Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).

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1 44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften enes Gases aus Fermonen be ener Temperatur T betrachten. Nach der Defnton enes Gases besteht auch en Fermgas aus Telchen, eben den Fermonen, deren Wechselwrkung unterenander vernachlässgbar st. De Energe enes solchen Fermgases berechnet sch also dadurch, dass man de Entelchenenergen der enzelnen Fermonen aufaddert. Anders ausgedrückt: Man bestmmt de möglchen Entelchenenergen des Systems und de Besetzungszahl des entsprechenden Entelchennveaus n. Ist das System aus N Fermonen n senem Grundzustand, so werden gerade de N Nveaus mt den nedrgsten Entelchenenergen enfach besetzt sen. Ene Doppelbesetzung st ja durch das Paul Prnzp verboten. Ordnet man de Entelchennveaus entsprechend hrer Energe an, so snd m Grundzustand gerade alle Nveaus bs zur Fermenerge F besetzt. De Energe deses Grundzustandes berechnet sch gemäß E n Für de Besetzungszahlen der Nveaus glt also F. (3.) n { für F für > F (3.2) Dese Vertelung der Besetzungszahlen st n Abb. 3. a) dargestellt. Auch de Energen der angeregten Zustände des Fermgases E α können n der Form der ersten Zele von (3.) berechnet werden. Ledglch de Vertelung der Besetzungszahlen n st be ener solchen angeregten Konfguraton anders, etwa so we se m Bespel der Abb. 3. b) dargestellt st. Brngt man das Fermgas n Kontakt mt enem Wärmebad der Temperatur T, so dass Energe ausgetauscht werden kann zwschen dem Wärmebad und dem Fermgas, so st de

2 3.3. FERMI DIRAC STATISTIK 45 Energe des Fermgases ncht mehr fest defnert. Velmehr wrd en Zustand des Fermgases der Energe E α realsert sen mt ener Wahrschenlchket P(E α ), de entsprechend der Boltzmann Vertelung gegeben st durch P(E α ) Ce Eα/k BT Ce βeα. (3.3) Dabe steht k B für de Boltzmann Konstante und wr haben de üblche Abkürzung für de nverse Temperatur engeführt mt β k B T. (3.4) De Normerungskonstante C n (3.3) ergbt sch aus der Forderung, dass de Summe der Wahrschenlchketen P(E α ), summert über alle Zustände des Systems α den Wert annehmen muss P(E α ) C e βeα. (3.5) α α Defneren wr also de Zustandssumme durch so glt und Z α C Z, e βeα, (3.6) P(E α ) Z e βeα. (3.7) In der Regel st es praktsch unmöglch de Zustandssumme Z aus (3.6) für en makroskopsches System zu berechnen, de Zahl der Summanden st schlcht zu groß. Des wrd uns durch de folgende Abschätzung verdeutlcht. Nehmen wr enmal an, dass es k unterschedlche Entelchennveaus gbt mt Entelchenenergen. Wr wollen nun abschätzen we vele Konfguratonen es für N Fermonen gbt, d.h. we vele Möglchketen dese N Fermonen auf de k Zustände zu vertelen. Für N ergeben sch k Möglchketen: das Fermon kann jedes deser Nveaus besetzen, was jewels ener anderen Konfguraton entsprcht. Für N 2 können wr das erste Fermon n jedes der k Nveaus plazeren, so dass für das zwete Fermon jewels (k ) Möglchketen offenstehen. Auf den ersten Blck schent es also k(k ) Konfguratonen für N 2 zu geben. Dabe müssen wr aber berückschtgen, dass de Fermonen ununterschedbar snd. Des bedeutet, dass de Konfguraton be der Telchen m Nveau 5 und Telchen 2 m Nveau 23 untergebracht st, dentsch st mt der Konfguraton be der sch Telchen 2 m Nveau 5 und Telchen m Nveau 23 befndet. De Gesamtzahl der Konfguratonen beträgt also für N 2: k(k ). 2 Mt Hlfe der vollständgen Indukton über N kann man zegen, dass de Zahl der Konfguratonen für N Telchen n k Zustände den Wert ( ) k k(k )... (k N + ), (3.8) N N!

3 46 annmmt, ene Zahl de durch den sogenannten Bnomal Koeffzenten k über N gegeben st. Dese Zahl wächst also proportonal zu k N an. Damt wrd de Zahl der Summanden n der Zustandssumme be Telchenzahlen N von der Größe der Loschmdtschen Zahl so groß, dass selbst das Alter des Unversums ncht ausrechen würde, dass en moderner Computer ene solche Summe ausführen könnte. Es st aber sehr attraktv dese Zustandssumme auszurechnen. Mt hr kann man nämlch auch verschedene Mttelwerte des Systems drekt berechnen. Uns nteressert z.b. mt welcher statstschen Wahrschenlchket enes der Nveaus s mt der Entelchenenerge s besetzt st, wenn sch das Fermgas n Kontakt mt enem Wärmebad der Temperatur T befndet. Deser Mttelwert der Besetzungswahrschenlchket < n s >, berechnet sch natürlch dadurch, dass wr über alle Konfguratonen des Systems summeren, be jeder Konfguraton de Besetzungszahl deses Nveaus n s bestmmen und dese Besetzungszahl mt der Wahrschenlchket, dass dese Konfguraton engenommen wrd multplzeren. Es glt also: < n s > α n s P(E α ) n s α Z e βeα [n,n] n s e β(n +n ) [n,n] e β(n +n 2 2. (3.9) +...) Be dem Übergang zur drtten Zele haben wr de Summe über alle Konfguratonen α dargestellt durch ene Summe, be der de Besetzungszahlen aller Nveaus de Werte n oder n annehmen kann. Dabe snd aber nur solche Kombnatonen zu berückschtgen, be der de gesamte Fermonenzahl glech N st also glt: n N. (3.) Des soll durch das Symbol [n, N] unter dem Summenzechen n (3.9) angedeutet werden. De aktuelle Besetzungszahl n s be ener gegebenen Konfguraton kann man formal berechnen durch de Abletung ( n s ) d e β(n +n ). β d s Setzt man desen Ausdruck n (3.9) en, so ergbt sch < n s > ( ) d e β(n +n ) Z [n β d,n] s ( ) d Z β Z d s d ln Z. (3.) β d s Aus der Abletung des Logarthmus der Zustandssumme ergbt sch also drekt en Ausdruck für de mttlere Besetzungszahl < n s >. Kennt mann dese mttleren Besetzungszahlen, so können auch andere statstsche Mttelwerte berechnet werden, we z.b. der

4 3.3. FERMI DIRAC STATISTIK 47 e -αn Z(N ) Z(N ) e -αn Z(N ) Telchenzahl N Abbldung 3.2: Zustandssumme als Funkton der Telchenzahl, sehe Dskusson m Text Mttelwert für de Energe des Systems < E > < n >. Das Problem st aber nach we vor de Berechnung der Zustandssumme für ene große Zahl von Fermonen N. Deses Problem kann man durch enen Trck lösen, n dem man sch enem Problem zuwendet, das auf dem ersten Blck noch schwerger st: Wr betrachten nämlch en System von Fermonen, be denen de Telchenzahl N ncht fest st sondern flexbel. Des bedeutet natürlch, dass de Zahl der Summanden n der Zustandssumme noch größer wrd. Wr müssen ja ncht nur de Konfguratonen für ene Telchenzahl N aufsummeren sondern de Konfguratonen für alle möglchen Telchenzahlen N. We wr oben n (3.8) gesehen haben, wächst de Zahl der Summanden und, da alle Summanden postv snd, damt auch der Wert für de Zustandssumme proportonal zu k N mt der Telchenzahl N an. Des st n der Abb. 3.2 skzzert. Multplzert man de jewelgen Zustandssummen Z(N ) mt enem Exponentalfaktor Z(N ) e αn, so sorgt deser Exponentalfaktor dafür, dass das Produkt für große Werte von N weder klener wrd. Der Parameter α kann dabe so gewählt werden, dass das Maxmum deser Produktfunkton genau be ener anvserten Telchenzahl N N auftrtt. Damt defneren wr de Zustandssumme ener Großkanonschen Gesamthet durch Z N Z(N ) e αn. (3.2) Für große Telchenzahlen N st der Berech von Telchenzahlen, n dem das Produkt Z(N )e αn sgnfkant von Null verscheden st sehr klen verglchen zur Gesamttelchenzahl. Deshalb kann man also annähern Z Z(N) e αn N. (3.3) Dese Egenschaft der Großkanonschen Zustandssumme wrd m Detal noch n der Statstschen Mechank dskutert werden.

5 48 Der konstante Faktor N spelt be Berechnungen nach (3.) kene Rolle und wr können schreben ln Z ln Z(N) αn, bezehungswese ln Z(N) ln Z + αn, (3.4) wobe der Parameter α so gewählt werden muss, dass de mttlere Telchenzahl n der Großkanonschen Zustandssumme Z glech der gewünschten Telchenzahl N st. De Berechnung der Großkanonschen Zustandssumme wrd sch nun als relatv enfach erwesen. Nach (3.2) glt ja Z n e β(n +n ) e α(n +n ). (3.5) Da kene feste Telchenzahl vorgegeben st, haben wr her ene Summe über alle Kombnatonen von n ohne de Enschränkung (3.). Defneren wr außerdem α µ k B T βµ, (3.6) so kann man (3.5) umschreben n Z e β(n (µ )+n 2 (µ 2 )+...) n ( n ) ( n 2 ) e βn (µ ) e βn 2(µ 2) ( + e ) ( β(µ ) + e ) β(µ 2).... (3.7) Damt ergbt sch für den Logarthmus der Großkanonschne Zustandssumme ( ( ln Z ln )) + e β(µ ) ln ( + e ) β(µ ). (3.8)... Mt (3.4) ergbt sch also ln Z(N) βµn + ln ( + e β(µ ) ), (3.9) und de mttlere Besetzungszahl < n s > berechnet sch nach (3.) < n s > ( d ln ( + e )) β(µ ) β d s d ln ( + e β(µ s)) β d s ( β)e β(µ s) β + e β(µ s) e β(µ s) +. (3.2)

6 3.3. FERMI DIRAC STATISTIK 49 Ferm Drac Vertelung µ 4 k B T.2 k B T k B T 2 <n > µ Abbldung 3.3: Ferm Drac Vertelung be verschedenen Temperaturen Ergebnsse für des Ferm Drac Vertelung der Besetzungszahlen als Funkton der Entelchenenerge s snd n Abb. 3.3 dargestellt. Dabe wurde für den Parameter µ en Wert von µ 4 festgehalten, während für de Temperaturen verschedene Werte betrachtet werden. Im Fall µ lefert de Ferm Drac Vertelung < n s > e + 2, also gerade den Wert /2 unabhängg von der Temperatur. Im Grenzfall sehr klener Werte für, so dass µ sehr groß st gegenüber k B T, kann man den Betrag der Exponentalfunkton m Nenner von (3.2) gegenüber der vernachlässgen und erhält de Besetzungzahl < n s >. Anderersets ergbt sch für sehr große Werte von ene Besetzungszahl, de gegen Null geht. In welchem Energentervall de Besetzung von < n s > über den Wert /2 be µ auf < n s > abfällt wrd durch de Temperatur kontrollert. Im Grenzfall T bezehungswese β geht de Vertelung über n de Stufenfunkton, n desem Fall entsprcht der Parameter µ genau der Fermenerge. Für Temperaturen T > muss der Parameter µ, das Chemsche Potenzal so bestmmt werden, dass der Mttelwert für de Telchenzahl gerade den gewünschten Wert lefert. Für ene Telchenzahldchte, das st de Anzahl der Zustände pro Energentervall g() berechnet sch dese Telchenzahl < N > g() n s () > d. (3.2) Für den Fall, dass de Telchenzahldchte ene Konstante st, ergbt sch daraus mt (3.2) < N > g g β g β e β(µ ) + d d d ln ( + e β(µ )) d ln ( + e β(µ ))

7 5 g β [ ln() ln( + e βµ ) ]. (3.22)