Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

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1 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw. Numerierug wesetlich ist. Defiitio. Eie reelle Folge ist eie Abbildug f : N R. Schreibweise : (a ) N, (a ), (a ) =1 (wobei a = f()) Beispiele. (a) (a ) mit a = liefert (1, 4, 9, 16,...) (b) (a ) mit a = 1 liefert (1, 1, 1 3,...) (c) (a ) mit a = liefert ( 7 9, 37 30, ,...) Bemerkuge. (i) Folge köe auf beliebige Mege X durch f : N X defiiert werde. (ii) Ma beachte de Uterschied zwische eier Folge ud der Mege der Folgeglieder. Die Folge a = ( 1), N, ist 1, 1, 1, 1,..., währed die Mege der Folgeglieder ur aus de zwei Elemete { 1, 1} besteht. (iii) Häufig hat ma es auch mit Folge der Form (a ) =m zu tu. Diese köe etwa durch Umidizierug mittels b 1 = a m, b = a m+1,... auf die Stadardform gebracht werde. Defiitio. Eie Folge (a ) heißt (i) ach obe (bzw. ach ute) beschräkt, we es eie Kostate M R gibt mit a M (bzw. M a ) für alle N. M heißt dabei obere Schrake (bzw. utere Schrake) vo (a ). 1

2 (ii) beschräkt, we (a ) sowohl ach obe als auch ach ute beschräkt ist, i.e. es existiert eie Schrake M R sodass a M für alle N. Satz. Seie (a ) ud (b ) beschräkte Folge. Da sid auch die Folge (a + b ) ud (a b ) beschräkt. Beweis. Gelte a M 1, b M N. Da ist a + b a + b M 1 + M, a b = a b M 1 M. Es folgt u die fudametale Defiitio der Kovergez eier Folge. Defiitio. Eie Folge (a ) heißt koverget zum Grezwert a R, we es zu jedem ε > 0 eie zugehörige Idex (bzw. eie zugehörige Zahl) N ε gibt, sodass a a < ε für jedes N ε. Schreibweise : lim a = a oder a a. Bemerkuge. (i) Eie ichtkovergete Folge heißt diverget. (ii) Eie sivolle Sprechweise i diesem Zusammehag ist fast alle, d.h. alle, bis auf edlich viele. a a heißt damit, dass für jedes ε > 0 fast alle Folgeglieder ierhalb des Itervalls (a ε, a + ε) liege. (iii) Eie Folge (a ) mit a 0 heißt Nullfolge. Folglich bedeutet a a, dass die Folge (a a) eie Nullfolge ist. (iv) Ausschlaggebed bei der Defiitio der Kovergez eier Folge ist lediglich das Vorhadesei eies Abstadsbegriffes bzw. eier Metrik. Im Falle vo R ist dies d(a, b) = a b. Bei de komplexe Zahle C gibt es auch eie Metrik, also köe auch dort kovergete Folge erklärt werde. I beliebige metrische Räume (X, d) wird die Kovergez eier Folge (x ) gege x X durch d(x, x ) 0 erklärt.

3 Satz. 1) Eie Folge (a ) hat, we überhaupt, höchstes eie Grezwert. ) Eie kovergete Folge (a ) ist beschräkt. Beweis. zu 1) : Aahme : a a, a b ud a b, d.h. ε := a b > 0. Da existiere N 1, N sodass a a < ε für N 1 ud b a < ε für N. Für max{n 1, N } gilt da a a + b a < ε + ε = ε, ei Widerspruch! ε = a b = (a a ) (b a ) zu ) Gelte a a. Zu ε = 1 existiert ei N ε sodass a a < 1 für N ε. Da gilt a = a (a a ) a + a a a + 1 für N ε. Die verbleibede edlich viele Folgeglieder köe durch eie Schrake M abgeschätzt werde. Damit gilt a max{ a + 1, M} für alle N. Elemetare Beispiele. (i) a = a... cost. a a (ii) a = c, c R fest a 0 (Zu ε > 0 setze N ε = c ε + 1. Ist N ε, da > c ε a = c < ε ) bzw. (iii) a = 1 p, p N a 0. (iv) a = 1 p, p N a 0. Satz. (Eischließugskriterium) Für Folge (a ), (b ), (c ) gelte a b c sowie a a ud c a. 3

4 Da ist (b ) koverget mit b a. Beweis. Zu ε > 0 existiert ei N ε mit a a a a < ε ud c a c a < ε für N ε. Folglich a ε < a b c < a + ε, also b a < ε für N ε. Satz. Seie (a ), (b ) kovergete Folge mit a a ud b b. Da gilt : 1) (a + b ) a + b, (a b ) a b ) a b ab 3) Ist b 0 (ud damit b 0 für fast alle ), da a b a b. 4) Gilt c a d für fast alle, da ist c a d. Beweis. zu 3) : Wege ) geügt es, die Folge ( 1 b ) zu betrachte. Wege der Ugleichug x y x y (Beweis zur Übug) gilt auch b b, ud damit gibt es ei N sodass b > b für > N. Zu ε > 0 gibt es da ei N ε Da gilt für > max{n, N ε }, dass 1 b 1 b = b b b b < b b b < ε. mit b b < ε b für > N ε. Folgeruge. (1 + 1 ) 1, 1 = 1 1 0, = etc. Weitere Beispiele. 1) a = q (Geometrische Folge) Für q = 0 gilt a 0, für q = 1 gilt a 1, für q = 1 ist die Folge icht koverget. Sei u q < 1. Setze y = 1 q. Da ist y > 1 ud ka i der Form 4

5 y = 1 + x mit festem x > 0 geschriebe werde. Mit der Beroulli Ugleichug folgt y = (1 + x) 1 + x x ud damit 0 q 1 1 x 0, also q 0. Ma überlege sich weiters, dass für q > 1 die Folge (a ) ubeschräkt ist ud damit icht koverget sei ka. ) a = Setze b = 1. Da ist b 0 ud = (1 + b ). Mit dem biomische Lehrsatz ist da = 1 + ( ) 1 b + ( ) b +... > 1 + ( ) b ud weiters b bzw. 0 b. Folglich gilt b 0 ud damit a 1. 3) a a a a sowie a a (falls a 0) Eie wichtige (symbolische) Schreibweise. Wir schreibe a + (bzw. a ), we für jede Schrake M > 0 gilt, dass a M für fast alle (bzw. a M für fast alle ). a = a für 1, 1,, 1, 3, 1, 4, 1, 5,... gilt icht dass a +. Gilt a + (oder a ), da folgt 1 a 0. Weitere wichtige Begriffe. Defiitio. Eie Folge (a ) heißt (i) mooto wachsed, we a a +1 N (bzw. streg mooto wachsed, we a < a +1 ) (ii) mooto falled, we a a +1 wachsed, we a > a +1 ) N (bzw. streg mooto So ist etwa (a ) mit a = (streg) mooto wachsed, (b ) mit 5

6 b = 1 (streg) mooto falled. Satz. Jede mooto wachsede ud ach obe beschräkte reelle Folge ist koverget (i R), jede mooto fallede ud ach ute beschräkte reelle Folge ist koverget (i R). Beweis. Sei (a ) mooto wachsed ud ach obe beschräkt. Setze a = sup{a : N}. Zu ε > 0 gibt es eie Idex 0 sodass a ε < a 0 a. Weil die Folge mooto wächst, gilt a ε < a a bzw. a a < ε für alle 0, also a a. Aalog ist der Fall eier mooto fallede Folge. Defiitio. Sei ( k ) eie streg mooto wachsede Folge atürlicher Zahle. Da heißt (a k ) k N eie Teilfolge vo (a ) N. Beispiel. Die Folge a = 1 hat die Teilfolge 1, 1 3, 1 5,..., welche i der Form a k 1 = 1 k 1, k N geschriebe werde ka. Ma überlegt sich sofort : Gilt a a da koverget auch jede Teilfolge vo (a ) gege a. Defiitio. b R heißt Häufugspukt der Folge (a ), we eie Teilfolge (a k ) vo (a ) existiert mit a k b. Beispiel. Die Folge a = ( 1) besitzt zwei verschiedee Häufugspukte, ämlich +1, 1. Ma ka zeige : (i) Jede beschräkte Folge (a ) besitzt midestes eie Häufugspukt. (Satz vo Bolzao-Weierstrass) (ii) Ist die Folge (a ) beschräkt, da gibt es eie größte ud eie kleiste Häufugspukt vo (a ), welche wir mit lim sup a (Limes 6

7 superior vo (a )) ud mit lim if a bezeiche. (Limes iferior vo (a )) (iii) Ist die Folge (a ) ach obe ubeschräkt, da setze wir lim sup a = +, ist die Folge (a ) ach ute ubeschräkt, da setze wir lim if a =. Ma beachte : Ist (a ) ach obe ubeschräkt, da existiert eie Teilfolge (a k ) mit a k +. Defiitio. Eie Folge (a ) heißt Cauchy-Folge, we zu jedem ε > 0 eie Zahl N ε mit a a m < ε für alle, m > N ε. Aschaulich bedeutet dies, dass sich die Folgeglieder a eier bestimmte Stelle verdichte. Für Cauchy-Folge (a ) ud (b ) ka ma aalog wie früher zeige, dass sie beschräkt sid ud (a + b ), (a b ), (a b ) wieder Cauchy- Folge sid. Ist darüberhiaus (b ) weg beschräkt vo 0, i.e. es gibt ei δ > 0 mit b δ, da ist auch ( 1 b ) eie Cauchy-Folge. Satz. 1) Jede kovergete Folge (a ) ist eie Cauchy-Folge. ) Hat eie Cauchy-Folge (a ) eie kovergete Teilfolge (a k ) mit Grezwert a, da gilt a a. Beweis. zu 1) Sei a a ud ε > 0. Da ist a a < ε für N ε. Somit a a m = (a a m ) (a a ) a a m + a a < ε für, m N ε. zu ) Sei a k a ud ε > 0. Für ei geeigetes N ε ist da a k a < ε für N ε ud a a k < ε für, k N ε. 7

8 Folglich a a = (a a k ) (a k a) a a k + a k a < ε für N ε. Nu stellt sich heraus, dass es im Körper Q Cauchy-Folge gibt, die i Q icht kovergiere. Aders gesagt : es existiere Lücke, gege die sich Cauchy-Folge verdichte köe. Aus diesem Grud sucht ma ach eier Erweiterug bzw. Vervollstädigug vo Q, wo dieses Phäome icht mehr auftritt. Defiitio. Ei Körper K heißt vollstädig, we jede Cauchy-Folge i K kovergiert, i.e. eie Grezwert i K besitzt. Durch Hizuahme vo Pukte zu Q (mathematisch : Äquivalezklasse vo Cauchy-Folge ratioaler Zahle) erhalte wir schließlich die Mege R der reelle Zahle. R ka im ächste Schritt mit de Operatioe der Addito, Subtrakio, Multiplikatio ud Divisio versehe werde, welche eie Erweiterug der Operatioe auf Q sid ud die gewohte Eigeschafte besitze. Dasselbe gilt für die Erweiterug der Ordugsstruktur ud de Absolutbetrag auf R. Schließlich ka ma zeige Satz. R ist vollstädig, i.e. jede reelle Cauchy-Folge kovergiert i R. 8