Mathematik 4 Vektorräume und affine Räume

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1 4 ektoäume ud affie äume olesugsmitschift - Kuzfassug Etwuf Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4

2 Ihalt Mathematik Kapitel 4 INHALTSEZEICHNIS 4 EKTOÄUME UND AFFINE ÄUME EINLEITUNG EKTOÄUME Defiitio o ektoäume Lieae Uabhägigkeit o ektoe Ezeugedesystem ud Basis eies ektoaums Uteäume AFFINE ÄUME Defiitio des affie aums Beispiele fü affie äume ÜBUNGSAUFGABEN...5 Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 I

3 4. ektoäume ud affie äume 4 ektoäume ud affie äume 4.. Eileitug I physikalisch-techische Aweduge hat ma es häufig mit Göße zu tu die icht u duch eie Maßzahl sode auch duch eie ichtug bestimmt wede müsse z.b. Käfte mit ihe Stäke ud ihe Wikugsichtug. Solche Göße wede mathematisch duch ektoe beschiebe. Mathematisch iteessat ist es die Additio solche ektoe ud die Multiplikatio mit eiem Skala zu bescheibe weil diese Opeatioe ebefalls physikalische Sachehalte bescheibe. I de Mathematik wede äume sogeate ektoäume eigefüht die ichts adees als Mege o ektoe sid welche sich gemäß eie gewisse wohldefiiete oschift addiee ud mit eiem Skala multipliziee lasse. Chaakteistisch fü diese äume ist daß sich alle ektoe eies aumes aus eiige weige ektoe de sogeate Basis duch Lieakombiatio ezeuge lasse. Wi wede sehe daß ektoäume icht u Mege o Käfte sid sode auch gaz adee Elemete ethalte köe. Z.B. ist die Mege alle Lösuge eies homogee Gleichugssystems eie ektoaum. Ebefalls ist die Mege alle Lösuge eie homogee Diffeetialgleichug ei ektoaum. Die Mege alle Lösuge des Gleichugssystems bzw. de Diffeetialgleichug ehält ma da we es geligt die Lösuge zu fide die die jeweilige Basis des ektoaums dastelle. Affie äume sid Mege o Pukte die duch ektoe miteiade ebude sid d.h. mit de ektoe eies ektoaums ka ma o Pukt zu Pukt eies affie aums gelage. Affie äume diee zu Bescheibug o geometische Gebilde z.b. o Geade ud Ebee abe auch zu Bescheibug o Lösugsmege ihomogee Gleichugssysteme ud ihomogee Diffeetialgleichuge. 4. ektoäume 4.. Defiitio o ektoäume Defiitio: Eie beliebige Mege heißt ektoaum falls zwei Opeatioe :x ud :x mit folgede Eigeschafte gegebe sid: Zu : wid als ektoadditio bezeichet a w : w die Additio füht icht aus heaus b w : w w ist kommutati c w u : w u w u ist assoziati d o : o es existiet ei Nullelemet bzgl. * * e geau ei : o zu jedem ekto aus existiet ei eideutig bestimmte bzgl. iese ekto Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4

4 4. ektoäume ud affie äume Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 Zu : wid als Multiplikatio mit eiem Skala bezeichet a : füht icht aus heaus b : w w w ist distibuti bzgl. c : + d : e : ist Eiselemet bzgl. f o o : ist Nullelemet bzgl. Bezeichuge : Statt wid i de egel das Tipel als ektoaum bezeichet. Die Elemete o ehalte eie Pfeil:. Das zu bzgl. iese Elemet * wid wie folgt kuz bezeichet:: * - Die Begüdug liefet die folgede Folgeug Teil Folgeuge: Sei ei ektoaum. Da gilt: Das zu bzgl. iese Elemet * hat die Gestalt: * - o : * * : w w w 4 w w w : Beweis: Zu Zu zeige: * - efüllt die Eigeschaft e. Es gilt: o f c e + qed. Zu Es gilt: o o o eug Fo e lg * * + f c d o o qed. Beweise Sie die Eigeschafte ud 4 de Folgeuge!

5 4. ektoäume ud affie äume Beispiele fü ektoäume Beispiel : x x...x de -dimesioale eelle aum mit de Elemete x x x... x : x i i... ud de Opeatioe : x y : x i + y i i... -kompoeteweise bzw. elemetweise Additio : -kompoeteweise bzw. elemetweise Multiplikatio mit x : x i i... eiem Skala Bemekug: Die so defiiete Opeatioe ud im wede i de egel duch + ud bezeichet d.h.: statt x y wid x + y ud statt x wid x geschiebe. Gebe Sie i das Nullelemet ud das iese Elemet bzgl. a! Zeige Sie daß ud die Eigeschafte des ektoaumes efülle! Weitee Beispiele: Seie f : ud f : zwei eellwetige Fuktioe mit dem gleiche Defiitiosbeeich D:. Wi defiiee die Additio zweie Fuktioe ud die Multiplikatio eie Fuktio mit eiem Skala wie folgt: : f : f f f x f x + f x fü alle x. Additio zweie Fuktioe Addito alle Fuktioswete : f : f f x f x fü alle x. Multiplikatio eie Fuktio mit eiem Skala Multiplikatio alle Fuktioswete mit diesem Skala Beispiel : Sei : { f : / a a a a a x : f x a + a x + a x Mege alle Polyome om Gade höchstes. Gebe Sie i das Nullelemet ud das iese Elemet bzgl. a! Übezeuge Sie sich daß ei ektoaum ist! } Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 4

6 4. ektoäume ud affie äume Beispiel : Sei : { f : / a a a a x : f x a si x + a cos x} Gebe Sie i das Nullelemet ud das iese Elemet bzgl. a! Übezeuge Sie sich daß ei ektoaum ist! Beispiel 4: Seie zwei eelle Zahle ud sei x : { f : / a a a a x : f x a e + a e x de aum alle Fuktioe die sich als additie Übelageug zweie e-fuktioe dastelle lasse. Gebe Sie i das Nullelemet ud das iese Elemet bzgl. a! Übezeuge Sie sich daß ei ektoaum ist! } Nom eies ektos im ektoaum Defiitio: Sei ei ektoaum. Eie Abbildug : heißt Nom Betag Läge i falls Eigeschafte efüllt sid: x ud x x o x y x + y Deiecksugleichug x x x y folgede x wid als Nom Läge Betag des ektos x bezeichet. Beispiel 5: Sei de i Beispiel defiiete ektoaum ud x x... x. x i i Sei x :. Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 5

7 4. ektoäume ud affie äume Zeige Sie ute Beutzug de i geltede Axiome ud Eigeschafte daß x i i x : eie Nom i ist! 4.. Lieae Uabhägigkeit o ektoe Ezeugedesystem ud Basis eies ektoaums Defiitio: Sei ei ektoaum. Da heiße zwei ektoe falls gilt:: : Adefalls heiße sie liea uabhägig. liea abhägig Bemekug: Sei ud die kompoeteweise Additio bzw. Multiplikatio mit eiem Skala siehe Beispiel. Da sid zwei ektoe liea abhägig geau da we sie paallel sid. Gebe Sie ei koketes Beispiel fü liea abhägige ektoe im a ud zeiche sie diese im Koodiatesystem. Satz: Sei ei ektoaum ud zwei beliebige ektoe i. Da gilt: ud sid liea uabhägig falls die Gleichug o u fü lösba ist. Beweis: Wi beweise die Behauptug des Satzes idiekt. Aahme: Es sei o ud. Da gilt ach -Axiom e ud Folgeug : Fo lg eug Axiomd Axiome D.h. ud sid liea abhägig. Qed. Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 6

8 4. ektoäume ud affie äume Wi eallgemeie u die Defiitio de lieae Uabhägigkeit auf meh als ektoe. Defiitio: Sei ei ektoaum. Da heiße ektoe uabhägig falls die Gleichug... o... liea u die tiiale Lösug... besitzt. Adefalls heiße sie liea abhägig. Defiitio: Sei ei ektoaum. Da heiße ektoe... Ezeugedesystem des falls alle ektoe sich als Lieakombiatio LK o... dastelle lasse ud kei ekto de icht i liegt d.h. falls gilt: : Beispiel 6: Sei die kompoeteweise Additio bzw. Multiplikatio mit eiem Skala wi scheibe + statt ud statt. Wi betachte weitehi die 4 ektoe ex e y ez a b Beispiel 6a: e x e y ud e z sid liea uabhägig ud Ezeugedesystem i Beispiel 6b: Esetzt ma e z duch eie adee zu e x ud e y liea uabhägige ekto z.b. a so ehält ma mit e x e y a wiede ei liea uabhägiges Ezeugedesystem i. Beispiel 6c: Fügt ma zu e x e y e z eie weitee ekto z.b. a hizu so ehält ma mit e x e y e z a wiede ei Ezeugedesystem i. Alledigs ist dieses icht meh liea uabhägig. Beispiel 6d: Nimmt ma o e x e y e z eie ekto z.b. e z weg so ehält ma mit e x e y wiede ei System liea uabhägige ektoe abe kei Ezeugedesystem i Beispiel 6e: Esetzt ma meh. e z duch eie adee zu e x ud e y liea abhägige ekto z.b. b so ehält ma mit e x e y b kei Ezeugedesystem i. Es fehlt eie Dimesio. Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 7

9 4. ektoäume ud affie äume Beweise Sie die i de Beispiele 6a-6e getoffee Aussage! Bemekug: Dieses Beispiel 6 läßt daauf schließe daß es i eiem eie eideutig bestimmte kleiste Azahl o liea uabhägige ektoe gibt die de ezeuge. Nimmt ma eie weitee ekto hizu so sid die Gesamtheit alle ektoe da liea abhägig; läßt ma eie ekto weg so wid de icht meh ollstädig ezeugt es fehlt eie Dimesio. Außedem zeigt das Beispiel daß es mehee Systeme liea uabhägige ektoe gibt die ezeuge. Lediglich ihe Azahl ist eideutig bestimmt. Ei solches kleistes liea uabhägiges Ezeugedesystem i et ma Basis o. Defiitio: Sei ei ektoaum. Da heiße ektoe... falls gilt::... sid Ezeugedesystem o ud... sid liea uabhägig Basis des Bemekug: Die Basis eies ist icht eideutig bestimmt siehe Beispiel 6 Die Azahl de Basiselemete eies ist eideutig bestimmt siehe Beispiel 6. Steiitzsche Austauschsatz: Sei ei ektoaum. Da gilt: Die Azahl de Basisektoe des ektoaums ist eideutig. Seie B{... } eie Basis i ud a... am m beliebige liea uabhägige ektoe i. Da existiee -m Baisektoe i j B j...-m i B so daß B* { i } i a a m m wiede eie Basis i ist. Ma ka m Basisektoe i B fide die gege a... am ausgetauscht wede köe. Defiitio: Sei ei ektoaum. Ute de Dimesio o esteht ma die Azahl de Basisektoe i. Bezeichug: dim. Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 8

10 4. ektoäume ud affie äume Zu de Beispiele - 4 Zu Beispiel : Die Dimesio dieses ektoaums ist. Zeige Sie: { e e... e } mit e i... a de i.te Stelle ist eie Basis fü de im Beispiel defiiete ektoaum. Zu Beispiel : Sei de i Beispiel defiiete ektoaum. Beh.: Die Fuktioe { b x b x b } mit b x b x x ud b xx x sid eie Basis i. D.h. die Dimesio dieses ist. Bew.:. Wi zeige die Fuktioe b i x i sid liea uabhägig. b b b o + x + x + x + x fü x x x x. Wi zeige die Fuktioe b i x i sid Ezeugedesystem. Das folgt umittelba aus de Defiitio des ektoaums. Zu Beispiel : Gebe Sie zu dem im Beispiel defiiete ektoaum eie Basis a! Welche Dimesio hat diese ektoaum? Zu Beispiel 4: Zeige Sie daß die beide Fuktioe x b : mit b x e ud b : mit b x e eie Basis fü de im Beispiel defiiete ektoaum bilde! Welche Dimesio hat diese ektoaum? x Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 9

11 4. ektoäume ud affie äume Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 Welche de folgede Mege sid Base im? Begüde Sie Ihe Aussage! a b c d 4.. Uteäume Defiitio: Sei ei ektoaum de Dimesio. Jede Teilmege U heißt Uteaum o falls U ei ektoaum ist. Satz: Sei ei ektoaum de Dimesio. Seie m a a... m m liea uabhägige ektoe i. Da ist de aum: U }... ;... / { a a m m m Uteaum o de Dimesio m. Beweis: folgt umittelba aus de Defiitio des Uteaums. Beispiel: } / { 4 z y x z y x U ist ei Uteaum de Dimesio o 4

12 4. ektoäume ud affie äume 4. Affie äume 4.. Defiitio des affie aums ostellug im : ektoe ebide Pukte miteiade. Eie beliebige Mege o Elemete die so defiiet ist daß ma zu je Elemete eie ekto eies ektoaumes fide ka de diese beide Elemete ebidet et ma affie aum. Die Elemete des affie aums et ma Pukte. Defiitio: Ei Tipel AΘ kuz : die Mege A heißt affie aum falls gilt: A ist eie Mege Puktmege ist ei ektoaum mit de Opeatioe ud Θ ist eie Opeatio duch die defiiet wid wie ma mit Hilfe o ektoe zu Pukt i A gelagt d.h.: Θ : A x A mit folgede Eigeschafte: P A w gilt: a P Θ Θ w P Θ w b P Θ o P o Pukt Bezeichug: PΘ bedeutet: Abtage eies ektos a eie Pukt P. Bedeutug o a ud b: a Das Hiteeiadeabtage zweie ektoe a eie Pukt P füht zu dem gleiche Pukt de ma ehält we ma zuächst beide ektoe addiet ud diese a P abtägt. b Das Abtage des Nullektos i a eie Pukt P füht zu P selbst d.h. icht o P weg. Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4

13 4. ektoäume ud affie äume Allgemeie egel: ekto ekto ekto Pukt Θ ekto Pukt Skala ekto ekto Die Additio o Pukte zum Beispiel ist icht elaubt bzw. icht defiiet Satz: Sei AΘ ei affie aum. Da gilt: Fü je zwei Pukte P A P A existiet geau ei ekto mit P Θ P. Bezeichug: P : P : P - P Übliches ogehe um alle Pukte i A zu ezeuge: Ma legt eie Pukt P i A fest Bezeichug: P : Nullpukt i A ud defiiet wie ma o P zu jedem adee Pukt PA mittels eies ektos gelagt. Satz: Sei AΘ ei affie aum ud P A ei beliebige festgelegte Pukt i A. Da gilt: A { P / : P P Θ} Eie affie Puktmege A läßt sich also ezeuge we ma a eie spezielle Pukt P aus A alle ektoe des ektoaums abtägt. Scheibweise: A P Θ. Bezeichug: : P P heißt Otsekto des Puktes P Defiitio: Ute de Dimesio des affie Puktaumes A esteht ma die Dimesio des zugehöige ektoaums. Bezeichug: dimadim. Defiitio: Ei Koodiatesystem KS i eiem affie aum A Θ besteht aus eiem Pukt P des Puktaumes A ud eie Basis {... } des ektoaumes. Scheibweise: KS P... Folgeug: Sei A Θ ei affie aum ud P... ei Koodiatesystem im affie aum. Da gilt: A { P / P P Θ... fü i... } i Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4

14 4. ektoäume ud affie äume 4.. Beispiele fü affie äume Beispiel : Zweidimesioale eelle Ebee Affie aum de Dimesio A Pp p A x x x ud de Opeatioe : x y : x i + y i i -kompoeteweise bzw. elemetweise Additio : x : x i i -kompoeteweise bzw. elemetweise Multiplikatio mit eiem Skala Θ : PΘ x : p i + x i i kompoeteweise Additio o Pukt ud ekto Koodiatesystem : e e : P heißt Otsekto des Puktes P. P P : ektokoodiate ehält ma idem ma die Puktkoodiate elemetweise abzieht! Beispiel : - dimesioale eelle aum. Affie aum de Dimesio : A Θ wie im Beispiel kompoeteweise. Beispiel : affie Fuktiosaum de Dimesio : { f : / fx a + a x a a } Mege alle Geade. : f : f f f x f x + f x fü alle x. Additio zweie Fuktioe Addito alle Fuktioswete : f : f f x f x fü alle x. Multiplikatio eie Fuktio mit eiem Skala Multiplikatio alle Fuktioswete mit diesem Skala A {g : / gx e x + fx mit fx } e x - spezielle Pukt fx ekto aus Θ: h:g Θ f hxgx+fx fü alle x. Additio o Pukt ud ekto Additio de etspechede Fuktioswete Übezeuge Sie sich daß ei ektoaum ist! Gebe Sie eie Basis a! Übezeuge Sie sich daß A Θ ei affie aum de Dimesio ist! Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4

15 4. ektoäume ud affie äume Beispiel 4: Geade im affie aum de Dimesio. Geade duch de Pukt P o mit dem ichtugsekto a : A {P / P P o + a } Gebe Sie eie zu A zugehöige ektoaum a de jede Pukt aus A mit jedem adee Pukt aus A ebidet. Wie ist dabei die Opeatio Θ die eie Pukt mit eiem ekto ebidet defiiet? Gebe Sie eie Basis dieses ektoaums a! Wie sid die Opeatioe des ektoaums defiiet? Übezeuge Sie sich daß A Θ ei affie aum de Dimesio ist! Beispiel 5: Polyom. Gades im affie aum de Dimesio. A { Px y / y x } - Puktaum { / } ektoaum mit de Opeatioe : -kompoeteweise bzw. elemetweise Additio zweie ektoe : -kompoeteweise bzw. elemetweise Multiplikatio eies ektos mit eiem Skala Θ : Additio o Pukt ud ekto efolgt wie folgt: Sei Px y A ei Pukt ud ei ekto. Da defiiee wi: Q : PΘ x + : x + A siehe Skizze Übezeuge Sie sich daß A Θ ei affie aum de Dimesio ist! Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 4

16 4. ektoäume ud affie äume Beispiel 6: Ebee im affie aum de Dimesio. Ebee duch de Pukt P o mit de ichtugsektoe a ud b : A {P / P P o + a +b } Gebe Sie eie zu A zugehöige ektoaum a de jede Pukt aus A mit jedem adee Pukt aus A ebidet. Wie ist dabei die Opeatio Θ die eie Pukt mit eiem ekto ebidet defiiet? Gebe Sie eie Basis dieses ektoaums a! Wie sid die Opeatioe des ektoaums defiiet? Übezeuge Sie sich daß A Θ ei affie aum de Dimesio ist! 4.4 Übugsaufgabe Übugsblatt Seie 6 Pof. D. e. at. B. Gabowski HTW des Saalades 4 5