6. Grenzwertsätze. 6.1 Tschebyscheffsche Ungleichung

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1 6. Grezwertsätze 6.1 Tschebyscheffsche Ugleichug Sofer für eie Zufallsvariable X die Verteilug bekat ist, lässt sich die Wahrscheilichkeit dafür bestimme, dass X i eiem bestimmte Itervall liegt. Wie ist aber eie solche Wahrscheilichkeit zu ermittel, we der Verteilugstyp icht bekat ist? Gefragt ist ach der Wahrscheilichkeit, dass eie beliebig verteilte Zufallsvariable ierhalb oder außerhalb eier ε-umgebug um de Erwartugswert μ liegt. f x x ε-umgebug um μ 1

2 Mit der Tschebyscheffsche Ugleichug ka eie Höchstwahrscheilichkeit dafür bestimmt werde, dass die Zufallsvariable X midestes um ε vom Erwartugswert μ abweicht. Die Wahrscheilichkeit, dass eie beliebig verteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartugswert μ ud der Variaz σ um midestes ε vo μ abweicht, ist höchstes gleich σ /ε : P X - μ ε σ ε Aufgrud der Wahrscheilichkeit des Komplemetärereigisses ergibt sich eie gleichwertige Formulierug der Tschebyscheffsche Ugleichug, die eie Midestwahrscheilichkeit agibt: P X - μ < ε σ 1 - ε

3 Falls speziell ε = k σ, folgt: 1 P X - μ kσ k Die Höchstwahrscheilichkeit, dass eie Zufallsvariable X um midestes dem k- fache ihrer Stadardabweichug vom Erwartugswert abweicht, beträgt 1/k. f x k k x Wird die Tschebyscheffsche Ugleichug für Midestwahrscheilichkeite formuliert, ergibt sich: 1 P X - μ < kσ 1 - k f x k k x 3

4 Auswirkug vo k auf die Höhe der Midestwahrscheilichkeite Berechet wird die Midestwahrscheilichkeit, dass eie beliebig verteilte Zufallsvariable X um icht mehr als das k = 1,, 3-fache ihrer Stadardabweichug vo ihrem Erwartugswert abweicht: k Itervall Midestwahrscheilichkeit 1 (μ - σ, μ + σ) (μ - σ, μ + σ) 3 (μ - 3σ, μ + 3σ) 1 P X - μ < σ 1-1 = 1-1 = 0 1 P X - μ < σ 1 - = 1-0,5 = 0,75 1 P X - μ < 3σ 1-3 = 1-0,111 = 0,889 Für k = 1 ergibt sich kei Iformatiosgewi, da Wahrscheilichkeite stets icht egativ sid. Für k > 1 ehme die Midestwahrscheilichkeite zu, we k steigt. 4

5 Beispiel: Der Bezipreis hägt bei gegebeem Nachfrageverhalte der Autofahrer vo Eiflussgröße wie z.b. dem Rohölpreis ud dem Bestad a Kraftfahrzeuge ab. Bei eier Mieralölfirma rechet ma für eie Plaugsperiode mit eiem durchschittliche Bezipreis vo 1,70 pro Liter. Da Preisschwakuge icht ausgeschlosse werde köe, wird vo eier Stadardabweichug i Höhe vo 0,1 ausgegage. Wie groß ist midestes die Wahrscheilichkeit, dass der Bezipreis (= Zufallsvariable X) ierhalb eies σ-bereichs um de Erwartugswert liegt? Es ist ε = σ. Mit der Tschebyscheffsche Ugleichug erhält ma für k = folgede Midestwahrscheilichkeit: 1 1 P X - μ < σ 1 - = 1 - = 1-0,5 = 0,75 k Wie groß ist höchstes die Wahrscheilichkeit, dass der Bezipreis um mehr als 0,15 vom Erwartugswert abweicht? Hier gilt ε = 0,15. Mit der Tschebyscheffsche Ugleichug ergibt sich daraus folgede Höchstwahrscheilichkeit: σ 0,1 0,0144 ε 0,15 0,05 P X - μ ε = = = 0,64 5

6 6. Gesetze der große Zahle Schwaches Gesetz der große Zahle vo Tschebyscheff Ausgagspukt ist eie Zufallsvariable X mit dem Erwartugswert E(X) = μ ud der Variaz Var(X) = σ. Der zugrudeliegede Zufallsvorgag wird u uabhägig -mal wiederholt. X i sei die Zufallsvariable, die agibt, welche Wert X bei der i-te Durchführug des Zufallsvorgags (i = 1,,, ) aimmt. Der ach der i-te Durchführug beobachtete Wert x i (i = 1,,,) ist eie Realisatio der Zufallsvariable X i Die Zufallsvariable X i sid da icht ur uabhägig, soder auch idetisch verteilt (d.h. mit eier gleiche Wahrscheilichkeits- bzw. Dichtefuktio). Isbesodere habe die Zufallsvariable X 1, X,, X auch deselbe Erwartugswert ud dieselbe Variaz: E X = μ i Var X i = σ für alle i = 1,,..., 6

7 Arithmetisches Mittel der Zufallsvariable X i X = 1 X i=1 i Nach de Wiederholuge beobachtetes arithmetisches Mittel x = 1 x i=1 i Erwartugswert vo X : EX = E X i = E X i = μ = μ i=1 i=1 Der Erwartugswert der Zufallsvariable X ist gleich dem Erwartugswert der Zufallsvariable X. X Variaz vo : σ i=1 i=1 i=1 Var X = Var X i = Var X i = Var X i = σ = Die Variaz vo X ist um de Faktor 1/ kleier ist als die Variaz der Zufallsvariable X. 7

8 Das schwache Gesetz der große Zahle vo Tschebyscheff besagt, dass die Wahrscheilichkeit eier Abweichug des arithmetische Mittels X vom Erwartugswert µ vo weiger als eiem beliebige kleie Wert ε (ε > 0) mit wachsedem gege 1 strebt: lim P X - μ < ε = 1 Beweis: Var X P X - μ < ε 1 - ε σ P X - μ < ε 1 - ε σ Mit lim = 0 folgt für hieraus umittelbar dieses Gesetz der große Zahle. ε Die Folge vo Zufallsvariable X kovergiert somit stochastisch gege µ. Diese stochastische Kovergez bedeutet, dass es bei gege uedlich fast sicher ist, dass X Werte i eier ε-umgebug um µ aimmt. Bei großem liegt X daher mit hoher Wahrscheilichkeit i dem beliebig kleie Itervall (μ - ε, μ - ε). Ma ka also mit eier hohe Wahrscheilichkeit de Erwartugswert µ der Zufallsvariable X durch eie kokrete Realisierug der Zufallsvariable X 8 abschätze, sofer geüged groß ist.

9 Schwaches Gesetz der große Zahle vo Beroulli Hier wird der Spezialfall betrachtet, dass die X i uabhägige mit dem Parameter p Beroulli-verteilte Zufallsvariable sid. Die Summe Y vo dieser Zufallsvariable ist da biomialverteilt mit de Parameter ud p: Y = i=1 X i Betrachtet wird u: 1 P = Y Erwartugswert vo P : EP = E Y = E Y = p = p Variaz vo P : Var P = Var Y = Var Y = p1 - p = p 1 - p Aalog zum schwache Gesetz der große Zahle vo Tschebyscheff gilt für das schwache Gesetz der große Zahle vo Beroulli: lim P P - p < ε = 1 9

10 6.3 Zetrale Grezwertsätze Zetrale Grezwertsätze mache eie Aussage über das Grezverhalte eier Folge vo Verteilugsfuktioe F X, die zu eier Folge vo Zufallsvariable X gehört. Dabei gibt es uterschiedliche Verallgemeierugsgrade ud zahlreiche Variate. Im Ker erhält ma das Ergebis, dass bei Zufallsvariable, die als Summe oder Durchschitte iterpretiert werde köe, bei großer Azahl vo Wiederholuge eies Zufallsvorgags die Normalverteilug awedbar ist. Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy Beim Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy setzt ma keie spezielle Verteilugstyp voraus. Betrachtet wird eie Summe Y vo uabhägige idetisch verteilte Zufallsvariable X i mit E(X i ) = μ ud Var(X i ) = σ. Y = i=1 X i Erwartugswert vo Y Variaz vo Y EY = E X i = E X i = μ i=1 i=1 Var Y = Var X = Var X = σ i=1 i=1 i i 10

11 Die Zufallsvariable Y wird u stadardisiert: Y - μ Z = σ Daraus folgt: a Z ~ N 0; 1 Der Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy besagt, dass die stadardisierte Summe Z vo uabhägige idetisch verteilte Zufallsvariable asymptotisch stadardormalverteilt ist. Bei edlichem wird für > 30 (Faustregel) äherugsweise die Stadardormalverteilug verwedet.. Daraus folgt, dass die Summe uabhägiger ud idetisch verteilter Zufallsvariable X i für große (d.h. für > 30) äherugsweise ormalverteilt ist: appr Y ~ N μ; σ 11

12 Beispiel: Eie Eizelhadelskette plat, i eier Regio mit 1 Millio Haushalte ei Filialetz zu errichte. Das Marktvolume beträgt gegewärtig 150 Millioe pro Quartal, was eiem durchschittliche Umsatz vo 150 je Haushalt etspricht. Die Stadardabweichug der Haushaltsausgabe für diese Eizelhadelskette pro Quartal liegt ebefalls bei 150. Eie Testfiliale, die i agemesseer Zeit für 900 Haushalte erreichbar ist, hat i eiem Quartal eie Gesamtumsatz vo erzielt. Die Marktforschugsabteilug wird damit beauftragt, die Wahrscheilichkeit für eie i dieser Höhe erzielte oder größere Umsatz uter uveräderte Marktbediguge zu bestimme. Die Zufallsvariable X i bezeichet die Ausgabe des i-te Haushalts i. Daraus folgt E(X i ) = μ = 150 ud σ = 150 für i = 1,,,..., 900. Es wird ageomme, dass die X i uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable sid. Dies bedeutet, dass sich die Ausgabe uterschiedlicher Haushalte icht gegeseitig beeiflusse. Für die Summe der gesamte i der Testfiliale erzielte Ausgabe der Haushalte gilt da: Y = 900 i=1 X i 1

13 Für de Erwartugswert ud die Stadardabweichug vo Y erhält ma: E(Y ) = μ = = Var(Y ) = σ = = = 4500 Die Summe der Ausgabe für alle = 900 Haushalte ist die kokrete Realisatio der Zufallsvariable Y. Gesucht wird u die Wahrscheilichkeit, dass Y Werte aimmt, die größer oder gleich sid: P(Y ) Daraus folgt: P(Y ) = 1 - P(Y < ) Da hier die Voraussetzuge des Zetrale Grezwertsatzes vo Lideberg ud Lévy erfüllt sid ( = 900 > 30), lässt sich die gesuchte Wahrscheilichkeit approximativ über die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug bestimme: P(Y ) Φ = Φ = 0, z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,

14 Damit ergibt sich: P(Y ) 1 - Φ() = 1-0,977 = 0,08 Die Wahrscheilichkeit, bei uveräderte Marktbediguge eie Umsatz vo midestes zu erziele, liegt somit bei,8% f (y ) Y ~ N ; , , y 14

15 Betrachtet wird u das arithmetische Mittel X als Lieartrasformatio der Summevariable Y (a = 0, b = 1/): 1 1 X = Y = X i i=1 Bei der Lieartrasformatio bleibt die approximative Normalverteilug erhalte. Auch X wird u stadardisiert: Z = σ Nach dem Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy gilt da, dass Z asymptotisch stadardormalverteilt ist: a X - μ Z ~ N 0; 1 Daraus folgt, dass das arithmetische Mittel X für große (d.h. für > 30) äherugsweise ormalverteilt ist: σ appr X ~ Nμ; 15

16 Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace Hier wird u der Spezialfall betrachtet, dass die X i uabhägige Beroulli-verteilte Zufallsvariable sid. Die Summevariable Y = i=1 X i ist daher biomialverteilt. Die Zufallsvariable Y wird ereut stadardisiert: Z = Y - p p 1 - p Daraus folgt: a Z ~ N 0; 1 Der Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace besagt, dass die stadardisierte Summe Z vo uabhägige idetisch Beroulli-verteilte Zufallsvariable asymptotisch stadardormalverteilt ist. Daraus folgt, dass die Summe uabhägiger Beroulli-verteilter Zufallsvariable X i, d.h. eie biomialverteilte Zufallsvariable Y, für große äherugsweise ormalverteilt ist: appr Y ~ N p; p 1 - p 16

17 Für die Praxis beötige wir eie Iformatio, wie groß midestes sei muss, damit diese Approximatio awedbar ist. Verwedet wird häufig folgede Faustregel: 9 > p 1 - p Demach muss um so größer sei, je asymmetrischer die Biomialverteilug ist: Bei Symmetrie, d.h. p = 0,5: > 36 Bei merklicher Asymmetrie, z.b. p = 0,: > 56 Bei starker Asymmetrie, z.b. p = 0,1: > 100 Stetigkeitskorrektur Bei der Approximatio der Biomial- durch die Normalverteilug immt ma häufig och eie Stetigkeitskorrektur vor, d.h. im Argumet der Verteilugsfuktioe der Normalverteilug wird ±0,5 berücksichtigt. Je größer ist, desto weiger wirkt sich die Stetigkeitskorrektur auf die Berechug der Wahrscheilichkeite aus. Eie biomialverteilte Zufallsvariable Y ka ur die Werte y = 0, 1,..., mit de Wahrscheilichkeite P(Y = y) aehme. Deshalb kostruiert ma Säule mit eier Breite vo 1 um die Stäbe. 17

18 Visualisierug der Stetigkeitskorrektur f (y) 0.4 Y ~ N ; y Wahrscheilichkeit, dass eie biomialverteilte Zufallsvariable Y eie bestimmte Wert a aimmt: P(Y = a) F(a + 0,5) - F(a - 0,5) F: Verteilugsfuktio der Normalverteilug (Fläche des Rechtecks über dem Itervall [a-0,5; a+0,5]) 18

19 Wahrscheilichkeit, dass eie biomialverteilte Zufallsvariable zwische de Greze a ud b liegt (mit Stetigkeitskorrektur): P(a Y b) F(b + 0,5) - F(a - 0,5) Da F(y) die Verteilugsfuktio eier Normalverteilug mit de Parameter E(Y) = p ud Var(Y) = p (1-p) ist, gilt für die Itervallwahrscheilichkeit: b + 0,5 - p a -0,5 - p Pa Y b Φ - Φ p1-p p1-p f (y) Y ~ N ; a 0,5 a b b 0, 5 y + Itervallwahrscheilichkeit ohe Stetigkeitskorrektur Itervallwahrscheilichkeit mit Stetigkeitskorrektur 19

20 Beispiel: Ei Betrieb liefert Glühlampe i Kartos zu je 1000 Stück. Aus frühere Utersuchuge ist bekat, dass der Betrieb im Durchschitt 3% Ausschuss produziert. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich i eiem zufällig ausgewählte Karto zwische 0 ud 40 defekte Glühlampe befide? Es sei A das Ereigis, dass eie etommee Glühlampe defekt ist. We A eitritt, d.h. die etommee Glühbire defekt ist, immt die Zufallsvariable X de Wert 1 a, sost 0. Die Zufallsvariable Y bezeichet die Azahl der defekte Glühlampe i dem zufällig ausgewählte Karto: Y = 1000 i=1 X i Y ist biomialverteilt mit de Parameter = 1000 ud p = 0,03. Die gesuchte Wahrscheilichkeit dafür, dass Y i das Itervall [0, 40] fällt, ergibt sich da folgedermaße: P0 Y 40 = 0,03 0,97 y=0 y y 1000-y 0

21 Eie Berechug der Wahrscheilichkeit mit dieser Formel ist jedoch sehr umstädlich. Da = 1000 aber ausreiched groß ist, ka eie Approximatio mit Hilfe der Normalverteilug durchgeführt werde: 9 9 > = = 309,3 p 1 - p 0,03 1-0,03 Mit de Parameter E(Y) = p = ,03 = 30 ud Var(Y) = p(1-p) = ,03 0,97 = 9,1 ergibt sich: P 0 Y 40 Φ - Φ = Φ 1,85 - Φ -1,85 9,1 9,1 Aufgrud der Symmetrie der Stadardormalverteilug gilt (-1,85) = 1 - (1,85). z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 Damit erhält ma die gesuchte Wahrscheilichkeit: P(0 Y 40) Φ 1,85 - Φ -1,85 = Φ 1, Φ 1,85 = 0, ,9678 = 0,9356 1

22 Allerdigs wurde hier icht berücksichtigt, dass bei der Approximatio der Biomialdurch die Normalverteilug eie diskrete durch eie stetige Verteilug ageähert wird. We die gesuchte Wahrscheilichkeit uter Eibeziehug der Stetigkeitskorrektur berechet wird, ergibt sich: , ,5-30 P0 Y 40 Φ - Φ 9,1 9,1 = Φ 1,95 - Φ -1,95 = Φ 1, Φ 1,95 = 0, ,9744 = 0,9488 We also die Stetigkeitskorrektur vorgeomme wird, erhöht sich die Wahrscheilichkeit um etwa 1,3 Prozetpukte. f ( y ) Y ~ N(30; 9,1) 0,936 0, y

23 Betrachtet wird u das arithmetische Mittel P als Lieartrasformatio der Summevariable Y (a = 0, b = 1/): 1 P = Y Bei der Lieartrasformatio bleibt die approximative Normalverteilug erhalte. Auch P wird u stadardisiert: Z = a P - p p 1 - p Z ~ N 0; 1 Nach dem Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace gilt da, dass Z asymptotisch stadardormalverteilt ist: Daraus folgt, dass P für große (d.h. für > 30) äherugsweise ormalverteilt ist: appr P ~ Np; p 1 - p 3

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