2.6 Zahlpartitionen. 2.7 Mehr Rekursionsformeln - Catalanzahlen
|
|
- Käte Busch
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Beweis. (kombinatorisch): Links steht die Anzahl der k-partitionen einer n-elementigen Menge. Wie entstehen diese? Wir wählen wieder ein festes Element e n aus M. Man kann die k-partitionen von M dann zusammensetzen aus den k-partionen von M {e n }, indem man einer der k Teilmengen das Element e n hinzufügt. Dafür hat man k Möglichkeiten - das ergibt den rechten Summanden. Oder man hat {e n } als eigene Partitionsmenge, dort kommen dann die (k 1)-Partitionen von M {e n } hinzu - das ergibt den ersten Summanden. 2.6 Zahlpartitionen 4 = = = = = = = Geordnete Zahlpartitionen Satz 81. Die Anzahl der geordneten Zahlpartitionen mit k Summanden ist Dieser Satz löst einen Spezialfall bei diophantischen Gleichungen. ( n-1 k-1 ) Beweis. (kombinatorisch) Man kann die Zahl als Summe von 1-sen schreiben, und dann k Klammerpaare hinzufügen: m = ( ) + ( ) + (1) ). Dann stehen k 1 + zwischen den Klammerpaaren. ( Für die ) n-1 Auswahl dieser k-1 aus den n-1 Positionen - das ist ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen - habe ich k-1 Möglichkeiten Ungeordnete Zahlpartitionen Definition 82. Die Anzahl der Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n als Summe von k Summanden zu schreiben, wird mit P n,k bezeichnet. Man setzt P 0,0 := 1 Satz 83. Für alle n, k N mit n k 1 gilt P n,k = k j=0 P n k,j Beweis. Wir sortieren die möglichen Partitionen, so das die 1-sen vorn stehen. Es ist dann n = n n i + n i n k, wobei n 1 = n 2 =... = n i = 1 gilt. Also sind alle n i+1,..., n k 2. Zieht man von dem Teil bei jedem Summanden eine 1 ab, kommt man also auf eine Zahlpartionierung von (k i)-partitionierung von (n k). Umgekehrt kann man jede k-partitionierung von n mit i 1-sen so erzeugen. Es gibt also genau P n k,k i verschiedene Partitionen mit i 1-sen. Summiert man über alle mögliche i, bekommt man mit i=0,...k P n k,k i = j=0,...,k P n k,j die Behauptung - q.e.d. 2.7 Mehr Rekursionsformeln - Catalanzahlen Definition 84. Eine Triangualisierung ist eine Partition des konvexen n-ecks in Dreiecke durch sich gegenseitig nicht schneidende Diagonalen. Ein Binärbaum ist ein Baum mit einem eindeutigen Wurzelknoten, bei dem jeder Knoten maximal zwei Kindknoten hat. 25
2 Definition 85. Ein korrekter Klammerausdruck ist ein Wort über {(, )}, das folgendermassen aufgebaut ist: 1. Das leere Wort ist ein korrekter Klammerausdruck 2. Sind U und V korrekte Klammerausdrücke, so sind das auch Beispiele: () ()(), (()) (a) UV und (b) (U) ()()(), (())(), ()(()), ((())) ()()()(), (())()(), ((()))(),... 26
3 Definition 86. Sei n N. Dann bezeichnet C n die Anzahl der syntaktisch korrekten Klammerausdrücke mit n Klammerpaaren (Catalanzahlen) B n die Anzahl der Binärbäume mit n Knoten, und T n die Anzahl der Triangulierungen eines konvexen n-ecks Satz 87. Sei n N, dann gilt mit C 0 := 1 für n > 0: C n = n C k 1 C n k k=1 Beweis. Wir zerlegen wieder die Menge der möglichen Klammerausdrücke: Für k n sei A k die Menge aller legalen Klammerausdrück, deren erste Klammer an der Position 2k geschlossen wird. Innerhalb der erste Klammer liegen dann k 1 Klammerpaare, ausserhalb gerade n k. Für alle Möglichkeiten müssen wir nun wieder von k = 1,..., n summieren. Satz 88. Sei n N, dann gilt mit B 0 := 1 für n > 0: B n = n B k 1 B n k k=1 Beweis. ganz analog zum letzen Satz, nutr teilen wir hier in Binärbäume mit k-knoten im linken Teilbaum, und n k im rechten Satz 89. Sei n N, dann gilt für n > 2: T n = n T k 1 T n k+2 k=3 Beweis. Es ist ja T 2 = 1. Sei also ein konvexes n-eck gegeben, wir numerieren dann die Ecken bei beliebigem Startpunkt im Uhrzeigersinn mit 1,..., n. Dann können wir die Menge aller Triangualisierungen in n 2 Klassen A k, k = 3,..., n aufteilen: A k enthält jeweils die Triangularisierungen, bei der denen die Ecken 1, 2, k ein Dreieck bilden. Jede Triangularisierung von A k besteht dann aus einer Kombination der Triangualisierungen des k 1-Ecks mit den Ecken 2, 3,..., k, und des n k + 2-Ecks mit den Ecken 1, k,..., n. Also A k = T k 1 T n k+2, und durch Summieren folgt die Behauptung. Drei recht unterschiedliche Abzählprobleme mit der gleichen Rekustionsformel, die man auch noch auflösen kann, wie wir später zeigen: n N : B n = C n = T n+2 = 1 ( ) 2n n + 1 n 2.8 Mehr Urnen Viele Fragestellung kann man auch durch das Verteilen von Bällen auf mehrere Urnen modellieren. Dabei können Bälle wie auch Urnen unterscheidbar sein, oder auch nicht: 1. 2 gleiche Bälle b, 2 gleiche Urnen: [],[b,b] oder [b],[b] 2. 2 gleich Bälle b auf 2 Urnen U,V: U=[],V=[b,b] oder U=[b],V=[b] oder U=[b,b],V=[] 3. 2 Bälle b,r auf 2 gleiche Urnen: [],[r,b] oder [r],[b] 27
4 4. 2 Bälle b,r auf 2 Urnen U,V: U=[],V=[r,b] oder U=[r],V=[b] oder U=[b],V=[r] oder U=[r,b],V=[] Man kann auch auch an die Abbildung, die die Bälle auf die Urnen verteilt, noch mehr Anforderungen stellen, Wenn B die Menge der Kugeln und U die Menge der Urnen ist, kommt vor: Jede Urne muss mindestens eine Kugel enthalten (surjektiv, B U ) Jede Urne darf höchstens eine Kugel enthalten (injektiv, B U ) Jede Urne muss genau eine Kugel enthalten (bijektiv, B = U ) Jede Möglichkeit liefert andere Anzahlen von Verteilungsfunktionen f. Sei im folgenden B = n, U = m Fall: Bälle und Urnen unterscheidbar f beliebig: Jeder der n Bälle kann auf jede der m Urnen entfallen. Wir ziehen also n mal eine Urne, mit Zurücklegen - macht m n Möglichkeiten. f surjektiv: u U : f 1 (u) 1, die Urbilder der Urnen bilden also eine m-partition von B. Anders herum liefert jede m-partition von B eine Klasse von surjektiven Abbildungen B U. Das sind, wie gerade gelernt, S n,m mögliche Partitionierungen, und jeder kann ich auf m! Weisen die Urnen zuordnen. Es gibt also n!s n,m surjektive Funktionen. f injektiv: Das ist geordnetes Ziehen der Urne ohne Zurücklegen - m!/(m n)! Möglichkeiten. f bijektiv: Das sind alle Permutationen: n! = m! Möglichkeiten Fall: Bälle nicht, Urnen unterscheidbar f beliebig: Wir können die Bälle mit * und die ( Urnengrenzen ) ( mit codieren, ) Das Problem ist dann, m 1 Striche auf n+m-1 n+m-1 m + n 1 Positionen zu verteilen: = Optionen. m-1 n f surjektiv: ( Verteilt man ) die n Bälle, ergeben die Anzahlen der Bälle in den m Urnen eine geordnete m-zahlpartition, also n-1 m-1 ( ) m f injektiv: Wir wählen aus m Urnen die n aus, in denen ein Ball liegen soll:. n f bijektiv: Jede Urne ein Ball: 1 Möglichkeit Fall: Bälle unterscheidbar, Urnen nicht f beliebig: Eine Funktion, die n Bälle auf k Urnen verteilt, ist eine k-partitionierung der Bälle. Da die Urnen leer bleiben dürfen, habe ich k = 1,..., m Möglichkeiten, also insgesamt k=1,...,m S n,k f surjektiv: Wie oben, aber nur der Fall k = m, also S n,m f injektiv: In n der m Urnen liegt eine Ball, da die Urnen ununterscheidbar sind: 1 Möglichkeit f bijektiv: 1 Möglichkeit 28
5 2.8.4 Fall: Bälle und Urnen nicht unterscheidbar f beliebig: Jede Verteilung entspricht einer Zahlpartition von n, in diesem Fall kommt dabei jede Urnenzahl von k = 1,..., m in Frage, also gibt es k=1,...,m P n,k verschiedene Funktionen. f surjektiv: s.o. - P n,m verschiedene Funktionen. f injektiv: s.o. - 1 Möglichkeit f bijektiv: s.o. - 1 Möglichkeit 2.9 Diskrete Stochastik Definition 90. Eine abzählbare Menge heisst auch diskreter Ereignisraum, ein Element der Menge elementares Ereignis. Definition 91. Sei S ein Ereignisraum. Eine injektive Funktion P : S [0, 1] mit x S P (x) = 1 nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion. Für Ereignisse A aus mehreren Elementarereignissen, also A S, definiert man P (A) := x A P (x) Im einfachsten Fall, der Gleichverteilung, bei der alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, gilt P (x) = 1 A und P (A) = S S Hier kommt es also im wesentlichen auf das Zählen der Elemente von Mengen an! Beispiel 92. Welche Wahrscheinlichkeit hat man bei Würfeln mit zwei Würfeln für die Augensumme 7? 1/6: S = 6 2 = 36, A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} Beispiel 93. Wie viele Leute muss man zusammenrufen, damit wahrscheinlich (also P (A) > 1/2) zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? 23 Personen: Man betrachtet das Anti-Ereignis B, bei dem keine zwei Personen am gleichem Tag Geburtstag haben. Die Möglichkeiten dafür sind bei k Personen (k-maliges Ziehen ohne Zurücklegen aus {1,..., 365}): 365!/(365 k)!. Der Gesamtereignisraum ist k-maliges Ziehen mit Zurücklegen aus {1,..., 365}, also 365 k Also ist P (B, k) = 365! (365 k)!365 k. Nachrechnen: P (B, 1) = 1, P (B, 2) = 364/365, P (B, 3) = /365 2,...,P (B, 23) 0, Abschätzungen Landau-Symbole Zum Abschätzung des Wachstums einer Funktion definiert man Größenklassen, die man Landau-Symbole nennt. Hier für Funktionen auf N: Definition 94. o(g) := {f c > 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) < c g(n) } O(g) := {f C 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) C g(n) } Ω(g) := {f C 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) C g(n) } ω(g) := {f c > 0, n 0 N : n n 0 gilt f(n) > c g(n) } Θ(g) := O(g) Ω(g) 29
6 Beispiel 95. Der Test, ob eine Eingabe der Länge n zu einer gegebenen kontextfreien Grammatik gehört kann man in O(n 3 ) Schritten lösen. Das beweist man, indem man einen Algorithmus angibt, der das macht, und dessen Schritte zählt. Genauer kann man sogar sagen, das das Problem zu o(n 3 ) gehört, denn die Potenz ist geringfügig kleiner als 3. Speziellere Grammatiken erlauben effizientere Tests, Grammatiken der LR(1)-Klasse z.b. erlauben es, das Wortproblem in O(n) Zeit zu lösen. Immer wird das Wortproblem einer Grammatik aber von der Länge der Eingabe abhängen, deswegen ist es sicher in ω(1). Beispiel 96. Einschätzung der Größenordnungen Θ(1): konstanter Aufwand, unabhängig von n Θ(n): linearer Aufwand (z.b. Einlesen von n Zahlen) Θ(n ln n): Aufwand guter Sortierverfahren (z.b. Quicksort) Θ(n 2 ): Einfache Algorithmen auf Matrizen,... Θ(n k ): polynomialer Aufwand (bei festem k) Θ(2 n ): exponentieller Aufwand Θ(n!): Bestimmung aller Permutationen von n Elementen Um eine Vorstellung davon zu haben, was schwer zu berechnen ist - unter der Annahme, das 1 Berechnungsschritt 1 µs = s) dauert, ergeben sich folgende (ungefähre) Berechungsdauern: n = n 10 µ 20 µs 30 µs 40 µs 50 µs 60 µs n µs 400 µs 900 µs 1.6 ms 2.5 ms 3.6 ms n 3 1 ms 8 ms 27 ms 64 ms 125 ms 216 ms 2 n 1 ms 1 s 18 min 13 Tage 36 J 366 Jh 3 n 59 ms 58 min 6.5 J 3855 Jh 10 8 Jh Jh n! 3.62 s 771 Jh Jh Jh Jh Jh Einige bekannte Abschätzungen Satz 97. Für n 15 gilt n n/2 n! (n/2) n Beweis. Recht kanonisch, z.b. Steeger 46f Satz 98. ( (n/k) k n k ) (ne/k) k Beweis. Idee: ausmultiplizieren und n/k gegen (n i)/(k i) abschätzen, Reihenentwicklung der Exponentialfunktion... Satz 99. (Stirlingformel) n! = 2πn( n ( e )n n + O( 1 ) n 2 ) 3 Zusammenhänge und Graphen 3.1 Graphen Graphen dienen der Darstellung und formalen Behandlung von Zusammenhängen. Definition 100. Ein (ungerichteter) Graph ist ein Tupel G = (V, E), wobei V eine endliche, nichtleere Menge von Knoten ist, und die Menge E = {{x, y} x, y V } die Kanten zwischen Knoten spezifiziert.. Zur Vereinfachung der Schreibweise schreibt man auch (x, y) für eine Kante in E, und setzt für ungerichtete Graphen (x, y) = (y, x). 30
7 Definition 101. Ein gerichteter Graph ist ein Tupel G = (V, E), wobei V eine endliche, nichtleere Menge von Knoten ist, und die Menge E V V die Kanten zwischen Knoten spezifiziert.. Definition 102. Ein Graph S = (U, L) heißt (schwacher) Subgraph von einem Graphen G = (V, E), falls U V und L E. Definition 103. Zwei Graphen G = (V, K) und H = (U, L) heissen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung f : V U der Knotenmengen gibt mit der Eigenschaft, das für alle Knotenpaare (v, k) K eine Kante (f(v), f(k)) L existiert, und L auch keine weiteren Kanten enthält. f heisst dann auch Graphisomorphismus. Definition 104. Für einen Graph (V, E) und v V heisst der Grad von v. deg(v) := {x (v, x) E} ist die Nachbarschaft des Knotens v. Neigh(v) := {x (v, x) E} Beispiel 105. Satz 106. Für jeden Graphen (V, E) gilt: deg(v) = 2 E v V Beweis. Auf der linken Seite der Gleichung wird jede Kante (a, b) des Graphen zwei mal gezählt: einmal beim Knoten a, einmal beim Knoten b. Auf der rechten Seite zählen wir direkt jede Kante doppelt. Satz 107. (Korollar) Für jeden Graphen gilt: Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade. Beweis. Wir teilen im obigen Satz die Summe in Knoten mit geraden und die mit ungeraden Grad. Da die Summer der Knoten mit gradem Knotengerad durch 2 teilbar ist, muss auch die anderere Teilsumme durch 2 teilbar sein Spezielle Graphen Definition 108. Graphen mit gleichem Grad k für allen Knoten nennt man k-regulär. Definition 109. k-reguläre Graphen (V, E) mit k = V 1 heißen vollständig. Vollständige Graphen mit n Knoten werden mit K n bezeichnet. Beispiel 110. (Vollständige Graphen K n ) 31
Diskrete Strukturen. Kombinatorik. Urnenmodell. Kombinatorik - Beispiele. Münster. Münster. Münster
Kombinatorik 122 Vorlesung SoSe 2013 Nach den eher ziemlich abstrakten Grundlagen kommen wir nun zu Werkzeugen die recht konkret für die Modellierung von Zähl-Problemen dienen. Man will also wissen wie
MehrVerteilen von Bällen auf Urnen
Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle
MehrTechnische Universität München. Kombinatorik. Christian Fuchs
Kombinatorik Christian Fuchs 1.Definition Kombinatorik 2.Grundlegende Zählmethoden 3.Binomialkoeffizienten 4.Permutationen 5.Stirling-Zahlen 6.Catalan-Zahlen 7.Zahlpartitionen 8.Aufgaben 9.Literatur Technische
MehrDiskrete Mathematik 1 WS 2008/09
Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Blatt
MehrKombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1
Kombinatorik kompakt Stochastik WS 2016/17 1 Übersicht Auswahl/Kombinationen von N aus m Elementen Statistische unterscheidbare ununterscheidbare Physik Objekte (gleiche) Objekte ( ohne m N m+n 1 ) N mit
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
MehrSachrechnen/Größen WS 14/15-
Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 23. November 2017 1/40 Satz 4.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für
MehrDiskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte)
Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 007/08 Lösungsblatt 7
MehrV. Claus, Juli 2005 Einführung in die Informatik II 45
Um die Größenordnung einer reellwertigen oder ganzzahligen Funktion zu beschreiben, verwenden wir die so genannten Landau-Symbole (nach dem deutschen Mathematiker Edmund Landau, 1877-1938). Hierbei werden
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Mehr2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 16. November 2017 1/35 Modulare Arithmetik Modulare Arithmetik Definition 3.33 Es sei
Mehr: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
MehrZusammenfassung Stochastik
Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl
MehrBerechnung von Teilmengen
Berechnung von Teilmengen Satz Anzahl der Teilmengen 2 n = n k=0 k=0 ( ) n k Beweis Korollar aus Binomischem Lehrsatz (1 + 1) n = n ( n k=0 k) 1 k 1 n k. Oder kombinatorisch: Sei M Menge mit M = n. Die
MehrZur Zykelschreibweise von Permutationen
Zur Zykelschreibweise von Permutationen Olivier Sète 16. Juni 2010 1 Grundlagen Definition 1.1. Eine Permutation von {1, 2,..., n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, i σ(i).
MehrKombinatorik. Simon Rainer 21. Juli Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
Kombinatorik Simon Rainer sr@mail25.de 21. Juli 2015 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli 2015 1 / 51 Was ist Kombinatorik? Teilgebiet der diskreten Mathematik Endliche oder abzählbar unendliche
Mehr15. September 2010 Prof. Dr. W. Bley. Universität Kassel Klausur SS 2010 Diskrete Strukturen I (Informatik) Name:... Matr.-Nr.:... Viel Erfolg!
15. September 010 Prof. Dr. W. Bley Universität Kassel Klausur SS 010 Diskrete Strukturen I (Informatik) 1 3 4 5 6 Name:................................................ Matr.-Nr.:............................................
MehrKAPITEL 2. Kombinatorik
KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,
MehrNotation für das asymptotische Verhalten von Funktionen
Vorbemerkungen: Notation für das asymptotische Verhalten von Funktionen 1. Aussagen über die Komplexität von Algorithmen und von Problemen sollen (in der Regel) unabhängig von speziellen Maschinenmodellen
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
MehrSurjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
MehrWS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (1)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (1) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrKombinatorik. Hallo Welt Philip Kranz. 12. Juli Philip Kranz () Kombinatorik 12. Juli / 47
Kombinatorik Hallo Welt 2011 Philip Kranz 12. Juli 2011 Philip Kranz () Kombinatorik 12. Juli 2011 1 / 47 Inhalt 1 Einführung 2 Grundlagen Permutationen Variationen Kombinationen Binomialkoeffizient /
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,
MehrGraphen. Graphen und ihre Darstellungen
Graphen Graphen und ihre Darstellungen Ein Graph beschreibt Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Objekten. Die Objekte werden als Knoten des Graphen bezeichnet; besteht zwischen zwei Knoten
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
Mehrw a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2
1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba
MehrWS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2)
WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14
MehrVollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg
Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrFerienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik
Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik Teil 3: Grundlagen Graphentheorie Tina Janne Schmidt Technische Universität München April 2012 Tina Janne Schmidt (TU München) Ferienkurs Propädeutikum Diskrete
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrStochastik I. Vorlesungsmitschrift
Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................
MehrGraphen und Bäume. A.1 Graphen
Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt
MehrDie umgekehrte Richtung
Die umgekehrte Richtung Satz 95 Sei n N, n 2. Dann gilt: b n 1 1 mod n für alle b Z n \ {0} = n ist prim. Beweis: [durch Widerspruch] Annahme: r n für ein r N, r > 1. Dann also r n 1 1 (r mod n) n 1 1
MehrKapitel 8. Rekursionsgleichungen. Landau-Symbole. Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen
Rekursionsgleichungen Landau-Symbole Kapitel 8 Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen Kapitel 8 Rekursionsgleichungen p./42 Landau-Symbole () Modellierung
Mehr2. Repräsentationen von Graphen in Computern
2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen
Mehr= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2
1 Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) setzt sich aus einer Knotenmenge V und einer (Multi)Menge E V V, die als Kantenmenge bezeichnet wird, zusammen. Falls E symmetrisch ist, d.h.( u,v V)[(u,v) E (v,u)
MehrAbbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe
Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:
Mehr4. Die elementaren Zählfunktionen. Definition 165 (Binomialkoeffizienten) 4.1 Untermengen. align
4. Die elementaren Zählfuntionen 4.1 Untermengen Definition 165 (Binomialoeffizienten) align ( ) n := 1 n N 0 0 ( ) n := 0 n
MehrLösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik. a 0 = 0 =
Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 4 Algorithmische Mathematik 4KSL3 6 Punkte Aufgabe. Die Folge (a n ) n N natürlicher Zahlen a n sei rekursiv definiert durch a 0 = 0, a n = a n + n falls
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter WS 2009/10 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V 2, E 2 ) heißen isomorph, wenn es eine bijektive, Kanten erhaltende und Kanten
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrFit for Abi & Study Stochastik
Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen
MehrKapitel 2 Mathematische Grundlagen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom
Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. 10. 6. 2016 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrKAPITEL 5. Erwartungswert
KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar
MehrElemente der Stochastik (SoSe 2016) 6. Übungsblatt
Dr. M. Weimar 19.05.2016 Elemente der Stochastik (SoSe 2016 6. Übungsblatt Aufgabe 1 ( Punkte Eine Klausur, die insgesamt von zwölf Kursteilnehmern geschrieben wurde, soll von drei Gutachtern bewertet
MehrÜbung Algorithmen und Datenstrukturen
Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2016 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin Organisation Vorlesung: Montag 11 13 Uhr Marius Kloft RUD 26, 0 115 Mittwoch 11 13 Uhr Marius Kloft
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 3, Donnerstag 6.
Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 3, Donnerstag 6. November 2014 (O-Notation, Theta, Omega) Junior-Prof. Dr. Olaf Ronneberger
Mehr4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr1 Eigenschaften von Abbildungen
Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Dienstag WS 2008/09 Thema des heutigen Tages sind zuerst Abbildungen, dann spezielle Eigenschaften linearer
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen I Grundlagen
Algorithmen und Datenstrukturen I Grundlagen Prof. Dr. Oliver Braun Letzte Änderung: 01.11.2017 14:15 Algorithmen und Datenstrukturen I, Grundlagen 1/24 Algorithmus es gibt keine präzise Definition Handlungsvorschrift
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
MehrTheoretische Informatik
Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung
Mehr5 Der Transzendenzgrad
$Id: trgrad.tex,v 1.6 2009/05/11 14:48:57 hk Exp $ 5 Der Transzendenzgrad Wir stellen nun einige der Tatsachen über die Mächtigkeit von Mengen zusammen, die Ihnen wahrscheinlich aus den ersten Semester
MehrWas bisher geschah: Formale Sprachen
Was bisher geschah: Formale Sprachen Alphabet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen Darstellung unendlicher Sprachen durch reguläre Ausdrücke (Syntax, Semantik, Äquivalenz)
MehrSatz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte
Mehr6: Diskrete Wahrscheinlichkeit
Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 219 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 220 Wahrscheinlichkeitsrechnung Eines der wichtigsten
Mehr1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrQuicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.
. Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.
MehrDiskrete Mathematik I
Diskrete Mathematik I Alexander May Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Wintersemester 08/09 DiMa I - Vorlesung 01-13.10.2008 Mengen, Relationen, Funktionen, Indirekter Beweis 1 / 365 Organisatorisches
MehrMultivariate Zufallsvariablen
Kapitel 7 Multivariate Zufallsvariablen 7.1 Diskrete Zufallsvariablen Bisher haben wir immer nur eine Zufallsvariable betrachtet. Bei vielen Anwendungen sind aber mehrere Zufallsvariablen von Interesse.
Mehr1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht
1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichnungen Beispiele Bäume gerichtete Graphen Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 15 Das Königsberger Brückenproblem Beispiel
Mehrkontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung
Theoretische Informatik Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. Juli 2009 1 / 40 2 / 40 Beispiele: Aus den bisher gemachten Überlegungen ergibt sich: aus der Chomsky-Hierarchie bleiben
MehrLösungen zur Klausur zur Vorlesung. Mathematik für Informatiker I. (Dr. Frank Hoffmann) Wintersemester 2011/ Februar 2012
Lösungen zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I (Dr. Frank Hoffmann) Wintersemester 2011/2012 22. Februar 2012 Aufgabe 1 Logisches und Grundsätzliches /4+4+2 (a) Testen Sie mit dem Resolutionskalkül,
Mehr2. Symmetrische Gruppen
14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen
MehrUnendliche Graphen. Daniel Perz 24. Dezember Definition 1. Ein Graph G heißt lokal endlich, wenn alle Knotengrade endlich sind.
Unendliche Graphen Daniel Perz 24. Dezember 2011 1 Definition Definition 1. Ein Graph G heißt lokal endlich, wenn alle Knotengrade endlich sind. Definition 2. Ein Graph G=(V,E) heißt Strahl, wenn gilt
MehrSchubfachprinzip. Lea Jacobs. November 9, 2015
Schubfachprinzip Lea Jacobs November 9, 2015 Inhalt 1. Definition und Beweis 2. Haare zählen 3. Beispiel mit Differenz 4. Abbildungseigenschaften 5. Grade in ungerichteten Graphen 6. Teilbarkeit 7. Summen
MehrProseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching. Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen
Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen 1. Grundlagen Definition Matching: Eine Menge M von unabhängigen
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Haug verwendet man die Denition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A \ B] = Pr[BjA] Pr[A] = Pr[AjB] Pr[B] : (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1 ; : : : ; A n
MehrAufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung
Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom
Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrBild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Mehrtechnische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 4.3 und 4.4
MehrEinführung in die Graphentheorie. Monika König
Einführung in die Graphentheorie Monika König 8. 11. 2011 1 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln 1.1-1.3 des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe
Mehr2. Entsprechende Listen P i von Vorgängern von i 3. for i := 1 to n do. (ii) S i = Knoten 2 + 1}
1. Berechne für jeden Knoten i in BFS-Art eine Liste S i von von i aus erreichbaren Knoten, so dass (i) oder (ii) gilt: (i) S i < n 2 + 1 und Si enthält alle von i aus erreichbaren Knoten (ii) S i = n
MehrMotivation Kap. 6: Graphen
Motivation Kap. 6: Graphen Warum soll ich heute hier bleiben? Graphen sind wichtig und machen Spaß! Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS Fakultät für Informatik, TU Dortmund Was gibt es
MehrBeispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Satz 28 3 ist irrational, d. h. Beweis: Widerspruchsannahme: 3 Q.
Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Wir nehmen an, dass die zu zeigende Aussage falsch ist und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Satz 28 3 ist irrational, d. h. 3 / Q. Beweis: Widerspruchsannahme:
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon
MehrKombinatorik: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester Ziehen aus Urnen. Ziehen aus Urnen
Kombinatorik: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Sommersemester 04 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan Es folgt eine Einführung in die Kombinatorik. Dabei geht es darum, die Elemente
MehrKombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26
Kombinatorik Dr. Lucia Draque Penso Universität Ulm Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26 Erste Vorlesung Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 2 / 26 Formales Vorlesung:
MehrDas Zweikinderproblem
Das Zweikinderproblem Definition Zweikinderproblem Eine Familie besitzt zwei Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pr[ Beide Kinder sind Mädchen. Eines der Kinder ist ein Mädchen ]? Lösung: Sei A
MehrSeminar: Algorithmisches in der Geometrie Ausarbeitung zu Vortrag 9. Triangulierungen im Cayley-Graph und Enden von kontextfreien Gruppen
Seminar: Algorithmisches in der Geometrie Ausarbeitung zu Vortrag 9 Triangulierungen im Cayley-Graph und Enden von kontextfreien Gruppen Stefanie Schindler 25. Juni 2010 Zusammenfassung Zunächst machen
MehrDiskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten
Mehr