MR Mechanische Resonanz

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1 MR Mechanische Resonanz Blockpraktikum Herbst 2007 (Gruppe 2b) 24. Oktober 2007 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 2. Freie, ungedämpfte Schwingung Freie, gedämpfte Schwingung Erzwungene, gedämpfte Schwingung Auswertung 4 2. Messung Messung

2 GRUNDLAGEN MR 2 Grundlagen. Freie, ungedämpfte Schwingung Die DGL der freien, ungedämpften Schwingung mẍ + kx = 0 lässt sich mit dem (für lineare DGLs üblichen) Ansatz x(t) = e λt lösen: mλ 2 e λt + ke λt = 0 k λ = ±i m =: ±iω 0 x(t) = A + e iω0t + A e iωt = x 0 cos(ω 0 t φ 0 ). ω 0 := k/m ist dabei die Eigenfrequenz der Schwingung..2 Freie, gedämpfte Schwingung Fügt man der DGL einen Dämpfungsterm ηẋ hinzu, so erhält man aus dem Ansatz x(t) = e λt mẍ + ηẋ + kx = 0, Setzt man als Güte (mλ 2 + ηλ + k)e λt = 0 λ,2 = η ± η 2 4mk. 2m Q := km (hohe Güte bei wenig Reibung) und verwendet die Eigenfrequenz ω 0 ungedämpften Schwingung, so folgt durch Umformungen η = k/m der λ,2 = ω 0 2Q ± ω 0 4Q 2. Das Vorzeichen des Terms unter der Wurzel entscheidet über das Verhalten der Lösung. Für 4Q 2 > 0 4Q2 < Q < 2 ist die Lösung x(t) = e λt eine abfallende Exponentialfunktion (Kriechfall). Für 4Q 2 = 0 Q = 2

3 GRUNDLAGEN MR 3 liegt der sog. aperiodische Grenzfall vor (genau zwischen Kriechfall und periodischer Lösung). Bei 4Q 2 < 0 Q > 2 wird die Wurzel imaginär, d.h. λ,2 = ω 0 2Q ± iω 0 4Q 2 =: ω 0 2Q ± iω und somit ist die Lösung eine gedämpfte Schwingung Die Kreisfrequenz x(t) = x(0)e ω 0 2Q t cos(ωt φ 0 ). ω := ω 0 4Q 2 der Schwingung ist dabei stets kleiner als die Frequenz im ungedämpften Fall und umso größer, je höher die Güte bzw. je kleiner die Dämpfung ist. Im Grenzfall Dämpfung η 0 bzw. Güte Q erreicht sie den Wert ω 0 der Kreisfrequenz im ungedämpften Fall. Bei der kritischen Güte Q = /2 ist die Kreisfequenz ω = 0, d.h. es liegt keine Schwingung mehr vor (aperiodischer Grenzfall). Logarithmisches Dekrement Den exponentiellen Abfall der Amplitude im Schwingfall kann man durch den Logarithmus linear darstellen. Solange man ω ω 0 annehmen darf (d.h. hohe Güte Q) und φ = 0 setzt, gilt für die Amplitude nach n Perioden T A(nT ) = A(0)e ω 0 2Q nt = A(0)e 2πn 2Q ( ) A(nT ) ln = π A(0) Q n..3 Erzwungene, gedämpfte Schwingung Die Schwingung sei nun nicht mehr frei, sondern von einer periodischen externen Kraft mit Frequenz ω erzwungen, d.h. mẍ + ηẋ + kx = F 0 cos ωt. Die Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Lösung (siehe oben) und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen. Für die spezielle Lösung kann man ansetzen, dass das System irgendwann mit der anregenden Frequenz ω schwingt, d.h. x(t) = Ae iωt. Man erhält dann nach Einsetzen in die DGL als Lösung x(t) = A(ω) cos (ωt Φ(ω)),

4 2 AUSWERTUNG MR 4 wobei die Amplitude A(ω) = F 0 k ( ) 2 ω2 + ω 2 ω 2 0 Q 2 ω 2 0 und die Phasenverschiebung zwischen Schwingung und Erregung ( ) ω 0 ω Φ(ω) = arctan Q(ω0 2 ω2 ) von der Erregerfrequenz ω abhängen. Wie man in Abb. sehen kann gibt es eine Abbildung : Amplitude und Phase in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ω für verschieden starke Dämpfungen (Quelle: Anleitung). Amplitudenresonanzfrequenz ω r. Für sie erhält man durch Ableiten von A(ω) ω r = ω 0 2Q 2. Im ungedämpften Fall (Q ) stimmt die Resonanzfrequenz ω r mit der Eigenfrequenz ω 0 des ungedämpften, nicht angetriebenen Systems überein, ansonsten ist die Resonanzfrequenz kleiner als ω 0. Die Phasenresonanz (Φ = π/2) wird mit oder ohne Dämpfung bei ω = ω 0 erreicht. 2 Auswertung 2. Messung Da unsere Werte leider unbrauchbar sind, da der Wagen vermutlich am Untergrund gerieben ist, verwendeten wir für die Auswertung die Werte unserer Gruppenmitglieder. Das Diagramm für R i = ln A i A 0 ist in Abb. 2 gezeigt. In Abb. 3 ist das Diagramm für die Kehrwerte der Güte in Abhängigkeit von der Anzahl m der für die Dämpfung verwendeten Magnetpaare dargestellt. Aus der Extrapolation folgt, dass die kritische Dämpfung mit 90 Magnetpaaren erreicht wird.

5 2 AUSWERTUNG MR 5 Abbildung 2: Logarithmisches Dekrement der Amplitude in Abhängigkeit von der Anzahl der durchlaufenen Perioden der Schwingung. 2.2 Messung 2 Mit zwei weiteren Methoden wurde nun bei dieser Messung nochmals die Güte bestimmt. Die Resonanzamplitude A(ω 0 ) wurde auf 7cm geschätzt, so dass Q = A(ω 0) A 0 = 9 und Q = ω 0 = 24, 5. ω Mit Messung wurde eine Güte von 26 ermittelt. Der Unterschied lässt sich leicht durch die schwer zu bestimmende Resonanzamplitude erklären.

6 2 AUSWERTUNG MR 6 Abbildung 3: Kehrwert /Q der Güte als Funktion der Anzahl der Magnetpaare.

7 2 AUSWERTUNG MR 7 (a) (b) Abbildung 4: a) Amplitude und b) Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ω.