Planung: Modellierung als Graph

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1 eispiele: Suche in Grphen Routenplnung Fhrplnuskunft Suche nch einem eweis Modell für Problemlösen: Suche nch Gewinnstrtegie Plnung Gegeben: Grph G = [V,E] nfngszustnd z 0 V Menge von Zielzuständen Z f V Probleme: Existiert ein Weg von z 0 zu einem z f Z f Konstruiere einen Weg von z 0 zu einem z f Z Konstruiere optimlen Weg von z 0 zu einem z f Z f (bzgl. eines gegebenen Optimlitätskriteriums) PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 1 Plnung: Modellierung ls Grph Mögliche ktionen: = { 1,..., n } Zustände (Knoten im Grphen): V = durch ktionen entstehende Situtionen usgngsitution: nfngszustnd z 0 Situtionen, in denen Plnungsziel erreicht ist: Zielzustände Z f Zustndsübergänge (Knten im Grphen): E = Übergänge zwischen Situtionen durch ktionen = { [v,v,] v,v V v wird durch in v überführt } G ist ein Knten-beschrifteter Grph mit Mehrfchknten G = [V,E,f,,β] mit f([v,v,]) = [v,v ], β([v,v,]) = PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 2

2 Plnung: Modellierung ls Grph usgngszustnd:, im Hörsl edingung n Zielzustände: Hörsl verlssen unterwegs zur Mens Mens-Essen Kuchen PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 3 Übergngsmtrix Hörsl zur Mens Mens-Essen Kuchen verlssen, s., i.h. h., u., unterwegs h., i.m. h., i.k,, s., i.m. s., i.m. h., i.k., s., i.k.,, Hörsl verlssen unterwegs zur Mens Mens-Essen Kuchen PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 4

3 Übergngsmtrix Zeilen: Zustände z Splten: ktionen Hörsl zur Mens Mens-Essen Kuchen verlssen, s., i.h. h., u., unterwegs h., i.m. h., i.k,, s., i.m. s., i.m. h., i.k., s., i.k.,, Mtrix-Element: von z durch erreichter Zustnd z Hörsl verlssen unterwegs zur Mens Mens-Essen Kuchen Trnsitionssystem utomt kzeptor PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 5 Trnsitionssystem T = [Z,X,δ] mit Z : Zustndsmenge X : Eingngssignle δ: Z X Z Überführungsfunktion Grph mit Knoten für Zustände z us Z und Knten für Übergänge von z nch δ(z,x) δ(z,x Erweiterung: δ: Z X* Z 1...x n ) ist der von z mit der Folge x 1...x n erreichte Zustnd δ(z,λ)=z δ(z,x 1...x n x)= δ(δ(z,x 1...x n ), x) Rekursive Definition in freier Hlbgruppe (um) PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 6 b e d g c f

4 kzeptor T = [Z,X,δ] mit nfngszustnd z 0 Z Menge von Zielzuständen Z f Z c b e d g f kzeptierte Sprche: L(T, z 0,Z f ) = { x 1...x n δ(z 0,x 1...x n ) Z f } X* L ist regulär, genu dnn, wenn T = [Z,X,δ], z 0 Z, Z f Z existieren mit X,Z endlich und L = L(T, z 0,Z f ). PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 7 Nicht-deterministischesTrnsitionssystem T = [Z,X,f] mit b e Z : Zustndsmenge d g X : Eingngssignle f: Z X 2 Z Überführungsfunktion c f Erweiterung: f: 2 Z X* 2 Z f(m,λ)=m f(m,x 1...x n x)= f(f(m,x 1...x n ), x) f(z,x 1...x n ) sind die von z mit der Folge x 1...x n erreichten Zustände kzeptierte Sprche: regulär, flls X,Z endlich L(T, z 0,Z f ) = { x 1...x n f(z 0,x 1...x n ) Z f } PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 8

5 Trnsitionssystem: kzeptor ccept(p):-initil(z),ccept(z,p). ccept(z,[x P]) :- delt(z,x,z1),ccept(z1,p). ccept(z,[ ]) initil(). finl(e). finl(f). :- finl(z). delt(,x c,b). delt(,x,c). delt(b,x,). delt(b,x,e). delt(b,x,d).... delt(g,x,f). b e d g c f Nicht-deterministisch PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 9 Komplexität (nzhl der Zustände/Knoten) 8-er Puzzle: 9! Zustände dvon 9!/2 = erreichbr 15-er Puzzle: 16! Zustände dvon 16!/2 erreichbr ungrischer Würfel: 12 4, Zustände 1/12 dvon erreichbr: 4, Türme von Hnoi: 3 n Zustände für n Scheiben lösbr in ( 2 n ) - 1 Zügen Dme: c Spiele durchschnittlicher Länge Schch: c Spiele durchschnittlicher Länge Go: Stellungen PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 10

6 Suchverfhren in Grphen Grph: G = [ Z,E] mit nfngszustnd z 0 Z Zielzuständen Z f V Probleme: Speicher reicht nicht für vollständigen Zustndsrum ufwnd für Erkennen von Wiederholungen Lösungsmethode: Expnsion des Zustndsrumes : Schrittweise Konstruktion und Untersuchung von Zuständen konstruieren testen verg PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 11 Expnsionsstrtegien Richtung Vorwärts, beginnend mit z 0 (forwrd chining, dt driven, bottom up) Rückwärts, beginnend mit Z f (bckwrd chining, gol driven, top down) idirektionl usdehnung Tiefe zuerst reite zuerst Zustzinformtion blinde Suche heuristische Suche PI2 Sommer-Semester 2005 Hns-Dieter urkhrd 12