Analysis III für Physiker

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1 Anlysis III für Physiker Prof Dr Uwe Jnnsen Wintersemester 2013/14 Inhltsverzeichnis 0 Erinnerung/Einstimmung 1 1 Komplexe Funktionen 4 2 Komplexe Differenzierbrkeit 6 3 Komplexe Potenzreihen 10 4 Der Cuchy sche Integrlstz 15 5 Cuchy sche Integrlformel und Entwicklung in Potenzreihen 22 6 Isolierte Singulritäten 29 7 Der Residuenstz 37 8 Nchträge zum Residuenstz 49 9 Vektorräume mit Sklrprodukt Approximtion in Vektorräumen 62 10A Die Vervollständigung von normierten Vektorräumen und Vektorräumen mit Sklrprodukt 68 10B Der Stz von Stone-Weierstrß Fourierreihen Linere gewöhnliche Differentilgleichungen: Anfngswertufgben Linere gewöhnliche Differentilgleichungen: Rndwertufgben Linere gewöhnliche Differentilgleichungen: Eigenwertufgben Prtielle Differentilgleichungen 113

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3 0 Erinnerung/Einstimmung Anlysis I für Physiker: reelle Funktionen f : I R (I Intervll [, b], [, b[, ], b], ], b[, [, [, ) Stetigkeit: für lle ε > 0 ex δ > 0 : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε Differenzierbrkeit: lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert; Wert := f (x 0 ) stetige Differenzierbrkeit: zusätzlich ist x f (x) stetig Zwischenwertstz für stetige Funktionen f() y f(b) ξ [, b] f(ξ) = y y ξ b Mittelwertstz für differenzierbre Funktionen in ], b[ stetig in [, b] ξ [, b] = f (ξ) f(b) f() b ξ b Integrl b f(x)dx Huptstz der Differentil- und Integrlrechung: b F (x)dx = F (b) F () und x f(t)dt = f(x) uneigentliche Integrle Potenzreihen n x n, n=0 b f(x)dx, f(x) nicht definiert bei und/oder b n (x x 0 ) n n=0 1

4 Tylorreihe f (n) (x 0 ) (x x n! 0 ) n = f(x), flls die Restglieder R n (x, x 0 ) 0 n=0 n Formel für Restglieder Potenzreihe konvergiert ist gleich Tylorreihe Anlysis II für Physiker: Funktionen (Abbildungen) R n R m f : U V offen offen (x 1,, x n ) (f 1 (x 1,, x n ),, f m (x 1,, x n )) Norm uf R n : x = (x 1,, x n ) x = x, x = x x 2 n Metrik d(x, y) = x y Dreiecksungleichung d(x, z) d(x, y) + d(y, z) z x y offene ε-umgebung U ε (x 0 ) = {y R n y x 0 < ε} ε x 0 U R n offen für jedes x U gibt es ein ε > 0 mit U ε (x) U f stetig bei x 0 : für lle ε > 0 existiert δ > 0 : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε f totl differenzierbr bei : Es existiert eine Mtrix A M(m n, R) ( = linere Abbildung L : R n R m ) mit f(x) f() A(x ) lim x x = 0 2

5 f prtiell differenzierbr bei, dh, f i f i ( 1,, i 1, i + h, i+1, n ) () = lim x j h 0 h ( ) f existiert für lle i, j; und es ist A = Df() = i x j () = Jcobi-Mtrix von f bei Aber: Umkehrung gilt nicht! f stetig prtiell differenzierbr (prtielle Ableitungen existieren und sind stetig) f totl differenzierbr f 2x stetig prtiell differenzierbr 2 f x i x j = 2 f x j x i Höherdimensionle Tylorreihe für f : U R bei U R n α=(α 1,,α n ) α f() (x ) α α! (im Allgemeinen flsch) Notwendige ( und hinreichende ) Bedingungen für lokle Minim und Mxim mit Hesse-Mtrix 2 f x i x j () Stz über implizite Funktionen/Diffeomorphismen Polr Koordintentrnsformtion Zylinder Koordinten Kugel Höherdimensionle Integrtion/Trnsformtionsstz Differenzierbre Mnnigfltigkeiten M/Untermnnigfltigkeiten M R n Integrlsätze Guß, Stokes, Green Differentilgleichungen gewöhnliche linere Anfngswertprobleme utonome 3

6 1 Komplexe Funktionen Definition 11 Der Körper C der komplexen Zhlen ht die Elemente z = x+iy mit x, y R und i 2 = 1 Dbei heißt x = Re(z) der Relteil von z und y = Im(z) der Imginärteil von z Es ist und (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ) (x + iy) (x + iy ) = xx + ixy + iyx + i 2 yy = (xx yy ) + i(xy + x y) Dmit wird C zu einem Körper: Für z 0 ist z 1 = ds komplex Konjugierte von z z Für z = x + iy heißt z = x iy z 2 Es ist z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 0, und z = zz = x 2 + y 2 heißt die Norm oder der Betrg von z Es gilt z = 0 genu dnn wenn z = 0 d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 ist eine Metrik, dh, es gilt die Dreiecksgleichung Für z 0 C und ε > 0 heißt U ε (z 0 ) = {z C z z 0 < ε} die offene ε-umgebung von z 0 Eine Menge U C heißt offen, wenn es für jedes x 0 U ein ε > 0 gibt mit U ε (x 0 ) U U ε x 0 U ε (x 0 ) Anschuliche Beschreibung: Gußsche Zhlenebene z = r(cos φ + i sin φ) i r φ y 1 x x Polrkoordinten: z = r(cos φ + i sin φ) Für U C offen nennen wir eine Abbildung f : U C 4

7 eine komplexe Funktion uf U Wir schreiben für z = x + iy f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), mit u(x, y), v(x, y) R, lso u = Re(f) und v = Im(f) Definition 12 f : U C heißt stetig bei z 0 U, wenn gilt: Für lle ε > 0 existiert ein δ > 0 mit z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ε Lemm 13 f, g : U C stetig f g und f + g stetig Beweis für f + g : z 0, ε > 0 gegeben δ 1, δ 2 > 0 mit (1) z z 0 < δ 1 f(z) f(z 0 ) < ε z z 0 < δ 2 g(z) g(z 0 ) < ε Für z z 0 < min(δ 1, δ 2 ) gilt lso (2) f(z) + g(z) (f(z 0 ) + g(z 0 )) f(z) f(z 0 ) + g(z) g(z 0 ) < 2ε wegen der Dreiecksungleichung + b + b Dies zeigt die Stetigkeit von f + g: Wenn z z 0 klein ist, ist (f + g)(z) (f + g)(z 0 ) klein Zum Beispiel fnge mit ε = ε/2 n, dnn erhlten wir m Ende die Abschätzung < ε Beweis für f g: Es ist f(z) g(z) f(z 0 )g(z 0 ) = f(z) g(z) f(z 0 )g(z) + f(z 0 )g(z) f(z 0 )g(z 0 ) f(z) f(z 0 ) g(z) + f(z 0 ) g(z) g(z 0 ) < ε( g(z 0 ) + ε) + f(z 0 ) ε = M ε, mit M = g(z 0 ) + ε + f(z 0 ) > 0 Wieder können wir mit ε = ε/m nfngen Corollr 14 Jede polynomile Funktion f(z) = n z n + n 1 z n z + 0 ist stetig Beweis: g(z) = z und konstnte Funktionen h(z) = C sind stetig; wende 13 wiederholt n 5

8 2 Komplexe Differenzierbrkeit Definition 21 Eine komplexe Funktion f : U C (U C offen) heißt komplex differenzierbr bei z 0 U, wenn der Limes f(z) f(z 0 ) lim =: f (z 0 ) z z 0 z z 0 existiert Gilt dies für lle z 0 U, so heißt f holomorph (oder nlytisch) uf U Beispiele 22 () Jede konstnte Funktion ist komplex differenzierbr (b) f(z) = z ist komplex differenzierbr, mit f (z) = 1 (c) f(z) = z ist nicht komplex differenzierbr: Für x R ist f(z 0 + x) f(z 0 ) lim x 0 z 0 + x z 0 = lim x 0 x x = 1, und für ix ist f(z 0 + ix) f(z 0 ) ix lim = lim x 0 z 0 + ix z 0 x 0 ix = 1 Der Limes muss ber bei Differenzierbrkeit für lle Folgen z n z 0 derselbe sein Stz 23 Für holomorphe Funktionen f, g : U C gilt () (Additivität) f + g ist holomorph mit (f + g) = f + g (b) (Produktregel) f g ist holomorph mit (f g) = f g + fg! (c) (Quotientenregel) f g ist holomorph uf U = {z U g(z) 0} mit ( ) f = f g fg g g 2 Beweis () ist klr wegen der Additivität von Limiten (b) Es ist (c): selbst (Übungsufgbe) Weiter gilt f(z lim 0 +h)g(z 0 +h) f(z 0 )g(z 0 ) h 0 h ( = lim (f(z0 +h) f(z 0 )) g(z h 0 h 0 + h) + f(z 0 ) g(z 0+h) g(z 0 ) h = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) Stz 24 (Kettenregel) Für holomorphe Funktionen f : U V C g : V W C 6 )

9 ist die Komposition g f : U W C [(g f)(z) = g(f(z))] holomorph mit Ableitung (g f) (z) = g (f(z)) f (z) Beweis: Sei z 0 U Es ist (g f) g(f(z (z 0 ) = lim 0 +h)) g(f(z 0 )) h 0 h [ = lim g(f(z0 +h)) g(f(z 0 )) h 0 f(z 0 +h) f(z 0 ) [ = lim g(f(z0 +h)) g(f(z 0 )) h 0 f(z 0 +h) f(z 0 ) ( ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ) ] f(z0 +h) f(z 0 ) h ] lim f(z 0 +h) f(z 0 ) h 0 h Hierbei sei für y V [ ] g(y) g(f(z0 )) = y f(z 0 ) g(y) g(f(z 0 )) y f(z 0 ), y f(z 0 ), g (f(z 0 )), y = f(z 0 ) Dnn ist diese Funktion wohldefiniert uf V und stetig bei y = f(z 0 ), d g differenzierbr bei f(z 0 ) ist, so dss g(y) g(f(z 0 )) lim = g (f(z 0 )) y f(x 0 ) y f(z 0 ) Es folgt die Gleichheit ( ), d wegen der Stetigkeit von f und wegen Differenzierbrkeit von f lim f(x 0 + h) = f(x 0 ) h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) Wir kommen nun zu einer nderen Chrkterisierung der komplexen Differenzierbrkeit Identifizieren wir C mit R 2 mittels der Zuordnung x + iy (x, y) (die die Metriken identifiziert!), so können wir eine komplexe Funktion f : U C uch ls eine Abbildung f : U R 2 mit U R 2 offen nsehen Wir sgen, dss f reell differenzierbr bei z 0 = x 0 + iy 0 ist, wenn letztere Abbildung reell differenzierbr bei (x 0, y 0 ) im Sinne der Anlysis II ist, lso wenn es eine linere Abbildung A : R 2 R 2 gibt mit f(x 0 + b 1, y 0 + b 2 ) f(x 0, y 0 ) A(h 1, h 2 ) lim (h 1,h 2 ) 0 (h 1, h 2 ) = 0 Stz 25 f ist genu dnn komplex differenzierbr bei z 0, wenn f reell totl differenzierbr ist und die linere Abbildung A in der Definition der totlen Differenzierbrkeit durch die Multipliktion mit einer komplexen Zhl α (vermöge der Isomorphie C R 2 ) gegeben ist Es ist dnn α = f (z 0 ) 7

10 Beweis Existiert so gilt und dmit uch f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h 0 h = f (z 0 ), f(z 0 + h) f(z 0 ) f (z 0 ) h lim h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) f (z 0 ) h lim h 0 h (Beträge sind gleich!), und wir hben die reelle (totle) Differenzierbrkeit, mit linerer Abbildung A= Multipliktion mit f (z 0 ) Gilt umgekehrt mit einer komplexen Zhl α, so ist (Beträge sind gleich!), und es existiert f(z 0 + h) f(z 0 ) α h lim h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) αh lim h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h h h = 0 = 0 = 0 = 0 = α = f (z 0 ) Wir erhlten: Stz 26 Mit z = x + iy schreibe f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Dnn ist f genu dnn komplex differenzierbr bei z 0, wenn gilt () f ist reell (totl) differenzierbr bei z 0, und (b) Es gelten die Cuchy-Riemnnschen Differentilgleichungen u x (z 0) = y v (z 0) v x (z 0) = u y (z 0) Beweis () ist die erste Bedingung im Stz 25, und wir hben zu zeigen, dss (b) äquivlent zur zweiten Bedingung in 23 ist Es ist ber A beknntlich die Jcobi-Mtrix u x (z u 0) (z y 0 ) A = v x (z 0) v y (z 0) 8

11 und ndererseits ist die Multipliktion mit α = + ib uf C gegeben durch ( + ib)(x + iy) = x by + i(bx + y), lso in der R-Bsis (1, i) durch die Mtrix ( ) b b, denn es ist ( ) ( ) b x b y = ( ) x by bx y Also ist A genu dnn die Multipliktion mit einem α C, wenn u x u ( ) y b v x y v = b für die Jcobimtrix bei z 0 und reelle Zhlen, b, lso wenn die Cuchy-Riemnnschen Differentilgleichungen gelten 9

12 3 Komplexe Potenzreihen Eine komplexe Potenzreihe ist eine Reihe der Form n z n mit n C und z C Wir wollen die Konvergenz dieser Reihe untersuchen Wie im Fll reeller Reihen ht mn ds folgende Konvergenkriterium Lemm 31 (Mjorntenkriterium) Sei n=0 n=0 eine Reihe mit b n C Gibt es relle Zhlen λ n 0 für lle n N 0 mit b n λ n, so dss die reelle Reihe n=0 konvergiert, so konvergiert b n bsolut, dh, n=0 b n λ n b n konvergiert, und dmit uch b n n=0 Dsselbe gilt, wenn b n λ n für lle n N für ein N 0 Beweis Die erste Aussge folgt us dem Mjornten-Kriterium für relle Reihen, und die zweite Behuptung folgt mit der Dreiecksungleichung: Es ist zu zeigen, dss die Prtilsummen P m = m b n eine Cuchy-Folge bilden Aber nch Vorussetzung bilden die Prtilsummen n=0 P m = m b n eine Cuchyfolge, dh, zu jedem ε > 0 gibt es ein N > 0, so dss P r P s < ε n=0 r für lle r, s N Für r s ist dnn uch P r P s = b n r b n = P r P s < ε, dh, die P m bilden eine Cuchyfolge Die letzte Behuptung ist klr, d es uf die ersten N Reihenglieder nicht nkommt Stz 32 (vom Konvergenzrdius) Sei n=s n=s n z n eine komplexe Potenzreihe n=0 1) Konvergiert diese Reihe für ein z 0, so konvergiert sie uch für lle z mit z < z 0 2) Dher gibt es eine reelle Zhl ρ [0, ], so dss n z n für lle r mit 0 r < ρ uf {z z r} bsolut und gleichmäßig konvergiert und für lle z mit z > ρ divergiert Dieses ρ heißt heißt der Konvergenzrdius der Reihe Beweis 1) Konvergiert n z0 n, so bilden die n z0 n insbesondere eine Nullfolge Dher wird n=0 n z0 n 1 für n N mit N genügend groß Dher wird ( z n z n = n z0 n n=0 n=0 10 n=0 z 0 ) n n=0

13 für lle z mit z < z 0 durch die geometrische Reihe mit z z 0 n=0 ( ) n z z 0 = q < 1 mjorisiert, konvergiert lso bsolut nch Lemm 31 2) Wir können setzen: ρ = sup {γ es existiert ein z mit z = γ so dss n z n konvergiert} } {{ n=0 } M Nch Definition gilt Für ρ gelten lso die Eigenschften in 2) γ M γ ρ γ < ρ γ M γ > ρ γ / M Die gleichmäßige Konvergenz folgt ebenflls us dem Mjornten-Kriterium: Ist r < ρ, so ht mn uf {z z r} die globle Mjornte n r n Bemerkung 33 Über ds Verhlten für z = ρ knn mn im Allgmeinen nichts sgen: () z n ht Konvergenzrdius ρ = 1, und konvergiert für kein z mit z = 1 n=0 (b) n=0 z n n 2 ht Konvergenzrdius ρ = 1, und konvergiert für lle z mit z = 1 Lemm 34 (Quotientenkriterium) Sei b n eine Reihe mit b n C und b n 0 für lle n n=0 Gibt es eine reelle Zhl t mit 0 < t < 1, so dss ( ) b n+1 b n t für lle n N für ein N 0, so konvergiert die Reihe bsolut Beweis D es uf die ersten Glieder nicht nkommt, können wir N = 0 nnehmen Aus ( ) folgt dnn durch Induktion b n b 0 t n Dher ist b 0 t n = b 0 t n eine konvergente Mjornte für b n, und wir können 31 nwenden n=0 n=0 Corollr 35 n z n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius ρ Dnn ist die durch n=0 f(z) = n z n n=0 11 n=0

14 uf D = {z z < ρ} gegebene komplexe Funktion holomorph, und die Ableitung ist die uf D konvergente Potenzreihe f (z) = n n z n 1, n=0 die durch gliedweises Differenzieren gewonnen wird Beweis Wir zeigen zunächst, dss n n z n 1 wieder für z r < ρ bsolut und gleichmäßig n=0 konvergiert Sei 0 < z 0 = r < ρ D n z0 n für solches z konvergiert, bilden die n z0 n eine n=0 Nullfolge, es gibt lso ein M > 0 mit n z0 n < M für lle n Für 0 z = s < z 0 = r gilt dnn n n z n n z0 n z M t n mit t = s r < 1 Dher ist n n z n+1 nmt n 1, z 0 und nch dem Quotientenkriterium 34 konvergiert nmt n 1 (d (n+1)mtn = n+1 nmt n 1 n t < 1 für n ; denn lim n n+1 n = 1 und t < 1) Nch dem Mjorntkriterium 31 konvergiert lso n n z n 1 bsolut und gleichmäßig für n=0 z s D r < ρ beliebig wr, gilt dies für lle s < ρ Dss n n z n 1 = f (z), zeigt mn mit ähnlichen Schlüssen [siehe Jänich, Funktionentheorie, Abschnitt Potenzreihen] Aus dem Quotientenkriterium folgt leicht: Lemm 36 Der Konvergenzrdius von n z n ist flls dieser Limes existiert n=0 n=0 R = lim n n n+1 Lemm/Definition 37 Die folgenden Potenzreihen konvergieren uf gnz C und definieren lso dort holomorphe Funktionen: () Die Exponentilfunktion exp(z) = e z = (b) Die komplexe Sinusfunktion sin z = n=0 (c) Die komplexe Cosinusfunktion cos z = n=0 z n n! ( 1) n z 2n+1 (2n+1)! n=0 12 ( 1) n z 2n (2n)!

15 Beweis () Es ist lim n (n+1)! n! = lim n n + 1 = (b) und (c): nlog Stz 38 Es ist e z e w = e z+w Beweis Absolut konvergente Reihen knn mn umordnen und usmultiplizieren Also ist e z e w = n=0 m=0 z n z m n!m! = s=0 s t=0 z t w s t t!(s t)! = ( s t ) 1 s! zt w s t Binomische Formel = (z + w) s s=0 s! = e z+w Stz 39 Es gilt (für z C beliebig) e iz = cos z + i sin z Beweis Folgt, durch Summtion, us 37 (), (b) und (c) Corollr 310 Für z = x iy mit x, y R gilt: () e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y) (b) e x+iy ist periodisch in y (Periode 2π) (c) e 0 = 1, e i π 2 = i, e iπ = 1, e i 3 2 π = i, (d) cos z = eiz +e iz, sin z = eiz e iz 2 2 (e) cos z = 0 z = k π mit k = ±1, ±3, ±5, 2 (f) sin z = 0 z = kπ mit k Z (g) e z 1 = e z 2 e z 1 z 2 = 0 z 1 z 2 2πiZ Definition 311 Definiere den komplexen Logrithmus uf C {0} durch ln z = ln r + iφ für z = r e iφ, r > 0 Dies ist nur wohldefiniert bis uf Addition von 2πik mit k Z, ist lso eine sogennnte mehrdeutige Funktion Es gilt ber immer e ln z = z Dmit knn mn uch Potenzen definieren: Für z C {0}, C, setze z := e ln z Dies ist wohldefiniert bis uf einen Fktor e k2πi mit k Z Der sogennnte Huptwert (oder Huptzweig) des Logrithmus wird eindeutig definiert durch Log : C 0 R + ] π, π]i C z = r e iφ ln r + iφ für r R + und φ ] π, π] 13

16 0 φ Diese Funktion ist nicht stetig bei den Punkten x R <0 = {x R x < 0}, definiert lso nur eine holomorphe Funktion uf der negtiv geschlitzten komplexen Ebene wobei R 0 = {z C z R, z 0} C R 0, 14

17 4 Der Cuchy sche Integrlstz In der Funktionentheorie betrchtet mn vor llem sogennnte Kurvenintegrle Definition 41 Sei U C offen () Eine stetig differenzierbre Kurve in U ist eine stetig differenzierbre Abbildung γ : [t 0, t 1 ] U, wobei [t 0, t 1 ] ein reelles Intervll ist (dies heißt, dss Relteil γ 1 und Imginärteil γ 2 von γ stetig differenzierbre reelle Funktionen sind (differenzierbr mit stetiger Ableitung) und γ(t) = γ 1 (t) + iγ 2 (t) U für lle t [t 1, t 2 ] (b) Ist f : U C eine stetige komplexe Funktion, so nennt mn γ f(z)dz := t 1 t 0 f(γ(t)) γ (t)dt C ds Kurvenintegrl von f über γ (Hierbei ist γ (t) = dγ = dγ 1 + i dγ 2 dt dt dt (c) Sei γ : [t 0, t 1 ] U llgemeiner ein stückweise stetig differenzierbrer Weg in U, dh, es gebe τ 0 < τ 1 < < τ n = t 1, so dss γ i := γ [τi 1,τ i ] jeweils stetig differenzierbr ist, i = 1,, n Dnn setze n f(z)dz = f(z)dz i=1 γ i Bild γ γ 4 γ 3 γ 2 γ 1 Bemerkung 42 Dies hängt nicht von der Prmetrisierung des Weges b: Ist [s 0, s 1 ] [t 0, t 1 ] stetig differenzierbr, so folgt us der Kettenregel, dss f(z)dz = f(z)dz φ γ γ φ Wir bemerken: 15

18 Lemm 43 Besitzt f(z) eine Stmmfunktion uf U, dh, gibt es eine differenzierbre komplexe Funktion F (z) : U C mit F (z) = f(z), so gilt f(z)dz = F (γ(t 1 )) F (γ(t 0 )), γ insbesondere ist ds Integrl unbhängig vom Weg γ und hängt nur von den Endpunkten b Beweis f(z)dz = γ = t 1 F (γ(t)) γ (t)dt t 0 t 1 d F (γ(t))dt = F (γ(t dt 1)) F (γ(t 0 )) t 0 nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (ngewndt uf Rel- und Imginärteile) Bemerkung 44 () Sei c C Für n 1 besitzt f(z) = c z n eine Stmmfunktion uf U ε (0) für lle ε > 0, denn es ist ( ) c n + 1 zn+1 = cz n (b) 1 besitzt für kein ε > 0 eine Stmmfunktion uf U z ε(0) {0}: Nch 311 besitzt 1 uf der z negtiv geschlitzten komplexen Ebene C R 0 die Stmmfuktion Log(z) (den Huptzweig des Logrithmus) Dieser lässt sich ber nicht stetig uf C {0} U ε (0) fortsetzen D sich lle Stmmfunktionen nur durch Konstnten unterscheiden, gibt es keine Stmmfunktion Stz 45 Cuchyscher Integrlstz für Rechtecke Sei U C offen, f : U C holomorph und γ : [, b] U eine stückweise C 1 -Prmetrisierung des Rndes eines chsenprllelen Rechtecks Q in U z 4 z 3 z 1 z 2 U Dnn ist γ f(z)dz = 0 Beweis Unterteile ds Rechteck in 4 Teile wie folgt 16

19 Q Q 4 Q 3 Q 1 Q 2 und integriere über diese Die Anteile entlng des inneren Kreuzes heben sich uf; es ist lso Q f(z)dz = 4 i=1 Q i f(z)dz und dmit f(z)dz 4 f(z)dz, Q Q 1 wobei Q 1 ds Rechteck unter Q 1,, Q 4 ist für welches f(z)dz m größten ist Teilen wir Q 1 genuso uf und wiederholen dies, so erhlten wir eine Folge von Rechtecken Q i Q, Q 1, Q 2, Q 3,, Q n, mit Rndkurven γ n so dss f(z)dz 4n f(z)dz γ γ n usw Die Mittelpunkte der Rechtecke bilden eine Cuchyfolge, die dher gegen einen Grenzwert z 0 konvergiert, der in llen Q i liegt Wegen der komplexen Differenzierbrkeit von f(z) bei z 0 ist f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + φ(z) mit lim z z 0 φ(z) z z 0 = 0 17

20 Nch 43 und 44 ()ist (f(z 0 )+f (z 0 )(z z 0 ))dz = 0, d der Integrnd eine Stmmfunktion γ besitzt und der Weg γ geschlossen ist, dh, γ() = γ(b) = z 1 Es ist lso f(z)dz 4n f(z)dz = 4n φ(z)dz γ für lle n Sei nun ε > 0 gegeben Dnn gibt es ein δ > 0 mit für z z 0 < δ γ n φ(z) < ε z z 0 Ist ρ der Durchmesser von Q und l sein Umfng, so ht Q n den Durchmesser 2 n ρ und den Umfng 2 n l Sei nun n so groß, dss 2 n ρ < δ Dnn ist der Integrnd φ uf Q n und dmit längs γ n betrgsmäßig kleiner ls ε 2 n ρ und dher f(z)dz 4n φ(z)dz 4n ε2 n ρ 2 n l = ε ρ l γ γ n γ n D dies für lle ε > 0 gilt, folgt γ f(z)dz = 0 Stz 46 (Cuchy scher Inegrlstz für Bilder von Rechtecken) Sei f : U C holomorph, Q C ein chsenprlleles Rechteck mit Rnd γ, und φ : Q U eine stetig differenzierbre Abbildung [stetig prtiell differenzierbr] Dnn ist f(z)dz = 0 φ γ Beweis Wir konstruieren wieder Q Q 1 Q 2 wie oben, so dss f(z)dz 4n f(z)dz φ γ Sei nun C > 0 eine obere Schrnke für die Norm (Absolutbetrg der Determinnte) der Jcobi-Mtrix von φ Diese existiert, d Q kompkt und φ stetig differenzierbr ist Dnn ist der Durchmesser von φ(q n ) C ρ 2 n und die Länge von φ γ n C l 2 n Für ds Bild z 0 des Grenzwerts der Rechteckfolge (bezüglich des Integrls von f) wählen wir δ > 0 nun so, dss ρ C 2 n < δ Dnn ist f dz 4n f dz 4n 2 n 2 n C 2 lρε = C 2 lρε φ γ D ε beliebig wr, folgt φ γ γ γ n f(z)dz = 0 18 φ γ n

21 Bemerkung 47 In der Funktionentheorie integriert mn oft über Kreise; ist nichts nderes gesgt, so sollen diese immer im mthemtisch positiven Sinne durchlufen werden, lso gegen die Uhrzeigerrichtung Zum Beispiel knn mn für den Kreis um z 0 mit Rdius r die Prmetrisierung wählen K r (z 0 ) = {z C z z 0 = r} γ : [0, 2π] C γ(t) = z 0 + r e it z 0 φ r z 0 + r e iφ z 0 + r i0 = z 0 + r Wir schreiben einfch z z 0 =r f(z)dz für γ f(z)dz Corollr 48 Sei f : U C holomorph, und sei der Kreisring um z 0 {z C r z z 0 R} gnz in U enthlten R r z0 U Dnn ist f(z)dz = f(z)dz, z z 0 =r z z 0 =R dh, ds Integrl über den kleinen Kreis ist gleich dem Integrl über dem großen Kreis Beweis Der Kreisring ist Bild eines Rechtecks K R K r z 0 19

22 Die Beiträge uf dem Verbindungsweg heben sich uf; dher ist f(z)dz f(z)dz = 0 K r K R (Ds Vorzeichen kommt dher, dss K r in mthemtisch negtiver Richtung durchlufen wird) Dies wr gerde die Behuptung Corollr 49 (Cuchy scher Integrlstz für eine Kreisscheibe) Ist f : U C holomorph und die Kreisscheibe {z C z z 0 R} gnz in U enthlten, so ist f(z)dz = 0 z z 0 =R Beweis: Für 0 < r < R ist f(z)dz = f(z)dz z z 0 =R z z 0 =r D f(z) stetig ist, existiert ein δ > 0 mit δ < 1 und f(z) f(z 0 ) < 1 für z z 0 < δ, lso f(z) < f(z 0 ) + 1 Für r < δ gilt dnn f(z)dz ( f(z 0 ) + 1) r z z 0 =r D r beliebig klein gewählt werden knn, folgt die Behuptung Bemerkung 410 Ein Weg γ : [t 0, t 1 ] C knn immer durch einen Weg γ : [0, 1] C ersetzt werden: Mn schlte die stetig differenzierbre Abbildung vor und wende Bemerkung 42 n [0, 1] [t 0, t 1 ] s t 0 + s(t 1 t 0 ) Definition 411 Zwei Wege γ 0, γ 1 : [0, 1] C mit gleichen Anfngspunkt und gleichem Endpunkt b heißen C 1 -homotop, wenn es eine stetig differenzierbre Abbildung H : [0, 1] [0, 1] C gibt, mit H(0, t) = γ 0 H(1, t) = γ 1 H(s, 0) = H(s, 1) = b für lle s, t 20

23 b s t H heißt Homotopie von γ 0 nch γ 1 Stz 412 Sei f : U C holomorph Sind die zwei Wege γ 0, γ 1 : [0, 1] U C 1 -homotop in U (dh, es gibt eine Homotopie mit Werten gnz in U), so gilt γ 1 f(z)dz = γ 2 f(z)dz Beweis: Dies ist eine direkte Konsequenz von 46 (Cuchy scher Integrlstz für Bilder von Rechtecken): Mn nehme H für φ in 46 21

24 5 Cuchy sche Integrlformel und Entwicklung in Potenzreihen Stz 51 (Cuchysche Integrlformel für eine Kreisscheibe) Sei U C offen, f : U C holomorph und {z z z 0 r} eine Kreisscheibe mit Rdius r um z 0, die gnz in U enthlten ist Dnn gilt für jedes im Inneren der Kreisscheibe (lso U r (z 0 )) f() = 1 f(z) 2πi z dz z z 0 =r (Mn bechte, dss z = r, so dss der Integrnd uf dem Rnd {z z z 0 = r} der Kreisscheibe definiert ist Beweis Aus dem Cuchyschen Integrlstz für Rechteckbilder (oder us 412) folgt, dss f(z) z dz = f(z) z dz, z z 0 =r z =ε flls ε > 0 genügend klein ist (so dss {z z ε} {z z z 0 < r}) ε z 0 r Insbesondere ist letzteres Integrl unbhängig von ε, und dmit gleich f(z) f(z) f() lim dz = lim dz + lim z ε 0 z ε 0 ε 0 z =ε z =ε z =ε f() z dz Der erste Grenzwert uf der rechten Seite ist null, d der Integrnd beschränkt bleibt (d er gegen den Limes f () konvergiert) und ε gegen null geht Für den zweiten Grenzwert rechts berechnen wir mittels der Prmetrisierung us 47 z =ε und die Behuptung folgt f() 2π 1 dz) = f() z εe it εieit dt = f()2πi, 0 22

25 Stz 52 (Potenzreihenentwicklungsstz) Sei f : U C holomorph und z 0 U () Dnn gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe n (z z 0 ) n n=0 mit postivem Konvergenzrdius, die f(z) in einer Umgebung von z 0 drstellt (b) Die Potenzreihe konvergiert uf jeder Kreissscheibe {z z z 0 r} U (c) Es gilt die Cuchy sche Koeffizientenformel n = 1 f(z) dz, 2πi (z z 0 ) n+1 für jedes r > 0 mit {z z z 0 r} U z z 0 =r Beweis: () Gibt es eine solche Potenreihe, so ist f(z) nch 35 uf einer offenen Umgebung von z 0 beliebig oft komplex differenzierbr, und es gilt n = 1 n! f (n) (z 0 ) Dher ist die Potenzreihe eindeutig bestimmt Zum Beweis der Existenz sei lso ohne Einschränkung z 0 = 0 (betrchte sonst f(z z 0 )) Flls ber {z z r} U, so gilt für z < r nch der Cuchyformel Für z ζ f(z) = 1 2πi = z < 1 ist ber 1 r 1 z ζ ζ =r f(ζ) ζ z dζ = 1 2πi ζ r f(ζ) ζ 1 1 z dζ ζ der Grenzwert der geometrischen Reihe n=0 n=0 ( ) n z ζ Diese konvergiert für festes z mit z < r bsolut und gleichmäßig uf dem Kreis ζ = r, lso konvergiert uch die Reihe ( ) n f(ζ) z ζ ζ bsolut und gleichmäßig uf ζ = r, d f(ζ) stetig von ζ bhängt Dher ist ds Integrl ζ über ζ = r mit der Summe verträglich, so dss gilt: f(z) = 1 2πi ζ =r n=0 Dmit ist der Stz bewiesen f(ζ) ζ n+1 zn dζ = n=0 [ ] 1 2πi ζ =r 23 = 1 2πi n=0 ζ =r f(ζ) ζ n+1 dζ z n

26 Corollr 53 (Stz von Gourst) Eine holomorphe Funktion f : U C ist beliebig oft komplex differenzierbr Beweis Dies gilt nch 35 für jede konvergente Potenzreihe uf dem Inneren des Konvergenzkreises, folgt lso nch 51 uf gnz U Corollr 54 (Cuchysche Ungleichung) Sei f : U C holomorph und {z z z 0 r} U Sei f(z) M uf {z z z 0 = r} Dnn gilt für die Potenzreihenentwicklung n (z z 0 ) n von f(z) um z 0 n=0 n M r n Beweis Nch der Chuchyschen Koeffizientenformel 52(c) gilt n 1 M 2π r 2πr = M n+1 r n Definition 55 Eine komplexe Funktion, die uf gnz C holomorph ist, heißt gnze Funktion Stz 56 (Stz von Liouville) Jede beschränkte gnze Funktion ist konstnt Beweis Ist f(z) gnz, so besitzt f(z) nch 52 (c) eine uf gnz C konvergente Potenzreihen- Entwicklung f(z) = n z n Ist zusätzlich f(z) M uf gnz C, so gilt n=0 n M r n für lle r > 0 D r beliebig groß sein knn, folgt n = 0, lso n = 0 für lle n 1, so dss f(z) = 0 Stz 57 ( Fundmentlstz der Algebr ) Jedes nicht konstnte Polynom ht mindestens eine Nullstelle Beweis Sei p(z) = n z n + n 1 z n z + 0 mit n 0 und n 1 (f nicht konstnt!) Wegen p(z) = z n 1 ( n + n+1 z z ) n gilt lim p(z) = Nehmen wir n, dss p(z) keine Nullstelle ht, so ist z f(z) = 1 p(z) 24

27 eine gnze Funktion (Quotientenregel) mit lim f(z) = 0 z Dher ist f(z) beschränkt: Es gilt ein r > 0, so dss f(z) < 1 für z > r D f(z) stetig und {z C z r} kompkt ist, nimmt f(z) ein Mximum M uf dieser Kreisscheibe n; lso ist f(z) mx{1, M} Nch 56 ist f(z) konstnt Widerspruch! Corollr 58 Jedes komplexe Polynom vom Grd n zerfällt in ein Produkt von n Linerfktoren, ht lso n Nullstellen, mit Vielfchheit gezählt Beweis Polynomdivision Definition 59 (Nullstellenordnung) Sei f(z) eine holomorphe Funktion uf der offenen Menge U C, sei z 0 U, und sei n (z z 0 ) n die lokle Potenzreihenentwicklung bei z 0 n=0 () f(z) ht unendliche Nullstellenordnung bei z 0, wenn die Potenzreihe gleich null ist (b) f(z) ht endliche Nullstellenordnung bei z 0, wenn die Potenzreihe nicht null ist In diesem Fll heißt n 0 = min{n N 0 n 0} die Nullstellenordnung von f(z) bei z 0 Lemm 510 () f(z) ht genu dnn eine unendliche Nullstellenordnung bei z 0, wenn es eine offene Umgebung U ε (z 0 ) gibt uf der f(z) null ist (b) f(z) ht genu dnn die endliche Nullstellenordnung n 0 bei z 0, wenn f(z) = (z z 0 ) n0 g(z), wobei g(z) holomorph uf einer Umgebung U ε (z 0 ) ist, mit g(z 0 ) 0 Beweis() folgt drus, dss die Potenzreihe f(z) lokl drstellt (b) Es ist genu dnn lokl f(z) = n (z z 0 ) n, mit n0 0, wenn f(z) = (z z 0 ) n n=n 0 n (z z 0 ) n n 0, wobei für g(z) = n (z z 0 ) n n 0 gilt, dss g(z 0 ) = n0 0 n=n 0 n=n 0 Corollr 511 Ht f endliche Nullstellenordnung bei z 0, so gibt es eine offene Umgebung U ε (z 0 ) mit f(z) 0 uf U ε (z 0 ) {z 0 } Beweis Ist f(z) = (z z 0 ) n g(z) mit g(z) holomorph und g(z 0 ) 0, so gibt es wegen der Stetigkeit von g(z) eine Umgebung U ε (z 0 ) mit g(z) 0, und dort gilt dnn für z z 0 f(z) = (z z 0 ) n g(z) 0 Erinnerung 512 Eine offene Menge V in R n oder C n (oder in einem metrischen Rum, oder in einem topologischen Rum) heißt zusmmenhängend, wenn sie nicht Vereinigung von zwei disjunkten offenen Mengen ist 25

28 oder zusmmenhängend nicht zusmmenhängend Definition 513 Eine zusmmenhängende offene Teilmenge U C heißt ein Gebiet Stz 514 (Identitätsstz für holomorphe Funktionen) Sei G ein Gebiet und seine f, g : G C zwei holomorphe Funktionen Gibt es eine Teilmenge H G, die einen Häufungspunkt in G besitzt und uf der f und g übereinstimmen, so ist f = g Bemerkung 515 Die Bedingung n H bedeutet: Es gibt einen Punkt z 0 G und eine Folge (z n ) in H mit z n z 0 für lle n, so dss in jeder Umgebung U ε (z 0 ) (mindestens) ein z 0 liegt z 1 z 2 z 3 z 4 z 0 Beweis von Stz 514 Durch Betrchtung von f g genügt es, eine Funktion f zu betrchten, die uf H null ist, und zu zeigen, dss diese uf G null ist Sei dies gegeben und sei M G die Menge der Nullstellen von f(z) mit unendlicher Ordnung Nch 510 () ist dnn M offen: Ist z M, so ist f(z) = 0 uf einer offenen Umgebung V von z, ber dnn ist die Potenzreihenentwicklung von f(z) gleich 0 uf gnz V, dh, die Nullstellenordnung unendlich uf gnz V Andererseits ist uch G M, die Menge der Nullstellen mit endlicher Nullstellenordnung (dies schließt die Nullstellenordnung 0, lso die Punkte mit f(z) 0 ein), offen nch Schließlich ist M nicht-leer, denn es ist z 0 M: Hätte z 0 endliche Nullstellenordnung, so gäbe es nch 511 eine offene Umgebung U ε (z 0 ) mit f(z) 0 für z U ε (z 0 ) {z 0 }, ber nch Vorrussetzung gibt es ein z n U ε (z 0 ) mit f(z n ) = 0 D G ein Gebiet ist knn G nicht disjunkte Vereinigung von zwei offenen nicht-leeren Mengen M und G M sein, lso ist G M =, d M nicht-leer ist; es folgt lso G = M, lso f(z) = 0 uf G Stz 516 (Mximumsprinzip) Sei f uf dem Gebiet G holomorph, und es sei Dnn ist f konstnt, oder es gilt M := sup f(z) < z U f(z) < M für lle z U 26

29 Bemerkung 517 Dies heißt lso, dss ds Supremum nicht uf G selbst ngenommen wird Ist zum Beispiel K = {z z z 0 R} eine in G enthltene Kreisscheibe, so wird ds (wegen der Kompktheit von K existierende) Mximum von f(z) uf K uf dem Rnd {z z z 0 = R} ngenommen Beweis von Stz 516 Angenommen, ds Supremum M wird uf G ngenommen Sei z 0 G mit f(z 0 ) = M, sei die Kreisscheibe {z z z 0 ρ} in U enthlten, und sei 0 < r < ρ Nch der Cuchyschen Ungleichung 54 (für 0 ) ist für die Potenzreihenentwicklung n (z z 0 ) n von f(z) und z 0 n=0 f(z 0 ) = 0 sup f(z) M z z 0 =r Nch der Cuchyschen Integrlformel 51 gilt dnn 1 f(z) M = f(z 0 ) = dz 2πi z z 0 z z 0 =r z z 0 =r 1 2π f(z) dz 1 M r 2π r 2πr = M Dmit gilt überll Gleichheit Ds bedeutet ber, dss f(z) = M für z z 0 = r ist, denn wäre irgendwo uf dem Kreis f(z ) < M, so gäbe uch ds Integrl z z 0 =r 1 2π f(z) dz r einen Wert kleiner ls M Denn für zwei stetige Funktionen f 1, f 2 uf einem Intervll [, b] mit f 1 (t) f 2 (t) für lle t und f 1 (t 0 ) < f 2 (t 0 ) für ein t 0 [, b] ist uch b f 1 (t)dt < b f 2 (t)dt Denn durch Betrchtung von f 2 (t) f 1 (t) hben wir nur zu zeigen: Ist f(t) 0 und stetig uf [, b] und f(t 0 ) > 0 für ein t 0, so ist b f(t)dt > 0 Dies folgt so: Sei ε = f(t 0 ) Wegen der Stetigkeit von f(t) gibt es ein δ > 0 mit t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) < ε 2 Dnn ist I = [t 0 δ, t 0 + δ] [, b] ein echtes Intervll, ht lso eine Länge l > 0, und nch der Dreiecksungleichung gilt f(t) f(t 0 ) f(t 0 ) f(t) > ε ε 2 = ε 2 27

30 uf I, lso bereits I f(t)dt ε 2 l > 0, und dher erst recht b f(t)dt > 0 Es gilt lso f(z) = M für lle z mit z z 0 < ρ Hierus folgt, dss f(z) konstnt ist: (i) Für M = 0 ist f(z) = 0 für z z 0 < ρ, lso für lle z G nch dem Identitätsstz, d {z z z 0 < ρ} den Häufungspunkt z 0 besitzt (ii) Für M > 0 betrchten wir log f(z) in einer hinreichend kleinen Umgebung von z 0 (wo lso noch f(z) 0 wie für f(z 0 )) D log f(z) = log f(z) + iφ, ist der Relteil dieser Funktion konstnt, lso uch der Imginärteil nch dem Cuchy-Riemnnschen Differentilgleichungen Dher ist uch f(z) in einer kleinen Umgebung von z 0 konstnt, nch dem Identitätsstz lso uf gnz U Corollr 518 Besitzt f uf G ein lokles Mximum, so ist f ebenflls konstnt Beweis: Die Vorussetzung bedeutet, dss es ein z 0 G gibt und eine offene Umgebung U ε (z 0 ), so dss f(z) f(z 0 ) für lle z U ε (z 0 ) {z 0 } Nch 56 ist dnn f konstnt uf U, lso uch uf G nch dem Identitätsstz

31 6 Isolierte Singulritäten Definition 61 Sei U C offen und f : U C holomorph Eine isolierte Singulrität von f ist ein Punkt z 0 C U, für den es eine Umgebung U ε (z 0 ) gibt, so dss U ε (z 0 ) {z 0 } in U liegt U z 0 / U Es ist lso f(z) nicht definiert bei z 0, ber definiert uf U ε (z 0 ) {z 0 } Definition 62 Eine isolierte Singulrität z 0 von f : U C heißt () hebbr, wenn es ein C gibt, so dss die Funktion f : U {z 0 } C f(z) = { f(z), z U, z = z 0 holomorph ist (Äquivlent ist: Es gibt eine holomorphe Funktion f : U {0} C mit f U = f) (b) z 0 heißt ein Pol von f, wenn f nicht hebbr bei z 0 ist, ber wenn es ein m N gibt, so dss (z z 0 ) m f(z) eine hebbre Singulrität bei z 0 ht Ds kleinste derrtige m heißt die Polordnung von f(z) bei z 0 (c) z 0 heißt eine wesentliche Singulrität, wenn z 0 weder hebbr noch ein Pol ist Beispiele 63 () Für f : C {0} C mit f(z) = z ist z 0 = 0 eine hebbre isolierte Singulrität, denn f : C C mit f(z) = z ist holomorph (wir hben f(0) = 0 gesetzt) (b) Ist g eine bei z 0 holomorphe Funktion, so ht einen Pol m-ter Ordnung bei z 0 (c) Die uf C {0} definierte Funktion f(z) = f(z) = sin g(z) (z z 0 ) m ( ) 1 z 29

32 ist holomorph (Kettenregel) Sie ht eine wesentliche Singulrität bei 0, denn hätte f(z) oder z m f(z) eine holomorphe Fortsetzung g(z), so müsste g(z) = 0 sein, denn die Menge der Nullstellen 1 2π, 1 4π, 1 6π, von g(z) = z m sin ( 1 z ) hätte einen Häufungspunkt, nämlich 0, und nch dem Identitätsstz 514 müsste g(z) = 0 uf C sein, ws offenbr nicht gilt Definition 64 Ist eine Funktion f bis uf hebbre Singulritäten oder Pole holomorph uf U, so heißt f meromorph uf U Lemm 65 () Ist f eine meromorphe Funktion uf U, so gibt es für jedes z 0 U uf einer offenen Umgebung V von z 0 holomorphe Funktionen g und h mit f(z) = g(z) h(z) uf V {z 0 } (b) Gibt es umgekehrt für eine Funktion in f(z) uf U eine lokle Beschreibung bei z 0 wie in (), wobei g(z) eine Nullstelle der Ordnung k N 0 ht (k = 0 bedeutet g(z 0 ) 0) und h(z) eine Nullstelle der Ordnung l N 0, so ht f(z) bei z 0 die Ordnung k l Z: Dies soll bedeuten: f ht bei z 0 eine hebbre Singulrität mit einer Nullstelle der Ordnung k l flls k l, f ht bei z 0 einen Pol der Ordnung l k = k l, flls l < k Insbesondere ist f meromorph bei z 0 Beweis () Ht f eine hebbre Singulrität bei z 0, so ist nichts zu zeigen Ht f einen Pol der Ordnung m bei z 0, so gilt uf einer Umgebung V von z 0, dss (z z 0 ) m f(z) eine hebbre Singulrität ht, lso durch eine holomorphe Funktion g(z) uf V fortgesetzt werden knn Dnn ist f(z) = g(z) (z z 0 ) m uf V {z 0 } (b) Schreibe g(z) = (z z 0 ) k g 0 (z), h(z) = (z z 0 ) l h 0 (z) mit g 0 (z 0 ) 0 und h 0 (z 0 ) 0 Dnn hben g und h uf einer Umgebung V von z 0 keine nderen Nullstellen ls (eventuell) z 0, und es ist uf V {z 0 } wobei g 0(z) h 0 (z) f(z) = g(z) h(z) = g 0(z) h 0 (z) (z z 0) k l, holomorph (und ungleich null) uf V ist Hierus folgt die Behuptung Corollr 66 Die meromorphen Funktionen uf einem Gebiet bilden einen Körper 30

33 Beweis: Mit den Chrkterisierungen in 65 folgt sofort, dss mit meromorphen Funktionen f, g uf U uch f + g und f g meromorph sind Wir erhlten lso einen Ring Weiter ht eine meromorphe Funktion f ds Inverse 1 f Wir zeigen jetzt, dss sich komplexe Funktionen bei einer isolierten Singulrität in eine Lurentreihe entwickeln lssen Definition 67 () Eine Lurentreihe um z 0 ist eine Summe von Reihen der Form (i) 1 (z z 0 ) n + n (z z 0 ) n n=1 n=0 Dies wird uch bgekürzt durch (ii) n (z z 0 ) n n= Die erste Reihe in (i) heißt der Huptteil und die zweite Reihe in (i) heißt der Nebenteil der Lurentreihe (b) Eine Lurentreihe heißt konvergent (bzw bsolut konvergent, gleichmäßig konvergent usw), wenn dies für beide Reihen zutrifft, lso für den Huptteil und den Nebenteil Der Nebenteil ist lso eine Potenzreihe, und der Huptteil ist eine Potenzreihe in 1 z z 0 Anlog zum Stz 32 über den Konvergenzsrdius von Potenzreihen hben wir ds Folgende, wobei wir zur Vereinfchung z 0 = 0 nnehmen (sonst ersetzen wir z durch z z 0 ) Stz 68 Sei eine Lurentreihe Ht die Reihe den Konvergenzrdius 1 r n z n + n=1 n z n n=0 n ζ n n=1 [0, ] und der Nebenteil n z n n=0 den Konvergenzrdius R, so konvergiert die Lurentreihe uf dem offenen Kreisring {z r < z < R} und stellt dort eine holomorphe Funktion dr (Hierbei setzen wir 1 = und 1 = 0) Sie 0 divergiert für z < r oder z > R Für lle r 1, r 2 mit r < r 1 < r 2 < R ist die Konvergenz bsolut und gleichmäßig uf {z r 1 z r 2 } Beweis: Dies folgt sofort us Stz 32, indem wir für den Huptteil ζ = 1 z setzen Bechte: Der Nebenteil konvergiert per Definitionen für z < R, und der Huptteil für ζ < 1, lso für z > r r 31

34 R r Konvergenz Nebenteil Konvergenz Huptteil zusmmen: r R für r > R nirgends Konvergenz! Die Holomorphie wissen wir für den Nebenteil us 35, und für den Huptteil wegen 35 für ζ n und der Kettenregel mit ζ = 1 Dies liefert wegen 35 uch: z n=1 Lemm 69 Die Ableitung der Lurentreihe knn durch gliedweises Differenzieren gewonnen werden Lemm 610 (Cuchyformel für Lurentreihen) Konvergiert die Lurentreihe n= n z n im Kreissring {z r < z < R}, so gilt für die drgestellte holomorphe Funktion f(z) n = 1 f(z) dz 2πi zn+1 für lle n Z und jeder r mit r < r < R z =r r r R Beweis Wegen der gleichmäßigen Konvergenz uf dem Kreis {z z = r } können wir Summen und Integrtion vertuschen D in der Lurentreihe f(z) z n+1 = k= 32 k z k (n+1)

35 lle Glieder k z k (n+1) mit k n eine Stmmfunktion besitzen (siehe 44 ()), so dss k z k (n+1) dz = 0, folgt lso z =r 1 2πi z =r f(z) 1 dz = zn+1 2πi z =r n z dz = n, siehe die explizite Rechnung m Ende des Beweises der Cuchy schen Integrlformel (Stz 51) Bemerkung 611 Hier wr der Mittelpunkt des Kreisrings 0, ber indem wir z überll durch z z 0 ersetzen, erhlten wir ds nloge Ergebnis für den Kreisring um z 0 Für eine konvergente Lurentreihe n (z z 0 ) n n= uf {z r < z z 0 < R} gilt lso für lle n Z und lle r mit r > r < R n = 1 f(z) dz 2πi (z z 0 ) n+1 z z 0 =r Oben hben wir immer eine konvergente Lurentreihe ngenommen Wir zeigen nun: Stz 612 (Lurentreihenentwicklung) Sei eine komplexe Funktion f in einem Kreisring holomorph Dnn ist dort K r,r (z 0 ) = {z r < z z 0 < R} f(z) = n= n (z z 0 ) n mit einer Lurentreihe, die uf {z r < z z 0 < R} konvergiert Beweis Indem wir zu f(z z 0 ) übergehen, können wir ohne Einschränkung nnehmen, dss z 0 = 0 Sei lso z us dem Kreisring, der durch r < z < R gegeben ist Dnn gilt für genügend kleines ε > 0 {z z z < ε} K r,r (z 0 ) z ε r R 33

36 und f(z) = 1 2πi nch der Cuchy schen Integrlformel 51 ζ z =ε f(ζ) ζ z ζ Dieses Integrl ist durch eine geeignete Homotopie gleich dem Integrl über den Rnd eines Rechteckbilds r δ R δ und durch eine weitere Homotopie gleich dem Integrl über den Rnd des folgenden Rechteckbildes lso gleich dem Integrl 1 2πi ζ =R δ f(ζ) ζ z dζ 1 2πi ζ =r+δ f(ζ) ζ z dζ, d sich die beiden Integrle entlng des mit den Pfeilen gekennzeichneten Verbindungswegs wegheben Nun gehen wir genuso vor wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungsstzes 52: (i) Im ersten Integrl entwickeln wir 1 (mit z < ζ = R δ, lso Nebenteil (ii) Den zweiten Integrnten schreiben wir ls 1 2πi z ζ 1 z ζ < 1) in die geometrische Reihe in z ζ ζ =r+δ f(ζ) z ζ dz und erhlten den 34

37 und entwickeln (1 ζ z ) 1 mit ζ < z, lso ζ < 1 in die geometrische Reihe in ζ, wodurch sich der Huptteil ergibt (Beweis: selbst!), wobei nun nlog zum Beweis von 52 die z z Cuchyformel für die Lurentkoeffizienten folgt Anlog wie bei der Cuchyschen Ungleichung 54 folgt nun uch Corollr 613 (Cuchysche Ungleichung für die Lurententwicklung) Ist f(z) holomorph uf dem Kreissring {z r < z z 0 < R} und ist r < r < R und f(z) M uf dem Kreis K r (z 0 ) = {z z z 0 = r } vom Rdius r, so gilt n M (r ) n für lle Koeffizienten n (n Z) der Lurententwicklung von f(z) bei z 0 Wir können die obigen Ergebnisse insbesondere uf isolierte Singulritäten nwenden Sei f(z) holomorph uf U und sei z 0 eine isolierte Singulrität von f(z) Für genügend kleines ε > 0 ist dnn die punktierte Kreisscheibe U ε (z 0 ) {z 0 } = {z 0 < z z 0 < ε} in U enthlten Auf diesem entrteten Kreisring, der lle Kreisringe {0 < r < z z 0 < ε} enthält r ε z 0 können wir lso f(z) in eine Lurentreihe n= n (z z 0 ) n entwickeln Der Huptteil (bzw Nebenteil) dieser Lurentreihe heißt dnn uch der Huptteil bzw Nebenteil von f bei z 0 Wir werden nun sehen, dss mn m Huptteil den Typ der Singulrität blesen knn Lemm 614 Die Singulrität von f(z) bei z 0 ist () hebbr genu dnn, wenn der Huptteil verschwindet (lso n = 0 für lle n 1), (b) ein Pol genu dnn, wenn der Huptteil nicht-trivil ist und endlich viele Terme besitzt (lso n = 0 für N << 0), (c) eine wesentliche Singulrität genu dnn, wenn der Huptteil unendlich viele Terme besitzt ( n 0 für unendlich viele n 1) Beweis () ist klr: Ist f hebbr bei z 0, so hben wir eine holomorphe Funktion, die in seine Potenzreihe entwickelbr ist; umgekehrt gibt jede konvergente Potenzreihe eine holomorphe Funktion 35

38 (b) f ht genu dnn einen Pol bei z 0, wenn f nicht holomorph ist, ber es ein m > 0 gibt, so dss (z z 0 ) m f(z) holomorph fortsetzbr bei z 0 ist, lso eine Potenzreihenentwicklung b n (z z 0 ) n besitzt Dies bedeutet gerde, dss f(z) eine Lurententwicklung n=0 (mit n = b n+m ) besitzt m n= 1 n (z z 0 ) n + (c) Dies ist gerde der noch verbleibende Fll m (z z 0 ) n Stz 615 (Riemnnscher Hebbrkeitsstz) Ist f in einer Umgebung einer isolierten Singulrität beschränkt, so ist die Singulrität hebbr Beweis Nch Vorussetzung gibt es ein ε > 0 so dss f(z) M für lle z mit 0 < z z 0 < ε Nch der Cuchy schen Ungleichung 612 für die Lurententwicklung n (z z 0 ) n gilt n=0 n= n M = M rn r n für lle 0 < r < ε und lle n 1, lso n = 0 für lle n 1, dh, der Huptteil ist null Bemerkung 616 (Prtilbruchzerlegung) Sei f(z) = P (z) Q(z) eine gebrochen rtionle Funktion, dh, es seien P (z) und Q(z) Polynome mit Koeffizienten in C, wobei Q(z) nicht ds Nullpolynom ist Sei S C die (endliche) Nullstellenmenge von Q(z) Die Singulritäten in S sind hebbr oder Pole Für s S sei r s := min{ord(f, s), 0} die Polstellenordnung von f bei s Dnn ist f(z) = R(z) + s S r s n=1 s,n (z s) n, wobei R(z) ein Polynom ist, nämlich der Rest bei der Polynomdivision von P durch Q, dh, P = T (Z)Q(Z) + R(Z) mit Polynomen T (Z), R(Z), wobei deg R(Z) < deg Q(z), und r s s S n=1 die Summe der Huptteile bei llen s S s,n (z s) n 36

39 7 Der Residuenstz Definition 71 Sei γ : [t 0, t 1 ] C eine geschlossene stetig differenzierbre (oder stückweise stetig differenzierbre) Kurve, und sei z 0 C, wobei z 0 nicht uf der Kurve liegt, dh, nicht im Bild von γ Die Umlufzhl von γ und z 0 wird dnn definiert ls ds Integrl ν(γ, z 0 ) := 1 1 dz 2πi z z 0 γ Beispiel 72 Ist γ der Kreis um z 0 mit Rdius r, so ist ν(γ, z 0 ) := 1 1 dz = 1 2πi z z 0 z z 0 =r nch der Cuchy schen Integrlformel 51 für die Funktion f(z) = 1 Ist nun γ ein nderer geschlossener Weg, der z 0 einml umläuft, so folgt mit dem Homotopiestz 412, dss die Umlufzhl ebenflls gleich 1 ist r z 0 γ Ds Integrl über γ (der holomorphen Funktion 1 z z 0 ) ist gleich dem Integrl über dem Kreis mit Rdius r Dies gilt uch für kompliziertere Wege z0 37

40 Läuft der Weg im mthemtisch negtiven Sinne um z 0, so erhält mn 1 ls Umlufszhl Insgesmt sieht mn, dss die Umlufszhl immer eine Zhl n Z ist, die zählt, wie oft (gewichtet mit Richtungen) der Weg γ den Punkt z 0 umläuft z0 Umlufszhl 2 Mn knn sich wieder vorstellen, wie der Weg uf einen kleinen Kreis um z 0 projiziert wird Wir kommen nun zum berühmten Residuenstz Definition 73 Sei z 0 eine isolierte Singulrität der Funktion f(z) uf U Ds Residuum von f(z) bei z 0 ist definiert ls Res(f, z 0 ) = 1, wobei 1 der Koeffizient bei 1 z z 0 von f(z) bei z 0 ist in der Lurententwicklung n= n (z z 0 ) n Definition 74 Ein einfch zusmmenhängendes Gebiet G ist ein Gebiet, in dem lle geschlossenen Wege γ : [0, 1] G homotop zum konstnten Weg (der konstnt den Wert γ(0) = γ(1) ht) ist (durch eine Homotopie mit Werten in G) G γ G γ γ nullhomotoper Weg G einfch zusmmenhängend γ nicht nullhomotop G nicht einfch zusmmenhängend 38

41 Bemerkung 75 Äquivlent zu 74 ist: Alle Wege in U mit gleichem Anfngspunkt und Endpunkt b sind homotop in U (dh, durch eine Homotopie, die gnz in U verläuft) Denn sind γ 1 und γ 2 zwei solche Wege, so betrchte den Weg γ2 1 γ 1, der durch Zusmmensetzen von γ 1 und γ2 1 entsteht Für γ 2 : [0, 1] U ist hierbei γ 1 2 : [0, 1] U der inverse Weg, der durch γ 1 2 (t) = γ 2 (1 t), lso durch Durchlufen in der umgekehrten Richtung entsteht b γ 1 γ 1 2 γ 2 Wir kommen nun zum Residuenstz, der die Berechnung vieler Integrle ermöglicht Stz 76 (Residuenstz) Sei G ein einfch zusmmenhängendes Gebiet, seien z 1,, z k G verschiedene Punkte, sei f : G {z 1,, z k } holomorph und sei γ : [, b] G {z 1,, z k } ein geschlossener Weg Dnn ist γ f(z)dz = 2πi k Res(f, z j )ν γ (z j ) j=1 Beweis Wir behupten: Lemm 77 Es gibt eine holomorphe Funktion f 0 uf G und holomorphe Funktionen f i uf C {z i } (i = 1,, k), so dss uf D Beweis Durch Induktion über k 1) Für k = 1 sei g 1 (z) = n= f = f 0 + f f k n (z z 1 ) n die Lurentreihenentwicklung bei z 1 Diese konvergiert uf U r (z 1 ) {z 1 } für ein r > 0 (sogr für jedes r mit U r (z 1 ) D) Sei f 1 (z) = n= 1 n (z z 1 ) n = n=1 ( ) n 1 n z z 1 der Huptteil bei z 1 ; dieser konvergiert nch 612 für 0 < z z 1 < r, lso für z z 1, 1 z z 1 > 1 r, 39

42 nch den Sätzen für Potenzreihen lso uch für lso uf C {z 1 } z z 1, 1 z z 1 1 r, Sei f 0 = f f 1 ; dies ist zunächst uf D {z 1 } definiert und dort holomorph Auf U r (z 1 ) {z 1 } stimmt f 0 mit der konvergenten Nebenreihe n (z z 1 ) n n=0 überein, die in z 1 eine hebbre Singulrität ht Dher können wir f 0 holomorph uf gnz D fortsetzen, und wir erhlten f = f 0 + f 1 wie gewünscht 2) Sei die Behuptung für k Punkte bewiesen, und hbe nun f(z) k + 1 isolierte Singulritäten z 1,, z k+1 in D Sei D = D {zk+1 } Für f = f D gibt es dnn f 0,, f k mit f 0 holomorph uf D, f i holomorph uf C {z i } für i = 1,, k, und f = f 0 + f f k uf D Nch 1) gibt es dnn f 0 holomorph uf D und f k+1 holomorph uf C {z k+1 } mit uf D Dnn ist f = f 0 + f k+1 f f 1 f k+1 holomorph uf D fortsetzbr, denn die Restriktion uf D = D {z k+1 } ist f f 1 f k f k+1 D = f 0 f k+1 D, wobei f k+1 D holomorph uf D C {zk+1 } ist, und in einer Umgebung von z k+1, in der z 1,, z k nicht enthlten sind, ist f f 1 f 2 f k f k+1 holomorph, d f f k+1 = f 0 holomorph uf D ist und f 1,, f k holomorph bei z k+1 sind Lemm 78 Ist z 0 C, γ ein geschlossener Weg in C mit z 0 nicht im Bild von γ und f holomorph uf C {z 0 }, so ist f(z)dz = 2πiν(γ, z 0 ) Res(f, z 0 ) γ Beweis f ist durch eine uf gnz C {z 0 } konvergente Lurentreihe n (z z 0 ) n n= 40

43 drgestellt Dnn gilt γ f(z)dz = γ n (z z 0 ) n dz = n n= n= γ (z z 0 ) n dz = 1 γ dz z z 0, d (z z 0 ) n eine Stmmfunktion für n 1 ht, = 2πi 1 ν(γ, z 0 ) = 2πi ν(γ, z 0 ) Res(f, z 0 ) Beweis des Residuenstzes 76: Schreiben wir f = f 0 + f f k wie im Lemm 77, so ist f(z)dz = f 0 (z)dz + k f i (z)dz γ γ i=1 γ = 0 + k 2πiν(γ, z 0 )Res(f, z 0 ) i=1 Dies folgt für ds erste Integrl us dem Cuchyschen Integrlstz in der Homotopierversion (Stz 412), d G einfch zusmmenhängend ist, dher γ homotop zu 0 in G, und für ds zweite Integrl mit Lemm 78 Wir kommen nun zu einigen konkreten Berechnungen und Anwendungen Zunächst gibt es einige nützliche Formeln zum Berechnen von Residuen Lemm 79 Ht f(z) einen Pol der Ordnung höchstens k bei z 0, so ist Res(f, z 0 ) = d k 1 1 (k 1)! dz (z z 0) k f(z) k 1 z z0 (der (k 1)-te Tylorkoeffizient von (z z 0 ) k f(z) bei z 0 ) Beweis Ist f(z) = k z z 0 ) + k+1 k (z z 0 ) k (z z 0 ) + z z 0 die Lurententwicklung bei z 0, so ist 1 der (k 1)-te Koeffizient in der Tylorentwicklung der holomorphen Funktion (z z 0 ) k f(z) = k + k+1 (z z 0 ) (z z 0 ) k+1 + und die Behuptung folgt mit der beknnten Formel für die Tylorkoeffizienten Corollr 710 Ist mit g(z) holomorph bei z 0, so ist f(z) = g(z) (z z 0 ) k Res(f, z 0 ) = 1 (k 1)! g(k 1) (z 0 ) 41

44 Corollr 711 Ist f(z) = g(z) h(z) mit holomorphen Funktionen g, h, wobei h(z) eine einfche Nullstelle bei z 0 ht, so gilt Res(f(z), z 0 ) = g(z 0) h (z 0 ) Beweis Schreibe h(z) = (z z 0 ) h(z) Dnn ist h(z 0 ) 0 und h (z 0 ) = h(z 0 ) Wende nun 710 uf n f(z) = g(z)/ h(z) (z z 0 ) Wir kommen nun zu Anwendungen uf Integrle entlng der reellen Achse Wir schreiben uch Res f(z) für ds Residuum Res(f(z), ) von f(z) bei Lemm 712 Sei R(z) eine rtionle Funktion, die bei von mindestens zweiter Ordnung verschwindet und keinen Pol uf der reellen Achse ht Dnn gilt R(x)dx = 2πi Im()>0 Res R(z) Beweis Für r > 0 bezeichne α r den Hlbkreisbogen α r (t) = re iπt für t [0, 1] i r 1 r D es nur endlich viele Pole gibt, so gilt für genügend großes r > 0 nch dem Residuenstz r r R(x)dx + R(x)dx = 2πi Res R(z) α Im >0 r 42

45 Dss R(z) bei von zweiter Ordnung verschwindet, heißt, dss (7121) R(z) c z 2 für z mit einer Konstnten c (siehe unten) Hierus folgt die Abschätzung R(z)dz c r πr für r 2 und dmit und die Behuptung folgt α r lim r Wir erläutern die Bedingung (7121) Es ist mit Polynomen P (z), Q(z), lso α r R(z)dz = 0, R(z) = P (z) Q(z) R(z) = nz n + n 1 z n z + 0 b m z m + b m 1 z m b 1 z + b 0, wobei ohne Einschränkung n, b m 0 Dnn ist R(z) = zn ( n + n z z n 1 0 ) z n z m (b m + b m b 1 + b z z m 1 0 ), z m Die beiden Klmmern gehen für z gegen n bzw b m, ihr Quotient knn lso für großes z durch eine Konstnte c nhe bei n b m bgeschätzt werden Dnn ht mn die Abschätzung R(z) z n m c für z, und unsere Vorussetzung bedeutet m n 2 Bemerkung 713 Ds Argument von Lemm 712 ist uch für R(z) e iz nwendbr, d e iz 1 uf der oberen Hlbebene Dher können wir für reellen R die reellen Integrle R(x) cos x dx, R(x) sin x dx so behndeln, d sie Rel- bzw Imginärteil von R(x)e ix dx sind Lemm 714 Die rtionle Funktion R(z) hbe keine Pole uf der reellen Achse und eine Nullstelle bei Dnn ist lim r r r R(x)e ix dx = 2πi Res(R(z)e iz, ) 43 Imα>0

46 Beweis Betrchte nun ein Rechteck: Für lle genügend großen r > 0 gilt nch dem Residuenstz r r R(z)dx + r+ir r R(z)dz + r+ir r+ir R(z)dz + r r+ir R(z)dz = 2πi Im>0 Res(R(z), ) ir r 0 r Nch Vorussetzung existiert ds Supremum s r = sup R(z) z r und geht gegen 0 für r Ds zweite und vierte Integrl lssen sich ber betrgsmäßig durch r s r e rt dt s r 0 bschätzen, und ds dritte Integrl durch 2re r s r, so dss diese lle gegen null gehen Hierus folgt die Behuptung Eine ndere Anwendung betrifft Integrle über rtionle Funktionen in sin θ und cos θ Lemm 715 Sei R(x, y) eine rtionle Funktion in zwei Vriblen und R(cos θ, sin θ) für lle θ [0, 2π] definiert Dnn gilt 2π 0 R(cos θ, sin θ)dθ = 2πi <1 ( 1 1 Res iz R 2 (z + 1 z ), 1 zi (z 1 ) z ) Beweis Wegen ist cosθ = eiθ + e iθ, sin θ = eiθ e iθ 2 2i ie iθ R(cos θ, sin θ) = 1 ( 1 iz R 2 (z + 1 z ), 1 2i (z 1 )), z z=e iθ 44

47 und nch Vorussetzung ht die rtionle Funktion f(z) = 1 iz R ( 1 2 (z + 1 z ), 1 2i (z 1 z ) keinen Pol uf den Einheitskreis z = 1 (der us llen Zhlen e iθ besteht) Nch dem Residuenstz gilt lso z =1 f(z)dz = 2πi Res f(z) (Die Umlufszhl ist 1 für lle mit < 1 und null für lle nderen komplexen Zhlen) Andererseits ist f(z)dz = 2π <1 f(e iθ )ie iθ dθ = 2π ) R(cos θ, sin θ)dθ z =1 0 0 In den Büchern über Funktionentheorie gibt es zhlreiche weitere Anwendungen des Residuenstzes uf verschiedene Typen von Integrlen, die in der Prxis vorkommen Wir schließen mit einer llgemeineren Anwendung, die uch für die Theorie wichtig ist Definition 716 Für eine holomorphe oder uch meromorphe Funktion f heißt die logrithmische Ableitung von f f (z) f(z) Die Bezeichnung kommt dher, dss forml für den (mehrdeutigen) Logrithmus ln z gilt (ln f) = 1 f f = f (nch der Kettenregel und d (ln z) = 1 z ) Offenbr ist f /f holomorph ußerhlb der Nullund Polstellen von f und dher wieder meromorph Stz 716 (Stz vom Null- und Polstellen zählenden Integrl) Sei G ein einfch zusmmenhängendes Gebiet, sei f meromorph uf G und sei γ eine geschlossene Kurve in G, die keinen Pol und keine Nullstelle von f trifft Dnn gibt es nur endlich viele Pole und Nullstellen mit positiver Umlufszhl, und es gilt 1 2πi γ f f dz = Nullstelle von f f ν(γ, )n Pol von f ν(γ, )n Hier ist n die Nullstellenordnung einer Nullstelle bzw n die Polstellenordnung eines Pols Beweis D ds Bild von γ ls Bild eines kompkten Intervlls wieder kompkt ist, (=bgeschlossen und beschränkt), ist γ in einer bgeschlossenen Kreisscheibe enthlten Durch 45