Aufgabenblatt 1: Grundlagen der Wohlfahrtsökonomik

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1 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 1 Aufgabenblatt 1: Grundlagen der Wohlfahrtsökonomik Zum Begriff Allokationspolitik Unter Allokationspolitik versteht man die Einflussnahme des Staates auf Produktion und Konsum, d.h. die Güterzusammensetzung und Güterverteilung unter den Konsumenten in einer Volkswirtschaft. Es kann gezeigt werden, dass das Marktergebnis (unter bestimmten Annahmen) zu einer effizienten Lösung führt. Staatliche Eingriffe in den Marktmechanismus sind in einer Marktwirtschaft subsidiär, also nur gerechtfertigt bei Marktversagen, d.h. wenn kein Markt existiert oder existierende Märkte nicht zu einem effizienten Ergebnis führen. Als Maßnahmen staatlicher Allokationspolitik kommen bspw. öffentliche Produktion, Steuern und Transfers in Frage. Exkurs zum Pareto-Optimum Eckwerte der Modell-Ökonomie Zwei Güter: Gut 1 und Gut 2, die in den Mengen x 1 und x 2 bereit gestellt werden Zwei Konsumenten A und B mit den Nutzenfunktionen u A (x A 1, x A 2 ) und u B (x B 1, x B 2 ) Zwei Inputfaktoren der Produktion: Kapital K und Arbeit L Definition Pareto-Optimum Eine Allokation heißt pareto-optimal (-effizient), wenn keine alternative Allokation existiert, in der sich ein Wirtschaftssubjekt besser stellen kann, ohne dass das andere schlechter gestellt wird. Effizienter Konsum Für stetig differenzierbare konkave Nutzenfunktionen u i erhält man leicht folgende ( ) notwendige ( Bedingung ) für eine pareto-effiziente Güterallokation x A 1, x A 2 und x B 1, x B 2 im Tauschoptimum:

2 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 2 u A / ua = ub / ub 2 (1) x A 1 x A 2 x B 1 x B 2 GRS A = GRS B (2) d.h. im Tauschoptimum stimmen die Grenzraten der Substitution GRS A und GRS B für die Individuen überein. Im Tauschoptimum gilt also: Wenn man beiden Individuen eine Einheit von Gut 1 wegnimmt, muss man ihnen dieselbe Menge von Gut 2 geben, um ihr Nutzenniveau konstant zu halten (GRS beschreibt die Steigung der Indifferenzkurve). Warum ist stellt genau diese Situation das Pareto-Optimum dar? Angenommen: GRS A = 5 > GRS B = 3 D.h. wenn man Individuum A eine Einheit von Gut 1 wegnimmt, muss man ihm 5 Einheiten von Gut 2 geben, damit sein Nutzenniveau konstant bleibt. Wenn man Individuum B hingegen eine Einheit von Gut 1 wegnimmt, muss man ihm nur 3 Einheiten von Gut 2 geben, damit sein Nutzenniveau konstant bleibt. Zwischen diesen beiden Individuen ergeben sich nun noch Tauschmöglichkeiten, die Paretoverbesserungen darstellen. Z.B. könnte Individuum B eine Einheit von Gut 1 an Individuum A, und Individuum A im Gegenzug 3 Einheiten von Gut 2 an Individuum B transferieren. Dies stellt eine Pareto-Verbesserung dar, da Individuum A durch den Tausch besser gestellt wird, während der Nutzen von Individuum B konstant bleibt. D.h. Möglichkeiten zur Pareto-Verbesserung bestehen solange, bis gilt GRS A = GRS B. Effizienter Output-Mix In der Vorlesung wurde gezeigt, dass im Markt-Gleichgewicht Paretoeffizienz herrscht und gilt GRS A = GRS B = GRT (3) wobei GRT die Grenzrate der Transformation und damit die Steigung der Transformationskurve (Produktionsmöglichkeiten-Kurve) beschreibt, d.h. die GRT gibt an, wieviel mehr von Gut 2 in der Ökonomie produziert werden kann, wenn eine Einheit von Gut 1 weniger produziert wird. Im Markt-GG entspricht die GRT der GRS. Warum ist diese Situation pareto-effizient? Angenommen GRT = 3 < GRS = 5:

3 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 3 D.h. um eine Einheit von Gut 1 mehr zu produzieren, müssen in der Ökonomie drei Einheiten von Gut 2 weniger produziert werden. Im Gegensatz dazu, sind die Konsumenten allerdings bereit für eine Einheit von Gut 1, fünf Einheiten von Gut 2 zu bezahlen. D.h. durch eine Umschichtung der Produktion hin zu Gut 1 kann entweder die Firma oder der Konsument besser gestellt werden, ohne dass die andere Partei schlechter gestellt wird, d.h. eine Pareto-Verbesserung ist möglich. Produktion wird solange angepasst, bis gilt GRT = GRS. Aufgabe 1 (Hauptsätze der Wohlfahrtstheorie) 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie: Jedes Markt-GG ist pareto-effizient. Es gilt GRS A = GRS B = GRT. Implikation: Marktergebnisse sind effizient, Eingriff des Staates nur dann gerechtfertigt, wenn Marktversagen vorliegt. 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie: Jede pareto-effiziente Situation kann als Markt-GG implementiert werden (über eine Umverteilung der Anfangsausstattungen). Implikation: Über ein Besteuerungs- und Transfersystem kann jede beliebige pareto-effiziente Situation als Markt-GG implementiert werden. D.h. Verteilungsfragen sind losgelöst von allokativer Effizienz, d.h. ich kann beliebig zwischen den Individuen umverteilen und dennoch allokative effiziente GG erhalten. Beachte, dass der 1. und 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie nur unter bestimmten Annahmen gilt, u.a. vollkommene Konkurrenz auf Produktmärkten (siehe auch Skript). Aufgabe 2 (Produktionseffizienz) Definition 1 (Neoklassische Produktionsfunktion) Eine zweimal partiell differenzierbare Produktionsfunktion F (K, L) heißt neoklassisch, wenn für alle (K, L) F KK (K, L) < 0 < F K (K, L) (4) F LL (K, L) < 0 < F L (K, L). (5) Notwendige Bedingung für Pareto-effizienten Faktoreinsatz. Im Pareto-Optimum gilt: Durch Reallokation des vorhandenen Faktorbestandes kann die Produktion eines Gutes nicht gesteigert werden, ohne die eines

4 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 4 anderen zu reduzieren. Wir verwenden die Idee des sozialen Planers, der die Faktorallokation (für den Spezialfall zweier Güter x 1, x 2 und zweier Faktoren K, L) durch Lösen eines sog. Pareto-Programms bestimmt (Abbildung 1). x 1 = f 1 (K 1, L 1 ) max K 1,L 1! (6) s.t. x 2 = f 2 (K 2, L 2 ) x 2, (7) K 1 + K 2 K, (8) L 1 + L 2 L. (9) Im Optimum müssen alle drei Nebenbedingungen mit Gleichheit erfüllt sein: Falls in (7) strikte Ungleichheit gilt, kann die verwendete Inputmenge an Kapital K 2 oder Arbeit L 2 (oder beide) reduziert und zur Produktion von x 1 verwendet werden, was deren Produktionsmenge steigert, ohne das Produktionsziel bei x 2 zu verletzen. Ein ähnliches Argument greift für (8) und (9): Gilt strikte Ungleichheit, wird nicht der gesamte vorhandene Faktorbestand verwendet. Das kann bei positiven Grenzerträgen nicht effizient sein; durch Einsatz des nicht verwendeten Faktorbestandes könnte die Produktion von x 1 erhöht werden. Also gilt bei allen drei Nebenbedingungen im Optimum Gleichheit. Wir substituieren K 2 = K K 1 aus (8) und L 2 = L L 1 aus (9) in (7) und verwenden folgenden Lagrangeansatz: L (K 1, L 1, λ) := f 1 (K 1, L 1 ) + λ (f 2 (K K 1, L L 1 ) x 2 ) (10) Die Bedingungen erster Ordnung für ein Optimum lauten: L K 1 = f 1 K 1 (K 1, L 1 ) + λ 1 f 2 K 2 (K K 1, L L 1 ) dk 2 dk 1 }{{} = 1 L L 1 = f 1 L 1 (K 1, L 1 ) + λ 1 f 2 L 2 (K K 1, L L 1, λ) dl 2 dl 1 }{{} = 1! = 0 (11)! = 0 (12) L λ = f 2 (K K 1, L L 1 ) x 2! = 0 (13) Umformen liefert für die optimalen Faktorallokation (L 1, K1, L 2, K2): / f 1 f1 = f / 2 f2 K 1 L }{{ 1 K } 2 L }{{ 2 } =:GRTS 1 =:GRTS 2 (14) Im Optimum sind die Verhältnisse der Grenzprodukte, also die Grenzraten der Technischen Substitution (GRTS), in beiden Sektoren gleich. Die GRTS

5 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 5 beschreibt dabei das Austauschverhältnis der Produktionsfaktoren innerhalb eines Sektors unter der Prämisse, dass der Output im betrachteten Sektor konstant ist: d.h. die GRT S 1 gibt an, um wieviel der Einsatz des Produktionsfaktor Arbeit L 1 erhöht werden muss, wenn bei der Produktion von Gut 1 eine Einheit Kapital weniger verwendet wird und der Output konstant gehalten werden soll x 1 = x 1. Warum entspricht das der pareto-effizienten Situation? Angenommen GRT S 1 = 5 < GRT S 2 = 3, dann gilt, dass infolge einer Senkung des Kapitaleinsatzes im Produktionsprozess von Gut 1, Arbeit um 5 Einheiten steigen muss, um den Output konstant zu halten. Im Gegensatz dazu gilt für den Produktionsprozess von Gut 2, dass die Reduktion des Kapitaleinsatzes um eine Einheit durch eine Erhöhung des Arbeitseinsatzes um drei Einheiten kompensiert werden kann und der Output von Gut 2 konstant bleibt. Demnach kann noch eine pareto-verbessernde Reallokation vorgenommen werden: Es könnte eine Einheit Kapital von Sektor 2 in Sektor 1 realloziert werden. Wenn im Gegenzug drei Einheiten Arbeit von Sektor 1 an Sektor 2 geliefert werden, dann ist der Output in Sektor 2 konstant, während der Output in Sektor 1 gestiegen ist. Marktlösung. Angenommen, die Güter i = 1, 2 werden von jeweils einem Unternehmen i = 1, 2 produziert, das seinen Gewinn bei gegebenen Preisen p i und Faktorkosten r, w durch die Wahl von K i, L i maximiert: π := p i f i (K i, L i ) rk i wl i max K i,l i! (15) Die Bedingungen erster Ordnung für ein Optimum lauten: π f i (K i, L i ) = p i (K i, L i ) r =! 0, K i K i (16) π f i (K i, L i ) = p i (K i, L i ) w =! 0, L i L i (17) also im Optimum für i {1, 2}: / f 1 f1 = r K 1 L }{{ 1 w = f / 2 f2. (18) K } 2 L }{{ 2 } =GRTS 1 =GRTS 2 Agiert ein Unternehmen auf Absatz- und Faktormarkt als Preisnehmer (also unter Wettbewerbsbedingungen ), so führt die Marktlösung zu einem effizienten Ergebnis (Spezialfall des ersten Hauptsatzes der Wohlfahrtstheorie).

6 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 6 Aufgabe 3 (Transformationskurve) Definition 2 (Transformationskurve) Die Transformationskurve (Produktionsmöglichkeitenkurve) ist der geometrische Ort der Güterkombinationen, die in einer Volkswirtschaft bei effizienter Faktorallokation hergestellt werden können. Definition 3 (Grenzrate der Transformation) Die Steigung der Transformationskurve wird als Grenzrate der Transformation bezeichnet. Im Zwei- Güter-Fall gibt dx 2 dx 1 =: GRT x1,x 2 an, auf welche Menge von Gut 2 man marginal verzichten muss, wenn eine zusätzliche Einheit von Gut 1 produziert werden soll. Gesucht: Steigung der Transformationskurve Totales Differenzieren der Produktionsfunktionen liefert: dx 1 = f 1 dk 1 + f 1 dl 1 = f [ 1 dk 1 + f / ] 1 f1 dl 1, (19) K 1 L 1 K 1 L 1 K 1 dx 2 = f 2 dk 2 + f 2 dl 2 = f [ 2 dk 2 + f / ] 2 f2 dl 2. (20) K 2 L 2 K 2 L 2 K 2 Weiterhin herrscht im Optimum Vollauslastung der Faktoren, d.h. K 1 + K 2 = K (21) L 1 + L 2 = L (22) Total Differenzieren von Gleichungen (21) und (22) sowie Berücksichtigen einer fixen Faktorausstattung in der Ökonomie mit dk = 0 und dl = 0 liefert: dk 1 = dk 2 und dl 1 = dl 2. Einsetzen in Gleichung (20) ergibt dx 2 = f 2 K 2 dk 1 f 2 L 2 dl 1 = f 2 K 2 Im Optimum gilt außerdem [ dk 1 + f 2 L 2 / f2 K 2 dl 1 ]. (23) GRT S 1 = GRT S 2 (24) f 1 / f 1 = f 2 / f 2 (25) L 1 K 1 L 2 K 2

7 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 7 Teilen von Gleichung (23) durch Gleichung (19) ergibt GRT x1,x 2 = dx 2 = f / ( 2 f1 = f / ) 2 f1. (26) dx 1 K 2 K 1 L 2 L 1 Begründung für den konkaven Verlauf der Transformationskurve: Wenn x 1 groß und x 2 klein: In der Ökonomie wird relativ viel von Gut 1 hergestellt und relativ wenig von Gut 2. Gegeben eine neoklassische Produktionsfunktion mit fallenden Grenzerträgen, bedeutet das, dass eine Reduktion der Herstellung von Gut 1 um eine Einheit relativ viele Produktionsfaktoren freisetzt (da bei großem x 1 die Grenzproduktivität der Faktoren klein ist. Werden diese Faktoren in den Produktionsprozess von Gut 2 gesteckt, induzieren sie dort eine starke Outputsteigerung, da bei kleiner Produktionsmenge von x 2 die Grenzproduktivität der Faktoren groß ist. Dies impliziert eine im Betrag große Steigung der Transformationskurve dx 2 /dx 1 im x 2 -x 1 -Diagramm. Bezug zu Gleichung (26): f 2 / K 2 groß und f 1 / K 1 klein, damit ergibt sich eine im Betrag große Steigung dx 2 /dx 1. Wenn x 1 klein und x 2 groß: Analog zur Argumentation oben ergibt sich, dass die Steigung der Transformationskurve absolut gesehen klein ist. Aufgabe 4 (Gesellschaftliche Indifferenzkurven) Definition 4 Eine Scitovsky-Indifferenzkurve beschreibt den geometrischen Ort der Güterkombinationen, für die die Individuen einer Volkswirtschaft bei effizienter Verteilung der Güter gerade ein jeweils vorgegebenes Nutzenniveau erreichen. Graphische Herleitung Jeder Punkt auf der Transformationskurve repräsentiert eine effiziente Produktionsmengenkombination von Gut 1 und Gut 2 und legt eine Edgeworth-Box samt Kontraktkurve für effizienten Tausch fest. Man nehme an, es wird in P 0 produziert und es stellt sich ein Tauschgleichgewicht in T 0 ein, das den Individuen A und B den Nutzen u A 0 und u B 0 stiftet.

8 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 8 Gibt man sich gerade diese Nutzenniveaus u A 0 und u B 0 vor, so liegt der Punkt P 0 = (x 1, x 2 ) offensichtlich auf der zugehörigen Scitovsky- Indifferenzkurve. Im zugehörigen Tauschpunkt T 0 gilt nämlich: x 1 = x A 1 + x B 1, (27) x 2 = x A 2 + x B 2, (28) u A (x A 1, x A 2 ) = u A 0, (29) u B (x B 1, x B 2 ) = u B 0. (30) Welche Punkte liegen noch auf derselben Scitovsky-Indifferenzkurve, d.h. welche Produktionsmengen (x 1, x 2 ) stiften den Individuen gerade den gleichen vorgegebenen Nutzen u A 0 und u B 0? Fixiert man die Konsumniveaus (x B 1, x B 2 ) für Konsument B in Punkt T 0 und damit seinen Nutzen auf u B 0, so muss man bei Reduktion der Produktion von Gut 1 um (hinreichend kleines) x 1 die Produktion von Gut 2 gemäß der Indifferenzkurve von Konsument 1 um x 2 erhöhen, damit auch Konsument A ein unverändertes Nutzenniveau u A 0 erreicht (Punkt S). Trägt man diese Veränderungen der Produktionsmengen ausgehend von P 0 ab, so erhält man einen weiteren Punkt P auf der gesuchten Scitovsky-Indifferenzkurve. Ganz analog kann man die übrigen Punkte der Scitovsky-Indifferenzkurve konstruieren. Salopp gesprochen handelt es sich lokal (in einer Umgebung von P 0 ) um eine Verschiebung der Indifferenzkurve u A 0 durch Punkt P 0. Marginalbedingungen Im Tauschoptimum in Punkt T 0 gilt GRS A = GRS B und damit in Punkt P 0 gemäß Konstruktion für die Steigung der Scitovsky-Indifferenzkurve GRS Sci : GRS Sci = GRS A = GRS B. Schneidet die Scitovski-Indifferenzkurve die Transformationskurve in P 0, so kann der Produktionspunkt P 0 nicht gesamtwirtschaftlich effizient sein: Durch veränderte Produktionsmengen auf der Transformationskurve rechts oberhalb der Scitovski-Indifferenzkurve könnte sich mindestens einer der Konsumenten besser stellen, ohne den anderen schlechter zu stellen (vgl. Abbildung 3).

9 Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 9 Das gesamtwirtschaftliche Optimum liegt in einem Tangentialpunkt P von Scitovsky-Indifferenzkurve und Transformationskurve, also gilt GRS Sci = GRT und damit für alle Güter und Individuen GRS = GRT. Aufgabe 5 (Allokationseffizienz) Relevante Frage: Warum wird in D (so viel) Kohle gefördert? Einfaches Modell: D als kleine offene Volkswirtschaft mit 2 Sektoren i = 1, 2, die die Güter 1 bzw. 2 in den Mengen x 1 (Kohle) und x 2 (restliche Güter) produzieren und zu den Weltmarktpreisen p 1 bzw. p 2 verkaufen. Die Handelsmöglichkeiten und damit das volkswirtschaftliche Budget und der gesellschaftliche Nutzen steigen mit dem Gesamtwert der volkswirtschaftlichen Produktion. Das Problem besteht also darin, mit Hilfe der vorhandenen Technologie F den volkswirtschaftlichen Output V zu maximieren: V (x 1, x 2 ) := p 1 x 1 + p 2 x 2 max! x 1,x 2 s.t. F (x 1, x 2 ) = 0. Aus den Bedingungen erster Ordnung ergibt sich, dass im Optimum das Preisverhältnis mit der Grenzrate der Transformation übereinstimmen muss: p 1 = F/ x 1. p 2 F/ x 2 Folglich wird der Produktionspunkt P gewählt. Durch internationalen Handel (Import von Kohle, Export anderer Güter) kann danach der optimale Konsumpunkt K gemäß den gesellschaftlichen Präferenzen gewählt werden. Die konsumoptimale Menge x 1 > x 1 an Kohle selbst zu fördern (Punkt P 0 ), ist allokativ ineffizient (vgl. Abbildung 4). Puzzle: Warum wird in D dennoch so viel Kohle gefördert? Mögliche Gründe: Arbeitslosigkeit, sozialer Friede strategische Aspekte der Rohstoffsicherheit und Energieversorgung Unsicherheit bzgl. der Entwicklung des Weltmarktpreises für Kohle p x. Irreversibilität von Entscheidungen