Übersicht Kapitel 9. Vektorräume
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- Sylvia Cornelia Vogt
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1 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten 9.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
2 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten 9.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
3 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
4 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren K-Vektorräume Definition (K-Vektorraum) Es sei (K, +, ) ein Körper. Ein K-Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit Abbildungen + : V V V ( v, w) v + w (Addition) : K V V (s, v) s v (skalare Mult.) für die die folgenden Regeln gelten: Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
5 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren K-Vektorräume (Forts.) Definition (K-Vektorraum) (i) (V, +) ist kommutative Gruppe; das neutrale Element der Addition ist der Nullvektor 0. Das inverse Element zu v wird mit v bezeichnet. (ii) 1 v = v für alle v V. (Dabei bezeichnet 1 das Einselement des Körpers K.) (iii) (s s ) v = s (s v) für alle s, s K, v V. (iv) (s + s ) v = (s v) + (s v) für alle s, s K, v V. (v) s ( v + w) = (s v) + (s w) für alle s K, v, w V. Die Elemente von V heißen Vektoren. Achtung: Die Symbole + und werden üblicherweise sowohl für Addition und Multiplikation im Körper K als auch für Addition und Skalarmultiplikation für den Vektorraum V verwendet! Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
6 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume und Module Bemerkung: Ist (K, +, ) kein Körper, sondern nur ein Ring mit Eins, so spricht man statt von einem K-Vektorraum von einem K-Modul. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
7 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiel K n Eines der wichtigsten Beispiele ist der Vektorraum K n der n-dimensionalen Spaltenvektoren x 1 x 2 x =. x n mit x 1,..., x n K. Addition und Skalarmultiplikation werden hier wie folgt definiert: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 s x 1 x 2. + y 2. = x 2 + y 2., s x 2. = s x 2. x n y n x n + y n x n s x n Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
8 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiel K n Beweis: z.z.: K n ist ein Vektorraum Wiederholung Definition K-Vektorraum Sei (K, +, ) ein Körper. Ein K- Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit Abbildungen + : V V V ( v, w) v + w : K V V (s, v) s v Für s, s K, v, w V soll gelten: (i) (V, +) ist eine kommutative Gruppe. (ii) 1 v = v (iii) (s s ) v = s (s v) (iv) (s + s ) v = (s v) + (s v) (v) s ( v + w) = (s v) + (s w) z.z.: (K n, +) ist eine kommutative Gruppe: x + y = y + x x 1 x 1 ( x + y) + z = x + ( y + z) 0 = ( ) x =. x =. t x n x n Sei x K n. x1 1 x1 x1 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
9 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiele Ebene, Raum Für K = R und n = 2 kann man sich den Vektorraum R 2 als Ebene mit üblicher Vektoraddition und skalarer Multiplikation vorstellen. Entsprechend kann man sich den Vektorraum R 3 als normalen dreidimensionalen Raum vorstellen. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
10 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiele Ebene, Raum (Forts.) x 2 +y 2 x + y y 2 y 3 2 x x 2 x y 1 x 1 x 1 +y 1 Figure : Addition und Streckung von Vektoren in der Ebene. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
11 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiel Matrizen Seien m, n N. Ein Schema der Form a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A =. a n1 a n2 a nm mit a ij K heißt Matrix, genauer n m-matrix über K. n ist dabei die Anzahl der Zeilen und m die Anzahl der Spalten. Die Menge aller n m-matrizen über K wird mit K n m bezeichnet. Eine n 1-Matrix ist nichts anderes als ein n-dimensionaler Spaltenvektor. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
12 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiel Matrizen (Forts.) Seien A, B K n m n m-matrizen, A = (a ij ), B = (b ij ). Wir definieren eine Verknüpfung (Addition) + auf K n m wie folgt: A + B := (a ij + b ij ), d.h. Matrixelemente auf derselben Position werden addiert. Weiterhin definieren wir die skalare Multiplikation wie folgt: Für s K und A = (a ij ) K n m sei s A := (s a ij ), d.h. alle Matrixelemente werden mit dem Skalar s multipliziert. Die Menge K n m der n m Matrizen über K ist mit der Matrixaddition und der Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
13 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Vektorräume Beispiel Funktionenraum Es sei M eine beliebige Menge und K ein beliebiger Körper. Dann wird die Menge K M der Abbildungen von M nach K mit der folgenden Addition und Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum: Für f, g K M und s K definieren wir (f + g)(x) := f (x) + g(x) für alle x M, (s f )(x) := s f (x) für alle x M. Der Nullvektor dieses Vektorraums ist die Nullabbildung, d.h. x 0 für alle x M. Das Inverse zu f ist die Abbildung f mit f (x) := (f (x)). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
14 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Rechnen mit Vektoren Lemma (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Dann gilt: (i) 0 v = 0 für alle v V. (ii) s 0 = 0 für alle s K. (iii) Für s K und v V gilt: s v = 0 (s = 0 v = 0). (iv) ( s) v = (s v) für alle s K, v V. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
15 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Rechnen mit Vektoren Lemma (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Dann gilt: (i) 0 v = 0 für alle v V. (ii) s 0 = 0 für alle s K. (iii) Für s K und v V gilt: s v = 0 (s = 0 v = 0). (iv) ( s) v = (s v) für alle s K, v V. Beweis: (i) Sei v V 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v 0 v 0 v = 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
16 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Rechnen mit Vektoren Lemma (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Dann gilt: (i) 0 v = 0 für alle v V. (ii) s 0 = 0 für alle s K. (iii) Für s K und v V gilt: s v = 0 (s = 0 v = 0). (iv) ( s) v = (s v) für alle s K, v V. Beweis: (ii) Sei s K. s 0 = s ( 0 + 0) = s 0 + s 0 s 0 s 0 = 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
17 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Rechnen mit Vektoren Lemma (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Dann gilt: (i) 0 v = 0 für alle v V. (ii) s 0 = 0 für alle s K. (iii) Für s K und v V gilt: s v = 0 (s = 0 v = 0). (iv) ( s) v = (s v) für alle s K, v V. Beweis: (iii) Seien s K und v V. Sei s v = 0. z.z.: s = 0 oder v = 0 s = 0 s 0 s 1 K:. 0 = s v s 1 0 = s 1 (s v) = (s 1 s) v = 1 v = v Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
18 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Rechnen mit Vektoren Lemma (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Dann gilt: (i) 0 v = 0 für alle v V. (ii) s 0 = 0 für alle s K. (iii) Für s K und v V gilt: s v = 0 (s = 0 v = 0). (iv) ( s) v = (s v) für alle s K, v V. Beweis: (iii) Seien s K und v V. Klar wegen (i) und (ii). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
19 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Rechnen mit Vektoren Lemma (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Dann gilt: (i) 0 v = 0 für alle v V. (ii) s 0 = 0 für alle s K. (iii) Für s K und v V gilt: s v = 0 (s = 0 v = 0). (iv) ( s) v = (s v) für alle s K, v V. Beweis: (iv) Seien s K, v V. z.z.: ( s) v ist das (additive) Inverse zu s v in K. ( s) v + s v = ( s + s) v = 0 v = 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
20 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Multiplizieren von Matrizen Definition (Matrixmultiplikation) Es seien l, m, n N und A = (a ik ) K n m, B = (b kj ) K m l. Dann ist das Produkt A B K n l wie folgt definiert: (A B) ij := a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = Es muss also gelten m a ik b kj k=1 Spaltenzahl der linken Matrix = Zeilenzahl der rechten Matrix. Wenn l = m = n ist, dann lassen sich je zwei Matrizen derselben Art (also aus K n n ) miteinander multiplizieren. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
21 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Satz (Ring der n n Matrizen) Die Menge K n n der n n Matrizen über einem Körper K bilden zusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement E n = Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
22 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Satz (Ring der n n Matrizen) Die Menge K n n der n n Matrizen über einem Körper K bilden zusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement E n. Beweis: (K n n, +) ist eine kommutative Gruppe die Eigenschaften der Addition von dem Körper K übertragen sich auf die Addition von Matrizen das neutrale Element ist die Nullmatrix Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
23 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Satz (Ring der n n Matrizen) Die Menge K n n der n n Matrizen über einem Körper K bilden zusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement E n. Beweis: (K n n, +) ist eine kommutative Gruppe Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
24 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Die Matrixmultiplikation ist assoziativ: Sei A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ) K n n. ((A B) C) ij = = = n (A B) ik c kj = k=1 n k=1 l=1 l=1 n a il b lk c kj = n n ( a il b lk ) c kj k=1 n l=1 l=1 k=1 n a il b lk c kj n n a il ( b lk c kj )=(A (B C)) ij k=1 } {{ } (B C) lj Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
25 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Satz (Ring der n n Matrizen) Die Menge K n n der n n Matrizen über einem Körper K bilden zusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement E n. Beweis: (K n n, +) ist eine kommutative Gruppe Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
26 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Gegenbeispiel: ( ) ( ) ( ) = ( ) = 7 12 ( ) ( ) ( ) = ( ) 10 5 = Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
27 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Satz (Ring der n n Matrizen) Die Menge K n n der n n Matrizen über einem Körper K bilden zusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement E n. Beweis: (K n n, +) ist eine kommutative Gruppe Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ E n ist das neutrale Element bzgl. der Matrixmultiplikation Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
28 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring E n ist das neutrale Element bzgl. der Matrixmultiplikation Sei A = (a ij ) K n n. n A E n = (a ik )(e kj ) = ( a ik e kj ) k=1 = (a ij e jj ) = (a ij ). Ebenso zeigt man, dass E n A = (e ik )(a kj ) = (a ij ) ist. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
29 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Matrizenring Satz (Ring der n n Matrizen) Die Menge K n n der n n Matrizen über einem Körper K bilden zusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement E n. Beweis: (K n n, +) ist eine kommutative Gruppe Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ E n ist das neutrale Element bzgl. der Matrixmultiplikation Matrizen sind im Allgemeinen nicht invertierbar (bezgl. der Matrixmultiplikation). Invertierbare Matrizen in K n n heißen auch regulär. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
30 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Transponierte Matrizen Manchmal benötigt man Matrizen in einer umgedrehten Form, d.h. mit vertauschten Zeilen und Spalten: a 11 a 12 a 1m a 11 a 21 a n1 a 21 a 22 a 2m Transponierung A = A t a 12 a 22 a n2 =.. a n1 a n2 a nm a 1m a 2m a nm A t heißt transponierte Matrix von A. Ist A K n m, so ist A t K m n. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
31 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Skalarprodukt (Spalten)Vektoren aus K n sind n 1-Matrizen: K n K n 1. Sei Dann ist Kann man Vektoren miteinander multiplizieren? Im Prinzip ja, wenn man einen von ihnen transponiert. das Skalarprodukt auf K n. x 1 y 1 x 2 x =., y = y 2.. x n y n x y := x t y = x 1 y x n y n K Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
32 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Skalarprodukt Beispiele Beispiele: Es ist Betrachte die Vektoren ( ) ( ) 2 1 u =, v =, x = 0 1 u v = 2 x y = 4 u y = 0 v x = 4 ( ) 2, y = 2 ( ) 0. 2 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
33 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Geometrie von Vektoren im R n Definition (Länge von Vektoren) v 2 Die Länge eines Vektors v =. Rn ist definiert als v n v = v 1 v v v 2 n. Es ist also v = v v. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
34 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Geometrie von Vektoren (Forts.) Seien x, y R n, sei ( x, y) der Winkel zwischen diesen Vektoren. Man kann zeigen: Cosinus und Skalarprodukt x y = x y cos ( x, y). 1 a b Θ cos Θ 1 a b cos Θ Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
35 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Skalarprodukt, Cosinus und Ähnlichkeiten Folgendes Lemma lässt sich leicht beweisen: Lemma Seien x, y R n Vektoren. Stehen x, y aufeinander senkrecht, so gilt x y = 0. x y cos ( x, y) = x y. Wegen der Beziehung zum Cosinus wird das Skalarprodukt in Anwendungen (z.b. Information Retrieval, Suchmaschinen) oft als Ähnlichkeitsmaß verwendet. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
36 Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Cosinus und Ähnlichkeit Beispiel Betrachte die Vektoren ( ) 2 u =, v = 0 ( ) 1, x = 1 Es ist u = 2, v = 2, x = 2 2, y = 2. ( ) 2, y = 2 ( ) 0. 2 u v = 2 cos ( u, v) = 1 2 x y = 4 cos ( x, y) = 1 2 u y = 0 cos ( u, y) = 0 orthogonal v x = 4 cos ( v, x) = 1 vollkommen ähnlich! Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
37 Vektorräume Teilräume Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten 9.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
38 Vektorräume Teilräume Kapitel 9 Vektorräume 9.2 Teilräume Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
39 Vektorräume Teilräume Untervektorräume Definition (Teilräume, Untervektorräume) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V eine Teilmenge von V. U heißt Teilraum oder Untervektorraum von V, wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt: (i) U, (ii) v, w U = ( v + w) U, (iii) s K, v U = (s v) U. Satz Ein Teilraum U eines K-Vektorraumes (V, +, ) zusammen mit der Einschränkung der Addition + U U und Skalarmultiplikation K U auf U ist selbst wieder ein K-Vektorraum. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
40 Vektorräume Teilräume Untervektorräume Definition (Teilräume, Untervektorräume) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V, U heißt Teilraum von V, wenn gilt: (i) U, (ii) v, w U ( v + w) U, (iii) s K, v U (s v) U. Beweis: Sei U Teilraum eines K-Vektorraumes (V, +, ). z.z.: (U, + U U, K U ) ist ein K-Vektorraum Wohldefiniertheit: + U U : U U U ( v, w) v + w (ii) K U : K U U (s, v) s v (iii) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
41 Vektorräume Teilräume Untervektorräume Definition (Teilräume, Untervektorräume) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V, U heißt Teilraum von V, wenn gilt: (i) U, (ii) v, w U ( v + w) U, (iii) s K, v U (s v) U. Beweis: Sei U Teilraum eines K-Vektorraumes (V, +, ). z.z.: (U, + U U, K U ) ist ein K-Vektorraum Wohldefiniertheit (U, +) ist eine kommutative Gruppe Kommutativität überträgt sich aus V Assoziativität überträgt sich aus V neutrales Element: U v U 0 v U Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
42 Vektorräume Teilräume Untervektorräume Definition (Teilräume, Untervektorräume) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V, U heißt Teilraum von V, wenn gilt: (i) U, (ii) v, w U ( v + w) U, (iii) s K, v U (s v) U. Beweis: Sei U Teilraum eines K-Vektorraumes (V, +, ). z.z.: (U, + U U, K U ) ist ein K-Vektorraum Wohldefiniertheit (U, +) ist eine kommutative Gruppe Kommutativität überträgt sich aus V Assoziativität überträgt sich aus V neutrales Element 0 U inverse Elemente : Sei v U. Dann gilt: v = (1 v) = ( 1) v U Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
43 Vektorräume Teilräume Untervektorräume Definition (Teilräume, Untervektorräume) Es sei (K, +, ) ein Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V, U heißt Teilraum von V, wenn gilt: (i) U, (ii) v, w U ( v + w) U, (iii) s K, v U (s v) U. Beweis: Sei U Teilraum eines K-Vektorraumes (V, +, ). z.z.: (U, + U U, K U ) ist ein K-Vektorraum Wohldefiniertheit (U, +) ist eine kommutative Gruppe 1 v = v v V überträgt sich aus V (s s ) v = s (s v) s, s K, v V überträgt sich aus V (s + s ) v = (s v) + (s v) s, s K, v V überträgt sich aus V s ( v + w) = (s v) + (s w) s K, v, w V überträgt sich aus V Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
44 Vektorräume Teilräume Charakterisierung von Teilräumen Korollar (Teilräume und Nullvektor) Zu jedem Teilraum gehört der Nullvektor 0. Beweis: Sei U ein Teilraum. U v U 0 v = 0 U Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
45 Vektorräume Teilräume Charakterisierung von Teilräumen Lemma (Charakterisierung von Teilräumen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U V ist genau dann ein Teilraum von V, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: s K, v, w U ((s v) + w) U. Beweis: Seien (V, +, ) ein K-Vektorraum, U V und U. Sei U ein Teilraum, s K und v, w U. ((s v) + w) U }{{} U Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
46 Vektorräume Teilräume Charakterisierung von Teilräumen Lemma (Charakterisierung von Teilräumen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U V ist genau dann ein Teilraum von V, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: s K, v, w U ((s v) + w) U. Beweis: Seien (V, +, ) ein K-Vektorraum, U V und U. Sei U V, U mit ((s v) + w) U s K, v, w U. z.z.: U ist ein Teilraum von V U Sei v, w U ( v + w) = ((1 v) + w) U Sei s K, v U (s v) = (s v) + 0 U Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
47 Vektorräume Teilräume Untervektorräume - Beispiele Geraden/Ebenen Beispiel (Geraden im R 2 /R 3 ): Jede durch den Ursprung verlaufende Gerade im R 2 /R 3 ist ein Untervektorraum des (R 2 /R 3, +, ). Beispiel (Ebenen im R 3 ): Alle Ebenen des R 3, die durch den Ursprung verlaufen, sind Untervektorräume des (R 3, +, ). Beispiel (Ebene im R 3 ): Es sei M R 3 die Menge M = { (x, y, z) R 3 z = x + y } M ist ein Untervektorraum des (R 3, +, ). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
48 Vektorräume Teilräume Untervektorräume - Beispiel Sei A K n m eine n m-matrix. Sei N(A) K m die Menge N(A) = { x K m A x = 0 }. N(A) ist ein Teilvektorraum von (K m, +, ). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
49 Vektorräume Teilräume Triviale Untervektorräume Satz Jeder Vektorraum V enthält auf jeden Fall die trivialen Untervektorräume V (also sich selbst) und den Nullvektorraum { 0}. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
50 Vektorräume Teilräume Weitere wichtige Teilräume Wir diskutieren als nächstes Teilräume, die aus anderen Teilräumen durch Schnittbildung und Addition entstehen. Lemma Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und U 1, U 2 zwei Teilräume von V. Dann sind auch U 1 U 2 und U 1 + U 2 := { u 1 + u 2 u 1 U 1 und u 2 U 2 } Teilräume von V. Bemerkung: Ist I eine beliebige Indexmenge und ist für alle i I die Menge U i ein Teilraum von V, so ist auch i I U i ein Teilraum von V. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
51 Vektorräume Teilräume Weitere wichtige Teilräume Beweis: Seien U 1, U 2 Teilräume von V. z.z.: U 1 U 2 ist ein Teilraum von V 0 U 1 U 2 Sei s K, v, w U 1 U 2. v, w U 1 v, w U 2 ((s v) + w) U 1 ((s v) + w) U 2 ((s v) + w) U 1 U 2 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
52 Vektorräume Teilräume Weitere wichtige Teilräume Beweis: Seien U 1, U 2 Teilräume von V. z.z.: U 1 U 2 ist ein Teilraum von V z.z.: U 1 + U 2 ist ein Teilraum von V 0 = U 1 + U 2 Sei s K, v, w U 1 + U 2. v = v 1 + v 2, w = w 1 + w 2 mit v 1, w 1 U 1, v 2, w 2 U 2 ((s v) + w) = (s ( v 1 + v 2 )) + ( w 1 + w 2 ) = ((s v 1 ) + (s v 2 )) + ( w 1 + w 2 ) = ((s v 1 ) + w 1 ) + ((s v 2 ) + w 2 ) }{{}}{{} U 1 U 1 + U 2 U 2 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
53 Vektorräume Teilräume Erzeugte Teilräume Es sei V ein K-Vektorraum. Für v V definieren wir v := {s v s K}. Dann ist v ein Teilraum von V. Man nennt ihn den von v erzeugten Teilraum. Beispiel (Geraden im R 2 ): Im R-Vektorraum R 2 kann man sich den von einem Vektor ( x y) 0 erzeugten Teilraum als die Punkte auf der eindeutigen Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt ( x y) vorstellen. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
54 Vektorräume Teilräume Erzeugte Teilräume (Forts.) Sind v 1 und v 2 zwei Vektoren in V, so ist (nach Lemma 4.2.6) v 1 + v 2 = {s 1 v 1 + s 2 v 2 s 1, s 2 K} auch ein Teilraum. Solche Teilräume wollen wir uns im Folgenden näher anschauen. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
55 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten 9.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
56 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Kapitel 9 Vektorräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
57 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Erzeugung von Vektorräumen durch Linearkombinationen Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit Vektor- und Teilräumen spielen Linearkombinationen von Vektoren. Das sind neue Vektoren, die durch Skalarmultiplikation und Vektoraddition aus gegebenen Vektoren entstehen. Wir hatten gerade gesehen, dass solche Linearkombinationen bei der Erzeugung von Teilräumen auftreten. Mit Hilfe von Linearkombinationen kann man einen Teilraum also von innen heraus erzeugen. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
58 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Linearkombinationen und Erzeugnisse Definition (Linearkombinationen, Erzeugnisse) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum mit Vektoren v 1,..., v n V. Dann heißt der Vektor v V eine Linearkombinationen der Vektoren { v 1,..., v n }, wenn es s 1,..., s n K gibt mit v = s 1 v s n v n. Ist M V eine Teilmenge von V, so definieren wir das Erzeugnis von M als { n } M := s i v i n N, s i K und v i M für i = 1,..., n, i=1 wobei der leeren Summe der Nullvektor entspricht: = 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
59 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Erzeugte Teilräume Lemma Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und M V eine beliebige Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis M von M ein Teilraum von V. Beweis: Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und sei M V. 0 = M M. Seien s K, v, w M v 1,... v n, w 1... w n M, n, m N: Daraus folgt: v = s 1 v s n v n, w = t 1 w t n w n, s v + w = s (s 1 v s n v n ) + t 1 w t n w n = (s s 1 ) v (s s n ) v n + t 1 w t n w n < M > Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
60 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Erzeugte Teilräume M heißt auch der von M erzeugte Teilraum von V. Die Menge M heißt Erzeugendensystem von M. Lemma M ist der kleinste Teilraum (bezüglich Mengeninklusion) von V, der M enthält. Beweis: Sei M V, U ein Teilraum von V mit M U. z.z.: M U Sei v M v = s 1 v s n v n für einige v 1,..., v n M, s 1,..., s n K v 1,..., v n U, da M U v U Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
61 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Erzeugte Teilräume M heißt auch der von M erzeugte Teilraum von V. Die Menge M heißt Erzeugendensystem von M. Lemma M ist der kleinste Teilraum (bezüglich Mengeninklusion) von V, der M enthält. Demnach macht es Sinn, als Erzeugnis der leeren Menge den trivialen Teilraum von V, der nur aus dem Nullvektor besteht, zu definieren, also := { 0}. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
62 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Endliche Erzeugendensysteme Definition (Endlich erzeugten (Unter)Vektorraum) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum. Gibt es eine endliche Menge M V, also M = { v 1,... v n } mit n N, so dass U = M, so sagen wir, dass U endlich erzeugt ist. Wir schreiben auch Die Schreibweise M = { v 1,..., v n } = v 1,..., v n { n } = s i v i s i K für i = 1,..., n i=1 v = {s v s K} für v V haben wir schon am Ende des letzten Unterabschnittes verwendet. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
63 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Beispiel erzeugter Teilraum in R 2 Es sei V = R 2 und M = {( ) 1, 1 ( ) 1, 1 ( )} 1. 0 Dann ist M = R 2, denn ein beliebiger Vektor ( x y) R 2 kann wie folgt als Linearkombination der Elemente von M geschrieben werden: ( ) x y { (1 1 = x ( ) (y x) ( 1 1 ) + (y x) ( ) 1. 0 ) ( Damit ist, 1 ) ( 1, 1 ) } 0 also ein Erzeugendensystem des Vektorraums R 2 und R 2 ist folglich endlich erzeugt. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
64 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Beispiel erzeugter Teilraum in R 2 (Forts.) { (1 ) ( Bereits die Teilmenge 1, 1 ) } 0 von M ist ein Erzeugendensystem von R 2, da ein beliebiger Vektor ( x y) R 2 geschrieben werden kann als ( ) x = y y ( 1 1 ) + (x y) ( ) 1 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
65 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Beispiel K n und Einheitsvektoren Wir betrachten den K-Vektorraum K n. Für i = 1,..., n sei e i der Vektor, dessen i-ter Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0, d.h { e i = 1 1 falls j = i, i ( e i ) j = 0 0 sonst.. 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
66 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Beispiel K n und Einheitsvektoren (Forts.) Der Vektor e i heißt i-ter Einheitsvektor. Dann ist { e 1,..., e n } ein Erzeugendensystem von K n, also K n = e 1,..., e n, denn x 1. = x 1 e x n e n für alle x 1,..., x n K. x n Folglich ist der Vektorraum K n endlich erzeugt. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
67 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Idee der Vektorraumbasis Idee der Basis: Mit Hilfe von Erzeugendensysteme lassen sich (Unter)Vektorräume leicht kompakt repräsentieren, sie enthalten offenbar alle wichtigen Informationen über den Vektorraum. Wie kann man diese Art der Repräsentation von Vektorräumen optimieren? Minimalität: Kein Vektor in dem optimalen Erzeugendensystem ist überflüssig. Unabhängigkeit: Die Vektoren im optimalen Erzeugendensystem sind (irgendwie) unabhängig voneinander. Eindeutigkeit: Jeder Vektor des erzeugten Vektorraumes hat genau eine Darstellung als Linearkombination der Vektoren des Erzeugendensystems. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
68 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Vektorraumbasis Definition (Basis) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge M V heißt Basis von V, wenn sich jedes v V eindeutig als Linearkombination von paarweise verschiedenen Vektoren aus M schreiben lässt. Außerdem definieren wir, dass die leere Menge eine Basis des trivialen K-Vektorraums { 0} ist. Insbesondere ist jede Basis von V auch ein Erzeugendensystem von V. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
69 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Endliche Basen Zunächst einmal charakterisieren wir endliche Basen, die für viele Beispiele und Anwendungen wichtig sind: Satz Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. Die endliche Teilmenge { v 1,..., v n } V ist Basis von V genau dann, wenn v 1,..., v n paarweise verschieden sind und es zu jedem u V genau ein n-tupel (x 1,..., x n ) K n gibt mit u = x 1 v x n v n Beispiel (Einheitsvektoren im K n ): Die Menge der Einheitsvektoren { e 1,..., e n } ist eine Basis des K-Vektorraums K n. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
70 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Endliche Basen Definition (Basis) Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. M V heißt Basis von V : jedes v V sich eindeutig als Linearkombination von paarw. verschiedenen Vektoren aus M schreiben lässt. Beweis: Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. z.z.: { v 1,..., v n } V ist Basis von V (i) v 1,..., v n sind paarweise verschieden (ii) zu jedem u V existiert genau ein (x 1,..., x n ) K n mit u = x 1 v x n v n Sei { v 1,..., v n } eine Basis von V. (i) Ann.: v i = v j, für 1 i j n v i = 1 v i = 1 v j (ii) Sei u V. u lässt sich eindeutig als Linearkombination von { v 1,..., v n } schreiben Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
71 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Endliche Basen Definition (Basis) Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. M V heißt Basis von V : jedes v V sich eindeutig als Linearkombination von paarw. verschiedenen Vektoren aus M schreiben lässt. Beweis: Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. z.z.: { v 1,..., v n } V ist Basis von V (i) v 1,..., v n sind paarweise verschieden (ii) zu jedem u V existiert genau ein (x 1,..., x n ) K n mit Folgt aus der Definition. u = x 1 v x n v n Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
72 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Vektorraumbasis Beispiele Negatives Beispiel 1: Wie wir weiter oben beobachtet haben, gilt (1 ) ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) { (1 0 = R 2 ) (. Die Menge 1, 1 ) ( 1, 1 ) } 0 ist jedoch keine Basis von R 2, denn ( ) ( ) ( ) ( ) = und andererseits ( 1 ) 1 = 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 Negatives Beispiel 2: Der Nullvektor 0 kann nie Element einer Basis sein, denn 0 0 = 1 0 = 0, so dass also die Koeffizienten der Darstellung nicht eindeutig sind. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
73 Vektorräume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Vektorraumbasis Beispiele Beispiel: Die Menge { (1 ) ( 1, 1 0) } ist Basis von R 2, denn für ( x y) R 2 gilt ( ) x y = y ( ) 1 + (x y) 1 ( ) 1. 0 Gilt auch ( ) x y = a ( ) 1 + b 1 ( ) 1 0 für a, b R, so muss x = a + b und y = a gelten. Daraus folgt aber a = y und b = x y, so dass die Koeffizienten also eindeutig sind. Beispiel (R n ): Der R-Vektorraum R 2 hat unendlich viele Basen: Zum Beispiel ist die Menge { e 1, c e 2 } für alle c R\{0} eine Basis von R 2. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
74 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten 9.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
75 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Kapitel 9 Vektorräume 9.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
76 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Lineare Unabhängigkeit Bei der Idee eines optimalen Erzeugendensystems (also einer Basis) sollte auch die Idee der Unabhängigkeit umgesetzt werden. Das wollen wir nun konkretisieren. Definition (Lineare Unabhängigkeit) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge M V heißt linear unabhängig, wenn für jedes v M gilt, dass M \ {v} M. Die Teilmenge M heißt linear abhängig, wenn M nicht linear unabhängig ist, das heißt M ist linear abhängig v M : M \ { v} = M. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
77 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Lineare Unabhängigkeit Beispiele Beispiel: Die leere Menge ist linear unabhängig. Beispiel: Ist 0 M, so ist M linear abhängig, da M \ { 0} = M. Beispiel: Die Menge aber auch schon M \ { (1 1 1 { ( 1 ) (, 1 ) (, 1 ) } 0 ist linear abhängig, weil M = R 2 1 ) } = R 2. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
78 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein einfaches Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt ein v M mit v M \ { v}. Das Lemma sagt also aus, dass es in einer linear abhängigen Teilmenge M ein Element gibt, das als Linearkombination der anderen Elemente aus M geschrieben werden kann. In einer linear abhängigen Menge gibt es also überflüssige Elemente. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
79 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein einfaches Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt ein v M mit v M \ { v}. Beweis: (i) (ii) Sei M V eine linear abhängige Teilmenge von V. v M mit M \ { v} = M v M M = M \ { v}. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
80 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein einfaches Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt ein v M mit v M \ { v}. Beweis: (ii) (i) Sei v M mit v M \ { v}. Dann ist v = n s i v i i=1 für s i K, v i M \ { v} z.z.: M \ { v} = M Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
81 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein einfaches Lemma Beweis: (ii) (i) Sei v M mit v M \ { v}. Dann ist v = n s i v i i=1 für s i K, v i M \ { v} z.z.: M \ { v} = M M \ { v} M M \ { v} M Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
82 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein einfaches Lemma Beweis: (ii) (i) Sei v M mit v M \ { v}. Dann ist v = n s i v i i=1 für s i K, v i M \ { v} z.z.: M \ { v} = M Sei w M. z.z.: w M \ { v} w = m t j w j j=1 für t j K, w j M 1. Fall: v w j 1 j m w M \ { v} Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
83 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein einfaches Lemma Beweis: (ii) (i) Sei v M mit v M \ { v}. Dann ist n v = s i v i für s i K, v i M \ { v} i=1 z.z.: M \ { v} = M Sei w M. z.z.: w M \ { v} m w = t j w j für t j K, w j M j=1 2. Fall: v = w j für ein j, o.b.d.a. v = w 1. Dann gilt: m n m w = t 1 v + t j w j = t 1 ( s i v i ) + t j w j = j=2 n (t 1 s i ) v i + i=1 j=2 m t j w j M \ { v} i=1 j=2 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
84 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Lineare Abhängigkeit Beispiel Es sei V = R 3 und M := 1, 0, 1, Dann ist M linear abhängig, da , 1, Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
85 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Lineare Abhängigkeit Beispiel (Forts.) Es gilt auch , 0 1 0, und , 1 0 0, Man beachte jedoch, dass / 1 1 0, 1 0 0, Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
86 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Folgerung Lineare Abhängigkeit Welche Folgerung können wir aus dem letzten Beispiel ziehen? Bemerkung: Bei einer linear abhängigen Menge M muss nicht jedes Element v M in dem von den übrigen erzeugten Teilraum liegen. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
87 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M mit zugehörigen Skalaren s 1,..., s n K, die nicht alle Null sind, mit s 1 v s n v n = 0. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
88 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M mit zugehörigen Skalaren s 1,..., s n K, die nicht alle Null sind, mit s 1 v s n v n = 0. Beweis: (i) (ii) Sei M linear abhängig. v 1 M : v 1 M \ { v 1 } 1. Fall: M \ { v 1 } =. { } v 1 = 0 v 1 = 0, s 1 := 1 K s 1 v 1 = 1 0 = 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
89 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M mit zugehörigen Skalaren s 1,..., s n K, die nicht alle Null sind, mit s 1 v s n v n = 0. Beweis: (i) (ii) Sei M linear abhängig. v 1 M : v 1 M \ { v 1 } 2. Fall: M \ { v 1 }. paarw. verschiedene v 2,..., v n M \ { v 1 } und s 2,..., s n K : v 1 = s 2 v s n v n 0 = v 1 + s 2 v s n v n mit s 1 = 1 0. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
90 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Lemma Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. (ii) Es gibt paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M mit zugehörigen Skalaren s 1,..., s n K, die nicht alle Null sind, mit s 1 v s n v n = 0. Beweis: (ii) (i) Seien v 1,..., v n M paarweise verschieden und s 1,..., s n K, mit s 1 v s n v n = 0. Mindestens ein s i ist 0, sei dies o.b.d.a. s 1. Dann ist s 1 v 1 = s 2 v 2 s n v n v 1 = s1 1 2 v 2 ) s1 1 n v n ) = (s1 1 2) v 2 (s1 1 n) v n v 1 v 2,..., v n M \ { v 1 }. s 1 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
91 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Korollar Als unmittelbare Folgerung aus Lemma erhalten wir das nächste Korollar. Korollar Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear unabhängig. (ii) Für beliebige paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M und beliebige Skalare s 1,..., s n K, gilt: s 1 v s n v n = 0 = s 1 = = s n = 0. Bemerkung: Die Implikation in Teil (ii) des obigen Korollars ist eigentlich eine Äquivalenz. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
92 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Korollar Lemma Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear abhängig. =: A (ii) paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M mit s 1,..., s n K : s 1 v s n v n = 0 (s 1 = = s n = 0).=: B Korollar Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear unabhängig. z.z.: = A (ii) paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M und s 1,..., s n K, gilt: s 1 v s n v n = 0 = s 1 = = s n = 0. z.z.: = B Beweis: Es gilt: (A B) ( A B). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
93 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Korollar Korollar Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear unabhängig. z.z.: = A (ii) paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M und s 1,..., s n K, gilt: s 1 v s n v n = 0 = s 1 = = s n = 0. z.z.: = B Beweis: Sei V ein K-Vektorraum und M V. A := M ist linear abhängig B := paarw. verschiedene v 1,..., v n M, s 1,..., s n K s 1 v s n v n = 0 (s 1 = = s n = 0) B paarw. verschiedene v 1,..., v n M, s 1,..., s n K (s 1 v s n v n = 0 (s 1 = = s n = 0)) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
94 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Ein wichtiges Korollar Korollar Es sei V ein K-Vektorraum und M V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) M ist linear unabhängig. z.z.: = A (ii) paarweise verschiedene Vektoren v 1,..., v n M und s 1,..., s n K, gilt: s 1 v s n v n = 0 = s 1 = = s n = 0. z.z.: = B Beweis: B paarw. verschiedene v 1,..., v n M, s 1,..., s n K : (s 1 v s n v n = 0 (s 1 = = s n = 0)) paarw. verschiedene v 1,..., v n M, s 1,..., s n K : (s 1 v s n v n = 0) s 1 = = s n = 0 paarw. verschiedene v 1,..., v n M, s 1,..., s n K : s 1 v s n v n = 0 s 1 = = s n = 0 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
95 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Teilmengen linear unabhängiger Mengen Ein Korollar zum Korollar... Korollar Teilmengen linear unabhängiger Mengen sind selbst wieder linear unabhängig sind. Gilt dieses Korollar auch für linear abhängige Mengen? Nein! Gegenbeispiel? Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
96 Vektorräume Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten Lineare Abhängigkeit - Beispiel Es sei V = R 3 und M = 1, 2, Um festzustellen, ob M linear abhängig ist, müssen wir nach Lemma überprüfen, ob es Skalare x 1, x 2, x 3 R gibt mit (x 1, x 2, x 3 ) (0, 0, 0), so dass x x x 3 3 = gilt. Dies ist z.b. für (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 2, 1) der Fall. Also ist M linear abhängig Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
97 Vektorräume Basen Übersicht Kapitel 10 Vektorräume 10.1 Definition und Geometrie von Vektoren 10.2 Teilräume 10.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 10.4 Lineare Abhängigkeiten und lineare Unabhängigkeiten 10.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
98 Vektorräume Basen Kapitel 10 Vektorräume 10.5 Basis und Dimension Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
99 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen - Vorüberlegungen Wir bringen nun die Begriffe Vektorraumbasis und lineare Unabhängigkeit zusammen und verbinden diese außerdem mit dem Begriff der Minimalität. Wir werden auch sehen, dass eine Vektorraumbasis optimal ist in Bezug auf maximale Ausschöpfung. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
100 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Satz (Charakterisierung von Basen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und M V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) M ist Basis von V. (ii) M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. (iii) M ist inklusionsminimales Erzeugendensystem von V, d.h. M = V und M \ { u} V für alle u M. (iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. M ist linear unabhängig, aber M { v} ist für jedes v V \ M linear abhängig. Beweis: Mittels Ringschluss: (i) (ii) (iii) (iv) (i) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
101 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Satz (Charakterisierung von Basen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und M V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) M ist Basis von V. (ii) M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. (iii) M ist inklusionsminimales Erzeugendensystem von V, d.h. M = V und M \ { u} = V für alle u M. (iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. M ist linear unabhängig, aber M { v} ist für jedes v V \ M linear abhängig. Beweis: (i) (ii) Sei M eine Basis von V. z.z.: M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
102 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Beweis: (i) (ii) Sei M eine Basis von V. z.z.: M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V Jedes v V lässt sich eindeutig als Linearkombination von paarw. verschiedenen Vektoren aus M schreiben. (Defn Basis) M ist Erzeugendensystem von V z.z.: M ist linear unabhängig Seien v 1,..., v n M, paarweise verschieden, mit s 1,..., s n K, so dass s 1 v s n v n = 0 = 0 v v n. Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung ist dann s 1 = = s n = 0. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
103 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Satz (Charakterisierung von Basen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und M V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) M ist Basis von V. (ii) M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. (iii) M ist inklusionsminimales Erzeugendensystem von V, d.h. M = V und M \ { u} = V für alle u M. (iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. M ist linear unabhängig, aber M { v} ist für jedes v V \ M linear abhängig. Beweis: (ii) (iii) Sei M ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. z.z.: M = V und M \ { u} V für alle u M. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
104 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Beweis: (ii) (iii) Sei M ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. z.z.: M = V und M \ { u} V für alle u M. M ist Erzeugendensystem M = V M ist linear unabhängig u M : M \ u M = V Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
105 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Satz (Charakterisierung von Basen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und M V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) M ist Basis von V. (ii) M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. (iii) M ist inklusionsminimales Erzeugendensystem von V, d.h. M = V und M \ { u} = V für alle u M. (iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. M ist linear unabhängig, aber M { v} ist für jedes v V \ M linear abhängig. Beweis: (iii) (iv) Sei M = V und M \ { u} V für alle u M M ist linear unabhängig z.z.: M { v} ist für alle v V \ M linear abhängig. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
106 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Beweis: (iii) (iv) Sei M = V und M \ { u} V für alle u M M ist linear unabhängig z.z.: M { v} ist für alle v V \ M linear abhängig. Sei v V \ M. Dann ist Damit gilt V = M M { v} V M { v} = V und (M { v}) \ v = M = V und damit ist M { v} linear abhängig. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
107 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Satz (Charakterisierung von Basen) Es sei (V, +, ) ein K-Vektorraum und M V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) M ist Basis von V. (ii) M ist linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. (iii) M ist inklusionsminimales Erzeugendensystem von V, d.h. M = V und M \ { u} = V für alle u M. (iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. M ist linear unabhängig, aber M { v} ist für jedes v V \ M linear abhängig. Beweis: (iv) (i) Sei M inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V. z.z.: Jedes v V lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M schreiben Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
108 Vektorräume Basen Charakterisierung von Basen Beweis: (iv) (i) Sei M inklusionsmaximale linear unabhängige Teilmenge von V. z.z.: Jedes v V lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M schreiben M = V v M v / M M {v} ist linear abhängig Also gibt es v 1,..., v n M und s, s 1,..., s n K, nicht alle gleich 0: s v + s 1 v s n v n = 0. Da M linear unabhängig ist, muss s 0 sein. Also gilt s v = s 1 v s n v n v = ( s) 1 s 1 v ( s) 1 s n v n Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669
Mathematik für Informatiker 1
Mathematik für Informatiker Vorlesungsskriptum Wintersemester 20/202 Gabriele Kern-Isberner Bernhard Steffen Oliver Rüthing unter Mitwirkung von Sibylle Hess und Timo Stöcker Fakultät für Informatik Technische
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