Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Formelsammlung: Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 1: Deskriptive und explorative Statistik Empirische Verteilungsfkt (S15): Quantile (S24): Bei Typ7 1.Pkt = 0 Danach 1/(n-1) Median (S24): u.hinge(q1) / o.hinge(q3): LFence: UFence: Median der beiden Hälften Q1-1.5(Q3-Q1) Q3+1.5(Q3-Q1) (Bei n=ungerade => Median mitzählen) Whiskers: Punkt, der noch innerhalb der Fences liegt. Ausreißer: Punkte, die ausserhalb der Whiskers liegen. Arith. Mittelwert gewicht. Mittelwert geom. Mittelwert harm. Mittelwert MAD Varianz Stichprobenstreuung Verschiebungssatz (Wenn n = Groß) Kapitel 2: Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel (S86) Odds-Form Bayes sche Form (S86) Unabhängig von 2 Ereignissen Kapitel 3: Stochastische Größen und Verteilungen Verteilungsfunktion (S114) Allgemein (S114) linksseitiger Grenzwert (S114) Verallgemeinerte Inverse (S116) p-quantil (S117) Diskrete Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion (118) Verteilungsfunktion (S118) Erwartungswert Erwartungswert Funktion Page 1

2 Stetige Verteilungen: Erwartungswert (S134) Erwartungswert (Funktion) LotUS Allgemein Verteilungsfunktion (S119) Dichtefunktion (S120) gemischte Verteilung (S123) Median(0.5-Quantil) Transformationssatz für Dichte (S129) Jacobian (S129) Verschiebungssatz Varianz Bestimmung der Verteilungsfunktion aus der Grafik y1 + ((1-y1) * x/x2) = 1 Kapitel 4: Spezielle Verteilungen Diskrete Verteilungen Erwartungswert Varianz Bernoulli Verteilung X ~ A(p) Binomialverteilung X ~ B(n,p) Anzahl Versuche Negative Binomialverteilung X ~ NB(n,p) Geometrische Verteilung X ~ G(p) Hypergeometrische Verteilung X ~ H(N, A, n) Poisson Verteilung Page 2

3 Stetige Verteilungen Stetige uniforme Verteilung X ~ U(a, b) Dichte Verteilungsfunktion Erwartungswert Varianz Exponentialverteilung Dichte Verteilungsfunktion Erwartungswert Varianz Gedächtnislosigkeit Gammaverteilung Dichte Gammafunktion Erwartungswert Varianz Für X χ 2 (n): Erwartungswert Varianz Normalverteilung X ~ N(μ, σ 2 ) Dichte StandardN-Verteilung Erwartungswert Varianz Standardisierung affine Transformation Quantile Q Quantile (p < 0.5) F-verteilung X ~ F(m, n) Dichte Quantile Erwartungswert Varianz T-Verteilung X ~ t(n) Dichte Quantile Erwartungswert Varianz Betaverteilung X ~ Be(a, b) Dichte Quantile Erwartungswert Varianz Page 3

4 Kapitel 5: Multivariate Verteilungen Verteilungsfunktion W-Funktion Erwartungswert Randdichten Bedingte Wahrscheinlichkeit (Diskret) Bedingte Dichte (stetig) Bedingter Erwartungswert Bedingte Varianz Kovarianz Korrelationskoeffizient Unabhängigkeit (stetig) Unabhängigk. (diskret) Verteilungsfunktion mitherleitung (u.a. Seriellsystem) Achtung: e^0 = 1 Verteilungsfunktion (ua. Parallelsystem) Kapitel 6: Folgen von stochastischen Größen Erwartungswert (u.a. Linearkombination) Wie oft muss man im Mittel eine Münze werfen, sodass beide Seiten zumindest einmal vorgekommen Normalapproximations der B(n,p)-Verteilung Normalapproximations der Poisson-Verteilung (Wenn Wert nicht in Tabelle, abs(wert) ablesen => Tabellenwert) Additionstheoreme: Bernoulli Verteilung Binomial Verteilung: Poisson Verteilung Geometrische Verteilung Exponential Verteilung Gamma Verteilung Normal Verteilung Chiquadrat Verteilung: Page 4

5 Kapitel 7: Schliessende Statistik Maximum Likelihood Schätzer (diskret) Maximum Likelihood Schätzer (stetig) Statistische Tests p-wert Test für den Mittelwert einer Normalverteilung (Varianz σ 2 bekannt) [S301] Test für den Mittelwert einer Normalverteilung (Varianz σ 2 unbekannt) [S303] Test für die Varianz σ 2 einer Normalverteilung [S306] Tests für die Mittelwerte von zwei unabhängige Stichproben (Normalverteilungen) [S310] Bedingung: σ X 2 = σy 2 = σ 2 (unbekannt) Gepoolter Varianzschätzer Bedingung: σ X 2 ungleich σy 2 (beide unbekannt) Tests für die Varianzen von zwei unabhängige Stichproben (Normalverteilungen) [S] Achtung: Wenn nicht In der Tabelle, dann: Page 5

6 Formelsammlung Monday, 30 January 2017 Chiquadrat-Anpassungstest Einfacher Test Zusammengesetzter Test H0 verwerfen wenn: H0 verwerfen wenn: Approximatives Konfidenzintervall Approximatives Konfidenzintervall Approx. Konfidenzintervall für den Mittelwert μ σ X 2 /σ Y 2 für die Varianz Approximatives Konfidenzintervall Approximatives Konfidenzintervall F-Quantile (Wenn nicht in μ X μ Y (Bernoulli Verteilung) der Tabellen vorhanden) Diverses Integral durch Substitution Partielle Integration Frage: Wie kann man auf Basis von U U (0, 1) Beobachtungen von X generieren? Welcher x Wert ergibt sich z. B. für u = ? Umkehrfunktion der VF -> einsetzen vom x-wert Page 6