Skriptum zur Vorlesung Analysis für Physiker(innen) I und II

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1 Skriptum zur Vorlesung Anlysis für Physiker(innen) I und II Wlter Zulehner Institut für Numerische Mthemtik Johnnes Kepler Universität Linz 2/

2 Inhltsverzeichnis Einleitung Reelle Funktionen 2. Die Menge der reellen Zhlen: R Der mthemtische Funktionsbegriff Opertionen für Funktionen Beispiele einfcher Funktionen Beispiele zusmmengesetzter Funktionen Stetige Funktionen Differentilrechnung in R 2. Ableitung Differentitionsregeln Höhere Ableitungen Die Ableitung spezieller Funktionen Minim und Mxim Tylor-Polynom, Tylor-Reihe Integrlrechnung in R Stmmfunktion Stmmfunktionen spezieller Funktionen Integrtionsregeln Beispiele Ds Riemnn-Integrl Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Uneigentliche Integrle Differentilgleichungen in R 4 4. Grundbegriffe Einfche Beispiele Seprble Differentilgleichungen Differentilgleichungen. Ordnung mit homogenem f Linere Differentilgleichungen i

3 4.5. Linere Differentilgleichungen. Ordnung Linere Differentilgleichungen 2. Ordnung Zustzbedingungen Einige Anwendungen Komplexe Zhlen 5 5. Qudrtische Gleichungen in C Erweiterung der Exponentilfunktion uf C Polrform Erweiterung der Ableitung Nchtrg: Linere Differentilgleichungen 2. Ordnung Mehrdimensionle Differentilrechnung Der Vektorrum R n Ableitungsbegriffe Differentitionsregeln Ableitungen höherer Ordnung und der Stz von Tylor Lokle Extrem Mehrdimensionle Integrlrechnung Einfchintegrle Kurven in R n Kurvenintegrle Wegunbhängigkeit Mehrfchintegrle Der Stz von Fubini Einfche Anwendungen von Mehrfchintegrlen Substitutionsregel Der Greensche Integrlstz Oberflächenintegrle Die Integrlsätze von Stokes und Guß Differentil- und Integrlrechnung in C 8. Holomorphe Funktionen Kurven in C und komplexe Kurvenintegrle Der Cuchysche Integrlstz und die Cuchysche Integrlformel Der Residuenstz Eine xiomtische Einführung der reellen Zhlen 4 9. Die Axiome Die ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen ii

4 Grenzwert 2. Konvergenz von Folgen Monotone Folgen, Teilfolgen und Cuchy-Folgen Unendliche Reihen Stetigkeit und Grenzwert von Funktionen Differenzierbrkeit und Mittelwertsätze Die Regel von de l Hospitl Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 53. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Vertuschung von Grenzübergängen Potenzreihen Fourier-Reihen Trigonometrische Polynome und Reihen L 2 -Approximtion L 2 -Konvergenz von Fourier-Reihen Fourier- und Lplce-Trnsformtion Fourier-Trnsformtion für periodische Funktionen Die kontinuierliche Fourier-Trnsformtion Die Lplce-Trnsformtion iii

5 Einleitung Die Drstellung der Anlysis in dieser Lehrvernstltung orientiert sich sehr strk n den Büchern Hrro Heuser, Lehrbuch der Anlysis. Teil, 7. Auflge, Wiesbden: Vieweg+Teubner, 29 Hrro Heuser, Lehrbuch der Anlysis. Teil 2, 4. Auflge, Wiesbden: Vieweg+Teubner, 28 und n Heinz Engl, Skriptum Anlysis, überrbeitet und ergänzt von Andres Neubuer, Institut für Industriemthemtik, Johnnes Kepler Universität Linz In den Kpiteln - 8 werden intuitiv einsichtige Argumenttionen zugelssen, insbesonders im Zusmmenhng mit Winkelfunktionen und dem Begriff Grenzwert, uch wenn sie noch nicht den üblichen Anforderungen n mthemtischer Strenge genügen. Beginnend mit Kpitel 9 werden forml strengere Ansprüche n die Beweisführungen gestellt. Eine Ausnhme bildet der Großteil von Kpitel 3, in dem ds klkülhfte Anwenden der Trnsformtionen im Vordergrund steht.

6 Kpitel Reelle Funktionen. Die Menge der reellen Zhlen: R Opertionen: x, y R: x + y, x y, x y, x, flls y. y Ordnungsreltionen: x y, x < y, x y, x > y. Betrg x und Abstnd x y. Wichtige Teilmengen: Die Menge der ntürlichen Zhlen: N = {, 2,...}, N = {,, 2,...}. Die Menge der gnzen Zhlen: Z = {..., 2,,,, 2,...} Die Menge der rtionlen Zhlen: Q = { m : m Z, n N} n.2 Der mthemtische Funktionsbegriff Jedem Element x A wird genu ein Element y B zugeordnet. Schreibweise: oder in Form einer Funktionsgleichung A Definitionsbereich, B Wertebereich. f : A B x f(x) y = f(x). A, B R: reelle Funktion. Meist ist A ein Intervll ( (, b), [, b), (, b], [, b], (, b), (, b], (, ), [, ), (, ) ) oder eine Vereinigung von Intervllen, und B = R. Grfische Drstellung: Grph einer Funktion 2

7 .3 Opertionen für Funktionen f : A B, g : A B, R: f + g, f, f g: (f + g)(x) = f(x) + g(x), ( f)(x) = f(x), (f g)(x) = f(x) g(x). Komposition, Hintereinnderusführung: f : A B, g : B C: g f : A C mit (g f)(x) = g(f(x)). f : A B heißt bijektiv, wenn jedes Element y B Bild genu eines Elements x A ist. Dnn gibt es die Umkehrfunktion (inverse Funktion) f : B A mit der Funktionsgleichung x = f(y). Es gilt: (f f)(x) = x für lle x A und (f f )(x) = x für lle x B.4 Beispiele einfcher Funktionen Potenzfunktionen mit gnzzhligen Exponenten: Definition.. Sei n N: f(x) = x } x {{... x} = x n, A = R n ml f(x) = x n = x n, A = R \ {}. Rechenregeln: Stz.. Für n Z, n gilt: Beweis. Für n N gilt: (x y) n = x n y n (.) und (x y) n = (x y) (x y)... (x y) }{{} n ml = x x... x (x y) n = } {{ } n ml y y... y }{{} n ml = x n y n. (x y) = n x n y = n x n y = n x n y n. 3

8 Üblicherweise vereinbrt mn: x = für x. Dnn gilt (.) uch für n =, flls x und y. Anlog lässt sich die folgende Rechenregel zeigen: Stz.2. Wrnung: sondern (x m ) n = x m n (x + y) n x n + y n im Allgemeinen, Stz.3 (Binomischer Lehrstz). Für n N gilt (x + y) n = n i= Dbei bezeichnet ( n i) den Binomilkoeffizient: ( ) n = i ( ) n x n i y i i i bnehmende Fktoren {}}{ n (n )... (n i + ) 2... i }{{} i zunehmende Fktoren Wurzelfunktion: Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen: Definition.2. f(x) = x ist die Umkehrfunktion von g : A B, g(x) = x 2, A = B = [, ). Sei n N. f(x) = n x = x n ist die Umkehrfunktion von g : A B, g(x) = x n, A = B = [, ). Mn bechte: n xn = x und ( n x) n = x. Rechenregel: Stz.4. (x y) n = n x y = n x n y = x n y n Beweis. Es gilt x = u n mit u = n x und y = v n mit v = n y Dnn folgt n x y = n u n v n = n (u v) n = u v = n x n y. 4

9 Anlog lässt sich zeigen: Stz.5. ( ) x n m = n m x = m n x = x m n = x m n Potenzfunktionen mit rtionlen und reellen Exponenten: Definition.3. Sei q Q, lso q = m n mit m Z und n N. f(x) = x q = n x m für x (, ). Aus den obigen Rechenregeln erhält mn leicht: Stz.6. Für lle p, q Q gilt: (x y) q = x q y q und (x p ) q = x p q Beweis. Für q = m n mit m Z und n N gilt: (x y) q = n (x y) m = n x m y m = n x m n y m = x q y q. Anlog zeigt mn die zweite Formel. r R lässt sich beliebig genu durch rtionle Zhlen nnähern: lim q = r q r, q Q Dnn lässt sich für jeden Exponenten r R eine Potenzfunktion definieren: Definition.4. f(x) = lim q r, q Q xq = x r Es folgen leicht die Rechenregeln: Stz.7. Für lle x, y (, ) und lle r, s R gilt: (x y) r = x r y r und (x r ) s = x r s. Exponentilfunktion: Definition.5. f(x) = x mit > (Bsis) und x R. 5

10 Wichtige Spezilfälle: =, ( = e = lim + n 2, , = 2. n n) Rechenregeln: Stz.8. x+y = x y und ( x ) y = x y Logrithmusfunktionen: Definition.6. f(x) = log x (x > ) ist die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion x. Spezilfälle: log x = lg x, log 2 x = ld x, log e x = ln x. Mn bechte Rechenregeln Stz.9. Beweis. Es gilt Dnn folgt log x = x, log x = x. log (x y) = log x + log y und log (x y ) = y log x x = u mit u = log x und y = v mit v = log y. log (x y) = log ( u v ) = log ( u+v ) = u + v = log x + log y. Der Beweis der zweiten Rechenregel erfolgt nlog. Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen): Definition.7. sin x, cos x: geometrische Definition mit Hilfe des Einheitskreises tn x = sin x cos x, cot x = tn x = cos x sin x. Wichtige Eigenschften: Grphische Drstellung cos x = sin ( x + π 2 ), sin x = cos ( x π 2 ). 6

11 Periodische Funktionen: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x tn(x + π) = tn x, cot(x + π) = cot x. Nullstellen von sin: k π für k Z. Nullstellen von cos: π + k π für k Z. 2 Nullstellen von tn: k π für k Z. Pole von tn: π + k π für k Z. 2 Nullstellen von cot: π + k π für k Z. 2 Pole von cot: k π für k Z. Spezielle Werte: Rechenregeln: sin π 6 = 2 = 2, sin π 4 = 2 = 2 2, sin π 3 = 3 2. Stz.. und (Additionstheoreme): sin 2 x + cos 2 x = sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y geometrische Beweise. Arkusfunktionen: Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktion: Huptwerte: Definition.8. rcsin: [, ] [ π 2, π 2 ] ist die Umkehrfunktion von sin: [ π 2, π 2 ] [, ]. rccos: [, ] [, π] ist die Umkehrfunktion von cos: [, π] [, ]. rctn: (, ) ( π 2, π 2 ) ist die Umkehrfunktion von tn: ( π 2, π 2 ) (, ). rccot: (, ) (, π) ist die Umkehrfunktion von cot: (, π) (, ). Hyperbelfunktionen: sinh, cosh, tnh, coth. 7

12 Definition.9. sinh x = 2 ( e x e x), cosh x = 2 ( e x + e x), tnh x = sinh x cosh x, cosh x coth x = sinh x = tnh x Rechenregel: Stz.. cosh 2 x sinh 2 x =. Arefunktionen: Umkehrfunktionen von Hyperbelfunktionen Definition.. rsinh: R R ist die Umkehrfunktion von sinh: R R. rcosh: [, ) [, ) ist die Umkehrfunktion von cosh: [, ) [, ). rtnh: (, ) R ist die Umkehrfunktion von tnh: R (, ). rcoth: (, ) (, ) R ist die Umkehrfunktion von coth: R (, ) (, ). Rechenregeln Stz.2. ( rsinh x = ln x + ) x 2 + und ( rcosh x = ln x + ) x 2 und rtnh x = ( ) + x 2 ln x und rcoth x = ( ) x + 2 ln x Beweis. Funktionsgleichung von sinh: ( e x e x) y = 2 Funktionsgleichung der Umkehrfunktion: x = 2 ( e y e y) 8

13 Also gilt: (e y ) 2 2x (e y ) = Dher folgt für die positive Lösung: e y = x + x 2 + Also ( y = ln x + ) x 2 + Ähnlich beweist mn die nderen Rechenregeln..5 Beispiele zusmmengesetzter Funktionen Polynomfunktionen: f(x) = + x + 2 x n x n = n k x k k= n : n Grd f(x) = A cos(ωx ϕ). f(x) = x x = ( e ln x) x = e x ln(x)..6 Stetige Funktionen Definition.. Sei x A ein nicht-isolierter Punkt. Dnn heißt f : A B stetig im Punkt x, wenn lim x x f(x) = f(x ). f : A B heißt stetig in A, wenn f in jedem Punkt von A stetig ist. Stz.3. f, g stetig: f + g, c f, f g, f g (in Punkten mit g(x) ), g f stetig. Stz.4. Die Potenzfunktionen, Exponentilfunktionen, Winkelfunktionen, Arkusfunktionen, Hyperbelfunktionen, Arefunktionen sind uf dem jeweils geeigneten Definitionsbereich stetig. 9

14 Kpitel 2 Differentilrechnung in R 2. Ableitung Definition 2.. Sei f : A R eine reelle Funktion und x A ein nicht-isolierter Punkt. Dnn heißt f im Punkt x differenzierbr, flls der Grenzwert f(x) f(x ) lim = f (x ) x x x x existiert. f (x ) heißt Ableitung von f in x. f : A R heißt differenzierbr in A, wenn f in jedem Punkt von A differenzierbr ist. Die reelle Funktion f : A R, x f (x) heißt Ableitung von f. Schreibweisen: f (x ) = df dx (x ) = f(x ). Der Ausdruck f(x) f(x ) x x heißt Differenzenquotient. Alterntive Schreibweise: Mit x = x + h erhält mn f(x) f(x ) = f(x + h) f(x ) x x h und f f(x + h) f(x ) (x ) = lim. h h Für gilt offensichtlich: bzw. mit r(h) = f(x + h) f(x ) f (x ) h f(x + h) = f(x ) + f (x ) h + r(h) f(x) = f(x ) + f (x ) (x x ) + r(x x ) f(x + h) f(x ) r(h) = h ρ(h) und lim ρ(h) = lim f (x ) = h h h

15 Mit der Setzung ρ() = gilt die obige Drstellung uch für h =. Die Gleichung y = f(x ) + f (x ) (x x ) ist die Funktionsgleichung einer lineren Funktion, deren Grph die Tngente von f im Punkt x ist. Physiklische Interprettion: Geschwindigkeit. 2.2 Differentitionsregeln Stz 2. (Summen-, Produkt- und Quotientenregel). Seien f : A R, g : A R reelle Funktionen und x A ein nicht-isolierter Punkt. Angenommen, f und g sind in x differenzierbr. Dnn gilt: f + g und f g sind ebenflls im Punkt x differenzierbr und es gilt: (f + g) (x ) = f (x ) + g (x ) Flls zusätzlich g(x ), dnn gilt uch Beweis. Produktregel: Also (f g) (x ) = f (x ) g(x ) + f(x ) g (x ) ( ) f (x ) = f (x ) g(x ) f(x ) g (x ) g g(x ) 2 (f g)(x + h) (f g)(x ) h = f(x + h) g(x + h) f(x ) g(x ) h = f(x + h) g(x + h) f(x ) g(x + h) + f(x ) g(x + h) f(x ) g(x ) h = f(x + h) f(x ) h g(x + h) + f(x ) g(x + h) g(x ) h (f g) (f g)(x + h) (f g)(x ) (x ) = lim h h f(x + h) f(x ) = lim lim g(x + h) h h } {{ h } f (x ) } {{ } g(x ) g(x + h) g(x ) +f(x ) lim } h {{ h } g (x )

16 Stz 2.2 (Kettenregel). Seien f : A R und g : B R reelle Funktionen mit f(a) B. Sei x A und f(x ) B nicht-isolierte Punkte. Angenommen, f ist in x und g ist in f(x ) differenzierbr. Dnn gilt: g f ist im Punkt x differenzierbr und es gilt: Beweis. (g f) (x ) = g (f(x )) f (x ). (g f)(x + h) (g f)(x ) h = g(f(x + h)) g(f(x )) h = g(f(x ) + k) g(f(x )) h mit k = f (x ) h + ρ f (h) h. Es gilt g(f(x ) + k) = g(f(x )) + g (f(x )) k + ρ g (k) k. Also Dher folgt: (g f)(x + h) (g f)(x ) h = g (f(x )) k + ρ g (k) k h = (g (f(x )) + ρ g (k)) k h = (g (f(x )) + ρ g (k)) (f (x ) + ρ f (h)) (g f) (x ) = lim h (g f)(x + h) (g f)(x ) h = lim h (g (f(x )) + ρ g (k)) (f (x ) + ρ f (h)) = lim h (g (f(x )) + ρ g (k)) lim h (f (x ) + ρ f (h)) = g (f(x )) f (x ). Stz 2.3 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei f : A B eine bijektive reelle Funktion, x A ein nicht-isolierter Punkt. Angenommen, f ist in x differenzierbr, f (x ) und f ist im Punkt y = f(x ) stetig. Dnn folgt: f ist im Punkt y = f(x ) differenzierbr und es gilt: (f ) (y ) = f (x ) = f (f (y )) = (f f )(y ). Beweis. f (y) f (y ) y y = y y f (y) f (y ) = f(x) f(x ) x x mit y = f(x). Flls y y folgt x = f (y) f (y ) = x wegen der Stetigkeit von f. Dher gilt: f (y) f (y ) lim = y y y y f(x) f(x lim = ) x x f (x ) x x 2

17 2.3 Höhere Ableitungen 2. Ableitung: Ableitung der Ableitung Schreibweise: f (x ) = d2 f dx 2 (x ) = f(x ), Interprettion: Krümmung, Beschleunigung 3. Ableitung: f (x ) = d3 f dx 3 (x ) n-te Ableitung: f (n) (x ) = dn f dx n (x ) 2.4 Die Ableitung spezieller Funktionen Exponentilfunktionen: f(x) = e x Es gilt (Beweis später): Drus folgt: e x+h e x h e x + x = e x eh h für lle x R e x + x und e x x für lle x >, worus mn folgende Abschätzung erhält: Drus folgt: Somit gilt: lso Dher folgt: ex x e x für lle x >. e h eh h = lim h e h lim h e h h e h h =, e h (e x ) = lim h e x eh h Exponentilfunktionen: f(x) = x = ( e ln ) x = e x ln(). Mit der Kettenregel folgt: lim h e h =, = e x ( x ) = e x ln() ln() = ln x. 3

18 Logrithmusfunktionen: log x = f (x) mit f(x) = x. Dher folgt: = e: Potenzfunktionen: x r = e r ln x (log x) = ln = log x ln x (ln x) = x (x r ) = e r ln x r x = r xr Winkelfunktionen sin(x + h) sin(x ) h = sin ( x + h + ) ( h 2 2 sin x + h h 2 2 h ) = 2 cos ( ) ( x + h 2 sin h 2 h ( = cos x + h ) sin ( ) h 2 2 h 2 ) Es gilt (geometrischer Beweis) für x [, π 2 ]: Also Drus folgt: und dher Weiters gilt: Dher Wegen (cos x) = 2 sin x cos x < x 2 2 tn x cos x < sin x x < cos x sin x lim x x = lim sin x x x (sin x) = cos x ( cos x = sin x + π ) 2 =. ( ( sin x + π )) ( = cos x + π ) 2 2 tn x = sin x cos x = sin x 4

19 folgt us der Quotientenregel: (tn x) cos x cos x sin x ( sin x) = cos 2 x = cos 2 x = cos2 x + sin 2 x = + tn 2 x cos 2 x Anlog erhält mn (cot x) = sin 2 x = cot2 x Arkusfunktionen: rcsin x ist die Umkehrfunktion von sin x. Also: Nun gilt für y = rcsin x [ π 2, π 2 (rcsin x) = cos y = ] cos(rcsin x) sin 2 y = x 2 Also (rcsin x) = x 2 Anlog zeigt mn: (rccos x) =, (rctn x 2 x) = + x, (rccot 2 x) = + x, 2 Hyperbelfunktionen: sinh x = 2 (ex e x ) Also Anlog zeigt mn: (sinh x) = 2 (cosh x) = sinh x, (tnh x) = ( e x + e x) = cosh x cosh 2 x = tnh2 x und (coth x) = sinh 2 x = coth2 x 5

20 Arefunktionen: rsinh(x) ist die Umkehrfunktion von sinh(x). Also (rsinh x) = cosh(rsinh x) Nun gilt für y = rsinh x cosh y = + sinh 2 y = + x 2 Also (rsinh x) = + x 2 Anlog zeigt mn (rcosh x) = x2 für x > und (rtnh x) = x 2 für x < und (rcoth x) = x 2 für x > 2.5 Minim und Mxim Sei I R ein Intervll und f : I R. Definition 2.2. Ein Punkt x I heißt ein lokles Mximum von f, wenn f(x ) f(x) für lle x I in einer Umgebung von x. Ein Punkt x I heißt ein lokles Minimum von f, wenn f(x ) f(x) für lle x I in einer Umgebung von x. Unter einem loklen Extremum versteht mn ein lokles Minimum oder ein lokles Mximum. Stz 2.4. Sei I R ein Intervll und f : I R. Sei x ein innerer Punkt von I und f ist in diesem Punkt differenzierbr. Dnn gilt: Flls x ein lokles Extremum ist, folgt f (x ) =. Beweis. Beweis für den Fll, dss x ein lokles Mximum ist. Für hinreichend kleine Werte h > gilt: f(x h) f(x ) und f(x ) f(x + h). Dher folgt: und Also: f (x ) =. f f(x + h) f(x ) (x ) = lim h + h f f(x h) f(x ) (x ) = lim h + h 6

21 2.6 Tylor-Polynom, Tylor-Reihe Sei I R ein Intervll, x I sei ein innerer Punkt von I, und sei f : I R eine reelle Funktion, die im Punkt x differenzierbr ist. Dnn gilt Offensichtlich gilt: f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) +r(x x }{{} ) T (x) T (x ) = f(x ) und T (x ) = f (x ). Ds Polynom T (x) vom Grd besitzt lso n der Stelle x den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung wie f(x). Sei f 2-ml differenzierbr. Wir bestimmen nun jenes Polynom T 2 (x) vom Grd 2, lso T 2 (x) = + (x x ) + 2 (x x ) 2, ds zusätzlich n der Stelle x uch die gleiche zweite Ableitung wie f(x) besitzt. Es gilt: Also muss gelten: und wir erhlten T 2 (x ) =, T 2(x ) =, T 2 (x ) = 2 2. = f(x ), = f (x ), 2 2 = f (x ) T 2 (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) 2. 2 Sei f 3-ml differenzierbr. Wir bestimmen nun jenes Polynom T 3 (x) vom Grd 3, lso T 3 (x) = + (x x ) + 2 (x x ) (x x ) 3, ds zusätzlich n der Stelle x uch die gleiche dritte Ableitung wie f(x) besitzt. Es gilt: T 3 (x ) =, T 3(x ) =, T 3 (x ) = 2 2, T 3 (x ) = Die Bedingungen n, und 2 sind unverändert. Zusätzlich muss gelten: und wir erhlten = f (x ) T 3 (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) 2 + f (x ) (x x ) 3. 7

22 Setzt mn diese Überlegungen fort, so erhält mn für jenes Polynom T n (x) vom Grd n, ds n der Stelle x den gleichen Funktionswert und die gleichen Ableitungen bis zur Ordnung n wie f(x) besitzt: T n (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) 2! + f (4) (x ) 4! wobei! die Fktorielle bezeichnet, lso T n (x) heißt ds n-te Tylor-Polynom. (x x ) 2 + f (x ) (x x ) 3 3! n (x x ) f (n) (x ) (x x ) n = n! i=! = und k! = 2... k für k. f (i) (x ) (x x ) i, i! Stz 2.5 (Tylor-Formel). Seien I R ein Intervll, x I ein innerer Punkt von I und f : I R (n + )-ml stetig differenzierbr in I. Dnn gibt es zu jedem x I eine Zhl θ (, ), sodss: Beweis. n = : n f (i) (x ) f(x) = (x x ) i + f (n+) (x + θ(x x )) (x x ) n+. i! (n + )! i= }{{}}{{} T n (x) R n (x) f(x) = f(x ) + f (x + θ(x x ))(x x ) Wir betrchten F (t) = [f(x) f(t)] x t [f(x) f(x )] x x Es gilt: F (x ) = F (x) =. F ist eine stetige Funktion. Sie besitzt dher ein lokles Extremum n einer Stelle ξ = x + θ(x x ) zwischen x und x. F ist in ξ differenzierbr. Dher F (ξ) =. Nun gilt: Also Drus folgt: i= F (t) = f (t) + x x [f(x) f(x )]. f (ξ) + x x [f(x) f(x )] = f(x) f(x ) = f (ξ)(x x ). Im llgemeinen Fll geht mn ähnlich vor: Wir betrchten [ ] [ n f (i) (t) F (t) = f(x) (x t) i (x t)n+ f(x) i! (x x ) n+ 8 n i= ] f (i) (x ) (x x ) i i!

23 Es gilt: F (x ) = F (x) =. F ist eine stetige Funktion. Sie besitzt dher ein lokles Extremum n einer Stelle ξ = x + θ(x x ) zwischen x und x. F ist in ξ differenzierbr. Dher F (ξ) =. Nun gilt: Es gilt Also F (t) = f (t) + n [ f (i+) (t) i= (n + )(x t)n (x x ) n+ i! [ f(x) (x t) i f ] (i) (t) i(x t) i i! n i= ] f (i) (x ) (x x ) i i! n [ f f (i+) (t) (t) (x t) i f ] (i) (t) (x t)i i! (i )! i= [ ] [ f = f f (t)! (x t) f (t) (t) (x t) 2 f ] (t) (x t) 2!! [ f (n+) (t)... (x t) n f ] (n) (t) (x t)n n! (n )! = f (n+) (t) (x t) n. n! [ F (t) = f (n+) (t) (x t) n (n + )(x t)n + f(x) n! (x x ) n+ n i= ] f (i) (x ) (x x ) i i! Aus F (ξ) = folgt f (n+) (ξ) (x ξ) n = n! (n + )(x ξ)n (x x ) n+ [ f(x) n i= ] f (i) (x ) (x x ) i i! und drus sofort die Behuptung. Der Ausdruck f (n+) (x + θ(x x )) (x x ) n+ (n + )! heißt die Lgrngesche Form des Restgliedes. 9

24 Monotonie von Funktionen Definition 2.3. Seien A, B R und f : A B. f heißt monoton wchsend Für lle x, y A mit x < y gilt: f(x) f(y). f heißt monoton fllend Für lle x, y A mit x < y gilt: f(x) f(y). f heißt streng monoton wchsend Für lle x, y A mit x < y gilt: f(x) < f(y). f heißt streng monoton fllend Für lle x, y A mit x < y gilt: f(x) > f(y). Stz 2.6. Sei f : (, b) R stetig differenzierbr. Dnn gilt f ist genu dnn monoton wchsend (fllend), wenn f (x) (f (x) ) für lle x (, b). Flls f (x) > (f (x) < ) für lle x (, b), dnn ist f streng monoton wchsend (fllend). Beweis. Angenommen f ist monoton wchsend. Dnn gilt für h > : Also f(x + h) f(x). f f(x + h) f(x) (x) = lim h h Angenommen, f (x). Für x y folgt dnn:. f(y) = f(x) + f (x + θ(y x)) (y x). }{{}}{{} Also ist f monoton wchsend. Flls f (x) >, folgt mit dem selben Argument, dss f streng monoton wchsend ist. Lokle Extrem Stz 2.7. Sei I R ein Intervll, f : I R sei 2 ml stetig differenzierbr. Sei x ein innerer Punkt von I mit f (x ) = und f (x ) > (< ). Dnn ist x ein lokles Minimum (Mximum). Beweis. D f stetig ist und f (x ) >, gibt es ein Intervll um x, in dem f positiv ist. Sei x ein Punkt us dieser Umgebung von x. Dnn gilt: f(x) = f(x ) + f (x )(x x }{{} ) + f (x + θ(x x )) (x x ) 2 f(x ). } 2! {{} = 2

25 Approximtion einer Funktion durch Tylor-Polynome Beispiele: Ds Tylor-Polynom T 2 (x) von f(x) = sin x n der Stelle x = : Also mit dem Restglied Abschätzung des Restgliedes: T 2 (x) = sin + cos x + sin 2! sin x = x + R 2 (x) R 2 (x) = cos(θx) 3! R 2 (x) 6 x 3. x 3. x 2 = x Ds Tylor-Polynom T 3 (x) von f(x) = cos x n der Stelle x = : Also mit dem Restglied T 3 (x) = cos sin x + cos 2! Abschätzung des Restgliedes: x 2 + sin 3! cos x = x2 2 + R 3(x) R 3 (x) = cos(θx) 4! x 4. R 3 (x) 24 x4. x 3 = x2 2 Ds Tylor-Polynom T (x) von f(x) = x n der Stelle x = : f (x) = ( 2 x 2, f (x) = ) x 2 = 4 x x Also x = + (x ) } 2 {{} 8 ξ (x )2 ξ }{{} T (x) R (x) Abschätzung des Restgliedes: R (x) mit ξ = + θ(x ). { 8 )2 für x > 8x (x x )2 für x < 2

26 Tylor-Reihen Die Folge der Tylor-Polynome nennt mn Tylor-Reihe. Schreibweise: ( n f (i) (x ) (x x ) i f = i! )n N (i) (x ) (x x ) i i! i= Flls lim n R n (x) =, dnn folgt Schreibweise für den Grenzwert: n f(x) = lim n T n (x) = lim n lim n i= f (i) (x ) (x x ) i = i! n i= i= i= f (i) (x ) (x x ) i. i! f (i) (x ) (x x ) i. i! In diesem Sinne: f(x) = i= f (i) (x ) (x x ) i i! Beispiele von Tylor-Reihen: f(x) = e x, x = : f (i) (x) = e x. Tylor-Reihe: Restglied: i= R n (x) = folgt leicht us der Ungleichung: Also: e x = i! xi = + x + 2! x2 + 3! x i= eθ x (n + )! xn+ für n. n! n n 2. i! xi = + x + 2! x2 + 3! x f(x) = sin(x), x =. sin x für i = 4j sin (i) cos x für i = 4j + (x) = sin x für i = 4j + 2 cos x für i = 4j

27 Tylor-Reihe: x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + = i= ( ) i (2i + )! x2i+ Restglied: Also sin x = Anlog zeigt mn: R n (x) = sin(n) (θ x) x n+ für n. (n + )! i= ( ) i (2i + )! x2i+ = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + cos x = i= ( ) i (2i)! x2i = 2! x2 + 4! x4 6! x6 + f(x) = x, x =. Für i gilt: Tylor-Reihe: i= f (i) () x i = i! f (i) (x) = i!( x) (i+). i= i! i! xi = x i = + x + x 2 + x i= Es gilt (endliche geometrische Reihe) für x : und dher i= n i= x i = xn+ x R n (x) = n x x i = x xn+ x = xn+ x Also gilt für x < (geometrische Reihe): x = x i = + x + x 2 + x 3 + x i= flls x <. 23

28 f(x) = ln( + x), x =. Für i gilt: Tylor-Reihe: i= f (i) () x i = i! f (i) (x) = ( ) i (i )!( + x) i. i= Es lässt sich für x (, ] zeigen: ( ) i (i )! x i = i! ( ) i i= = x 2 x2 + 3 x3 4 x i x i ln( + x) = ( ) i x i = x i 2 x2 + 3 x3 4 x i= 24

29 Kpitel 3 Integrlrechnung in R 3. Stmmfunktion Definition 3.. Sei I R ein Intervll und seien f : I R und F : I R reelle Funktionen. F heißt Stmmfunktion (unbestimmtes Integrl) von f F ist differenzierbr und F = f. Flls F eine Stmmfunktion von f ist, dnn ist F + C mit einer Konstnten C R ebenflls eine Stmmfunktion. C nennt mn Integrtionskonstnte. Schreibweise: f(x) dx = F (x) + C. Mit dieser Schreibweise gilt: ( f(x) dx) = f(x). Flls f differenzierbr ist, gilt offensichtlich, dss f Stmmfunktion von f ist: f (x) dx = f(x) + C. 3.2 Stmmfunktionen spezieller Funktionen Potenzfunktionen: es gilt (x r ) = r x r, lso ( ) x r r = x r für r. Mit der Setzung α = r erhlten wir lso für α : Spezilfll α = : dx = x + C. x α dx = xα+ α + + C 25

30 Spezilfll α = : es gilt (ln x ) = x. Also: x dx = ln x + C Exponentilfunktionen: es gilt ( x ) = ln x, lso ( x ln ) = x. Für erhlten wir lso: x dx = x ln + C Spezilfll: = e: e x dx = e x + C. Logrithmusfunktionen: es gilt (x ln x x) = ln x. Also ln x dx = x ln x x + C Wegen e ln x = x = log x = ( e ln ) log x = e ln log x folgt: log x = ln x ln log x dx = (x ln x x) + C ln und dher: Winkelfunktionen: Es gilt (sin x) = cos x und (cos x) = sin x, lso ( cos x) = sin x. Dher: sin x dx = cos x + C und cos x dx = sin x + C Es gilt: (ln cos x ) = ( sin x) = tn x. Also cos x tn x dx = ln cos x + C Anlog folgt: cot x dx = ln sin x + C Es gilt: (tn x) = cos 2 x und (cot x) = sin 2 x. Also cos 2 x dx = tn x + C und sin 2 x dx = cot x + C 26

31 Hyperbelfunktionen: Anlog zu den Winkelfunktionen erhält mn: sinh x dx = cosh x + C und cosh x dx = sinh x + C und tnh x dx = ln cosh x + C und coth x dx = ln sinh x + C und cosh 2 x dx = tnh x + C und sinh 2 x dx = coth x + C Aus den Differentitionsregeln für die Arkusfunktionen folgt sofort: x 2 dx = rcsin x + C = rccos x + C 2 für x < mit C 2 = C + π 2 und mit C 2 = C + π 2. + x 2 dx = rctn x + C = rccot x + C 2 Aus den Differentitionsregeln für die Arefunktionen folgt sofort: (x dx = rsinh x + C = ln + ) x C + x 2 und (x x2 dx = rcosh x + C = ln + ) x 2 + C für x > und x dx = rtnh x + C = ( ) + x 2 2 ln + C für x < x und ( ) x + x 2 dx = rcoth x + C = 2 ln + C für x > x 27

32 3.3 Integrtionsregeln Stz 3.. Sei I R ein Intervll.. Seien f : I R und g : I R reelle Funktionen mit Stmmfunktionen F und G. Dnn ist F + G eine Stmmfunktion von f + g: [f(x) ] + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. 2. Sei c R. Dnn ist c F eine Stmmfunktion von c f: [c f(x) ] dx = c f(x) dx. Beweis. (F + G) (x) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x). (c F ) (x) = c F (x) = c f(x). Stz 3.2 (Prtielle Integrtion). Seien f : I R und g : I R differenzierbre reelle Funktionen und ϕ = f g besitze eine Stmmfunktion Φ. Dnn ist f g Φ eine Stmmfunktion von f g: f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx. Beweis. (f g Φ) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Φ (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) f(x) g (x) = f (x) g(x) Stz 3.3 (Substitutionsregel). Seien I, J R Intervlle. Seien f : J R eine reelle Funktion mit Stmmfunktion F, g : I R eine differenzierbre Funktion mit g(i) J. Dnn ist F g eine Stmmfunktion von (f g) g. f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt mit x = g(t) Beweis. Mit der Kettenregel gilt: (F g) (t) = F (g(t)) g (t) = f(g(t)) g (t). 28

33 Zwei weitere einfche Integrtionsregeln (Spezilfälle der Substitutionsregel): Seien, b R mit. Sei f : R R eine reelle Funktion mit Stmmfunktion F : R R. Dnn ist G: R R mit G(x) = F ( x + b) eine Stmmfunktion der Funktion g : R R mit g(x) = f( x + b). Beispiel: Es gilt g (t) g(t) dt = Aus der Substitutionsregel folgt: f(g(t))g (t) dt = Also 2x + dx = 2 g (t) g(t) Beispiel: f(x) = cos x: sin x cos x dx = f (x) f(x) 3.4 Beispiele ln 2x + + C f(g(t))g (t) dt mit f(x) = x. f(x) dx = ln x + C dt = ln g(t) + C. mit x = g(t). dx = ln f(x) + C = ln cos x + C Prtielle Integrtion: x e x dx = (e x ) x dx = x e x e x dx = x e x e x + C Prtielle Integrtion: sin 2 x dx = ( cos x) sin x dx = cos x sin x = cos x sin x + cos 2 x dx = cos x sin x + ( sin 2 x) dx = cos x sin x + x sin 2 x dx ( cos x) cos x dx Also 2 sin 2 x dx = x sin x cos x 29

34 Substitutionsregel: x2 dx für x und somit sin 2 x dx = (x sin x cos x) + C 2 Prtielle Integrtion: Für j gilt: (t 2 + ) dt = t j (t 2 + ) ( j) 2t 2 j (t 2 + ) t = (t 2 + ) + 2j t 2 j (t 2 + ) t t 2 = (t 2 + ) + 2j + j t = (t 2 + ) + 2j j j+ dt j+ dt dt (t 2 + ) j+ dt 2j (t 2 + ) j dt (t 2 + ) j+ Also Somit 2j (t 2 + ) dt = t + (2j ) j+ (t 2 + ) j (t 2 + ) dt = t j+ 2j(t 2 + ) + 2j j 2j j j : Für j 2 gilt: (t 2 + ) dt = t 2j 3 + j 2(j )(t 2 + ) j 2(j ) Spezilfll j = : t 2 + Spezilfll j = 2; (t 2 + ) dt = t 2 2(t 2 + ) + 2 dt = rctn t + C t 2 + dt = (t 2 + ) j dt (t 2 + ) j dt dt (t 2 + ) j t 2(t 2 + ) + 2 rctn t + C Mit x = sin t = g(t) für t [ π, ] π 2 2 folgt: x2 dx = sin 2 t cos t dt = = (rcsin x + x ) x 2 2 cos 2 t dt = (t + sin t cos t) + C 2 + C 3

35 Substitutionsregel: + x2 dx Mit x = sinh t = g(t) für t R folgt: + x2 dx = + sinh 2 t cosh t dt = cosh 2 t dt = (t + sinh t cosh t) + C 2 = (rsinh x + x ) + x C Stmmfunktionen von rtionlen Funktionen: Polynomdivision: f(x) = p(x) q(x) mit Polynomen p(x), q(x). p(x) = s(x) q(x) + r(x) mit Polynomen r(x), s(x), deg r(x) < deg q(x) Fktorisierung von q(x): q(x) = c (x x ) r (x x 2 ) r2... (x x m ) rm (x 2 + p x + q ) s (x 2 + p 2 x + q 2 ) s2... (x 2 + p n x + q n ) sn mit r i, s i N und x i, p i, q i R, p 2 i < 4q i. Prtilbruchzerlegung: f(x) = s(x) + r(x) q(x) = s(x) + m i= r i j= ij n (x x i ) + j i= s i j= b ij x + c ij (x 2 + p i x + q i ) j Die Zhlen ij, b ij und c ij lssen sich durch Koeffizientenvergleich bestimmen. f(x) dx = + s(x) dx + m r i ij i= n s i [b ij i= j= j= (x x i ) j dx x (x 2 + p i x + q i ) j dx + c ij ] (x 2 + p i x + q i ) dx j (x x i ) dx = j x (x 2 + p i x + q i ) j = 2 (x x i ) j dx = { ln x xi für j = j 2x + p i (x 2 + p i x + q i ) j p i 2 (x x i für j > ) j (x 2 + p i x + q i ) j 3

36 2x + p i (x 2 + p i x + q i ) dx = j mit g(x) = x 2 + p i x + q i. Also 2x + p i (x 2 + p i x + q i ) j dx = g (x) g(x) j dx = { ln g(x) für j = j für j > g(x) j { ln x 2 + p i x + q i für j = j (x 2 +p i x+q i für j > ) j Also Dher ( x 2 + p i x + q i = x 2 + p i x + q i = x + p i 2 (x 2 + p i x + q i ) dx = j d 2j i ) 2 + d 2 i mit d i = ( x + p i ) 2 = 2 + d 2 i d 2 ( i q i p2 i 4 d i x + p i 2d i ) 2 + [ ( ) ] 2 j dx d i x + p i 2d i + Mit t = x + p i d i 2d i folgt mit der Substitutionsregel (x 2 + p i x + q i ) dx = j d 2j i lso x = d i t p i 2 = g(t) [ ( ) ] 2 j dx = d i x + p d 2j i 2d i + i d i (t 2 + ) j dt. Beispiel: Polynomdivision f(x) = x3 + 2 x 2 x = x (x 2 ) + x + 2 lso f(x) = x + x + 2 x 2 Fktorisierung Prtilbruchzerlegung: x 2 = (x + ) (x ) x + 2 x 2 = x x 32

37 Multipliktion mit x 2 : x + 2 = (x ) + 2 (x + ) = ( + 2 ) x + 2 Koeffizientenvergleich + 2 = und + 2 = 2 = = 2, 2 = 3 2 Dher Stmmfunktion x 3 + x 2 dx = f(x) = x 2 x dx 2 x x x + dx x dx = x2 2 2 ln x ln x 2 2. Beispiel: Prtilbruchzerlegung: f(x) = x 2 (x 2 + ) Multipliktion mit x 2 (x 2 + ): Koeffizientenvergleich: x 2 (x 2 + ) = x + 2 x 2 + bx + c x 2 + = x(x 2 + ) + 2 (x 2 + ) + (bx + c) x 2 = ( + b) x 3 + ( 2 + c) x 2 + x =, =, c = 2 =, b = =. Dher f(x) = x 2 x 2 + Stmmfunktion x 2 (x 2 + ) dx = x dx 2 x 2 + dx = x rctn x + C 33

38 3.5 Ds Riemnn-Integrl Sei f : [, b] R eine reelle Funktion. Wir zerlegen ds Intervll in n Teilintervlle Zerlegung Z = {x, x,..., x n }. = x < x <... < x n < x n = b. Länge des Teilintervlls [x k, x k ]: x k = x k x k. Feinheit der Zerlegung h = mx{ x k : k =, 2,..., n}. Zwischenpunkte: ξ = (ξ, ξ 2,..., ξ n ) mit ξ k [x k, x k ]. Riemnn-Summe S(f, Z, ξ) = n f(ξ k ) x k k= Definition 3.2. Eine Funktion f : [, b] R heißt genu dnn Riemnn-integrierbr (kurz R-integrierbr), wenn der Grenzwert lim S(f, Z, ξ) = lim h h existiert. Wir definieren zusätzlich b n f(ξ k ) x k = k= f(x) dx = b f(x) dx. b f(x) dx Mn nennt b f(x)dx ein bestimmtes Integrl. Alterntive Schreibweise für < b: b f(x) dx = f(x) dx. Es gilt (ohne Beweis): Stz 3.4. Wenn f : [, b] R stetig ist, dnn ist f R-integrierbr. Ds so gennnte Lebesguesche Integrbilitätskriterium gibt genue Auskunft, unter welchen Bedingungen eine Funktion R-integrierbr ist: f : [, b] R ist genu dnn R- integrierbr ist, wenn f beschränkt ist und wenn f fst überll stetig ist. Es gelten folgende wichtigen Aussgen für ds bestimmte Integrl: Stz 3.5. Seien f : [, b] R und g : [, b] R R-integrierbr und c R. Dnn gilt: [,b] 34

39 . f + g und c f sind R-integrierbr mit b [f(x) + g(x)] dx = b b [c f(x)] dx = c b f(x) dx + f(x) dx. b g(x) dx, 2. Für lle c (, b) sind f [,c] und f [c,b] R-integrierbr und es gilt: c f(x) dx + b 3. Flls f(x) g(x) für lle x [, b], dnn b 4. f ist R-integrierbr und es gilt b c f(x) dx f(x) dx = b b g(x) dx. f(x) dx b f(x) dx f(x) dx (b ) sup{ f(x) : x [, b]}. 5. f 2, g 2 und f g sind R-integrierbr und es gilt (Cuchy-Schwrz-Ungleichung): b b b f(x)g(x) dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx. Beweis. Die Existenz der Integrle folgt für stetige Funktionen us dem obigen Stz, im llgemeinen Fll mit Hilfe des Lebesgueschen Integrbilitätskriteriums. Die behupteten Identitäten oder Ungleichungen zeigt mn zuerst für Riemnn-Summen und führt nschließend den Grenzwertübergng durch, z.b.: n [f(ξ k ) + g(ξ k )] x k = k= n f(ξ k ) x k + k= b f(x) dx + k= b n g(ξ k ) x k g(x) dx. 35

40 3.6 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Stz 3.6. Seien, b R mit < b. Dnn gilt:. Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist F : [, b] R mit differenzierbr und es gilt F = f: ( x F ist lso eine Stmmfunktion. F (x) = x f(t) dt f(t) dt) = f(x). 2. Sei f : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gilt: b f (x) dx = f(b) f(). Beweis. Zu.: Für x, x [, b] mit x > x gilt: F (x) F (x ) = [ x x ] f(t) dt f(t) dt x x x x = [ x x f(t) dt + f(t) dt x x x Also F (x) F (x ) x x f(x ) = x x x x ] f(t) dt = x x x [ f(t) f(x ) ] dt x x f(t) dt und dher F (x) F (x ) f(x ) x x sup{ f(t) f(x ) : t [x, x]} für x x. Der Beweis für x < x verläuft völlig nlog. Zu 2.: Sowohl f(x) lso uch x f (t)dt sind Stmmfunktionen von f (x). Also gibt es eine Konstnte C mit f(x) = Für x = folgt dher: f() = C, lso x f(x) = f() + Drus erhält mn die Behuptung für x = b. f (t)dt + C. 36 x f (t)dt.

41 Ähnlich wie den zweiten Teil des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung zeigt mn die folgenden beiden Sätze: Stz 3.7 (Prtielle Integrtion). Seien f : I R und g : I R stetig differenzierbre reelle Funktionen. Dnn gilt b f (x) g(x) dx = f(b) g(b) f() g() }{{} f(x) g(x) b b f(x) g (x) dx. Beweis. Aus dem entsprechenden Stz für unbestimmte Integrle (Stmmfunktionen) und dem Huptstz folgt sofort, dss es eine Konstnte C gibt, sodss: x f (t) g(t) dt = f(x) g(x) Für x = folgt: = f() g() + C, lso x x f (t) g(t) dt = f(x) g(x) f() g() Drus erhält mn die Behuptung für x = b. f(t) g (t) dt + C. x f(t) g (t) dt. Stz 3.8 (Substitutionsregel). Seien f : [c, d] R eine stetige Funktion, g : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion mit g([, b]) [c, d]. Dnn gilt: g(b) g() f(x) dx = b f(g(t)) g (t) dt. Beweis. Aus dem entsprechenden Stz für unbestimmte Integrle (Stmmfunktionen) und dem Huptstz folgt sofort, dss es eine Konstnte C gibt, sodss: Für y = folgt: lso g(y) f(x) dx = g(y) y f(x) dx f(g(t)) g (t) dt + C g() g() f(x) dx = C, f(x) dx = }{{} g(y) = g() f(x) dx Drus erhält mn die Behuptung für y = b. y für lle y [, b]. f(g(t)) g (t) dt. 37

42 3.7 Uneigentliche Integrle Integrle unbeschränkter Funktionen uf beschränkten Intervllen und Integrle uf unbeschränkten Intervllen ls Grenzwerte von Riemnn-Integrlen. Beispiel: Ds Riemnn-Integrl der unbeschränkten Funktion f(t) = { t für t für t = uf dem Intervll [, ] existiert nicht. Ds uneigentliche Integrl x f(t) dt = lim f(t) dt + lim x x + x f(t) dt. existiert für die obige Funktion: f(t) besitzt die Stmmfunktion F (t) mit { 2 t für t <, F (t) = +2 t für t >. Für x < gilt: Für x < gilt: x f(t) dt = 2 x für x. x f(t) dt = 2 2 x 2 Also f(t) dt = 4. Wrnbeispiel: Für die Funktion f(t) = uf dem Intervll [, ] gilt für ε > : ε f(t) dt + ε { t für t für t = f(t) dt = ln ε ln + ln ln ε = Dher existiert ntürlich uch der Grenzwert für ε : [ ε ] f(t) dt + f(t) dt =. lim ε 38 ε

43 Diesen Grenzwert nennt mn den Cuchyschen Huptwert. Ds uneigentliche Integrl existiert nicht, d die einzelnen Grenzwerte nicht in R existieren: ε f(t) dt für ε und ε f(t) dt + für ε. Beispiel: e t dt = lim x x e t dt = lim x [ e x + ] dt =. Wrnbeispiel 2kπ lim sin x dx = lim [ cos x] 2kπ = + =. k N, k k N, k Trotzdem existiert ds uneigentliche Integrl nicht! 2kπ+π lim sin x dx = lim [ cos x] 2kπ+π = + =. k N, k k N, k Alle Rechenregeln gelten uch für uneigentliche Integrle, vorusgesetzt lle uftretenden uneigentlichen Integrle existieren. Beispiel Gmm-Funktion: Für x R \ {,, 2,...}: Es gilt (siehe Übung): Γ(x) = t x e t dt. t n e t dt = t n e t +n }{{} = t n e t dt Also: Γ(n + ) = n Γ(n). Drus folgt: Γ(n + ) = n!. (Bechte Γ() =.) Substitutionsregel: ( 2 σ 2π e 2( x µ σ ) 2 dx = 2 σ 2π µ e 2( x µ σ ) 2 dx π t /2 e t dt = ( ) Γ =, π 2 = 2 σ 2π σ 2 2 t /2 e t dt = ( x µ ) 2 ( σ = t, d.h.: x = µ + σ 2t ) weil mn zeigen knn: Γ ) 2 = π. 39

44 Kpitel 4 Differentilgleichungen in R 4. Grundbegriffe Ordnung einer Differentilgleichung: Ordnung der höchsten Ableitung der gesuchten Funktion explizite Differentilgleichungen. Ordnung y (x) = f(x, y(x)) 2. Ordnung y (x) = f(x, y(x), y (x)) n-ter Ordnung implizite Differentilgleichungen linere Differentilgleichungen y (n) (x) = f(x, y(x),..., y (n ) (x)). Ordnung F (x, y(x), y (x)) = 2. Ordnung F (x, y(x), y (x), y (x)) = n-ter Ordnung F (x, y(x),..., y (n ) (x), y (n) (x)) =. Ordnung (x)y (x) + (x)y(x) = f(x) 2. Ordnung 2 (x)y (x) + (x)y (x) + (x)y(x) = f(x) n-ter Ordnung n (x)y (n) (x) (x)y (x) + (x)y(x) = f(x) (4.) linere Differentilgleichungen mit konstnten Koeffizienten. Ordnung y (x) + y(x) = f(x) 2. Ordnung 2 y (x) + y (x) + y(x) = f(x) n-ter Ordnung n y (n) (x) y (x) + y(x) = f(x) homogene linere Differentilgleichungen: f(x). n (x)y (n) (x) (x)y (x) + (x)y(x) = (4.2) 4

45 Kurzschreibweise: F (x, y,..., y (n ), y (n) ) = 4.2 Einfche Beispiele. y (x) = f(x) Lösungen y(x) = f(x) dx 2. y (x) = f(x) Lösungen y(x) = F (x) dx mit F (x) = f(x) dx 3. y (x) = y(x) Lösungen y(x) = C e x Lösungen Lösungen y (x) = y(x) y(x) = C e x + C 2 e x = C sinh x + C 2 cosh x y (x) = y(x) y(x) = C sin x + C 2 cos x 4.3 Seprble Differentilgleichungen Trennung der Vriblen: Kurzschreibweise y (x) = f(x) g(y(x)) g(y(x))y (x) = f(x) g(y)y = f(x) 4

46 Durch Integrtion erhält mn: g(z) dz = f(x) dx mit z = y(x) Beispiel: Trennung der Vriblen Integrtion: y (x) + x y(x) 2 = y (x) y(x) 2 = x y(x) = 2 x2 + C lso y(x) = 2 x 2 + C. 4.4 Differentilgleichungen. Ordnung mit homogenem f y (x) = f(x, y(x)) mit einer rechten Seite, die die folgende Bedingung erfüllt: f(t x, t y) = f(x, y) für lle t. Kurzschreibweise ( y y = f x) Anstz: y(x) = x v(x): Anschließend: Trennung der Vriblen. Beispiel: x v (x) + v(x) = f(x, x v(x)) = f(, v(x)). x y (x) = 2y(x) + x lso y (x) = 2y(x) + x x Anstz: y(x) = x v(x): x v (x) + v(x) = 2v(x) + lso v (x) v(x) + = x Integrtion: Lösung: y(x) = C x 2 x. ln v(x) + = ln x + C lso v(x) = C x 42

47 4.5 Linere Differentilgleichungen Allgemeine Eigenschften linerer Differentilgleichungen: Stz 4... (Superpositionsprinzip) Wenn y (x) und y 2 (x) Lösungen der homogenen Differentilgleichung (4.2) sind, dnn ist uch c y (x) + c 2 y 2 (x) eine Lösung der homogenen Differentilgleichung (4.2). 2. Wenn y p (x) eine Lösung der inhomogenen Differentilgleichung (4.) und y hom (x) eine Lösung der homogenen Differentilgleichung (4.2) sind, dnn ist y p (x)+y hom (x) eine Lösung der inhomogenen Differentilgleichung (4.). 3. Wenn y (x) und y 2 (x) Lösungen der inhomogenen Differentilgleichung (4.) sind, dnn ist y 2 (x) y (x) eine Lösung der homogenen Differentilgleichung (4.2). 4. Jede Lösung y inh (x) der inhomogenen Differentilgleichung lässt sich ls Summe einer prtikulären Lösung y p (x) der inhomogenen Differentilgleichung (4.) und einer Lösung y hom (x) der homogonen Differentilgleichung (4.2) drstellen Linere Differentilgleichungen. Ordnung In expliziter Form: y (x) + (x)y(x) = f(x) Homogene Differentilgleichung mit konstnten Koeffizienten y (x) + y(x) = Setzt mn den Anstz y(x) = e λ x in die Differentilgleichung ein, erhält mn die Bedingung λ = und dher die Lösung: y(x) = c e x Homogene Differentilgleichung mit vriblen Koeffizienten: seprble Differentilgleichung y y (x) (x) = (x) y(x) lso y(x) = (x) Integrtion ln y(x) = (x) dx + C lso y(x) = c e (x) dx Bestimmung einer prtikulären Lösung der inhomogenen Differentilgleichung durch Anstz: Für spezielle Funktionen f(x), wie z.b. f(x) = p(x) q(x) mit p(x) = x n und 43

48 q(x) {e α x, sin(β x), cos(β x)} und Linerkombintionen solcher Funktionen, lässt sich oft eine prtikuläre Lösung der selben Form finden: Beispiel Mit dem Anstz erhält mn die Bedingungen y (x) y(x) = e 2x y p (x) = c e 2x 2c c = lso y p (x) = 3 e 2x Allgemeine Lösung: y(x) = 3 e 2x + c e x. Wrnung: Anstz funktioniert nicht für f(x) = e x. Vrition der Konstnten: Allgemeine Strtegie, um eine prtikuläre Lösung zu finden. Anstz: y(x) = c(x) e (x) dx Durch Einsetzen in die Differentilgleichung erhält mn: Also c (x) e (x) dx + c(x) e (x) dx ( (x)) + (x) c(x) e (x) dx = f(x) }{{} = und dher c (x) = f(x) e (x) dx c(x) = f(x) e (x) dx dx Lösung: ( y(x) = ) f(x) e (x) dx dx e (x) dx Vorsicht: Nur EINE Integrtionskonstnte! Beispiel y (x) y(x) = e 2x Lösung: (x) dx = x, f(x) e (x) dx dx = e 2x e x dx = e 3x dx = 3 e 3x + C lso y(x) = ( ) 3 e 3x + C e x = C e x 3 e 2x 44

49 4.5.2 Linere Differentilgleichungen 2. Ordnung Homogene linere Differentilgleichungen mit konstnten Koeffizienten: Exponentilnstz: y (x) + y (x) + b y(x) = y(x) = e λ x Durch Einsetzen in die Differentilgleichungen erhält mn die Bedingung: Drei Fälle: λ 2 + λ + b = (4.3) (4.3) besitzt zwei verschiedene reelle Nullstellen λ und λ 2 : λ = b und λ 2 = b Dnn erhält mn die Lösungen y(x) = c e λ x + c 2 e λ 2 x (4.3) besitzt genu eine reelle Nullstelle λ (mit Vielfchheit 2): Dnn erhält mn die Lösungen Beweis. Für y(x) = x e λ x folgt und dher 2 4 b = und λ = 2 y(x) = (c + c 2 x) e λ x y (x) = ( + λ x)e λ x und y (x) = (2λ + λ 2 x)e λ x y (x) + y (x) + b y(x) = [ 2λ + λ 2 x + ( + λ x) + b x ] e λ x = [ 2λ + + (λ 2 + λ + b)x ] e λ x = (4.3) besitzt keine reellen Nullstellen. Dnn erhält mn die Lösungen y(x) = e α x (c cos(βx) + c 2 sin(βx)) mit α = 2 45 und β = b 2 4

50 Inhomogene linere Differentilgleichungen mit konstnten Koeffizienten: y (x) + y (x) + b y(x) = f(x) Wie im Fll linerer Differentilgleichungen. Ordnung lässt sich oft für spezielle Funktionen f(x), wie z.b. f(x) = p(x) q(x) mit p(x) = x n und q(x) {e α x, sin(β x), cos(β x)} und Linerkombintionen solcher Funktionen, eine prtikuläre Lösung der selben Form finden. Beispiel: y (x) y (x) 2y(x) = 4x 2 Anstz y p (x) = 2 x 2 + x + Durch Einsetzen erhält mn die Bedingung: Koeffizientenvergleich: Drus erhält mn: x 2 2 x 2 2 x 2 = 4x = 4, =, =. 2 = 2, = 2, = 3, lso y p (x) = 2x 2 + 2x 3 Lösung der homogenen Differentilgleichung: Allgemeine Lösung: λ 2 λ 2 =, lso λ = 2, λ 2 = y(x) = 2x 2 + 2x 3 + c e 2x + c 2 e x Allgemeine Technik: Vrition der Konstnten Mn wählt den Anstz: y p (x) = c (x) y (x) + c 2 (x) y 2 (x), wobei y (x) und y 2 (x) zwei (unbhängige) Lösungen der homogenen Differentilgleichung sind, und erhält y p(x) = c (x) y (x) + c (x) y (x) + c 2(x) y 2 (x) + c 2 (x) y 2(x) Wir fordern nun, dss c (x) y (x) + c 2(x) y 2 (x) = 46

51 Dnn folgt und Also y p(x) = c (x) y (x) + c 2 (x) y 2(x) y p(x) = c (x) y (x) + c (x) y (x) + c 2(x) y 2(x) + c 2 (x) y 2(x) y p(x) + y p(x) + b y p (x) = c (x) y (x) + c 2(x) y 2(x) + c (x) [y (x) + y (x) + b y (x)] } {{ } = Somit genügt es, c (x) und c 2 (x) so zu wählen, dss c (x) y (x) + c 2(x) y 2 (x) = c (x) y (x) + c 2(x) y 2(x) = f(x) +c 2 (x) [y 2(x) + y 2(x) + b y 2 (x)] }{{} = Beispiel: y (x) y (x) 2y(x) = 4x 2 y (x) = e 2x, y 2 (x) = e x Bedingungen n c (x) und c 2 (x): c (x) e 2x + c 2(x) e x = 2c (x) e 2x c 2(x) e x = 4x 2 Durch Addition folgt: c (x) = 4 3 x2 e 2x und c 2(x) = c (x)e 3x = 4 3 x2 e x Also (prtielle Integrtion): c (x) = 3 (2x2 + 2x + )e 2x, c 2 (x) = 4 3 (x2 2x + 2)e x und somit y p (x) = 3 (2x2 + 2x + )e 2x e 2x 4 3 (x2 2x + 2)e x e x = 2x 2 + 2x 3. 47

52 4.6 Zustzbedingungen Wir hben n Beispielen gesehen: Die llgemeine Lösung einer Differentilgleichung der Ordnung n besitzt n frei wählbre Prmeter. In Anwendungen werden diese Prmeter durch Zustzbedingungen festgelegt: Anfngsbedingungen: Anfngswertproblem Beispiel: Beispiel: x (t) = f(t, x(t)) für lle t >, x() = x x (t) = f(t, x(t), x (t)) für lle t >, x() = x, x () = v Rndbedingungen: Rndwertproblem Beispiel: y (x) = f(x, y(x), y (x)) y() = y, für lle x (, b), y(b) = y b 4.7 Einige Anwendungen. Bewegung mit konstnter Geschwindigkeit v: x (t) = v Lösung x(t) = v dt = x + v t 2. Bewegung mit konstnter Beschleunigung : x (t) = Lösung x (t) = x(t) = v dt = v + t (v + t) dt = x + v t + 2 t2 48

53 3. Ungedämpfter hrmonischer Oszilltor: mx (t) = kx(t). Also x (t) + k m x(t) = Chrkteristische Gleichung Lösungen λ 2 + k m = lso λ = ±i ω mit ω = x(t) = c cos(ω t) + c 2 sin(ω t) k m 4. Ungedämpfter hrmonischer Oszilltor mit periodischer Anregung: mx (t) = kx(t) + F cos(ω t). Prtikuläre Lösung: Anstz Durch Einsetzen erhält mn: x p (t) = A cos(ω t) m [ Aω 2 cos(ω t) ] + k A cos(ω t) = F cos(ω t) Koeffizientenvergleich: Also, flls ω 2 k m = ω2, Allgemeine Lösung: A = mω 2 A + k A = F. F k m ω 2 = F m (ω 2 ω 2 ). x(t) = c cos(ω t) + c 2 sin(ω t) + Für die Anfngsbedingungen: erhält mn: x() = und x () = F F cos(ω t) m (ω 2 ω 2 ) x(t) = m (ω 2 ω 2 ) [cos(ω t) cos(ω t)] ( ) ( 2F ω = m (ω 2 ω) sin ω ω + ω t sin ) t

54 Im Fll ω = ω erhält mn eine prtikuläre Lösung durch Vrition der Konstnten: x p (t) = c (t) cos(ω t) + c 2 (t) sin(ω t) mit c (t) cos(ω t) + c 2(t) sin(ω t) = Drus folgt ω c (t) sin(ω t) + ω c 2(t) cos(ω t) = F m cos(ω t) c (t) = F m ω cos(ω t) sin(ω t) und c 2(t) = F m ω cos 2 (ω t) Also c (t) = F 2m ω 2 cos 2 (ω t) und c 2 (t) = F [ω 2m ω 2 t + sin(ω t) cos(ω t)] und dher Für die Anfngsbedingungen: x p (t) = F [ω 2m ω 2 t sin(ω t) + cos(ω t)] x() = und x () = erhält mn: x(t) = F 2m ω t sin(ω t) 5

55 Kpitel 5 Komplexe Zhlen Die Menge der komplexen Zhlen: C = {(x, y): x, y R}. Sei z = (x, y) eine komplexe Zhl. x heißt Relteil von z, y heißt Imginärteil von z. Schreibweise: x = Re z, y = Im z. Grfische Drstellung ls Punkt in der komplexen Ebene. Die x-achse heißt die reelle Achse, die y-achse heißt die imginäre Achse. Alterntive Schreibweisen einer komplexen Zhl z = (x, y): z = x + i y, z = x + y i, z = x + i y, z = x + y i. Für x R unterscheiden wir nicht zwischen x und x + i, lso nicht zwischen der reellen Zhl x und (x, ) C. In diesem Sinne gilt: R C. Opertionen: Addition und Multipliktion von zwei komplexen Zhlen z = (x, y ) und z 2 = (x 2, y 2 ): z + z 2 = (x + x 2, y + y 2 ) z z 2 = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ) Motivtion: Bei Verwendung der lterntiven Schreibweise z = x + y i und z 2 = x 2 + y 2 i würde mn für die Addition und Multipliktion erwrten, wenn mn die üblichen Rechenregeln unterstellt: z + z 2 = (x + y i) + (x 2 + y 2 i) = (x + x 2 ) + (y + y 2 ) i und, wenn mn die zusätzliche Regel i 2 = i i = vereinbrt: z z 2 = (x + y i) (x 2 + y 2 i) = x x 2 + y y 2 i 2 + (x y 2 + x 2 y ) i = (x x y y 2 ) + (x y 2 + x 2 y ) i Mn überprüft leicht, dss die Addition und Multipliktion von komplexen Zhlen die selben Rechenregeln erfüllen wie die Addition und Multipliktion reeller Zhlen. 5

56 Um die Subtrktion und die Division zweier komplexer Zhlen einführen zu können, muss mn nur vereinbren, ws mn unter z und versteht. Wir erwrten ntürlich z z + ( z) = und z z =. Wie mn leicht nchrechnet, gelten diese Eigenschften für jede Zhl z = (x, y) mit ( ) x z = ( x, y) und für z : z = x 2 + y, y 2 x 2 + y 2 Subtrktion: z z 2 = z + ( z 2 ). Multipliktion z z 2 = z z 2. Mit den getroffenen Vereinbrungen gilt ntürlich: z = (x, y) = (x, ) + (, y) = (x, ) + (y, ) (, ) = x + y i mit i = (, ). und i 2 = i i = (, ) (, ) = (, ) = Zwei weitere wichtige Opertionen für eine komplexe Zhl z = (x, y) = x + y i: z = (x, y) = x y i und z = x 2 + y 2 z heißt die zu z konjugiert komplexe Zhl, z heißt der Betrg von z. Mn sieht sofort: z z = z 2, Re z = 2 (z + z), Im z = (z z). 2i 5. Qudrtische Gleichungen in C Seien p, q R mit p2 4 keine reelle Lösung. Spezilfll: p =, q =, lso Mit z = (x, y) erhält mn Also Lösungen: q <. Dnn besitzt die Gleichung z 2 + p z + q = z 2 + = (x 2 y 2, 2xy) + = x 2 y 2 + = und 2xy = x = und y = ± lso z = ±i. 52

57 Allgemeiner Fll: z 2 + p z + q = z 2 + p z + p2 4 + q p2 4 = ( z + p ) 2 p 2 + q 2 4 = z + p 2 q p2 4 z + p 2 q p2 4 2 z = p 2 ± i + = = ±i q p Erweiterung der Exponentilfunktion uf C Wir betrchten die Tylor-Reihe der Exponentilfunktion für x R: Für x = i y, dnn erhält mn i= i! xi = k= (2k)! (iy)2k + k= i= i! xi (2k + )! (iy)2k+ = k= ( ) k (2k)! y2k + i Ds motiviert die folgende Erweiterung der Exponentilfunktion k= ( ) k (2k + )! y2k+ Definition 5... Für rein imginäre Zhlen: 2. Für komplexe Zhlen z = x + i y C: e iy = cos y + i sin y e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y). 53