Eigenwerte und Eigenvektoren

Serie 12: Eigenwerte und Eigenvektoren D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie : Eigenwerte und Eigenvektoren Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7 und 9 Dezember Finden Sie für folgende

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

Skripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.

Skripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x. Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden

Mehr

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4 Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte

Mehr

8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren

8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren 09.2.202 8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e - - 2 0 Die gesuchten

Mehr

Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung

Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung Analysis D-BAUG Dr. Meike Akvel HS 05 Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung. a) Sei Lösung 3, falls < 0, f : R R, f) c +, falls 0, + 8, falls >. Bestimmen Sie c R un R, so ass f überall stetig

Mehr

1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7

1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7 Universität Basel 4 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Kurvendiskussionen Inhaltsverzeichnis 1 Höhere Ableitungen 2 2 Mittelwertsatz und

Mehr

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 213 Mathematik Infinitesimalrechnung II Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE) Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = ln(213 x) den maximalen Definitionsbereich

Mehr

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H. a)

Mehr

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine

Mehr

Analysis 1 für Informatiker (An1I)

Analysis 1 für Informatiker (An1I) Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,

Mehr

Matur-/Abituraufgaben Analysis

Matur-/Abituraufgaben Analysis Matur-/Abituraufgaben Analysis 1. Tropfen Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung y = (1 ) im Intervall 1. Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k eine zur -Achse symmetrische

Mehr

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da

Mehr

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben

Mehr

Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a

Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a . Einführung in die Differentialrechnung ==================================================================. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Aufgabe 1.3. FernUNI Hagen WS 2002/03. Mathematik II für WiWi s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml

Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Aufgabe 1.3. FernUNI Hagen WS 2002/03. Mathematik II für WiWi s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.1 Berechnen Sie jeweils die 1. Ableitung der Funktion f: 1- a) f() = e 1+ e + b) f() = (+) Aufgabe 1. Von einer Funktion f ist bekannt: (1) f ist ein Polynom. Grades ()

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Serie 1: Repetition von elementaren Funktionen

Serie 1: Repetition von elementaren Funktionen D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 1: Repetition von elementaren Funktionen Bemerkung: Die Aufgaben der Serie 1 bilden den Fokus der Übungsgruppen in der zweiten Semesterwoche

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 3

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 3 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 3 Hausaufgaben Aufgabe 3. Zeigen Sie mit Hilfe der ɛ-δ-formulierung vgl.

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik

Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen.

Mehr

Mengen, Relationen, Abbildungen A B = A B. Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A B.

Mengen, Relationen, Abbildungen A B = A B. Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A B. Aufgabensammlung zum Vorkurs in Mathematik Thomas Püttmann Mengen, Relationen, Abbildungen Aufgabe : Verdeutlichen Sie das Distributivgesetz und das Gesetz von De Morgan durch Mengendiagramme. A (B C)

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion

Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion Als bekannt setzen wir die folgenden 5 Ableitungen und 3 Regeln voraus: cos) = sin) n ) = n n für alle n 0 e ) =e sin) = cos) ln) = f) g))

Mehr

Mathematik IT 3 (Analysis)

Mathematik IT 3 (Analysis) Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Mathematik IT (Analysis) für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Wintersemester 0/04 Geben Sie

Mehr

Aufgaben e-funktion. Gegeben sind die Funktionen f k (x) = x+k e x. a) Leite g(x) = 1 x k e x. ab.

Aufgaben e-funktion. Gegeben sind die Funktionen f k (x) = x+k e x. a) Leite g(x) = 1 x k e x. ab. Aufgaben e-funktion 7 6 5 4 3-3 - - 3 u 4 - Gegeben sind die Funktionen f k () = +k e. a) Leite g() = k e ab. b) Die Graphen von f und f 3, die -Achse und die Gerade = u (u > 0) begrenzen die Fläche A(u).

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil

Mehr

Analysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge

Mehr

D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale

D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 8 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom./3. April.. Den Satz

Mehr

5. Differentialrechnung

5. Differentialrechnung Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS6 7..6 5. Differentialrechnung 5.. Wozu Informatikerinnen Differentialrechnung brauchen In vielen technischen Problemen interessiert man sich für die momentane Steigung

Mehr

4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion.

4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. 4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. Definition 4.3. Es sei f : R D R eine auf D erklarte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

Analysis 5.

Analysis 5. Analysis 5 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 2 e 2 x 2 (x D f ) a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion

Mehr

MAI-Übungsaufgaben im SS02

MAI-Übungsaufgaben im SS02 MAI-Übungsaufgaben im SS02 Prof. Dr. Th. Risse SS 2002 Knappe Rückmeldungen zu den jeweiligen Übungsaufgaben (wie soll man sonst aus Fehlern lernen?) mit einer Bewertungstabelle ganz am Ende! 1 Übungsaufgaben,

Mehr

Übungsaufgaben zur Analysis

Übungsaufgaben zur Analysis Serie Übungsaufgaben zur Analysis. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: ( + 3y)( + 4a + 4b) (a b )( + 3y 4) (3 + )(7 + y) + (a + b)(3 + ). Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: 6a( 3a + 5b c)

Mehr

Mathematikaufgaben. Matura Session

Mathematikaufgaben. Matura Session Mathematikaufgaben Matura 05. Session Angaben 05. Session 05. Session Problemstellung Ein Telefonanbieter sieht für Auslandgespräche eine Figebühr von 0 Euro monatlich und zusätzlich 0 Cent pro Gesprächsminute

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge

Mehr

Sommersemester (1,1) (b) f(x,y,z) = cos(y 2 )+ze xy, P = (0,0,π), v = 1. (1,1,2) (c) f(x,y,z) = ln(xyze x ), P = (1,1,1), v = 1

Sommersemester (1,1) (b) f(x,y,z) = cos(y 2 )+ze xy, P = (0,0,π), v = 1. (1,1,2) (c) f(x,y,z) = ln(xyze x ), P = (1,1,1), v = 1 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 76. Ableitungen

Mehr

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor

Mehr

Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................

Mehr

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.008 Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 2. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 2. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.e Department Biologie II Telefon: 089-80-74800 Großhaernerstr. Fa:

Mehr

Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4

Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4 Weitere Ableitungsregeln Kapitel . Die Kettenregel L f() = u(v()) g() = v(u()) a) + + b) cos [( + ) ] (cos + ) c) sin ( ) [sin ()] d) e) ( = _ ) _ ( f) cos [π( + )] cos (π) + g) ( ) = h) ( + ) + = + +

Mehr

ARBEITSBLATT 6-5. Kurvendiskussion

ARBEITSBLATT 6-5. Kurvendiskussion ARBEITSBLATT 6-5 Kurvendiskussion Die mathematische Untersuchung des Graphen einer Funktion heißt Kurvendiskussion. Die Differentialrechnung liefert dabei wichtige Dienste. Intuitive Erfassung der Begriffe

Mehr

Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen

Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen Yannick Schrör Christian Mielers. Februar 06 Ungleichungen Bestimme die Lösungen für folgende Ungleichungen. x+ > x + x + Fall : x, x + > x + 6 Lösung im

Mehr

Pflichtteil - Exponentialfunktion

Pflichtteil - Exponentialfunktion Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()

Mehr

Aufgabenkomplex 3: Integralrechnung, Kurven im Raum

Aufgabenkomplex 3: Integralrechnung, Kurven im Raum Technische Universität Chemnit. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple : Integralrechnung, Kurven im Raum Letter Abgabetermin: 6. Mai in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str.

Mehr

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( ) 64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den

Mehr

5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation

5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation 5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation Aufgabe : Verschiebung und Streckung trigonometrischer Funktionen (5) a) Bestimmen Sie die Periode p sowie die Nullstellen der Funktion

Mehr

wenn f ( x 0 ) der größte Funktionswert für alle x aus einer Umgebung Dieser größte Funktionswert f ( x 0 ) heißt relatives (lokales) Maximum

wenn f ( x 0 ) der größte Funktionswert für alle x aus einer Umgebung Dieser größte Funktionswert f ( x 0 ) heißt relatives (lokales) Maximum R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 06.0.008 Etrempunkte ganzrationaler Funktionen Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Beim zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den

Mehr

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 212 Mathematik Infinitesimalrechnung I Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion

Mehr

Die Lösungen der Gleichung b x = log b (x)

Die Lösungen der Gleichung b x = log b (x) Die Lösungen der Gleichung b = log b () wgnedin@math.uni-koeln.de 17. Januar 2014 In der ersten Vorlesung des Wintersemesters wurde folgende Frage gestellt: Wieviele Lösungen hat die Gleichung ( ) 1 =

Mehr

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x. Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen

Mehr

GF MA Differentialrechnung A2

GF MA Differentialrechnung A2 Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen x i ( i! ) einer Funktion f gilt: Steigen bzw. Fallen: f ( x i ) = 0 f '( x) > 0 im Intervall I f ist streng monoton wachsend in I f '( x) < 0 im Intervall

Mehr

Grenzwerte und Stetigkeit

Grenzwerte und Stetigkeit KAPITEL 3 Grenzwerte und Stetigkeit 3.1 Grenzwerte..................................... 49 3.2 Stetigkeit....................................... 57 Lernziele 3 Grenzwerte ε-δ-definition des Grenzwerts,

Mehr

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 215 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion f : x ( x 3 8 ) (2 + ln x) mit maximalem Definitionsbereich D. Teilaufgabe Teil A 1a (1

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II Seite 1 Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II Gegeben ist die Funktion g : x ln(2x + 3) mit maximaler Definitionsmenge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit G g bezeichnet. Teilaufgabe

Mehr

Bezeichnung von Funktionen x := y:=

Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit: (aufgelöst nach y) Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit:

Mehr

Analysis I Mathematik für InformatikerInnen II SoSe 12 Musterlösungen zur Prüfungsklausur vom 18. Juli 2012

Analysis I Mathematik für InformatikerInnen II SoSe 12 Musterlösungen zur Prüfungsklausur vom 18. Juli 2012 Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Faultät II Institut für Mathemati Unter den Linden 6, D-0099 Berlin Prof. Andreas Griewan Ph.D. Dr. Thomas M. Surowiec Dr. Fares Maalouf

Mehr

5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 115

5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 115 5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 5 Satz 5.5.2 (Ableitung der Umkehrfunktion einer Winkelfunktionen) Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind nach Satz 5.2.3 auf den

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG ETH Zürich Zwischenprüfung Winter 216 Analysis I D-BAUG Dr. Meike Akveld Wichtige Hinweise Prüfungsdauer: 9 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Keine, ausser das verteilte Blatt mit Standardintegralen. Es

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................

Mehr

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem

Mehr

Finanzierung und Investition

Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (0) Oldenbourg Verlag München 7. Auflage, Kapitel

Mehr

Dr. O. Wittich Aachen, 12. September 2017 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University

Dr. O. Wittich Aachen, 12. September 2017 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University Dr. O. Wittich Aachen,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aachen University Intervalle, Beschränktheit, Maxima, Minima Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Scheinklausur Höhere Mathematik 2 Musterlösung , Version 1. Matrikel- Nummer: Aufgabe Summe

Scheinklausur Höhere Mathematik 2 Musterlösung , Version 1. Matrikel- Nummer: Aufgabe Summe Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung 0. 0. 0, Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 5 6 7 8 9 0 Summe Punkte / / / / / /5 / / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise:

Mehr

Klasse11 Übungsblatt1 zu: Geraden, Steigung von Funktionsgraphen,Tangenten,Normalen

Klasse11 Übungsblatt1 zu: Geraden, Steigung von Funktionsgraphen,Tangenten,Normalen Klasse Übungsblatt zu: Geraden, Steigung von Funktionsgraphen,Tangenten,Normalen Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A und B und die Zahl m a) Bestimme die Gleichung der Geraden g durch A und B b) Bestimme

Mehr

Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [1] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration

Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [1] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration und mehr Kostenlose

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 016/17 Dr. K. Rothe Analsis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt 3 Gegeben sei eine Funktion f :

Mehr

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zur Integralrechnung Stammfunktionsberechnung, Flächenberechnung, Rotationsvolumen, Funktionen zu Änderungsraten (Bearbeitungszeit: 9 Minuten) Gymnasium J1 Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,

Mehr

Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure

Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Institut für Mathematik Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Ausführliches Inhaltsverzeichnis mit thematischen Links Prof. Dr. Konrad Engel Prof. Dr. Roger Labahn {konrad.engel,roger.labahn}@uni-rostock.de

Mehr