Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik
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- Frauke Gerstle
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1 Grundwissen 0. Jahrgangsstufe Mathematik
2 Kreis und Kugel. Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U π rπ d Flächeninhalt Aπ r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge α π r 60 Flächeninhalt A α π r 60 Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur in Ahängigkeit von a! U a a A a a a a Seite
3 Seite Bogenmaß Das Bogenmaß eines Winkels α ist die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis mit r LE. Es gilt: α 60 π 60 ^ π D.h.: Gradmaß α Bogenmaß 80 ^ π Beispiele: Wandle vom Gradmaß ins Bogenmaß um! α 5 V π r O π r Volumen und Oerfläche der Kugel Oerflächeninhalt: 70 Wandle vom Bogenmaß ins Gradmaß um! 7 π 5 α π 5 π π Volumen: 80
4 Seite Geg: O Kugel 69 cm Ges: V Kugel () V π r () O π r r ( ) () V π O π ( O 69 π cm π π π V 75 π cm 50 cm ) π cm ( ) Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht. Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis cos(80 α) cos(α) sin(80 α) sin (α) cos(80 α) cos(α) sin(80 α) sin(α) cos(60 α) cos(α) sin(60 α) sin (α) eziehungsweise im Bogenmaß cos(π α) cos(α) sin (π α) sin (α) cos(πα) cos(α) sin(πα) sin (α) usw.
5 Seite Vorzeichen: sinα 0,588 sinα im I. und II. Quadranten positiv Taschenrechner liefert den Winkel im I. Quadranten: Winkel im II. Quadranten mit sin α sin ( 5 80 α ) 65. Der Sinussatz In einem elieigen Dreieck ABC gilt: a sin α sin β Achtung: ; sin β c sin γ ; a sin α c sin γ Da der Sinus eines Winkels für Winkel zwischen 0 und 80 positiv ist, können sich zwei Lösungen ergeen. Geg:,5 cm a 6,0 cm α 6 Ges: c, β, γ sin sin,5 cm sin 6 sin sin a a 6,0 cm c sin a sin 6,0 cm sin 77 c c 6,6cm a sin sin sin 6
6 Seite 5. Der Kosinussatz In einem elieigen Dreieck ABC gilt: a c c cos α a c ac cosβ c a a cos γ Geg: 6,0 cm, c 9,0cm, α 65 Ges: a, β, γ a c c cos 6cm 9cm 6cm 9cm cos 65 a 7,6 cm a 8, cm sin sin 6,0cm sin 65 sin 0 sin a a 8, cm Trigonometrische Funktionen Funktionsterm Definitionsmenge Wertemenge Sinusfunktion Kosinusfunktion f() sin g() cos D f ℝ D f ℝ W f [ ; ] W f [ ; ] sin sin cos cos Punktsymmetrisch zum Ursprung sin sin( ) Achsensymmetrisch zum Ursprung cos cos( ) Periode Symmetrie
7 Seite 6 Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion: sin cos.5 Allgemeine Sinusfunktion lässt sich durch f : f() a sin( c) d ; a, 0 eschreien. Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen f() a sin( c) d Periode: Amplitude: a d a) Stauchung in -Richtung um ) Verschieung in -Richtung um c c) Streckung in y-richtung um a d) Verschieung in y-richtung um d Bestimme die zu dem Graphen gehörige Funktionsgleichung der Sinusfunktion f() a sin( c) d π π π π c () Verschieung: π c π π c π () Amplitude:,5 a,5 () Periode: f ( ),5 sin ( π )
8 Seite 7 Eponentialfunktion und Logarithmus. Lineares und eponentielles Wachstum Lineares Wachstum Eponentielle Wachstum f ( )a Gleichung g ( ) a Bedeutung Parameter Anfangswert a konstanter Wachstumssummand Anfangswert a prozentualer Wachstumsfaktor Beispiel Monatliches Sparen eines estimmten Betrages Zinseszins, Radioaktiver Zerfall Graph Eigenschaften - a f f a - f 0 - Graph: Gerade - f 0 f f -
9 Seite 8 Finde ei den zwei Taellen heraus, o es sich um lineares oder eponentielles Wachstum handelt und gi eine mögliche Wachstumsfunktion an! 0 y y 8 6 Lineares Wachstum, da f f Eponentielles Wachstum, da g g f 6 g. Eponentialfunktion f ( ) a a ℝ 0 {}; ℝ - Definitionsmenge: - Wertemenge: D f ℝ W f ℝ - Horizontale Asymptote: y 0 - Faktor ewirkt eine Streckung oder Stauchung in y-richtung - P 0 / G f - f a und g a sind achsensymmetrisch ezüglich der a y-achse - a < : eponentielle Anahme (fallender Graph) - a > : eponentielle Zunahme (steigender Graph)
10 Seite 9 Beispiele: Bestimme die Funktionsterme! Als Hilfe sind einige Punkte, die genau auf Kästchenecken liegen, markiert. f : P ( /,5) G,5 a a a0,8,5 f ( ) 0,8 h: g: R(/) und S (/ ) G R: a a S : a R in S git a a a h( ) Q (/,5) G,5 a a,5 g ( ),5. Rechnen mit Logarithmen a log a Der Logarithmus von zur Basis a ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um zu erhalten. a a Basis a gesucht log a Eponent gesucht
11 Rechenregeln ( a,, c ℝ Seite 0, a ) () log a a, log a 0, log a ac c () log a c log a log a c () log a ( : c ) log a log a c () log a c c log a (5) log a lg lg a Beispiele: Fasse die folgenden Terme zu einem Logarithmus zusammen! a) log a log a c log a log a c log a ) log a log a clog a c) log a log a log a log a log a d) log a log a log a alog a log a a log a a log a c c log a log a c c c log a
12 Seite. Eponentialgleichungen In einer Eponentialgleichung tritt die Unekannte nur im Eponenten auf. Einfache Eponentialgleichungen können durch Potenzgesetze und Logarithmieren nach dem gesuchten Eponenten aufgelöst werden. 5 5 ( ) 7 5 Potenzgesetze nutzen; aufräumen alle "" auf eine Seite 7 5 Gesetz: a (a ) anwenden ( ) 7 5 log ( 65 ) ( 7 5 ) Bedingte Wahrscheinlichkeit. Ereignisse und Vierfeldertafel Die Ergenismenge Ω wird durch zwei Ereignisse A und B in vier Teilmengen zerlegt: A B, A B, A B, A B Diese Zerlegung kann durch eine Vierfeldertafel dargestellt werden: A A B A B B A B A A B A B A B B
13 Seite. Vierfeldertafel und Baumdiagramm Aus einer Vierfeldertafel resultieren immer zwei mögliche Baumdiagramme, je nachdem wie die erste Stufe des Zufallseperimentes gewählt wird. A A B P A B P ( A B ) P B B P ( A B ) P ( A B ) P ( B) P A P ( A). Bedingte Wahrscheinlichkeit P A B ist die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A ereits eingetreten ist. Es fallen somit alle Ergenisse des zweistufigen Zufallseperimentes weg, die nicht zu A gehören und für das Ereignis B sind nur noch die Ergenisse günstig, die zu der Menge A B gehören. Ist das Ereignis A eingetreten, dann ist die edingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses B: P A ( B) P ( A B) P ( A B) P ( A) P ( A B) P ( A B)
14 Seite Am Ende des Schuljahres haen 5% aller Schüler eine gute Mathematiknote; 5% haen eine gute Chemienote und 0% haen eine gute Note in Mathe sowie in Chemie. Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler eine gute Chemienote ekommt, wenn er gut in Mathe ist! ) Der Schüler ist gut in Chemie. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er auch eine gute Mathenote ekommt. c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass er eine gute Chemie- oder Mathenote hat! M: gute Mathenote ; C: gute Chemienote M M C 0,0 0,5 0,5 C 0,05 0,70 0,75 0,5 0,85 a) P M C P M C 0,0 P M 0,5 ) P C M P C M 0,0 P C 0,5 5 c) P C M 0,0 0,05 0,50,0
15 Seite 5 Ganzrationale Funktionen 5. Potenzfunktionen mit natürlichen Eponenten für 0 für > Die Graphen von f n ( ) n Allgemeine Potenzfunktionen: f ( )a n gerader Eponent mit a ℝ {0} und n ℕ ungerader Eponent Graph Wertemenge W ℝ0 für a 0 W ℝ 0 für a 0 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-achse Verlauf von links oen nach rechts oen für a > 0 von links unten nach rechts unten für a < 0 W ℝ Punktsymmetrie zum Ursprung von links unten nach rechts oen für a > 0 von links oen nach rechts unten für a < 0
16 Seite 5 5. Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Ganzrationale Funktion: n f ( )a n a n n a a 0 Grad: n (höchster vorkommender Eponent) Verhalten: für etragsmäßig große -Werte wird estimmt durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Eponenten 5. Nullstellen und Faktorisieren Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades esitzt höchstens n Nullstellen. Daei können einzelne Nullstellen mehrfach auftreten (einfache, doppelte, dreifache,... Nullstelle). 0 heißt k-fache Nullstelle von f ( ), wenn man f ( ) in der Form f ( ) ( 0 ) k g ( ) mit g ( 0) 0 schreien kann. Die Vielfachheit k der Nullstelle git an, wie G f ei der Nullstelle verläuft: k ungerade k gerade Somit kann eine ganzrationale Funktion mit Hilfe ihrer Nullstellen eschrieen werden.
17 Bestimme den Funktionsterm der ganzrationalen Funktion f zu dem gegeenen Graphen! Die Nullstellen sind ohne Ausnahme ganzzahlig und der Grad der Funktion eträgt 7. Der Punkt P(/-) liegt auf dem Graphen. Nullstellen: ; ; ; f ( )a ( ) ( ) () ( ) a () () () ( ) a 5 ( ) a0,0065 f ( )0,0065 ( ) ( ) ( ) ( ) Seite 6
18 Seite 7 Rechnerisch findet man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion höheren Grades durch "erraten" einer Nullstelle und anschließender Polynomdivision. Gegeen ist die Funktion f 6 6 Bestimme alle Nullstellen der Funktion und fertige eine Vorzeichentaelle an! (durch proieren) 6 6 : ± 8 6 9±, ; 6 f f
19 Seite 8 6 Funktionsuntersuchungen 6. Einfluss von Parametern auf den Verlauf von Funktionen c d ( ( )) g ( )a f ( c ) d a f Parameter a Auswirkung auf den Graphen g() ausgehend von f() 0 a Stauchung in y-richtung von der -Achse aus mit dem Streckfaktor a a Streckung in y-richtung von der -Achse aus mit dem Streckfaktor a a 0 Stauchung in y-richtung von der -Achse aus mit dem Streckfaktor a und Spiegelung an der -Achse a Streckung in y-richtung von der -Achse aus mit dem Streckfaktor a und Spiegelung an der -Achse 0 Streckung in -Richtung von der y-achse aus mit dem Streckfaktor 0 Streckung in -Richtung von der y-achse aus mit dem Streckfaktor c d und Spiegelung an der y-achse c 0 Verschieung in -Richtung um c nach rechts c 0 Verschieung in -Richtung um c nach links d 0 Verschieung in y-richtung um c nach unten d 0 Verschieung in y-richtung um c nach oen
20 Seite 9 Gegeen ist die Funktion g f Beschreie, wie der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht!. Stauchung um in Richtung. Verschieung um in -Richtung. Spiegelung an der -Achse. Streckung um in y-richtung 5. Verschieung um in y-richtung 6. Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie zur y-achse: f f Punktsymmetrie zum Ursprung: f f Untersuche die Funktion 5 sin f 8 auf Symmetrieeigenschaften! 5 sin 5 sin 5 sin 5 sin f f G f ist achsensymmetrisch zur y-achse
21 Seite 0 6. Grenzwerte im Unendlichen Nähern sich die Funktionswerte f() für eziehungsweise für der Zahl a elieig genau an, dann heißt a Grenzwert der Funktion. Die Funktion konvergiert gegen die Zahl a. Die Gerade ya ist horizontale Asymptote des Graphen von f. lim f a lim f a Funktionen, die keinen Grenzwert esitzen, heißen divergent. Beispiele: Bestimme die Grenzwerte der folgenden gerochen rationalen Funktionen! lim 7 7 lim a) lim lim lim ) 0, 5 0, , lim 0 0, 5
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