Musterlösung zur Einsendearbeit zum Kurs 00692, KE 1, Theorie der öffentlichen Konsumgüter, Sommersemester 2011

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1 Musterlösung zur Einsendearbeit zum Kurs 00692, KE 1, Theorie der öffentlichen Konsumgüter, Sommersemester 2011 Aufgabe 1 Öffentliche Konsumgüter a) Das allgemeine Maximierungsproblem im Zwei-Konsumenten-Fall lautet: max,, (, ) unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen (, )= + = = = ( ) 20 Punkte (4 P. für Zielfunktion und je 4 P. für Nebenbedingungen) b) Fasst man nun die letzten drei Nebenbedingungen zu + = ( ) zusammen, so lautet die entsprechende Lagrangefunktion: = (, )+ (, ) + [ + ( )] (15 Punkte) Ableitung der Lagrangefunktion nach,, sowie den Lagrangemultiplikatoren liefert: : + =0 (I) : + =0 (II)

2 : + =0 (III) : (, ) =0 (IV) : + ( )=0 (V) (10 Punkte: 2 Punkte pro Ableitung) Aus (I) folgt: = Setzt man dies in (II) ein, so ergibt sich: =0 = Nun können die Lagrangemultiplikatoren in (III) entsprechend der beiden Gleichungen substituiert werden und man erhält: + + =0 Bringt man zunächst den Term auf die rechte Seite und dividiert anschließend durch, so erhält man die Bedingung erster Ordnung für ein Pareto-Optimum: + = Dabei handelt es sich um die allgemeine Bowen-Samuelson-Bedingung im Zwei- Konsumenten-Fall. (20 Punkte: 10 Punkte für die Herleitung und 10 Punkte für die Bowen-Samuelson-Bedingung)

3 Gemäß dieser Bowen-Samuelson-Bedingung zur Bereitstellung öffentlicher Güter, ist eine effiziente Allokation dadurch charakterisiert, dass die Summe der Grenzzahlungsbereitschaften (Grenzraten der Substitution) für das öffentliche Gut (in Einheiten des privaten Gutes) genau den volkswirtschaftlichen Opportunitätskosten (Grenzrate der Transformation) der Bereitstellung entspricht. (5 Punkte für die Interpretation) 50 Punkte c) Als Mengenanpasser löst ein beliebiger Konsument =1,2 das folgende Maximierungsproblem max, (, ) u.d.nb. = + Die zugehörige Lagrangefunktion lautet: = (, )+ [ + ] (5 Punkte) Leitet man nach den Entscheidungsvariablen und sowie dem Lagrangemultiplikator ab, so erhält man folgendes Gleichungssystem: = =0 (I) = =0 (II) = + =0 (III) Die Gleichungen (I) und (II) lassen sich nun nach dem Lagrangemultiplikator auflösen, so dass sich = (I ) = (II ) ergibt.

4 Setzt man dies nun über gleich, so folgt: = Multipliziert man diese Gleichung mit und dividiert durch so ergibt sich schließlich die Bedingung erster Ordnung: = (10 Punkte für Herleitung und Bedingung erster Ordnung) Diese Gleichung impliziert, dass im individuellen Nutzenmaximum die Grenzzahlungsbereitschaft (Grenzrate der Substitution) für das öffentliche Gut (in Einheiten des privaten Gutes) den individuellen Grenzkosten entsprechen muss. (2 Punkte für Interpretation) Der individuelle Finanzierungsanteil bildet die Basis für die Lindahl-Preise und stellt sicher, dass sich die Konsumenten entsprechend ihrer wahren Grenzzahlungsbereitschaft an den Kosten des öffentlichen Gutes beteiligen. Anders ausgedrückt, sollte der Finanzierungsanteil von den Entscheidungsträgern so gewählt werden, dass das Preisverhältnis der Grenzrate der Substitution und somit der Wertschätzung für das öffentliche Gut entspricht. (8 Punkte für Erläuterung) 25 Punkte

5 d) Ergänzung des Schaubildes: T T 2 R L T 1 G N E 0 Q M, Das Lindahl-Gleichgewicht ist durch den Punkt G gekennzeichnet. Die gestrichelten Linien T 1 und T 2 legen jeweils die individuellen Nachfragemengen in Abhängigkeit der möglichen Stückkostenanteile fest. Im Punkt G gilt gerade = =, d.h. die individuell nachgefragten Mengen stimmen überein. Es ist notwendig, dass die Individuen die gleiche Menge des öffentlichen Gutes konsumieren. Bei Punkt E kann es sich nicht um ein Pareto-Optimum handeln, da sich in diesem Punkt die Indifferenzkurven der Individuen nicht tangieren. Darüber hinaus werden unterschiedliche Mengen von y nachgefragt. Die Budgetlinien RL und RQ bilden die Situationen ab, dass jeweils eines der Individuen die gesamten Kosten des öffentlichen Gutes trägt. 5 Punkte

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