Integralsatz von Gauss und Greensche Formeln

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1 Integralsatz von Gauss und Nicola Schweiger LM München Haslach am Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 1/12

2 Integralsatz von Gauss Sei R n ein beschränktes Gebiet mit stückweise glattem Rand. Der Rand sei orientiert durch eine äußere Normale ν. Ferner sei f = (f 1...f n ) C 0 (, R n ) C 1 (, R n ) zugleich gilt: div f dx < dann gilt: div f (x)dx = f (x) ν(x)ds Der Satz von Gauss stellt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes f in einem beliebigen Volumen und dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche des Volumens dar. Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 2/12

3 Theorie und Physik f = Vektorfeld div f = Divergenz des Feldes (div f = n f i ) x i ν = Einheits-normalenvektor dv = kleines Volumenelement V = ganzes Volumen ds = kleines Oberflächenelement S = ganze Oberfläche Satz: (Divergenzsatz) div f dv = S f ν ds Vergleich mit Wasser: Die Menge an Wasser, die in ein beliebiges Volumen gepumpt wird, ist gleich der Menge an Wasser die durch die Oberfläche des Volumens kommt Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 3/12

4 Beweis vom Integralsatz von Gauss Wir betrachten beschränkte Gebiete R n mit stückweise glattem Rand es reicht zu zeigen: f i dx = x i (Gaußsche Formel 2.2.1) da gilt: n f i divfdx = dx = n x i f i ν i ds f i dx = n f i ν i ds = x i n f iν i ds = f νds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 4/12

5 Beweis der Gaußschen Formel Beweis der Formel für etwas leichtere Gebiete: Wir betrachten ein Gebiet : = {x; Φ i (x ) < x i < Φ + i (x ), x i } i sind Gebiete aus R n 1 mit stückweise glattem Rand Φ i, Φ + i sind: i stetige Funktionen in i stückweise stetig differenzierbar haben dort integrierbare erste Ableitungen ngleichung gilt: Φ i (x) < Φ + i (x) für x i x = (x 1...x i 1, x i+1,..., x n ) Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 5/12

6 Einsetzen in die Gaußsche Formel liefert: Φ + i (x ) f i f i dx = dx i dx = x i x i i i Φ i (x ) i ( f + i (x ) f i (x ) ) dx f ± i : R n 1 i R, f ± i (x ) = F (x 1,..., x i 1,..Φ ± i (x ), x i+1,..., x n ) auf der anderen Seite liefert uns: ( f + i f ) i dx 1 = N fds i + 1 N fds + : ist der von der Karte Φ + i : ist der von der Karte Φ i bedeckte obere Teil der Hyperfläche bedeckte untere Teil der Hyperfläche Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 6/12

7 Da N die Außennormale darstellt, ist die i te Komponente von N: { 1, wenn x + N i = N i (x) = 1, wenn x dann ist die i te Komponente der äußeren Normale gegeben durch: 1 ν i (x) = N(x), 1 N(x), wenn x + wenn x und es gilt i ( f + i f ) i dx = f i ν i ds + f i ν i ds = + f i ν i ds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 7/12

8 Gradientensatz Mit Hilfe der Gaußschen Formel zeige man den Gradientensatz: fdx = f νds Beweis: fdx = n e i f x i dx = n e i f x i dx = n e i n e i ν i fds = f ν i ds = f νds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 8/12

9 1. Greensche Formel Wir betrachten ein beschränktes Gebiet R n mit stückweise glattem Rand. Seien u,v reellwertige Funktionen C 1 () und v C 2 () Zusätzlich gilt: v(x) dx < Dann gilt die erste Greensche Formel: (1) u(x) v(x)dx = u(x) v ν (x)ds u(x) v(x)ds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 9/12

10 Beweis der 1. Greenschen Formel durch Anwendung des Gaussschen Integralsatzes auf das Vektorfeld: f = (u v,..., u v ) = (u v) x 1 x n Dann Gilt: div(u(x) v(x))dx = u(x) v(x) + u(x) v(x)dx = = = u(x) v(x)dx + u(x) v(x)νds = u(x) v ν (x)ds u(x) + v(x)dx u(x) v x i, ν ds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 10/12

11 2. Greensche Formel Wir betrachten ein beschränktes Gebiet R n mit stückweise glattem Rand. Seien u,v reellwertige Funktionen C 1 () und v C 2 () Es gilt: v(x) dx <. Zusätzlich ist u C 2 () und u dx < Dann gilt die zweite Greensche Formel: (2) u(x) v(x) v(x) u(x)dx = u(x) v (x) v(x) u ν ν (x)ds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 11/12

12 Beweis der 2. Greenschen Formel folgt aus der ersten Greenschen Formel: = u(x) v(x) v(x) u(x)dx u(x) v(x)dx v(x) u(x)dx = u(x) v ν (x)ds u(x) v(x)dx v(x) u ν (x)ds v(x) u(x)dx = u(x) v ν (x)ds v(x) u ν (x)ds = u(x) v (x) v(x) u ν ν (x)ds Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 12/12