2 Konvergenz von Folgen

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1 Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge ud a C. a ) kovergiert gege a, we es zu jede ε > 0 ei N ε N gibt, sodass a a ε für alle N ε, wobei N, also ε > 0 N ε N N ε : a a ε. a heißt da Grezwert oder Limes) vo a ) ud ma schreibt a = lim a oder a a für. We a ) keie Grezwert hat, so heißt a ) diverget div.). Bemerkug. a a ε a Ba, ε) Abstad vo a ud a ist kleier als ε Bemerkug. We a 0 für, da heißt a ) Nullfolge NF). Somit a a für a a ) ist Nullfolge. Beispiel.3. Sei stets N) a) Sei z C ud a = z. Behauptug. a z ). Beweis. Sei ε > 0 beliebig gegebe. Wähle N ε =. Sei N ε =. Da a z = 0 < ε. b) Sei p Q mit p > 0 ud a = p, also a ) =,,,... ). p 3 p Behauptug. a 0 ) speziell für p = : 0 ). Beweis. Sei ε > 0 beliebig gegebe. Wähle N ε N mit N ε ε p ach Satz.0). Sei N ε. Da:.64 p a 0 = N p ε.64 ε p ) p = ε. Nε existiert c) Sei a = ). Behauptug. Diese Folge ist diverget. 3

2 Beweis. Zu zeige: a C ε a > 0 N N = a,n N : a N a > ε a.. Fall: a =. Wähle ε =. Sei N N gegebe. Sei N ugerade. Da a a = = > = ε.. Fall: a = geauso. 3. Fall: a C \ {, }. Wähle ε a = mi{ a, a } > 0. Sei N N gegebe. Wähle = N. Da { a, we gerade a a = a, we ugerade > ε a. Satz.4. Die Folge a ) kovergiere gege a C. Da gelte: a) a ) ist beschräkt, d.h. M 0 : a M, N. b) We a b für ud b C, da a = b. Beweis. a) Wähle ε =. Nach Def.. gibt es N N mit a a, N = a = a a + a -Ugl. a a + a + a, N = a max{ + a, a, a,..., a N } =: M, N. b) Sei ε > 0 gegebe. Nach Vorraussetzug ud Def.. existiere N ε, a N ud N ε, b N, sodass a a ε N ε, a ud a b ε N ε, b. Setze N ε = max{n ε, a, N ε, b }. Da 0 a b = a a + a b -Ugl. a a + a b ε ach obiger Abschätzug). Da ε > 0 beliebig war, folgt a b = 0, also a = b siehe Satz.03) Beispiel.5. Sei p Q mit p > 0 ud a = p für N. Behauptug. a ) ist ubeschräkt, also diverget ach Satz.4 Beweis. A.: Es existiere ei M 0 mit a = p M, N.64 === M p N = Satz.0 Bemerkug.6. a) Sei a ) eie Folge. Es gebe ei a C ud eie Kostate c > 0, sodass: ε > 0 N ε N N ε : a a cε ) Behauptug. Da a a für. 4

3 Beweis. Setze η = cε ε = η c. Setze N η = N ε. Da liefert ): η > 0 N η N N η : a a η Vorsicht: c darf icht vo, ε abhäge! b) Für 0 Z setze J 0 ) = { Z : 0 }. Eie Abbildug A : J 0 ) C bezeichet ma auch als Folge. Ma schreibt wieder a statt A) ud a ) 0 statt A. Die Kovergez vo a ) 0 defiiert ma wie i Def.., wobei ma zusätzlich N ε 0 fordert. Idem ma b := a +0 für N setzt, erhält ma eie Folge b ) mit Idexbereich J 0 ). Offebar kovergiert a ) 0 geau da, we b ) kovergiert, ud die jeweilige Grezwerte sid gleich. Somit köe wir us weiterhi auf de Fall 0 = beschräke. Satz.7. Seie a ) ud b ) Folge ud a, b C. Es gelte a a ud b b für. Da: a) a + b a + b für b) a b ab für speziell ab ab für ) c) We a 0, da existiert ei N N, sodass a 0 für alle N ud es gilt für N). a a Beweis. Sei ε > 0 beliebig) gegebe. Nach Voraussetzug: N ε, a N, N ε, b N, sodass a a ε N ε, a ud b b ε N ε, b.) Setze N ε = max {N ε, a, N ε, b }. Sei N ε. a) a + b a + b) -Ugl. a b + b b.) ε, N b) a b ab = a a)b + ab b) Bem.6 === Beh. a) -Ugl.,.8 a a b + a b b M ach.4.) M + a ) ε N ε Bem.6 === Beh. b) c) Sei ε 0 = a > 0 da a 0). Sei N = N ε 0, a N aus.). Da gilt für N: a = a + a a.88 a a a.) Setze Ñε = max {N ε, N}. Sei Ñε. Da: ε a = a a.88 = a a a a = Beh. c). a a ε 0 = a.) ε a a > 0 = erste Beh. Ñε). 5

4 Beispiel.8. Behauptug. a 3 5 für a = i Beweis. a = i, N. Nach Bsp..3: 3 3, 5 5, 0, 0 ). Satz.7: Zähler = 3, Satz.73 Neer 5 0 ) ===== a 3 für 5 Satz.9. Seie a ), b ), c ) reelle Folge mit a a ud b b für. Dabei sei a, b R dies gilt stets gemäß Satz.). Sei 0 N. a) We a b für 0, da a b. b) We a c b für 0 ud a = b, da c a für Sadwichprizip ). Beweis. Sei ε > 0 gegebe. Wie i.) existiert ei N ε N, sodass Sei max {N ε, o }. a) a a ε, b b ε für alle N ε ) a b = a a + a b }{{ +b } b a a + b b ) ε. 0.V.) Da ε > 0 beliebig ist, folgt a b 0 We a b > 0 wäre, da folgte mit Satz.03) = a b. b) c a.v. b a b a für c a c a =.V. a c a a a a für c < a ) ε für max {N ε, 0 }, da a = b = c a für Beispiel.0. Behauptug. Sei q > 0. Da a := q für. a ) = a, a, 3 a, 4 a,... ) 6

5 Beweis. a) Sei zuerst q. Da a ach Satz.64. Weiter: q = a = + a + ) > = 0 a q ) Beroulli-U. + a ) 0 für ach Bsp..3, Satz.7) = ach Satz.9 a 0 = a für. b) Sei u 0 < q <. Da > ud q a = ) ach Teil a). Nach Satz.73 a ) = a = a für. Satz.. Sei a ) eie Folge. Da: a) Sei zusätzlich a a für. Da gelte a a, Re a Re a, Im a Im a, a a jeweils für ). We zusätzlich a ) reell ist, da ist a R. b) Es gelte Re a b ud Im a c für. Da a b + ic für..8.8 Beweis. a) 0 a a = a a = a a 0 für. Satz.9 =.8 a a 0 = a a für. = Re a = a +a ) a+a) = Re a für. Etspreched Im a Im a verwede i beide Fälle Satz.7)..8.V. Ferer a a a a 0 ). Satz.9 = a a für. We a R, da Im a = 0 = Im a = 0. b) 0 a b + ic) = Re a b) + iim a c) -Ugl. 0,. V. ). Satz.9 = Beh. b) Re a b + Im a c. Mootoe Folge Defiitio.. Sei a ) eie reelle Folge. a) a ) wächst strikt), we a + a a + > a ) für alle N. b) a ) fällt strikt), we a + a a + < a ) für alle N. c) a ) ist strikt) mooto, we a ) strikt) wächst oder strikt) fällt. Bemerkug. a ) wächst strikt) a ) fällt strikt) Beispiel.3. a) Sei 0 < p Q. Da fällt a = p N) strikt, da + ) p < p ach Satz.64. 7

6 b) a = + = + + = + wächst strikt, da + strikt fällt vgl. a)). c) a = ) ist icht mooto, da a + = > = a für ugerade ud a + = < = a für gerade. Stadardbsp. für divergete Folge: a) a = ) icht mooto, aber beschräkt b) a = mooto, aber icht beschräkt Theorem.4. Sei a ) eie reelle Folge. Da gelte: a) We a ) wächst ud ach obe beschräkt ist, da existiert lim a = sup a := sup {a : N} b) We a ) fällt ud ach ute beschräkt ist, da existiert lim a = if a := if {a : N} Beweis. a). V. a := sup a. Sei ε > 0 beliebig gegebe. Satz.8 = N ε N mit a ε < a Nε a. Sei N ε. Da a ) wächst ud a = sup a gilt: a ε a Nε a = a a ε N ε b) Betrachte a ud verwede Teil a) ud Satz.3 Beispiel.5 Hero-Verfahre zur Quadratwurzelbestimmug). Sei x > 0 gegebe. Defiiere rekursiv a = ud a + = a + x a ) für N. Beachte: a > 0. We a > 0, da a + > 0 ==== Idukt. a k > 0 für alle k N. Behauptug. a x ) Beweis.. Schritt: Zeige Kovergez mit Thm..4. Sei N. Da Def. a + a = a + x a = ) x a a a Vorzeiche? >0 Sei. Da a x Def. = 4 a + x a ) x = a + x + x 4 a = 4 ) 4x y a + x a ) ) 0 ) 8

7 ) == a + a 0 ud a x ==.6 a x für ). ) Thm..4 = a := lim a.. Schritt: Bereche a mit Hilfe der Rekursio. Satz.9: a ) x > 0. a + xa Ferer: a + a = } {{ } a+ x a) a = a + x ) a für ach Satz.7, a 0). Nach Satz.4: a = x a x = a a>0 = a = x Beispiel.6 Die Eulersche Zahl e). Sei x N, a = + ), b = j=0 Behauptug. lim a = lim b =: e, Beweis. Überblick: Beh. a) a ) wächst strikt Beh. b) a b < 3 N j! = ! = { a) + b) + Thm..4 = lim a =: a, lim b =: b b) + Satz.9 = a b ) Beh. c) a b Beachte: b ) wächst strikt. = Beh. a) Sei N. Da a + = + a = + + >0 + ) > b ) wächst offesichtlich ) ) + + ) + + = + + ) = ) 3 Bsp. 0.3 = ) = + + ) + ) + ) ) 3 > ) + ) + ) = ) 9

8 b) Für j ist Bsp. 0.3 a = j=0 ) j ) j j ) j = j!! j)! = j j! Behauptug.! N Beweis. per vollst. Id.) IA: = ist klar. IS: Beh. gelte für ei N IV). = IV! + )! = + )! = 0,) 0,) j + }{{ } j! j 0,) +) = a = + + j= j= ) j j +) + j= k:=j = + j k=0 j! = b ) k 0. = + ) < + = 3 c) Sei m N ud m, m fest. Wie i b): a = + j! j + j= >0 + j= j! ach Bsp..3, Satz.7 = c m + ) ) m j= j ) =: c m ++) ) j! = b m für, m fest. Lasse gehe i ++). Da liefer ) ud Satz.9, dass a b m für m N. Mit m, ), Satz.9 folgt a b. 30

9 .3 Teilfolge ud Vollstädigkeit a ) = ) ) =,,,,... ) ist diverget, ethält aber koverge- Motivatio. te Teile. Defiitio.7. Sei a ) eie Folge ud ϕ : N N eie strikt wachsede Fuktio d.h. ϕ + ) > ϕ) N). Setze b j = a ϕj), j N. Da heißt die Folge b j )j j Teilfolge vo a ) TF). Ma schreibt meist a j )j statt b j) j. Beispiel. a) a ) ist Teilfolge vo sich selbst, wähle ϕj) = j j N b) Sei a = ). Wähle ϕj) = j für j N. Da ist b j := a j = j N. c) Sei a = { we Primzahl, N. a ) =, sost 4, 9,, 5,, ) Setze ϕj) = j-te Primzahl, j N. = b j ) = a ϕj) ) = 4, 9, 5, ) Bemerkug. a a ) = a j a j ) für jede Teilfolge. Defiitio.8. Sei a ) eie Folge ud a C. Da heißt a Häufugspukt HP) vo a ), we für jedes ε > 0 für uedlich viele die Ugleichug a a ε gilt. Beispiel. a) ) hat HP + ud, da a B, ε) für alle ε > 0 ud alle gerade N, sowie a B, ε) für alle ε > 0 ud alle ugerade N. b) Die Folge a = hat keie HP, da a a m, m. Also liegt i eier Kugel Ba, 3 ) höchstes ei a. Satz.9. Sei a ) eie Folge ud a C. Da: a ist HP TF mit a j a j ) Beweis. Sei a HP. Wir defiiere rekursiv eie TF a j ) mit a aj j N. j = a j a ach Satz.9 für j ). Wähle N mit a a verwede Voraussetzug mit ε = ). Sei j mit j > j ud aj a gewählt. j Nach Voraussetzug gibt es uedlich viele a i Ba, ). Da {,..., j j } edlich ist, existiert ei j > j mit aj a. Iduktiosprizip liefert gewüschte j TF a j a. Sei a j a j ). Sei ε > 0 beliebig gegebe. Da J ε N : j J ε : aj a ε. Also #{aj : j J ε } = #{j N : j J ε } = ach Satz.. Korollar.0. We lim a = a, da ist a der eizige Häufugspukt vo a ). 3

10 Beweis. Satz.9 = a ist HP, da es der Limes ist. Sei b ei weiterer HP vo a ). Nach Satz.9 TF a j b j ). Da gilt aber auch a j a j ). Satz.4 = a = b. Sei a ) eie reelle beschräkte Folge. Setze A = {a j : j } für N. Beachte A + A, A ist beschräkt für alle N. = b := sup A, c := if A, wobei b a j c j.) Satz.3a liefert b b b + c + c c N. Nach Thm..4 existiere lim b = if b = if N sup N j a j =: lim a = lim sup a Limes superior ) ud lim c = sup c = sup if a j =: lim a = lim if a Limes iferior ) N N j.), Satz.9 =.3) lim a lim a.4) Beispiel. lim ) =, lim ) =, da i A ur + ud stehe. Theorem. Satz vo Bolzao-Weierstraß). Jede beschräkte Folge a ) hat eie kovergete Teilfolge ud damit eie Häufugspukt. We die Folge außerdem reell ist, da ist lim a das Maximum aller Häufugspukte ud lim a das Miimum aller Häufugspukte. Beweis. a) Sei a ) reell ud beschräkt. Setze ā = lim a. Suche TF a j ā j ). Wir wisse aus.) ud.3): b = sup j a j kovergiert gege ā für. b muss icht ei Folgeglied sei. Defiiere rekursiv die gewüschte TF a j ): wähle N N mit ā b N. Da b N = sup j N a j ist, existiert ach Satz.8 ei > N mit b N a = ā a ā b N + b N a. Es j > j kostruiert mit ā aj. Wähle N j j > j mit ā bnj verwede.3)). Da j b Nj = sup k Nj a k existiert ach Satz.8 ei j N j > j mit bnj a j j = ā aj ā bnj + bnj a j j. Erhalte iduktiv TF a j ā. Isbesodere ist ā ei HP vo a ) ach Satz.9. Etspreched sieht ma, dass lim a ist ei HP vo a ). Sei a l ) eie weitere TF mit Grezwert a..) =.9 c l a l a a lim b l lim a b) Sei a ) eie beschräkte Folge i C). Sei x = Re a, y = Im a. Da ist ach a) Satz.8) x ) beschräkt = TF x l x R l ). Weiter ist y l ) l a) beschräkt = TF y lj y R j ). Damit gilt: a lj = x lj + iy lj x + iy j ). 3

11 Lemma.. Sei a ) eie Folge mit de Häufugspukte α,..., α m ud de zugehörige Teilfolge a ϕ j) α,..., a ϕmj) α m j ). Jedes a liege i midestes) eier Teilfolge. Da hat a ) keie weitere Häufugspukte. Beweis. Aahme: Sei α C ei weiterer HP. Satz.9 = TF a l α l ). Sei ε 0 = mi { α α 3, α α,..., α α m } > 0. Ferer existiert L N mit a l α ε 0 l L. = Für l L, j {,..., m} gilt a l α j α j α α a l 3ε 0 ε 0 = ε 0 = a l Bα j, ε 0 ) l L, j {,..., m}. Adererseits liege die a l i midestes eier TF die gege ei α j kovergiert = Beispiel.3. kov. TF: ) a = ) b k = a k = ) k k 0 k ), gerade, ugerade c k = a 4k+ = ) k+ 4k + ) k + ) k ) 3 = d k = a 4k+3 = ) k+ 4k + 3) k + 3) k ) 3 = = HP, 0,. Nach Lemma. sid das alle HP der Folge == lim a =, lim a 3 =. 3 Korollar.4. Sei a ) beschräkt ud a C. Da gelte: a) a a ) a ) besitzt geau eie HP ud dieser ist a b) Sei a ) reell. Da kovergiert a ) geau da, we lim a = lim a. I diesem Fall gilt lim a = lim a = lim a. Beweis. a) Kor..0. Sei a der eizige HP vo a ). Aahme: a a ). Das heißt ε 0 > 0 : N N : N : a a > ε 0. Wir erhalte iduktiv eie TF a l ) l mit a l a > ε 0 l N vgl. Beweis vo Satz.9). Adererseits: Da a l ) l beschräkt ist, liefert Thm.. eie kovergete TF a lj ) j. Nach Satz.9 ud der Voraussetzug gilt a lj a b) Sei u a ) reell. Da zeigt Thm..! HP vo a ) lim a = a) lim a = Beh. 33

12 Bemerkug. a = {, gerade,, ugerade, hat geau eie HP = ), ist aber ubeschräkt, also diverget. = i.4 muss ma Beschräktheit voraussetze! Defiitio.5. Eie Folge a ) heißt Cauchy-Folge CF), we es für jedes ε > 0 ei N ε N gibt, sodass a a m ε für alle, m N ε, d.h. ε > 0 N ε N, m N ε : a a m ε Theorem.6. Eie Folge a ) kovergiert geau da, we sie eie Cauchy-Folge ist. Ma sagt, dass C ud damit R) vollstädig sid.) Beweis. Sei a a ). Für ε > 0 existiert also ei N ε N mit a k a ε für alle k N ε. Damit a a m a a + a a m ε für alle, m N ε. Sei a ) eie CF. Nach Def..5 mit ε = existiert ei N N mit a a N für alle N. = a a a N + a N + a N N ) = a ) ist beschräkt. Thm. = existiert TF a j a j ). Sei ε > 0 gegebe. Da existiert ei J ε N mit aj a ε j Jε *) Sei ferer N ε aus Def..5. Wähle N ε Da existiert ei j N ε mit j J ε. Somit a a a a j + a j a.5, *) ε + ε = ε Bemerkug. a) Cauchy-Folge habe also i R ud C) dieselbe Eigeschafte wie kovergete Folge ka ma auch direkt zeige). ) b) I Bsp..5 mit x = ud a = ist a + = a + a Q Beweis per Iduktio). Ferer gilt a. Nach Bsp.6 gilt Q = Q ist icht vollstädig c) Bsp. a = a. Folge ist ubeschräkt = diverget = keie CF. Adererseits: 0 + = ++ 0 ). Also: Def.5 gilt für m = +, aber a ) ist keie Cauchy-Folge. Lemma.7. Sei a ) eie beschräkte ud reelle Folge ud ε > 0. Da J ε N mit ε + lim a a j ε + lim a j J ε. 34

13 Beweis. Nach Satz.8 J ε N mit.3 ε + lim a = ε + if sup N j.8 a j sup a j a j j J ε. j J ε Etpreched: J ε N mit a j ε+lim a j J ε. = Beh. mit J ε = max {J ε, J ε }. Satz.8. Seie a ), b ) beschräkte reelle Folge. Da gelte: a) lim a = lim a ) b) We a b für alle N, da c) lim a lim b, d) Seie a, b 0 für alle N. Da: lim a lim b lim a + b ) lim a + lim b lim a + b ) lim a + lim b lim a b ) lim a lim lim a b ) lim a lim b e) We i 3 oder 4 eie der beide Folge kovergiert, da gilt = i de Aussage. Bemerkug. I 3 oder 4 ka < bzw. > gelte. Bsp.: a = ), b = ) + = a + b = 0 = lim a + b = 0, lim a = lim b =. Beweis. a) b lim a.3) = sup if a j N j.3 = sup N sup a j )).3 = if j sup N j a j ).3) = lim a ) b) Sei a j b j j. Nach Def.?? des Supremums sup j a j sup j j N. Def. des Ifimums liefert if if sup a j N j } {{ } = lim a sup b j N j } {{ } = lim b 35

14 c) Sei ε > 0. Nach Lemma.8 N ε N, sodass a j ε + lim a, b j ε + lim b j N ε. = lim a + b ) Def. Da ε > 0 beliebig ist, folgt Beh. c). Adere Behauptuge zeigt ma ählich. sup a j + b j ) ε + lim a + lim b. j N ε 36

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