FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

Transkript

1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Matrikelnummer Name: Vorname: Klausur Modul 31091: STATISTISCHE METHODENLEHRE Termin: , Uhr Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Hermann Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der STATISTIK-Klausur: 1. Bitte lesen Sie diese Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung beginnen. 2. Die Klausur besteht aus 15 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten sind. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar mit 18 Seiten, einen LOTSE-Markierungsbogen. erhalten haben. 3. Bevor Sie mit der Bearbeitung der Klausuraufgaben beginnen, füllen Sie bitte den Identifikationsteil des Markierungsbogens aus und tragen Sie Ihren Namen, Ihre Anschrift und Ihre Matrikelnummer ein. Die Markierungen können sowohl mit dem Bleistift, als auch mit dem Kugelschreiber durchgeführt werden. Sowohl Striche, Kreuze als auch Kreise werden als Markierungen akzeptiert. Bei den numerischen Aufgaben sollen die Zahlen linksbündig eingetragen werden. Kommata sind in eigene Kästchen zu setzen. Hinweis: Ausschließlich Ihre Markierungen auf dem LOTSE-Markierungsbogen sind für die Bewertung Ihrer Klausur ausschlaggebend (Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt!). Erfahrungen haben gezeigt, daß Sie spätestens 20 Min. vor Abgabe der Klausur mit dem Markieren beginnen sollten. Kontrollieren Sie am besten noch einmal Ihre Markierungen, bevor Sie den Markierungsbogen abgeben. Bedenken Sie auch, dass, wenn Sie keine oder alle Alternativen markieren, die Aufgabe mit null Punkten bewertet wird. 4. Für jede Aufgabe ist die maximal erreichbare Anzahl der Punkte angegeben. 5. Insgesamt können Sie 150 Punkte (gleich 100 Prozentpunkte) erreichen. Mit 75 Punkten bzw. 50 Prozentpunkten haben Sie die Klausur bestanden. 6. Die Klausur besteht aus drei numerischen Aufgaben und zwölf Multiple-Choice-Aufgaben. Sind die numerischen Aufgaben richtig, erhalten Sie die volle Punktzahl, ansonsten werden Null Punkte vergeben. Die Bewertung der Multiple-Choice-Aufgaben erfolgt nach folgendem Prinzip: 2

3 Richtige Antworten sind zu markieren, falsche Antworten sind nicht zu markieren. Für jede korrekte Markierung/Nicht-Markierung werden 1/5 der maximalen Punktzahl vergeben, für jede inkorrekte Markierung/Nicht-Markierung werden 1/5 der maximalen Punktzahl abgezogen. Die minimal erreichbare Punktzahl jeder Aufgabe beträgt Null Punkte. Beispiel: Sind A und B richtig und es wurden A, B und C markiert, gibt es bei einer Aufgabe mit 10 zu vergebenden Punkten 6 Punkte (Für A, B, D und E gibt es jeweils 2 Punkte, d.h. insgesamt 8 Punkte; A und B sind korrekt markiert worden, D und E sind korrekt nicht markiert worden. Die Antwort C ist inkorrekt markiert worden, so dass 8-2 = 6 Punkte übrig bleiben). 7. Bitte benutzen Sie für etwaige Zwischenrechnungen usw. nur die Rückseiten der Aufgabenblätter. 8. Als Hilfsmittel ist das Glossar zugelassen. Unterstreichungen, Korrekturhinweise, Post-Its und ein selbsterstelltes Inhaltsverzeichnis sind erlaubt. Weitere Anmerkungen oder zusätzlich eingeheftete eigene Aufzeichnungen gelten als Täuschungsversuch. Die Benutzung eines Taschenrechners ist lediglich gestattet, wenn das betreffende Modell - nicht programmierbar ist, - keine Texte oder Formeln speichern kann, - nicht drahtlos mit anderen Geräten kommunizieren kann, - über keine alphanumerische Tastatur verfügt, - kein grafisches Display (z.b. zur Darstellung von Funktionsgrafen) besitzt. 9. Abzugeben ist nur der Lotse-Markierungsbogen. Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt. 10. Wenn Sie die Klausur bestanden haben, erhalten Sie von der FernUniversität einen Schein, auf dem die Note vermerkt ist. Der Bearbeitungsvorgang, bis Sie diesen Schein erhalten, nimmt erfahrungsgemäß einen Zeitraum von mindestens 8 Wochen in Anspruch. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! 3

4 Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der Median entspricht dem 50%-Quantil. B Für eine unimodale, symmetrische Verteilung gilt stets, dass der Median und der Modus denselben Wert annehmen. C Ein Merkmal ist entweder metrisch oder stetig, d.h. es gibt kein Merkmal, das gleichzeitig metrisch und stetig ist. D Das geometrische Mittel nimmt nur positive Werte an. 4

5 Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Liegen zwei Normalverteilungen mit dem gleichen Lageparameter µ vor, so sind auch die Streuungsparameter gleich. B Wird eine statistische Reihe x 1,..., x n in der Form y i = ax i b transformiert, i = 1,..., n, dann gilt y = ax + b. C Wird eine statistische Reihe x 1,..., x n um die Einheit x n+1 erweitert, so gilt für das neue arithmetische Mittel: x neu = n n + 1 x n+1 + n n + 1 x alt D Die mittlere absolute Abweichung d = 1 n n x i x Z berücksichtigt im Vergleich zur empirische Varianz s 2 größere Abweichungen stärker. i=1 5

6 Aufgabe 3 Betrachtet wird der Gewinn von 100 der in einer Branche konkurrierenden Unternehmen. Dazu wurde die Lorenzkurve berechnet, die mit folgenden Punkten angegeben wird. X: kumulierte Betriebsanteile 0 0,5 1 Y : kumulierte Gewinnanteile Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der Gini-Koeffizient nimmt den Wert 0,25 an. B Ein Betrieb erwirtschaftet 50% des Gesamtgewinns. C Der Gesamtgewinn verteilt sich gleichmäßig auf 50% der Betriebe. D 50% der Betriebe erwirtschaften keinen Gewinn. 6

7 Aufgabe 4 Als lineare Kostenfunktion wurde die empirische Regressionsfunktion K mit K = a + bx = , 5x (in e) ermittelt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Fixkosten betragen 50 e. B Die variablen Kosten betragen 50,5 e. C Der für b berechnete Wert bedeutet, dass der Wert für K um durchschnittlich 0,5 e steigt, wenn der x-wert um 1 e steigt. D Wird für die vorliegenden Daten der Korrelationskoeffizient r berechnet, so ergibt sich ein positiver Wert. 7

8 Aufgabe 5 Welche der folgenden Aussagen über den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson r und den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman r s sind richtig? (x aus 5) A Aus r s = 1 folgt immer r = 1. B Aus r s > 0 folgt immer r > 0. C Aus r = 1 folgt immer r s = 1. D Ist r = r s = 0 so liegt kein Zusammenhang zwischen den untersuchten Merkmalen vor. 8

9 Aufgabe 6 Für drei Ereignisse A, B, C Ω mit A B = liegen folgende Wahrscheinlichkeiten vor: P (A) = 0, 2 P (B) = 0, 1 P (C) = 0, 7 P (B C) = 0, 8 P (A C) = 0, 7 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A P (B C) = P (A C) = 0 B P (B C) = 0, 1 C P (A C) = 0, 7 D P (A B C) = 1 9

10 Aufgabe 7 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Dichtefunktion kann als kumulierte Verteilungsfunktion aufgefasst werden. B Die Fläche unterhalb einer Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist immer gleich 1. C Die absolute Summenhäufigkeitsverteilung entspricht der diskreten Verteilungsfunktion. D Wird eine Verteilungsfunktion mit F X (x) = P (X < x) angegeben, so ist sie linksseitig stetig. 10

11 Aufgabe 8 Die nachstehende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion F (x) einer diskreten Zufallsvariablen X mit F (x) = P (X x). F x x Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A P (1 < X < 7) = 0, 7 B P (X > 3) = 0, 7 C P (X = 8) = 0 D P (X < 10) = 0, 8 11

12 Aufgabe 9 Die Stichprobenvariablen X 1,..., X n (n > 2, n gerade) seien unabhängig, identisch verteilt mit dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ > 0. Betrachtet werden folgende Schätzfunktionen: T 1 = 1 n (X 1 + X n ) T 2 = 1 2 (X 1 + X 2 ) T 3 = 1 4 (X 2 + 2X n 2 + X n) T 4 = X 1 + X 2 + X n 1 X n Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Von den vier Schätzfunktion ist nur T 2 erwartungstreu. B Die Schätzfunktion 1T 2 4 ist erwartungstreu. C Die Varianz von T 1 beträgt 2 n σ2. D Falls σ = 2, beträgt die Varianz von T 3 = 1, 5. 12

13 Aufgabe 10 Herr Müller trinkt aus gesundheitlichen Gründen täglich ein Glas frisch gepressten Orangensaft, wobei der Vitamin-C-Gehalt der Orangen normalverteilt sei. Der Obsthändler verspricht, dass der Vitamin-C-Gehalt seiner Orangen normalverteilt ist mit Erwartungswert µ = 75 mg und einer Standardabweichung von σ = 5 mg. Herr Müller läßt in einem Institut von n = 16 Orangen den Vitamin-C-Gehalt messen. Es ergibt sich ein Durchschnittswert von x = 73 mg und eine empirische Standardabweichung von s = 5, mg. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Mit der vorausgesetzten Standardabweichung von σ = 5 ergibt sich das zweiseitige Konfidenzintervall für µ zum Niveau 0, 975 zu [70,2;75,8]. B Mit der vorausgesetzten Standardabweichung von σ = 5 ergibt sich ein einseitiges Konfidenzintervall für µ zum Niveau 0, 975 zu (- ;75,45]. C Mit der Standardabweichung s ergibt sich das zweiseitige Konfidenzintervall für µ zum Niveau 0, 9 zu [70,59;75,41] (gerundet). D Mit der Standardabweichung s ergibt sich ein einseitiges Konfidenzintervall für µ zum Niveau 0, 9 zu [74,84; ) (gerundet). 13

14 Aufgabe 11 Es wird vermutet, dass das durchschnittliche Alter µ A der Studentinnen des Fachbereichs WiWi der Universität A bei Abschluss des Studiums größer ist als das durchschnittliche Alter µ B der Studentinnen des Fachbereichs WiWi der Universität B zum Zeitpunkt des Abschlusses. Mittels eines Parametertests zum Signifikanzniveau von 5% soll diese Vermutung statistisch gesichert überprüft werden. Von jeder Universität werden 200 ehemalige Studenteninnen des Fachbereichs WiWi nach ihrem Alter zum Zeitpunkt des Abschlusses befragt. Unter den befragten ehemaligen Studentinnen der Universität A (B) ergab sich ein durchschnittliches Alter von 26 (24) Jahren und eine empirische Varianz von 123 (327). Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Nullhypothese lautet H 0 : µ A µ B. B Die Nullhypothese lautet H 0 : µ A µ B. C Die Prüfgröße nimmt den Wert 2 an und die Varianz der Prüfgröße beträgt 1, 125. D Das Testergebnis kann die obige Vermutung, dass das durchschnittliche Alter µ A der Studentinnen des Fachbereichs WiWi der Universität A bei Abschluss des Studiums größer ist als das durchschnittliche Alter µ B der Studentinnen des Fachbereichs Wi- Wi der Universität B zum Zeitpunkt des Abschlusses, bestätigen. 14

15 Aufgabe 12 In einer Bäckerei wurden innerhalb eines halben Jahres drei verschiedene Brotsorten im Verhältnis 1:2:3 verkauft. Nachdem die Rezepturen der Brotsorten verändert wurden, lagen folgende Verkaufszahlen vor: Brotsorte Brotsorte Brotsorte Überprüft werden soll zum Signifikanzniveau von 1% die Nullhypothese, dass das Verhältnis der Verkaufszahlen sich nicht geändert hat. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Prüfgröße nimmt den Wert 9,71 an. B Die Annahmegrenze beträgt 9,21. C Die Nullhypothese, das Verhältnis der Verkaufszahlen hat sich nicht geändert, kann nicht verworfen werden. D Die Nullhypothese, das Verhältnis der Verkaufszahlen hat sich nicht geändert, kann verworfen werden. 15

16 Aufgabe 41 Gegeben sei eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert 2 und Varianz 1,2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass X einen Wert größer gleich 2 annimmt. (numerisch) P = 16

17 Aufgabe 42 An einer neuen Universität sollen 6-stellige Matrikelnummern vergeben werden, wobei keine mit der Ziffer 0 beginnt und keine Ziffer mehrfach vorkommt. Berechnen Sie die Anzahl A aller möglichen Matrikelnummern. (numerisch) A = 17

18 Aufgabe 43 Untersucht wird das Gewicht von Designertischen, die aus einem speziellen Untergestell und einer gläsernen Tischplatte bestehen. Vorausgesetzt wird, dass das Gewicht des Untergestells und der Tischplatte voneinander unabhängig normalverteilt ist mit den Erwartungswerten 10 kg und 5 kg und den Standardabweichungen 0,4 kg und 0,3 kg. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass ein Designertisch mehr als 16 kg wiegt. (numerisch) P = 18