mit. Wir definieren (Skalarprodukt = Winkel).

Transkript

1 1 Grundidee des Simplexverfahrens (von George Dantzig): Man bestimmt eine beliebige Ecke (Extremalpunkt) einer Lösungsmenge eines Ungleichungssystems. Nun geht man an den Kanten vom Punkt entlang und kontrolliert das Funktional (z.b. Kosten- oder Gewinnfunktion ). Nach endlich vielen Schritten erreicht man so eine optimale Ecke (globales optimal, d.h. es gibt in ganz keine andere Ecke mit besserem Zielfunktionswert). 3.1 Trennungslemma: Sei eine kompakte konvexe Menge und Dann existiert eine lineare Abb. auf mit Beweis: O.B.d.A. sei und wir betrachten die Funktion. Da K abgeschlossen und beschränkt ist, existiert eine untere Schranke (Minimum) mit. Wir definieren (Skalarprodukt = Winkel). Dann gilt offensichtlich: Angenommen es existiert ein mit. Da konvex und für alle Punkte gilt:. Wir zeigen, dass beim Entfernen von zunächst abnimmt Widerspruch zur Wahl vom Minimum.

2 2 Es gilt:. Also existiert ein, (klein genug) mit: für. K 3.2 Satz: Sei die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems. Ist kompakt, dann ist die konvexe Hülle seiner Extremalpunkte (ein konvexes Polyeder). Also: Lösungsmenge und kompakt Ecken. (Schnitt der konvexen Obermengen) Beweis: Seien die Extremalpunkte und sei Es gilt, da konvex. Angenommen, es existiert ein Punkt, dann wähle nach 3.1 (Trennungslemma) ein auf, sodass gilt:

3 3 Sei nun und betrachte die kompakte konvexe Menge. (Satz 2.1.5): existiert min. eine Ecke in (Lemma 2.1.5): ist auch Ecke von, also. Widerspruch bei:. (Wie findet man Ecken eines konvexen Polyeders?) 3.3 Lemma: Sei, ein konvexes Polyeder und eine Ecke, dann ist. M. a. W.: Es gibt keine weitere Ecke, die verschieden ist von. Beweis: Sei Ecke, dann lässt sich als Konvexkombination schreiben. (Linearkombination mit nichtnegativen Koeffizienten, mit Summe = 1) Annahme:. Dann sind min. 2 der Koeffizienten größer Null. O.B.d.A.: : Dann ex. mit: und die eine Gerade mit bilden. Es gilt und ist innerer Punkt von, da gilt: Widerspruch

4 4 3.4 Satz von Minkowski: Jedes konvexe Polyeder ist die konvexe Hülle seiner Ecken (Extremalpunkte). M. a. W.: Man benötigt alle Ecken und nur die Ecken, um K darstellen zu können. Man darf Ecken nicht in der konvexen Hülle weglassen. Beweisskizze: Sei, mit paarweise verschiedenen Punkten. Es sei Ecke, dann gilt(lemma 3.3): Ecke. Gilt, dann muss Ecke. Man lässt alle Punkte weg, beginnend mit Ende bleiben nur Ecken übrig., die zur Darstellung von K nichts beitragen. Am

5 5 3.5 Definition: Sind Ecken eines konvexen Polyeders. Die Strecke heißt Kante von, wenn es kein, der innerer Punkt einer Strecke mit ist. nein ja M.a.W.: Bedeutet gerade, dass konvex ist. Die Ecken heißen benachbart, falls Kante. 3.6 Lemma: Sei konvex und eine lineare Abbildung. Es existiert ein mit und sei. Dann gilt: Ist Kante von, so ist Kante von Beweis: Sei und angenommen mit und. Da Kante von ist, können nicht beide Punkte in liegen. Ist, so ist und es gilt der Widerspruch:

6 Wie wir wissen, werden die Ungleichungen, eines linearen Ungleichungssystems, in den Ecken (Extremalpunkten) zu Gleichungen (Satz 2.1.6). Betrachtet man nun zwei Systeme von linear unabhängigen, die jeweils eine Ecke beschreiben, dann sind die Ecken benachbart, wenn sich die zwei Systeme gerade um ein unterscheiden. Das sagt folgendes Kriterium: Kantenkriterium: Sei die Lösungsmenge des Ungleichungssystems mit mit Wähle so, dass und linear unabhängig sind. Man definiere die Gerade und nehmen an, dass die Punkte mit und mit in enthalten sind. Dann sind Ecken von und ist Kante von. Insbesondere gilt: Beweis: Nach Satz sind Ecken. Noch zu zeigen: Kante: Offensichtlich gilt: und da Kante von, dann ist sie auch Kante von

7 7 3.8 Bemerkung: (Lineare Algebra I) Austauschlemma: Sei ein K-Vektorraum mit Basis und es existieren Vektoren Wählt man einen Vektor, dann entscheidet man leicht, gegen welchen Vektor man ihn austauschen kann. Es gilt folgende Linearkombination: Ist, dann ist eine neue Basis von V. Beispiel: Standardbasis von sowie und. Dann gilt: man kann beliebig vertauschen, aber man kann nicht mit tauschen, da sonst linear abhängig.

8 Tableau: Aufgrund der minimalen Basisänderung der Ausgangsbasis zu einer neuen Basis (nur ein Vektor / vereinfachen: wird verändert), lässt sich dieses Verfahren anhand eines Tableaus Pivotspalte Pivotzeile Pivot - Ausgangsbasis - weitere Vektoren - Man möchte austauschen Das ergibt folgende Gleichung: und für alle anderen Zeilen gilt Das ergibt das neue Tableau: Umformungsregeln: - ersetze den Pivot durch - Pivotzeile: alle Koeffizienten - Pivotspalte: alle Koeffizienten - andere Zeilen: betrachte den Koeffizienten in der Pivotspalte jener Zeile. Zu jedem Koeffizienten addiere das fache des neuen Koeffizienten der neuen Pivotzeile.

9 9 Beispiel: Standardbasis von und. sowie Wähle zum Tauschen gegen oder. Bei gilt: ersetze den Pivot durch alle anderen Koeffizienten in der Pivotzeile : alle anderen Koeffizienten in der Pivotspalte : betrachte nicht Pivotzeilen betrachte Koeffizienten in der Pivotspalte jener Zeile addiere das fache des neuen Koeffizienten der der neuen Pivotzeile. neues Tableau