Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen

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1 Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer November Lagrage-Multiplikators ud Hireichede Bediguge mi,, Seie, die Werte vo,, die das Problem löse. Im Allgemeie (i.a.) häge, vo ab. Optimale Wert vo, ist da eie Fuktio vo mit,. Die Fuktio wird Optimalwertfuktio geat. Wert des Lagrage-Multiplikators hägt i.a. auch vo ab. Uter gewisse Regularitätsbediguge gilt: Der Lagrage-Multiplikator ist die Rate, mit der sich der Optimale Wert der Zielfuktio ädert, we sich die Kostate i der Nebebedigug ädert. Schattepreis : We eie kleie Äderug i ist, so ist. I Ökoomische Awedug ist der verfügbare Vorrat eier Ressource ud, ist der Nutze oder Gewi. Da misst für 0 ugefähr de Zuwachs des Nutzes oder Gewis, de ma durch mehr Eiheite der Ressource erhält. Theorem Lagrage-Theorem Die Fuktioe, ud, habe stetige partielle Ableituge im Defiitiosbereich A der -Ebee ud der Pukt, sei ierer Pukt vo A ud ei lokaler Extrempukt für, uter Nebebedigug,. Seie, 0, 0. Da gibt es eie eideutig bestimme Zahl λ, so dass,,, eie statioäre Pukt i, hat. Beispiel 1: S/H 14. Aufgabe 4, Seite 585 (a) Löse Sie das Nutzemaximierugsproblem max, uter Verwedug der Lagrage-Methode, d.h. bestimme Sie die achgefragte Mege der zwei Güter.

2 (b) Nehme Sie a, dass das Eikomme vo 100 auf 101 steigt. Welches ist der exakte Zuwachs der Optimalwertfuktio,? Vergleiche Sie dies mit dem Wert, de Sie i (a) für de Lagrage-Multiplikator bestimmt habe. (c) Nehme Sie a, dass wir die Budget-Beschräkug i äder, jedoch dieselbe Nutzefuktio behalte. Bestimme Sie die achgefragte Mege der zwei Güter, falls. a., 1/ (*), 1 4 (**) (***), Auflösug drei Gleichuge :,,,, 4,, 4,4 ist statioäre Pukt (Theorem ) b., 1/ (*), 1 4 (**) (***) Auflösug drei Gleichuge :,,,, 4,, 4, , , 4, , Wobei ist. c.,, 1/ (*), 1 (**) (***) (**), 1 0

3 Ersetze i (*), Ersetze i (***), 0 we /4. Amerkug: We die eigeschräkte mege abgeschlosse ud beschräkt ist, garatiert der Extremwertsatz, dass eie stetige Fuktio sowohl Maximum als Miimum i dieser Mege aimmt. Theorem Kokave/Kovexe Lagrage Fuktio Betrachte das Problem mi,, We, ist ei statioär Pukt für,,, 0,, 0,,,, 0, da löst, das Maximierugsproblem ( KONKAV ), 0,, 0,,,, 0, da löst, das Maximierugsproblem ( KONVEX) Theorem Lokale Bediguge zweiter Ordug Betrachte das lokale Problem mi,, Ud setze voraus, dass, die Bediguge 1.Ordug,, ud,, erfüllt. Defiiere,,,,. Da gilt: (a) We, 0, da löst, das lokale Maximierugsproblem. (b) We, 0, da löst, das lokale Miimierugsproblem Amerkug:, : Hessematrix (Textbuch S/H S. 594) Beispiel : (3.Woche Vorlesugsmaterial) Verbraucher habe Nutzefuktio U x y x x y 3/ 4 1/4 (, ) = 100 y uter Budgetbeschraekug = a. Fide die eizig mögliche Lösug, die de Nutze uter der Nebebedigug maximiert. b. Nehme Sie a, dass Budgetbeschräkug vo auf 5000 steigt. Wie viele ist der Zuwachs der Nutzefuktio?

4 Lagrage-Fuktio Partielle Ableituge: a. / / 150 / / 50 L = + 3/ 4 1/ x y λ(150 x 50y 50000) / / / / / / 50 / / i , 50 Maximum Produktioswert ist 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 x y λ = = = / 4 1/4 U ( x, y ) = 100(50) (50) =16719 / / 50, / / 50, , Theorem ,50. 50,50 50, ,50 Maximum Pukt ist. b Zuwachs i Nutzefuktio we c steigt. Beispiel 3: (3.Woche Vorlesugsmaterial) Löse das Problem max(mi) f ( x, y) = x +y uter g( x, y) = x + xy + y = 3 L = x + y λ x + xy + y ( 3) Bediguge 1.Ordug: ' L 1 = x λ( x + y) = 0 ( i) ' L = y λ( y + x) = 0 ( ii) x + xy + y = iii 3 ( ) 1. Fall: y = x y = x λ= 3 x xy y x x + + = 3 3 = 3 = ± 1 x = 1, y = 1 ud x = 1, y = 1

5 . Fall: y = x 3 3 3, 3 3, 3 Bediguge.Ordug:,,, 3,,,,,,,,,,,,, 0,, 1,. oder,, 0. We,, 1,1,/3, 4 0 Miimiert We,, 1, 1,/3, 4 0 Miimiert We,, 3, 3,, 4 0 Maximiert We,, 3, 3,, 4 0 Maximiert

6 Kapitel 7 Aweduge der Differetialrechug Zwischewertsatz. Newto-Verfahre Theorem Der Zwischewertsatz Sei f eie stetige Fuktio auf dem Itervall, ud f hat verschiedees Vorzeiche im Edpukte. Da gibt es midestes eie Pukt c mit f(c) =0. Beispiel 4: Zeige, dass die Gleichug, hat. f( x) ist stetig für alle x (, ) f( ) = 6, f( ) = 6 ( ) = = 0 midestes eie Lösug c zwische 3 f x x x Nach Zwischewertsatz existiert midestes eie Zahl i (-,) mit f( c ) = 0. ( ) = = ( 1) = 0 = 0, = 1 oder = 1 3 f x x x x x x x x Amerkug: Wir ee c als f( x)hat Nullstelle a der Stelle c. Defiitio: Newto-Verfahre 0 є, Begie mit Abschätzug vo ergibt die Approximatio, 0,1,, 0. Beispiel 5: Wede Sie das Newto Verfahre auf 5 Dezimalstelle a, um eie approximative Wert für 7 zu bestimme. x 7 = 0 f( x) = x 7 f '( x) = x Wähle Sie x 0 =. 0 f(. 0) x1 =. 0 =. 75 f '(. 0) x f(. 75) =. 75 = f '(. 75) f( ) x3 = = f '( ) Tascherecher: 7 =

7 7.11. Uedliche Folge Wir habe eie Fuktio, die jeder atürliche Zahl eie Zahl zuordet. Bezeiche wir eie solche Fuktio mit s. Da ist s(1), s(), s(3),, s(), eie Uedliche Folge Notatio: oder Defiitio: Eie Folge kovergiert gege eie Zahl s, we lim oder s we. Eie Folge divergiert, we sie icht gege eie reelle Zahl kovergiert. Beispiel 6: Sei 1, 0,1,,3,,.5, 1.37,.. lim Beispiel 7: (S/H, 7.11., Seite 309) Utersuche Sie die Kovergez der Folge, dere allgemeier Term wie folgt gegebe. (a) s = 5, (b) s = + 1,(c) 3 s = 3. 1 (a) lim s = 5, (b) + 1 lim s = lim, (c) lim s = lim = Ubestimmte Forme ud regel vo L Hospital Ubestimmte Form vom Typ 0/0 ist lim Theorem (Regel vo L Hospital) Abgesehe vom Pukt seie die Fuktioe ud differezierbar i eiem Itervall, das ethält. Es gelte 0 ud 0, we. We 0 für alle ud lim, da gilt lim lim. Dies gilt, we edlich ist ud auch we.

8 x+ 1 e x 4x 5 Beispiel 8: (S/H 7. Seite 317) Bereche Sie die Grezwerte lim x 1 3 ( x + 1) x+ 1 e x 4x 5 1 lim x 1 = ( x + 1) 3 ach dem dreimal Differezierug. Beispiel 9: Bereche Sie die Grezwerte x x x x lim. L`Hospital 1/ x 1 lim = x 1/ x 5

9 11.5 Fuktioe vo mehrere Variable Kapitel 11 Fuktioe mehrerer Variable 1. November 008 Defiitio: Eie geordete Mege vo Zahle, ei -Tupel vo Zahle,,.. ) heißt ei -dimesioaler Vektor,,,.. ). Defiitio: Eie Lieare Fuktio ist,,..,,,, sid Kostate. Beispiel 10. Nachfrage ach Zucker i USA ( ) z = f( p, w, t) = p w 0. 41t z : Nachfrage, p :Preis, w: Produktiosidex, t: Zeit 1 Arithmetische Mittel xa = ( x1 + x x) Defiitio: Eie Fuktio vo variable mit Defiitiosbereich ist eie Regel, die jedem -dimesioale Vektor,,,.. ) i eie Zahl,,.. zuordet. Defiitio: Die Fuktio,.., homoge vom Grade.. we,..,..,..,. Beispiel 11. Zeige Sie Grade F( x, x, x, x ) = x x x x ist homoge vom F( tx, tx, tx, tx ) = t x x x x F( tx, tx, tx, tx ) t. x x x x = F( tx, tx, tx, tx ) t F( x, x, x, x ) = Defiitio: Log-lieare Fuktioe,,..,,,, sid Kostate. Beispiel 1. Bestimme Sie F( x, x, x, x ) = x x x x als Loglieare Fuktio l lx 0.77lx 0.914lx 0.816lx

10 Gebe Sie hier eie Formel ei Partielle Ableituge mit mehrere Variable ud Ökoomische Aweduge Defiitio: We,,.., da bedeutet, 1,,..,, die partielle Ableitug vo ach, we adere Variable, kostat gehalte werde.,.. Iterpretatio: Die partielle Ableitug ist ugefähr gleich der Äderug i,.. die durch eie Astieg vo um eie Eiheit verursacht wird, we alle adere Variable, kostat gehalte werde. Partielle Ableituge zweiter Ordug,..,.. Hesse Matrix,..,, Beispiel 13. (S/H Aufgabe ) Bestimme Sie alle partielle Ableituge erster ud zweiter Ordug vo,, 3,, 3 ;,, 3 ;,, 3 3,, / ;,, / 0 ;,, 6,, 3 ;,, 3 3 ;,, Hesse Matrix Beispiel 14: (S/H Aufgabe 11.7 Aufgabe 1, Seite 471) Die Nachfrage ach Geld i de vereiigte Staate für de Zeitraum wurde geschätzt durch ,. Dabei ist Y das jährliche Volkseikomme ud r ist die Zisrate. Bestimme Sie partielle Ableituge erster Ordug.

11 0.14 0, , Partielle Elastizitäte Defiitio: Uivariable Elastizität eier beliebige differezierbare Fuktio f mit f ( x) 0 bezüglich x Elastizitäte als logarithmische Ableituge: Beispiel 15: Nehme Sie a, dass zwei variable ud durch die folgede Gleichug i beziehug stehe,,, 0. S/H 7.7.6, Aufgabe 6 Seite 88: Gegebe., : Nachfrage ach Äpfel i de USA als Fuktio des Eikommes. l Differeziere beide Seite ach x Da Nachfrage steigt we Eikomme steigt ( 1% Steig i Eikomme erhöht Nachfrage 1.3%) Defiitio: Elastizität als logarithmische Ableitug Defiitio: Partielle Elastizitäte mit Zwei Variable We,, defiiere wir Partielle Elastizitäte vo bezüglich ud durch (we kostat gehalte wird) (we kostat gehalte wird) Die Zahl gibt ugefähr die prozetuale Äderug vo z a, we sich x um 1% erhöht, etspreched.

12 Defiitio: Partielle Elastizitäte als logarithmische Ableituge mit Zwei Variable (we kostat gehalte wird) (we kostat gehalte wird) Defiitio: Partielle Elastizitäte mit -Variable We,,.., wird die partielle Elastizität vo bezüglich, we alle adere variable kostat gehalte werde. Beispiel 16: S/H, Aufgabe 14.c, Seite 475 Bestimme Sie die partielle Elastizitäte vo z bezüglich ud i de,. 3, 5 5 ud 3. Beispiel 17: S/H 11.8, Aufgabe 4., Seite 474 Es bezeiche, eie typische Nachfrage eies Verbrauchers ach eiem bestimmte Gut als Fuktio seies Preises ud dem eiige Eikomme. Zeige Sie dass der Ateil / des Eikommes, der für das Gut ausgegebe wird, mit dem Eikommed wächst, we 1.,,,,, 1 0 we, 1.,, 1 Beispiel 18: Nachfrage ach Kartoffel i de USA wurde für Zeitraum geschätzt als.. p: Preis für Kartoffel, m: Eikomme.. q: Preis für Äpfel, m: Eikomme Nachfrage geht zurück, we der Preis steigt ud Nachfrage steigt, we Eikomme steigt Nachfrage ach Äpfel reagiert empfidlicher auf Preis- ud Eikommesäderuge, Kartoffel wichtigeres Nahrugsmittel zu der Zeit.