Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion

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Juliane Meyer
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Cosinusfunktion -x2 -x1 x1 x2 Die Funktion x cos x ; x ℝ heißt Cosinusfunktion und ihr Graph Cosinuskurve. Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch (blau in der Zeichnung) zur y-achse.

1 Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion -x2 -x1 x1 x2 Die Funktion x sin x ; x ℝ heißt Sinusfunktion und ihr Graph Sinuskurve. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch (blau in der Zeichnung) zum Ursprung. Ihre Periode ist (rot in der Zeichnung). Cosinusfunktion -x2 -x1 x1 x2 Die Funktion x cos x ; x ℝ heißt Cosinusfunktion und ihr Graph Cosinuskurve. Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch (blau in der Zeichnung) zur y-achse. Ihre Periode ist (rot in der Zeichnung). Tangensfunktion Die Tangensfunktion ist, wie Cosinus und Sinus auch, periodisch, das heißt sie wiederholt sich. Bei der Tangensfunktion ist wichtig, dass sie eine Definitionslücke hat, also bei einem bestimmten x-wert eine Lücke (ähnlich der einer gebrochen rationalen Funktion) aufweist. sin (x) Das liegt an der Definition tan (x)= cos(x) Denn cos(x) wird bei π/2 null. Da der Cosinus im Nenner steht, ist der tan(x) bei diesem Wert nicht definiert, nähert sich ihm allerdings unendlich nah an. π/2 und -π/2 sind die ersten dieser Asymptoten. Alle π Werte wiederholt sich diese Definitionslücke oder Polstelle, weil cos alle π Werte null ist: Polstelle Seite 1

Transformationen der Graphen von sin und cos Die Transformationen von

Die im Folgenden am Beispiel des sin gezeigten Transformationen gelten

Amplitude Steht vor der Funktionsgleichung ein Faktor a, dann wird die

Ist der Faktor negativ, wird die Funktion an der x-achse gespiegelt.

y-richtung Hier gilt das gleiche wie bei jeder anderen Funktion.

2 Transformationen der Graphen von sin und cos Die Transformationen von sin und cos funktionieren auf die gleiche Weise. Die im Folgenden am Beispiel des sin gezeigten Transformationen gelten genauso für den cos. Amplitude Steht vor der Funktionsgleichung ein Faktor a, dann wird die Funktion um diesen in yrichtung gestreckt (beziehungsweise gestaucht). Ist der Faktor negativ, wird die Funktion an der x-achse gespiegelt. f (x) = a sin ( x) f (x)=2 sin (x) f (x)= 2 sin (x) Verschiebung in y-richtung Hier gilt das gleiche wie bei jeder anderen Funktion. Zählt man am Ende eine Zahl c hinzu, wird der Graph der Funktion um deren Wert in y-richtung verschoben. f (x) = sin (x) + c f (x) = sin (x) Seite 2

Verschiebung in x-richtung Hier gilt das gleiche wie bei jeder anderen Funktion.

Graph der Funktion um deren Wert in x-richtung verschoben. f (x) = sin(x d) (Wichtig: - d!

Hier wird die Funktion um einen Faktor b in x-richtung gestreckt (bzw gestaucht) und damit wird ihre

Die Periode lässt sich folgendermaßen aus b berechnen: Periode= b f (x) = sin(b x) f (x) = sin (2 x)

Berechnung der Periode und der Verschiebung in x-richtung ist, dass man vorher den Faktor vor dem x

3 Verschiebung in x-richtung Hier gilt das gleiche wie bei jeder anderen Funktion. Zieht man beim Argument, also direkt dort, wo das x in der Funktion steht, eine Zahl d ab, wird der Graph der Funktion um deren Wert in x-richtung verschoben. f (x) = sin(x d) (Wichtig: - d!, das heißt der Wert der Verschiebung ändert das Vorzeichen) f (x) = sin(x 1) f (x) = sin(x+1) Periode Hier wird die Funktion um einen Faktor b in x-richtung gestreckt (bzw gestaucht) und damit wird ihre Periode, also die Strecke verändert, die die Funktion braucht, um sich zu wiederholen. Die Periode lässt sich folgendermaßen aus b berechnen: Periode= b f (x) = sin(b x) f (x) = sin (2 x) Periode = = =π b 2 f (x) = sin (x) 1 f (x) = sin ( x) 2 Periode = = = 4π b 0,5 Wichtig bei der Berechnung der Periode und der Verschiebung in x-richtung ist, dass man vorher den Faktor vor dem x ausklammert. Lautet die Funktion zum Beispiel f (x) = sin (2 x+6), muss man 2 ausklammern, um an b und d zu kommen: f (x) = sin (2 (x+3)) (b = 2 und d = 3) Seite 3

Alle Transformationen zusammengefasst (Die schwarze Kurve in den Zeichnungen ist f

1,5 sin( x) + 2 f (x) = a sin( x) + c Einzelne Schritte (von sin(x) ausgehend): 1.

c = 2 Verschiebung des Graphen um 2 in y-richtung 1,5 Projektion der x-achse 1,5 +2

Einzelne Schritte (von sin(x) ausgehend): 1.

4 Alle Transformationen zusammengefasst (Die schwarze Kurve in den Zeichnungen ist f (x) = sin (x) und nur zum Vergleich mit der Grundfunktion eingezeichnet) f (x) = 1,5 sin( x) + 2 f (x) = a sin( x) + c Einzelne Schritte (von sin(x) ausgehend): 1. a = 1,5 Amplitude (Streckung in y-richtung) = 1,5 2. c = 2 Verschiebung des Graphen um 2 in y-richtung 1,5 Projektion der x-achse 1,5 +2 (um c nach oben verschoben) f (x) = 1,5 sin( x 1) + 2 f (x) = a sin( x d) + c Einzelne Schritte (von sin(x) ausgehend): 1. a = 1,5 Amplitude (Streckung in y-richtung) = 1,5 2. c = 2 Verschiebung des Graphen um 2 in y-richtung 3. d = 3 Verschiebung des Graphen um 1 in x-richtung 1 Seite 4

c = 2 Verschiebung des Graphen um 2 in y-richtung 3.

5 f (x) = 1,5 sin (0,5 (x 1)) + 2 f (x) = a sin (b ( x d )) + c Einzelne Schritte (von sin(x) ausgehend): 1. a = 1,5 Amplitude (Streckung in y-richtung) = 1,5 2. c = 2 Verschiebung des Graphen um 2 in y-richtung 3. d = 3 Verschiebung in x-richtung um den Wert 1 4. b = 0,5 Streckung in x-richtung um den Faktor 2 Periode: 4π Periode = = = 4π b 0,5 Seite 5

6 Beispielaufgabe: Graphen ablesen 1. Die Grundfunktion einzeichnen (hier wird von sin(x) ausgegangen) 2. Projektion der x-achse einzeichnen, um c zu ermitteln c=2 f (x) = sin (x) + 2 Seite 6

7 3. Projektion der y-achse einzeichnen, um d zu ermitteln d= π/6 π f (x) = sin (x ) Periode ermitteln Periode = 5/6 π b 5π 12 => b = = = 2,4 6 b 5 π f (x) = sin (2,4 (x )) + 2 = sin (2,4 x ) Periode = Seite 7

8 5. Amplitude ermitteln, um a zu erhalten 1,5 Die Amplitude kann bestimmt werden, indem man den Abstand von projezierter x-achse von dem höchsten Punkt eines beliebigen Bogens misst. Diese Zahl (in diesem Fall 1,5) schreibt man als Faktor vor die Funktion: f (x) = 1,5 sin (2,4 x ) Dies ist die gesuchte Funktionsgleichung. Seite 8

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