Kap. I : Der Aussagenkalkül

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1 Math. Logik I.1 Kap. I : Der Aussagenkalkül Ziel dieses ersten Kapitels ist eine Einführung in den Aussagenkalkül (AK), d.h. die Untersuchung der üblichen aussagenlogischen Verknüpfungen nicht (Negation), bezeichnet mit,,,!, N und (Konjunktion), bezeichnet mit, &,, K oder (Disjunktion), bezeichnet mit,,, A wenn... dann (Implikation), bezeichnet mit,,, C genau dann... wenn (Äquivalenz), bezeichnet mit,,, E (sowie möglicherweise weiterer Verknüpfungen). Diese Theorie mag recht einfach erscheinen, wird hier aber vor allem aus didaktischen Gründen zur Vorbereitung des Prädikatenkalküls (PK) eingeführt, welcher den AK erweitert. So werden wir bereits hier den Aufbau einer formalen Sprache kennenlernen: Aus einer vorgegebenen Liste von Zeichen oder Symbolen (entsprechend dem Alphabet einer natürlichen Sprache) werden nach bestimmten formalen Gesetzen Zeichenreihen gebildet und als Formeln (Ausdrücke) (entsprechend den Wörtern einer natürlichen Sprache) ausgezeichnet; die Bedeutung der formalen Ausdrücke wird dann durch Interpretationen (Modelle) festgelegt. Es ist dabei (besonders im Hinblick auf den PK) wichtig zu unterscheiden zwischen der Syntax: Formaler Aufbau einer Sprache mit Hilfe von Symbolen, die nach gestaltlichen Regeln zu Ausdrücken (Formeln) zusammengefügt werden, sowie Untersuchung ihrer Eigenschaften, die allein auf ihrer formalen Gestalt beruhen sowie der Semantik: Untersuchung der Beziehung zwischen Symbolen und formalen Ausdrücken einer Sprache und ihrer Bedeutung (Interpretation). I.1

2 Math. Logik I.1 1 Syntax des Aussagenkalküls Den Begriff eines aussagenlogischen Formel), abgekürzt a.a., definieren wir wie folgt: Ausdrucks (bzw. einer aussagenlogischen 1.1 Definition (F1) A 0, A 1, A 2,... sind a.a., und zwar Ausagenvariable. (F2) Ist ϕ ein a.a., so auch ϕ. (F3) Sind ϕ und ψ a.a., so auch (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) und (ϕ ψ). (F4) Das sind alle a.a Bemerkungen 1. Die obige Definition ist nicht explizit, sondern rekursiv. Aussagenlogische Ausdrücke werden wir wie oben mit kleinen griechischen Buchstaben ϕ, ψ, χ,.. bezeichnen, Aussagenvariable auch mit A, B, C, Die Voraussetzung unendlich vieler Symbole A 0, A 1, A 2,.. für die Aussagenvariablen (und die Verwendung von natürlichen Zahlen als Indizes) könnte man vermeiden, wenn man (F1) durch eine weitere rekursive Definition des Begriffs der Aussagenvariable ersetzt, wobei man nur zwei Symbole A, benötigt: (F11) A ist eine Aussagenvariable. (F12) Ist X eine Aussagenvariable, so auch X. (F13) Das sind alle Aussagenvariable. Beispiele für aussagenlogische Ausdrücke sind: A, A, B, ((( A B) A) (A C)), ((( A B) A) (A C)). Dagegen sind A, B ), A C keine aussagenlogische Ausdrücke. Aussagenlogische Ausdrücke sind somit endliche Zeichenreihen, die aus den Aussagenvariablen mittels endlich vieler weiterer Symbole (,,,, ) sowie der Klammern (, ) (als Hilfssymbole) nach festen formalen Bildungsregeln aufgebaut werden. Das Prädikat "z 1... z n ist ein aussagenlogischer Ausdruck" ist entscheidbar, d.h. es gibt ein "mechanisches" Verfahren, das - angewandt auf eine vorgegebene endliche Zeichenreihe z 1... z n - nach endlich-vielen Schritten aussagt, ob z 1... z n ein aussagenlogischer Ausdruck ist oder nicht. Klammern dienen der eindeutigen Darstellbarkeit von Ausdrücken, können zur besseren Lesbarkeit jedoch in einigen Fällen eingespart werden: 1.3 Klammerregeln äußerste Klammern können fortgelassen werden: schreibe A C statt (A C). und "binden stärker" als und : schreibe B A A C statt ((B A) (A C)). I.2

3 Math. Logik I.1 Dagegen werden wir bei ( A B) A sowie in (A B ) C bzw. A (B C) keine weiteren Klammern einsparen. Für und benutzen wir die assoziative Schreibweise: A B C steht für (A (B C)) und A B C steht für (A (B C)). Die andere mögliche Klammerung führt zwar zu einem anderen, jedoch äquivalenten Ausdruck. Rechtsklammerung wählt man häufig auch bei (s. SHOENFIELD) A B C für A (B C), welches jedoch nicht äquivalent zu (A B) C ist! Gelegentlich findet man weitere Vereinbarungen über das Fortlassen von Klammern; gänzlich entbehrlich sind sie bei der polnischen Notation (bzw. umgekehrten polnischen Notation): Hier schreibt man etwa Nϕ für ϕ, Aϕψ für ϕ ψ, Kϕψ für ϕ ψ, so dass (p q) (p q) in polnischer Notation: KNApqKpNNq geschrieben wird. Allgemeine Aussagen über aussagenlogische Ausdrücke werden meistens wie folgt nachgewiesen: 1.4 Satz (Beweis durch Induktion über den Formelaufbau) Es sei E eine Eigenschaft mit (i) E(A) gilt für alle Ausagenvariable A, (ii) gilt E(ϕ), so auch E( ϕ), und (iii) gelten E(ϕ) und E(ψ), so auch E( ϕ * ψ ) für * =,,,. Dann gilt E(ϕ) für alle a.a. ϕ. Das Induktionsverfahren entspricht offenbar der rekursiven Definition 1.1 des Begriffs aussagenlogischer Ausdruck, vergleichbar mit der Einführung der natürlichen Zahlen: 0.1 Definition der natürlichen Zahlen: (N1) 0 ist natürliche Zahl. (N2) Ist n eine natürliche Zahl, so auch n (= n+1). (N3) Das sind alle natürlichen Zahlen. Die Minimalitätsbedingung (N3) lässt sich präzisieren als Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen (N4) Es sei E eine Eigenschaft mit (i) E(0) (ii) Falls E(n), so auch E(n'). Induktionsanfang Induktionsschluss Dann gilt E(n) für alle natürlichen Zahlen n. I.3

4 Math. Logik I.1 Dabei besteht der Induktionsschluss aus einer Induktionsvoraussetzung und einer Induktionsbehauptung. Die beiden Voraussetzungen (i) und (ii) können auch in der Form (ii ) Falls E(m) für alle m < n, so auch E(n). Induktionsschluss auftreten, wobei < die übliche Ordnung auf den natürlichen Zahlen ist. Ein Beweis von 1.4 kann durch Induktion über die Zahlen l(ϕ) = Anzahl aller Symbole in ϕ (Länge von ϕ ), oder lz(ϕ) = Anzahl der logischen Verknüpfungen (,,,, ) in ϕ oder ein geeignetes anderes Komplexitätsmaß erfolgen. Besonders nützlich ist dafür die Rangfunktion, rekursiv definiert durch ρ(a i ) = 0, ρ( ϕ) = ρ(ϕ) +1, ρ(ϕ * ψ) = max(ρ(ϕ), ρ(ψ))+1. Damit diese letzte Definition zulässig ist, benötigt man: 1.5 Satz (Eindeutige Lesbarkeit von Formeln) Es sei ϕ ein a.a. Dann ist ϕ entweder eine Aussagenvariable oder läßt sich auf genau eine Weise in der Form ψ, (ψ χ), (ψ χ), (ψ χ) oder (ψ χ) schreiben. Zum Beweis von 1.5 benutze man das folgende (technische) Lemma: 1.6 Lemma Es sei ϕ ein a.a., w eine endliche Zeichenreihe. Dann gilt: Falls die Zeichenreihe ϕw ein a.a. ist, so ist w leer, also ϕw = ϕ. (Dieses Lemma - zugleich ein gutes Beispiel für eine syntaktische Aussage! - beweist man am besten durch Induktion über die Anzahl l(ϕw) der Zeichen in ϕw.) 1.7 Folgerung (Definition durch Rekursion über den Formelaufbau) Zu gegebenen (und geeignet definierten) Funktionen g 0,..., g 5 läßt sich eine Funktion g auf der Menge der a.a. definieren durch g(a) = g 0 (A) für Aussagenvariable A, g( ϕ) = g 1 (g(ϕ)), g(ϕ ψ) = g 2 (g(ϕ), g(ψ))), g(ϕ ψ) = g 3 (g(ϕ), g(ψ))), g(ϕ ψ) = g 4 (g(ϕ), g(ψ))), g(ϕ ψ) = g 5 (g(ϕ), g(ψ))). Wie wir schon oben bemerkt haben, ist die in 1.1. gegebene Definition eines aussagenlogischen Ausdrucks rekursiv; eine explizite Definition ist mit (einfachen) mengentheoretischen Methoden möglich: I.4

5 Math. Logik I Definition (Alternativen zu Def.1.1) A : = {A 0, A 1,...,,,,,, (, ) } sei das Alphabet der aussagenlogischen Sprache, Z(A) sei die Menge aller endlichen (u.u. auch leeren) Zeichenreihen, gebildet aus den Zeichen des Alphabets A. a) Die Menge der a.a. ist die kleinste Menge F Z(A) mit folgenden Eigenschaften: (1) A 0, A 1,... F. (2) Sind ϕ, ψ F, so auch ϕ, (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) F. (D.h. F ist der Durchschnitt aller Mengen, die (1) und (2) erfüllen; Definition "von oben".) b) Es sei F 0 = { A 0, A 1,... } die Menge der Aussagenvariablen und F n+1 = F n { ϕ ϕ F n } {(ϕ * ψ) ϕ, ψ F n, wobei * =,,, }. Dann ist F : = n { F n die Menge der aussagenlogischen Ausdrücke. (Definition "von unten"; es handelt sich zwar wieder um eine rekursive Definition der Mengen F n, die aber mengentheoretisch in eine explizite umgewandelt werden kann.) Die letzte Möglichkeit einer Definition von "aussagenlogischer Ausdruck" kann man benutzen, um den Rang eines Ausdrucks neu zu definieren: Für ϕ F sei ρ(ϕ) = das kleinste n, so dass ϕ F n. 1.9 In einem Beweis durch Induktion über den Formelaufbau können die Voraussetzungen auch folgende Form annehmen: (i ) E(ϕ) gilt für alle ϕ mit ρ(ϕ) = 0. (ii ) Gilt E(ϕ) für alle ϕ mit ρ(ϕ) n, so gilt auch E(ϕ) für alle ϕ mit ρ(ϕ) n+1. (Analog für andere Komplexitätsfunktionen). Sie können auch in einer Aussage auftreten: (ii ) Gilt E(ϕ) für alle ϕ mit ρ(ϕ) < n, so gilt auch E(ϕ) für alle ϕ mit ρ(ϕ) = n. Alle diese Beweismethoden laufen also darauf hinaus, dass man - entsprechend der rekursiven Definition des Begriffes "a.a." - eine Eigenschaft E(ϕ) für alle a.a. ϕ zeigt, indem man E(ϕ) für den Fall nachweist, dass (1) ϕ eine Aussagenvariable ist (Induktionsanfang), und anderenfalls (2) die (Induktions-)Annahme benutzt, dass E(ψ) für die Teilformeln ψ von ϕ bereits gilt. (Beim Beweis nach (ii ) entspricht der Induktionsanfang (1) dem Fall n = 0.) Legt man die mengentheoretische Definition 1.8.a) zugrunde, so kann man auch direkt argumentieren: zeige, dass die Menge {ϕ E(ϕ) } die Bedingungen (1) - (2) von 1.8.a) erfüllt und somit F {ϕ E(ϕ) } ist. I.5

6 Math. Logik I.2 2 Semantik des Aussagenkalküls Die Bedeutung der aussagenlogischen Verknüpfungen wird üblicherweise durch die Wahrheitstafeln festgelegt - dadurch werden die aussagenlogischen Verknüpfungen zu Funktionen auf den Wahrheitswerten W ("wahr"), manchmal auch mit 1 oder V bezeichnet und F ("falsch"), manchmal auch mit 0 oder Λ bezeichnet. (Wir behandeln hier die 2-wertige Logik, nehmen also an, dass es genau zwei Wahrheitswerte gibt, nämlich W und F.) Liste der 1-stelligen Wahrheitsfunktionen W W W F F F W F W F Unter den vier 1-stelligen gibt es nur eine nicht-triviale, die die Wahrheitswerte vertauscht und der Negation entspricht. Es gibt 2 (22 ) = 16 2-stellige Wahrheitsfunktionen; lassen wir die trivialen weg, so erhalten wir: Liste der (nicht-trivialen) 2-stelligen Wahrheitsfunktionen ] [ W W W W W W F W F F F F W F F W F W W F W F F W F W F W W F W F F W F W F F F F W W F W F F W W Neben den bereits eingeführten tritt hier noch das entweder-oder ( ) auf, das wedernoch ( nor, Peirce) sowie ( nand, Sheffer s stroke). Weiterhin gibt es bereits 2 (23 ) = stellige Wahrheitsfunktionen, allgemein 2 (2n ) n-stellige Wahrheitsfunktionen, auf die wir später noch zurückkommen werden. Wir wollen nun jedem aussagenlogischen Ausdruck ϕ(a 1,.., A n ) in den Aussagenvariablen A 1,.., A n den Wahrheitswert zuordnen, der sich durch Auswertung gemäß den Wahrheitstafeln ergibt. Dieser Wert hängt ab von den Wahrheitswerten, die die Aussagenvariablen erhalten sowie natürlich davon, wie ϕ aus den Aussagenvariablen mit Hilfe der aussagenlogischen Verknüpfungen zusammengesetzt ist: I.6

7 Math. Logik I Definition (Interpretation von aussagenlogischen Ausdrücken) Für einen aussagenlogischer Ausdruck ϕ sei V(ϕ) die Menge der in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen, V eine beliebige (u.u. unendliche) Menge von Aussagenvariablen. Man nennt eine Abbildung f : V {W,F} Belegung von V (mit Wahrheitswerten), B(V) := { f f : V {W,F} } Menge der Belegungen von V, F(V) := { ϕ V(ϕ) V } Menge der Aussagen mit Variablen in V. Es sei nun ϕ ein aussagenlogischer Ausdruck, ϕ F(V), f : V {W,F} eine Belegung. Dann definieren wir f(ϕ) bzw. ϕ[f] Wahrheitswert bzw. Interpretation von ϕ unter der Belegung f durch Rekursion über den Aufbau von ϕ (vgl. 1.7) wie folgt: f(a) = f(a) bzw. A[f] = f(a) falls ϕ = A eine Aussagenvariable ist, f( ϕ) = f(ϕ) bzw. ( ϕ)[f] = (ϕ[f]), f(ϕ * ψ) =f(ϕ) * f(ψ) bzw. (ϕ * ψ)[f] = ϕ[f] * ψ[f]. Dabei stehen auf der linken Seite innerhalb der Klammern jeweils die Symbole für die aussagenlogischen Verknüpfungen, auf der rechten Seite die jeweils zugeordneten Operationen, die man aus den Wahrheitstafeln entnimmt (und die wir dort auch mit den entsprechenden Symbolen bezeichnet haben, obwohl man eigentlich streng zwischen beiden unterscheiden sollte). Beispiel: Es sei ϕ = (A C) D, also V(ϕ) = {A,C,D}, ferner sei V = {A,B,C,D} und f : V {W,F} definiert durch f(a) = W, f(b) = W, f(c) = F, f(d) = W. Dann erhält man durch sukzessive Berechnung (entsprechend der rekursiven Definition): A B C D f(a C) f( (A C)) f(d) f( D) f(ϕ) f W W F W F W W F F also f(ϕ) = ϕ[f] = F. 2.2 Satz ϕ[f] hängt nur von f ÁV(ϕ) (und natürlich von ϕ ) ab, d.h. sind f und g zwei Belegungen, die (mindestens) auf V(ϕ) definiert sind und dort übereinstimmen, so ist ϕ[f] = ϕ[g]. Beweis: durch Induktion über den Formelaufbau von ϕ. Wir benutzen jetzt bereits die später in 4.1 eingeführte Definition: f ª ϕ : f(ϕ) = W f erfüllt ϕ I.7

8 Math. Logik I Definition Es seien ϕ, ψ F(V). ag[ϕ] : für alle f B(V) gilt: f ª ϕ ϕ ist allgemeingültig (oder: aussagenlogisch wahr) kd[ϕ] : für alle f B(V) gilt: f Ω ϕ ϕ ist kontradiktorisch (oder: aussagenlogisch falsch) erfb[ϕ] : es gibt ein f B(V) mit: f ª ϕ ϕ ist erfüllbar ϕ äq ψ : ag[ϕ ψ] ϕ ist äquivalent zu ψ für alle f B(V) gilt: f ª ϕ f ª ψ ϕ impl ψ : ag[ϕ ψ] ϕ impliziert ψ für alle f B(V) gilt: wenn f ª ϕ, so f ª ψ. Einfache Beispiele: ag[a A], kd[a A], erfb[a], erfb[ A], aber A (und auch A) sind weder allgemeingültig noch kontradiktorisch. Es gilt offenbar: ag[ϕ] kd[ ϕ] erfb[ϕ] nicht kd[ϕ] ag[ ϕ] nicht ag[ϕ] ag[ϕ ψ] ag[ϕ] und ag[ψ] erfb[ϕ ψ] erfb[ϕ] oder erfb[ψ] ag[ϕ] oder ag[ϕ] ag[ϕ ψ] erfb[ϕ ψ] erfb[ϕ] und erfb[ψ] (aber die Umkehrung gilt i.a. nicht) (i.a. ohne Umkehrung!) (i.a. ohne Umkehrung!) 2.4 Bemerkung Die Prädikate der Def. 2.3 sind entscheidbar. Ein Entscheidungsverfahren liefert (unmittelbar nach Definition) die Wahrheitstafelmethode; dieses Verfahren besitzt jedoch exponentielle Komplexität: Hat ϕ n Variable, so hat B(V(ϕ)) bereits 2 n Elemente! Für jedes einzelne f B(V(ϕ)) muß man f(ϕ) berechnen, wobei die Komplexität dieser Berechnung abhängig ist von der Anzahl der logischen Symbole in ϕ. 2.5 Einige wichtige allgemeingültige Ausdrücke: A A tertium non datur A A Reflexivität von ( A A ) Gesetz vom Widerspruch ( A A ) Gesetz vom Widerspruch A ( A B ) regula falsi A ( A B ) B modus ponens (als Gesetz) B ( A B ) A modus tollens (als Gesetz) A A B (hintere) Abschwächung A B A (vordere) Abschwächung (A B) (B C) (A C) Transitivität von (A B) (A C) (B C) C Gesetz der Fallunterscheidung (A B) (B A) (A B) I.8

9 Math. Logik I.2 Einige dieser allgemeingültigen Ausdrücke ergeben gültige Implikationen, wie z.b. A impl A, A impl B und B impl C A impl C, A impl B und B impl A A äq B. 2.6 Einige wichtige Äquivalenzen A äq A Gesetz der doppelten Verneinung A B äq B A Kontraposition (A B) äq A B A (B C) äq A B C Importation/Exportation A (B C) äq (A B) (A C) (A B) C äq (A C) (B C) (A B) äq A B de Morgansches Gesetz (A B) äq A B de Morgansches Gesetz Folgende Äquivalenzen kann man als Definitionsgesetze auffassen: A B äq A B A B äq (A B) (B A) A B äq ( A B) A B äq ( A B) 2.7 Satz Die Relation äq ist eine Äquivalenzrelation, d.h. ϕ äq ϕ (reflexiv), ϕ äq ψ ψ äq ϕ (symmetrisch), ϕ äq ψ und ψ äq χ ϕ äq χ (transitiv). 2.8 Satz (G. BOOLE) (1) Kommutativgesetze: A B = B A A B = B A (2) Assoziativgesetze: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C (3) Idempotenzgesetze: A A = A, A A = A (4) Distributivgesetze: A (B C) = (A B) ( A C) A (B C) = (A B) ( A C) (5) Absorptionsgesetze A (B A) = A A (B A) = A (6) Komplementgesetze: A A = V, A A = Ø A = A Ø = V, V = Ø (7) de MORGANsche Gesetze: (A B) = A B (A B) = A B I.9

10 Math. Logik I.2 Dieses sind die Gesetze einer BOOLEschen Algebra, und zwar in mengentheoretischer Form ausgedrückt. Die entsprechenden aussagenlogischen Gesetze erhält man, wenn man folgende Ersetzungen vornimmt: mengentheoretisch aussagenlogisch = äq Ø A A V A A Die obigen Gesetze haben wir für Aussagenvariable aufgeschrieben; sie gelten aber allgemeiner für a.a. anstelle der Aussagenvariablen (wie in Satz 2.7). Diese Tatsache ergibt sich aus 2.9 Satz (Einsetzungsregel) ϕ = ϕ[ ψ / A ] sei der Ausdruck, der aus ϕ hervorgeht, indem der Ausdruck ψ für eine Aussagenvariable A in ϕ an allen Stellen, an denen sie in ϕ vorkommt, eingesetzt wird. Dann gilt: Falls ag[ ϕ ], so ag[ ϕ ]. Als Regel geschrieben: ϕ(a) ϕ[ψ/a] wobei wir ϕ(a) schreiben, um anzudeuten, dass die Ausagenvariable A in ϕ vorkommt Satz (Ersetzungsregel) χ* = χ( ψ / ϕ ) sei ein Ausdruck, der aus χ hervorgeht, indem der Ausdruck ϕ in χ an einigen (oder allen) Stellen durch den Ausdruck ψ ersetzt wird. Dann gilt: Falls ϕ äq ψ, so χ äq χ*, bzw. als Regel: ϕ ψ χ χ(ψ/ϕ) Beispiel: Es ist A äq A. Somit erhält man aus χ einen äquivalenten Ausdruck, indem man hierin an einigen (oder allen Stellen) A durch A ersetzt. Beweis der Einsetzungsregel: Es sei V(ϕ) = {A, A 1,.., A n }, V(ψ) = {B 1,.., B m }, somit V(ϕ ) = {A 1,.., A n, B 1,.., B m }. Es sei g : V(ϕ ) {W,F} eine beliebige Belegung, zu zeigen ist: g(ϕ ) = W. Dazu definiere man eine Belegung f: V(ϕ) {W,F} durch f(a) = g(ψ), f(a i ) = g(a i ) und zeige: g(ϕ ) = f(ϕ) also = W, da ag[ ϕ ]. Beweis der Ersetzungsregel: Es sei f: V(χ) V(χ*) {W,F} eine beliebige Belegung. Zeige: f(χ) = f(χ*) durch Induktion über den Formelaufbau von χ. I.10

11 Math. Logik I.3 3 Normalformen In diesem Abschnitt werden wir uns mit aussagenlogischen Ausdrücken beschäftigen, die nur die Operationen,, enthalten und BOOLEsche Ausdrücke genannt werden. 3.1 Satz Zu jedem aussagenlogischen Ausdruck ϕ gibt es einen äquivalenten BOOLEschen Ausdruck ϕ, der dieselben Aussagenvariablen wie ϕ enthält: ϕ äq ϕ, wobei V(ϕ) = V(ϕ ). Beweis: Eliminiere die Symbole und durch Umformungen zu äquivalenten Ausdrücken; d.h. ersetze in ϕ jeden Teilausdruck der Form ψ χ durch den äquivalenten Ausdruck ψ χ, ψ χ durch den äquivalenten Ausdruck ( ψ χ) ( χ ψ). Aufgrund der Ersetzungsregel erhält man dadurch wiederum einen zu ϕ äquivalenten Ausdruck. (Der Beweis liefert übrigens ein effektives Verfahren, um ϕ aus ϕ zu erhalten.) 3.2 Bemerkung Indem man die Äquivalenzen von 2.6 benutzt, kann man auch noch durch und (bzw. durch und ) ausdrücken und in 3.1 erreichen, dass ϕ nur noch und (bzw. und ) enthält, was in Hinblick auf manche Anwendungen (z.b. Dualitätssatz) aber nicht immer erwünscht ist. Tatsächlich kann man einen aussagenlogischen Ausdruck in einen äquivalenten umformen, der nur noch eine aussagenlogische Operation (nämlich bzw. ) enthält. 3.3 Definition (endliche Konjunktionen und Disjunktionen) ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 := ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ), allgemein: Λ i=1,...,n ϕ i = ϕ 1 Λ i=1,...,n ϕ i = ϕ 1 ( Λ i=2,...,n ϕ i für n = 1, ) für n > 1, und analog definiert man die endlichen Disjunktionen V i=1,...,n ϕ i. Ein Ausdruck ist in konjunktiver Normalform (KNF) gdw er eine Konjunktion von Disjunktionen ist, wobei die einzelnen Disjunktionsglieder kein und kein mehr enthalten, d.h. wenn er von der folgenden speziellen Form ist Λ i=1,...,n V j=1,...,ni ϕ ij, wobei jedes ϕ ij eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable ist, I.11

12 Math. Logik I.3 in disjunktiver Normalform (DNF) gdw er von der Form V i=1,...,n Λ j=1,...,ni ϕ ij ist, wobei jedes ϕ ij eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable ist. ( A A sowie A A sind danach sowohl in konjunktiver wie in disjunktiver Normalform.) 3.4 Satz (BOOLEsche Normalform) Zu jedem aussagenlogischen Ausdruck ϕ gibt es äquivalente Ausdrücke ϕ k bzw. ϕ d in konjunktiver bzw. disjunktiver Normalform, die dieselben Aussagenvariablen wie ϕ enthalten: ϕ äq ϕ k äq ϕ d, wobei V(ϕ) = V(ϕ k ) = V(ϕ d ), ϕ k in KNF, ϕ d in DNF. Beweis: Eine disjunktive NF läßt sich aus ϕ konstruieren: wie folgt mittels folgender Umformungen 1. Schritt: ϕ äq ϕ 1 für einen BOOLEschen Ausdruck ϕ 1 2. Schritt: ϕ 1 äq ϕ 2 für einen Ausdruck ϕ 2, wobei in ϕ 2 ein Negationszeichen höchstens vor Aussagenvariablen vorkommt; dazu benutze man folgende Äquivalenzen: ψ äq ψ, (δ χ) äq δ χ, (δ χ) äq δ χ (De Morgan). 3. Schritt: eliminiere in ϕ 2 "vor" mittels der Distributivgesetze: ψ 1 (ψ 2 ψ 3 ) äq (ψ 1 ψ 2 ) (ψ 1 ψ 3 ) (ψ 1 ψ 2 ) ψ 3 äq (ψ 1 ψ 3 ) (ψ 2 ψ 3 ) Als Ergebnis erhält man eine disjunktive NF ϕ d, welche zu ϕ äquivalent ist. Den im 2. Schritt erhaltenen Ausdruck ϕ 2, in dem das Negationszeichen höchstens vor Aussagenvariablen vorkommt, nennt man auch eine Negationsnormalform von ϕ. Um eine konjunktive NF zu erhalten, bilde man erst wieder eine Negationsnormalform und wende im 3. Schritt die dualen Distributivgesetze an ( d.h. vertausche mit ). (Der Beweis liefert übrigens wiederum ein effektives Verfahren, um ϕ zu einer äquivalenten konjunktiven bzw. disjunktiven Normalform umzuformen.) 3.5 Satz (Entscheidungsverfahren für BOOLEsche Normalformen) (i) ϕ sei in KNF. Dann gilt: ag[ϕ] in jedem Konjunktionsglied von ϕ kommt mindestens eine Aussagenvariable zusammen mit ihrer Negation vor. (ii) ϕ sei in DNF. Dann gilt: kd[ϕ] in jedem Disjunktionsglied von ϕ kommt mindestens eine Aussagenvariable zusammen mit ihrer Negation vor. Beispiel: (A D A) ( B A A B) ( A B B A C) nicht aber ( A B A) ( B A A D). ist allgemeingültig, I.12

13 Math. Logik I.3 Beweis von 3.5 (i): Es ist ag[λ i=1,...,n V j ϕ ij ] für alle i = 1,...,n : ag[ V j ϕ ij ]. Gibt es zu jedem i ein j und ein k, so dass ϕ ij = A und ϕ ik = A für eine Aussagenvariable A ist, so ist V j ϕ ij allgemeingültig, also gilt " ". Zum Beweis der Umkehrung sei ϕ = Λ i=1,...,n V j ϕ ij in KNF, aber in (mindestens) einem Konjunktionsglied ϕ i = V j ϕ ij komme keine Aussagenvariable mit ihrer Negation vor. Dann können wir eine Belegung f : V(ϕ) {W,F} definieren mit W, falls A in ϕ i negiert vorkommt, f(a) = F, falls A in ϕ i unnegiert vorkommt, W, falls A in ϕ i nicht vorkommt. Dann wird f(ϕ i ) = F und damit auch f(ϕ) = F, also ist ϕ nicht allgemeingültig. Mittels Satz 3.5 erhält man ein weiteres Verfahren, die Allgemeingültigkeit eines aussagenlogischen Ausdrucks ϕ zu testen: Forme ϕ in eine KNF um und prüfe nach, ob die Bedingung von 3.5 (i) erfüllt ist. Auch dieses Entscheidungsverfahren ist von exponentieller Komplexität wegen der Notwendigkeit, bei der Umformung in eine KNF das Distributivgesetz anzuwenden: Aus dem einfachen Fall ψ 1 ( ψ 2 ψ 3 ) äq ( ψ 1 ψ 2 ) ( ψ 1 ψ 3 ) ergibt sich durch mehrfache Anwendung (ψ 11 ψ 12 ) ( ψ 21 ψ 22 ) äq (ψ 11 ( ψ 21 ψ 22 )) ( ψ 12 ( ψ 21 ψ 22 )) äq (ψ 11 ψ 21 ) (ψ 11 ψ 22 ) ( ψ 12 ψ 21 ) ( ψ 12 ψ 22 ) und das allgemeine Distributivgesetz: Λ i=1,...,n V j=1,...,mi ϕ ij äq V f P Λ i=1,...,n ϕ if(i) wobei P = { f f : {1,..,n} { mit 1 f(i) m i für alle i = 1,...,n }. Speziell wenn alle m i = m: Λ i=1,...,n V j=1,...,m ϕ ij äq V f: {1,...,n} {1,...,m} Λ i=1,...,n ϕ if(i) und noch spezieller, wenn alle m i = 2 sind: Λ i=1,...,n V j=1,2 ϕ ij äq V f: {1,...,n} {1,2} Λ i=1,...,n ϕ if(i) erhält man auf der rechten Seite eine Disjunktion mit 2 n - vielen Gliedern. I.13

14 Math. Logik I.3 Der folgende Satz besagt, dass sich jede n-stellige Wahrheitsfunktion mittels der BOOLEschen Operationen darstellen lässt (und zwar ergibt sich aus dem Beweis zugleich eine Darstellung in disjunktiver bzw. konjunktiver Normalform): 3.6 BOOLEscher Repräsentationssatz Es sei G eine beliebige n-stellige Wahrheitsfunktion, also G: B(V) {W,F}, wobei V die Menge der Aussagenvariablen {A 1,..., A n } ist. Dann existiert ein BOOLEscher Ausdruck ϕ in diesen Ausagenvariablen, d.h. mit V(ϕ)= V, dessen Auswertung nach den Wahrheitstafeln gerade die Funktion G ergibt, d.h. G(g) = ϕ[g] = g(ϕ) für alle g B(V). Beweis: Setze für f B(V) : ϕ f = (A 1 f(a 1 ).. A n f(a n ) ), wobei A i W = A i, A i F = A i. Es sei M : = {f B(V) G(f) = W }. Dann ist ϕ = V f M ϕ f ein BOOLEscher Ausdruck (in disjunktiver NF), der die Behauptung erfüllt: g(ϕ) = W g(ϕ f ) = W für ein f M (*) f = g für ein f M g M G(g) = W. Zum Beweis von (*) beachte, dass für alle i = 1,...,n : g(ϕ f )= W g(a f(a i i ) ) = W [ f(a i ) = W g(a i ) = W ] und [ f(a i ) = F g(a i ) = F ], also f = g. Ein alternativer Beweis (welcher zugleich eine konjunktive NF liefert) geht aus von der Menge N : = {f B(V) G(f) = F}. (Einzelheiten: Übungsaufgabe!) 3.7 Folgerungen aus Satz 3.6 (bzw. aus dem Beweis) ergeben sich für a) die Schaltalgebra, b) den Übergang von DNF zu einer äquivalenten KNF, c) die Existenz nur endlich-vieler Ausdrücke ψ mit Variablen {A 1,..., A n }, die nicht miteinander äquivalent sind (dagegen gibt es stets unendlich viele zueinander äquivalente Ausdrücke). 3.8 Das Dualitätsprinzip Im folgenden betrachten wir nur BOOLEsche Ausdrücke! Wir definieren drei syntaktische Operationen, die für BOOLEsche Ausdrücke definiert sind: D(ϕ) : vertausche in ϕ mit dualer Ausdruck zu ϕ, N(ϕ) : setze vor jede Aussagenvariable in ϕ ein -Zeichen, N * (ϕ) : setze vor jede Aussagenvariable in ϕ ein -Zeichen, falls dort keines steht, sonst streiche eines! I.14

15 Math. Logik I.3 Beispiel: D( ( A B) C) = ( A B) C N( ( A B) C) = ( A B) C N * ( ( A B) C) = A B) C DN * ( ( A B) C) = (A B) C DN * (A B) = A B äq (A B) 3.9 Lemma (i) N * ϕ äq N ϕ, (ii) N( A) = A = N(A), N ( ϕ ) = N ϕ, N(ϕ ψ) = N(ϕ) N(ψ), N(ϕ ψ) = N(ϕ) N(ψ), (iii) N * ϕ äq N * ϕ, (iv) NN ϕ äq ϕ, (v) ag ϕ ag N ϕ, (vi) ϕ äq ψ N ϕ äq N ψ. Beweis von (i): Benutze A äq A und die Ersetzungsregel. (iii): N * ϕ äq N ϕ = N ϕ äq N * ϕ (nach (i) und (ii)), (v): Es gilt ag ϕ ag N ϕ nach der Einsetzungsregel (setze A für A ), somit auch ag N ϕ ag NN ϕ, und nach (iv): ag N ϕ ag ϕ. (vi) ϕ äq ψ ag[ ϕ ψ ] ag[n( ϕ ψ )] (nach (v); ist eigentlich BOOLEsch auszudrücken) ag[n(ϕ) N(ψ)] (nach (ii)) N ϕ äq N ψ Satz a) ϕ äq D(N * ( ϕ )) Bildung der Negation b) ϕ äq ψ D ϕ äq D ψ. Dualitätssatz Beweis von a): Wegen Lemma 3.9 (i) genügt es zu zeigen: (*) ϕ äq D(N( ϕ )), und dieses zeigt man durch Induktion über den Formelaufbau von ϕ : 1. Fall: ϕ = A. Dann ist DN(A) = A äq A. 2. Fall: ϕ = ψ. Dann ist DN ϕ = DN( ψ ) = DN ψ äq ψ nach Ind.vor. äq ϕ. 3. Fall: ϕ = ψ 1 ψ 2. Dann ist DN ϕ = DN ψ 1 DN ψ 2 nach 3.9 (ii) äq ψ 1 ψ 2 nach Ind.vor. äq ( ψ 1 ψ 2 ), d.h. äq ϕ. 4. Fall: ϕ = ψ 1 ψ 2. Der Beweis ist analog zum 3. Fall. Der Teil b) folgt nun aus a): ϕ äq ψ ϕ äq ψ DN ϕ äq DN ψ ND ϕ äq ND ψ D ϕ äq D ψ nach 3.9(vi). I.15

16 Math. Logik I.4 4 Folgerungs- und Beweisbegriff A. Der semantische Folgerungsbegriff Wir werden jetzt Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und Folgerungen von bzw. aus Mengen von Ausdrücken untersuchen. Da sich viele Begriffe (gegebenenfalls mit Abwandlungen) vom AK auf den PK übertragen lassen, werden wir von jetzt ab meistens von (aussagenlogischen) Formeln statt von aussagenlogischen Ausdrücken sprechen. 4.1 Definition ϕ sei eine Formel, T sei eine (möglicherweise unendliche) Menge von Formeln, V sei eine Menge von Aussagenvariablen mit T F(V), ϕ F(V), f : V {W,F}. f ª ϕ : f(ϕ) = W f erfüllt ϕ f ª T : für alle ψ T : f ª ψ f erfüllt T erfb ϕ : es gibt ein f mit f ª ϕ ϕ ist erfüllbar (wie Def. 2.3) erfb T : es gibt ein f mit f ª T T ist erfüllbar T ª ϕ : für alle f : falls f ª T, so f ª ϕ ϕ folgt (semantisch) aus T T ª ϕ besagt also: alle Belegungen f, die T erfüllen, erfüllen auch ϕ, oder vereinfacht: ϕ ist immer dann wahr, wenn alle Formeln in T wahr sind. Falls T endlich ist, schreiben wir auch ϕ 1,.., ϕ n ª ϕ für {ϕ 1,.., ϕ n } ª ϕ. Im Falle T = Ø schreiben wir ª ϕ für Ø ª ϕ ; es gilt also: ª ϕ ag[ϕ]. Beispiele: ϕ ª ϕ ; ϕ ª ϕ ψ ; ϕ, ψ ª ϕ ψ ; ϕ ψ δ, δ ψ ª ϕ ; aber nicht: A ª A B. Im Falle der Ersetzungsregel gilt: ϕ ψ ª χ χ(ϕ/ψ) ; im Falle der Einsetzungsregel gilt jedoch i.a. nicht ϕ(a) ª ϕ[ψ/a]! 4.2 Satz ϕ 1,.., ϕ n ª ϕ ª ϕ 1.. ϕ n ϕ Somit läßt sich der Folgerungsbegriff für endliche Formelmengen auf den Begriff der Allgemeingültigkeit zurückführen, der allgemeine Folgerungsbegriff aber auch auf den Erfüllbarkeitsbegriff: Als Verallgemeinerung von I.16

17 Math. Logik I.4 erhalten wir: ag[ ϕ ] nicht erfb[ ϕ ] 4.3 Satz T ª ϕ nicht erfb (T { ϕ } ) T Ω ϕ erfb (T { ϕ } ) 4.4 Lemma erfb T es existiert kein ϕ mit T ª ϕ und T ª ϕ, es existiert ein ϕ mit: T Ω ϕ. 4.5 Kompaktheitsatz erfb T für alle endlichen T 0 T : erfb T 0 Der Beweis von " " ist trivial (falls eine Belegung f alle Formeln in T erfüllt, so erfüllt dasselbe f auch alle Formeln in allen endlichen Teilmengen von T). Den Beweis der Umkehrung werden wir später mit Hilfe des Vollständigkeitssatzes führen; einen direkten Beweis (mit Hilfe des Lemmas von König ) findet man etwa bei SIEFKES 1.B.8 (S. 35 ff). 4.6 Folgerung (Endlichkeitssatz für = ) T ª ϕ es ex. ein endliches T 0 T mit T 0 ª ϕ. 4.7 Bemerkungen 1. Ist T endlich, so ist entscheidbar, ob T ª ϕ oder T Ω ϕ ; es ist aber möglich, dass weder T ª ϕ noch T ª ϕ gilt! Denn es gilt zwar T ª ϕ T Ω ϕ (für erfüllbares T ), aber nicht umgekehrt! 2. Ist T endlich, so gibt es eine effektive Aufzählung der Folgerungsmenge { ϕ T ª ϕ }. 3. Gibt es eine effektive Aufzählung von T, so gibt es auch eine effektive Aufzählung der Folgerungsmenge { ϕ T ª ϕ }. I.17

18 Math. Logik I.4 B. Der syntaktische Folgerungsbegriff 4.8 Definition Ein (formales) Axiomensystem A wird bestimmt durch (1) die Sprache von A, gegeben durch eine (i.a. abzählbare) Menge von Symbolen, dem Alphabet der Sprache von A, z.b. A 0, A 1,...,,,,,, (, ) im Falle des AK, eine Menge von Formeln als bestimmte endliche Folgen von Symbolen, z.b. den aussagenlogischen Ausdrücken, (2) eine Menge von Axiomen, wobei jedes Axiom eine Formel ist, z.b. ϕ ϕ, ϕ ϕ, (3) eine Menge von Regeln der Form ϕ / ψ oder ϕ, ψ /δ, z.b. ϕ / ϕ, modus ponens: ϕ, ϕ ψ / ψ. Es sei A ein Axiomensystem, ϕ eine Formel, T eine Menge von Formeln (der Sprache von A). Ein (A-)Beweis von ϕ aus T ist eine endliche Folge (ϕ 1,.., ϕ n ) von Formeln, so dass (B1) ϕ n = ϕ, (B2) für jedes m n gilt: (1) ϕ m ist Axiom von A oder (2) ϕ m ist Formel aus T oder (3) es gibt ein i < m, so dass ϕ m aus ϕ i hervorgeht durch Anwendung einer Regel von A oder (4) es gibt i, j < m, so dass ϕ m aus ϕ i und ϕ j hervorgeht durch Anwendung einer Regel von A mit 2 Prämissen. Wir schreiben (analog zum semantischen Folgerungsbegriff): T A ϕ : es gibt einen A-Beweis von ϕ aus T ϕ ist aus T beweisbar, A ϕ : Ø A ϕ ϕ ist (in A ) beweisbar. Statt T A ϕ werden wir auch kurz T ϕ schreiben, wenn das Axiomensystem aus dem Zusammenhang bekannt (oder unwesentlich) ist, statt " ϕ ist aus T beweisbar" auch " ϕ folgt aus T " sagen. A korrekt : für alle Formeln ϕ gilt: A ϕ ª ϕ, A korrekt bzgl. Folgerungen : für alle Formeln ϕ und alle T gilt: T A ϕ T ª ϕ, A (semantisch) vollständig : für alle Formeln ϕ gilt: ª ϕ A ϕ, A (syntaktisch) widerspruchsfrei : es gibt eine Formel ϕ mit: º A ϕ. Somit ist A (syntaktisch) widerspruchsvoll (d.h. nicht widerspruchsfrei) gdw alle Formeln in A beweisbar sind. I.18

19 Math. Logik I.4 Für ein korrektes Axiomensystem sind also alle beweisbaren Aussagen allgemeingültig, für ein vollständiges Axiomensystem gilt auch die Umkehrung. Vollständigkeit und Korrektheit zusammen besagen also, dass genau die allgemeingültigen Aussagen beweisbar sind. Ein korrektes Axiomensystem ist widerspruchsfrei: die Aussagenvariable A ist nicht allgemeingültig, kann dann also auch nicht beweisbar sein. Wir werden allerdings sehen, dass es Axiomensysteme gibt, deren Widerspruchsfreiheit rein syntaktisch gezeigt werden kann. 4.9 Bemerkung: Enthält A den modus ponens als Regel und gilt A ϕ ( ϕ ψ ) oder A ϕ ( ϕ ψ ), so gilt: A widerspruchsfrei es gibt keine Formel ϕ mit A ϕ und A ϕ Satz T und S seien Formelmengen, ϕ eine Formel (der Sprache eines Axiomensystems A ) (i) Ist ϕ T oder ϕ Axiom von A, so gilt T A ϕ. (ii) (Endlichkeitssatz für ) Falls T A ϕ, so existiert ein endliches T 0 T mit T 0 A ϕ. (iii) (Transitivität von A ) Falls T A ϕ und S A ψ für jedes ψ T, so S A ϕ. (iv) A enthalte den modus ponens als Regel. Dann gilt: T A ϕ und T A ϕ ψ T A ψ Beispiele für Axiomensysteme der Aussagenlogik a) HILBERT-BERNAYS Sprache: A, B, C,..,,,,,, (, ) Axiome: 1. A (B A) (A (A B)) (A B) (A B) ((B C) (A C)) 2. A B A A B B (A B) ((A C) (A B C)) 3. A A B B A B (A C) ((B C ) (A B C)) 4. (A B) (A B) (A B) (B A) (A B) ((B A) (A B) (bis hier: Positive Logik) 5. (A B) ( B A) (bis hier: Minimalkalkül) A A (bis hier: Intuitionistische Logik) A A (klassische Logik) I.19

20 Math. Logik I.4 Regeln: ϕ(a) ϕ, ϕ ψ Einsetzungsregel und modus ponens: ϕ[ ψ / A ] ψ b) TARSKI Sprache: A, B, C,..,,, (, ) Axiome: A (B A), (A (A B)) (A B), ((A (B C) ((A B) (A C)) A (A B), ( A B) ((A B) B) Regeln: Einsetzungsregel und modus ponens. c) WHITEHEAD-RUSSELL Sprache: A, B, C,..,,,, (, ) Axiome: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ (ϕ ψ) ( δ ϕ δ ψ ) Regeln: modus ponens sowie die folgenden Regeln, die der Definition von mittels, entsprechen: R ϕ / ϕ[ δ ψ / δ ψ], ϕ / ϕ[ δ ψ /δ ψ]. (Bei den untenstehenden Ausdrücken handelt es sich um Formeln, die aus ϕ durch Ersetzung (an einigen oder allen Stellen) von δ ψ durch δ ψ (bzw. umgekehrt) entstehen.) Beachte, dass dieses Axiomensystem unendlich viele Axiome besitzt (die Axiome sind Schemata : ϕ ϕ ϕ steht für alle die Axiome dieser Form, wobei ϕ eine beliebige Formel ist), dafür wird die Einsetzungsregel, die für die Axiomensysteme in a) und b) notwendig ist, hier überflüssig. d) SCHÜTTE (nach HILBERT-ACKERMANN) Sprache: A, B, C,..,,, (, ) Ausdrücke sind hier etwas anders definiert: (A1) A 0, A 1, A 2,... sind Ausdrücke, und zwar Ausagenvariable. (A2) Sind ϕ und ψ Ausdrücke, so auch ( ϕ ) und ϕ ψ. (A3) Das sind alle Ausdrücke. (Beachte die Klammerung in (A2)!) Axiome: Alle Ausdrücke der Form E 1.. E n, wobei jedes E i eine Aussagenvariable oder negierte Aussagenvariable ist und mindestens ein E i die Negation eines E j ist. I.20

21 Math. Logik I.4 Regeln: ϕ ψ δ/ ϕ ( ψ ) δ, ϕ ψ 1 δ, ϕ ψ 2 δ / ϕ (ψ 1 ψ 2 ) δ Dabei dürfen die Nebenformeln in den Regeln, d.h. ϕ bzw. δ, fehlen (einzeln oder auch beide, natürlich dann auch mit den zugehörigen -Zeichen). e) Von NICOD stammt ein Axiomensystem, welches allein mit einer aussagenlogischen Verknüpfung, nämlich (wobei A B bedeutet: nicht A oder nicht B), auskommt und nur ein Axiomenschema benötigt: (α (β γ)) {[ δ (δ δ)] [(ε β) ((α ε)(α ε)] und eine Regel: α, α (β γ) / γ (s. MENDELSON p.42). Alle diese Axiomensysteme sind korrekt, widerspruchsfrei und vollständig. Die Korrektheit beweist man in allen Fällen durch Induktion über die Länge eines Beweises, d.h. man zeigt die Axiome sind allgemeingültig und sind die Prämissen einer Regel allgemeingültig, so auch die Konklusion. Gilt außerdem: aus der (den) Prämisse(n) einer Regel folgt die Konklusion, so sind die Axiomensysteme auch korrekt bzgl. Folgerungen; modus ponens und die übrigen betrachteten Regeln - außer der Einsetzungsregel! - erfüllen diese Bedingung. Besonders einfach ist der Beweis im Falle des Axiomensystems von SCHÜTTE (die Axiome sind gerade die allgemeingültigen KNF mit nur einem Konjunktionsglied). Einfach ist auch der Beweis der syntaktischen Widerspruchsfreiheit dieses Systems: der Ausdruck A (bestehend nur aus der Aussagenvariablen A) ist weder Axiom noch Konsequenz einer Regel (da Konsequenzen von Regeln stets mindestens ein - Zeichen enthalten). Schließlich ist auch die Vollständigkeit dieses Axiomensystems leicht nachzuweisen: Zeige (*) ª ϕ ϕ durch Induktion über die Anzahl der logischen Zeichen in ϕ : I.21

22 1. Fall: ϕ ist Variable oder negierte Variable: Dann ist ϕ nicht allgemeingültig. Math. Logik I.4 2. Fall: ϕ = V E i mit E i (negierte) Aussagenvariable. Dann ist ϕ Axiom gdw ϕ allgemeingültig ist (da ϕ in KNF ist). 3. Fall: ϕ = ϕ 0 ( ψ) δ. Ist ª ϕ, so auch ª ϕ 0 ψ δ, also nach Induktionsvor. auch beweisbar. Aus ϕ 0 ψ δ folgt aber ϕ 0 ( ψ) δ durch Anwendung der ersten Regel. 4. Fall: ϕ = ϕ 0 (ψ 1 ψ 2 ) δ. Ist ª ϕ, so auch ª ϕ 0 ψ 1 δ und ª ϕ 0 ψ 2 δ, also nach Induktionsvor. auch beweisbar. Aus beiden folgt aber ϕ durch Anwendung der zweiten Regel. Der Beweis liefert übrigens ein weiteres Entscheidungsverfahren, und zwar in diesem Fall für das Prädikat ϕ. Da wir bereits ein (oder sogar mehrere) Testverfahren kennen, um die Allgemeingültigkeit eines Ausdrucks nachzuprüfen, ist dieses neue (und etwas künstliche Verfahren - übrigens steckt dahinter auch nur die Methode der konjunktiven Normalform) nicht weiter interessant. Im Falle des Prädikatenkalküls tritt jedoch eine neue Situation ein: die Allgemeingültigkeit wird dann nicht länger entscheidbar sein, ein vollständiges Axiomensystem wird dann aber immerhin noch ein effektives Verfahren liefern, um die gültigen Aussagen wenigstens effektiv aufzuzählen. (Da diese Liste unendlich lang ist, kann man mit ihr allerdings nicht dadurch effektiv nachzuprüfen versuchen, ob ein Ausdruck in der Liste vorkommt, indem man diese Liste der Reihe nach durchgeht.) Ein besonderes Charakteristikum des SCHÜTTEschen Systems liegt darin, dass es "aufbauend" ist, d.h. im Verlauf eines Beweises werden die Formeln stets länger. Das erleichtert syntaktische Untersuchungen über das Axiomensystem, es verhindert andererseits, dass das Axiomensystem im verallgemeinerten Sinne vollständig ist: T = ϕ T ϕ verallgemeinerte Vollständigkeit wozu man abbauende Regeln (wie den modus ponens) benötigt, da z.b. gilt A B, A B ª B denn hier ist B kürzer als beide Prämissen! Im nächsten 5 werden wir ein Axiomensystem behandeln, für welches die verallgemeinerte Vollständigkeit im obigen Sinne bewiesen werden kann; daraus wird sich dann zugleich auch der Kompaktheitssatz (über den Endlichkeitssatz für den Beweisbarkeitsbegriff) ergeben. I.22

23 Math. Logik I.5 5 Vollständigkeits- und Kompaktheitssatz Als Beispiel eines Axiomensystems für den Aussagenkalkül, welches im verallgemeinerten Sinne vollständig ist, wollen wir hier ein Axiomensystem von SHOENFIELD behandeln: Sprache: A, B, C,..,,, (, ) die übrigen aussagenlogischen Operationen werden wie üblich definiert: ϕ ψ : ϕ ψ, ϕ ψ : ( ϕ ψ), ϕ ψ : (ϕ ψ) (ψ ϕ). Ferner seien endliche Folgen von Disjunktionen bzw. Implikationen durch Klammerung von rechts definiert: ϕ 1 ϕ 2... ϕ n : ϕ 1 ( ϕ 2 (... ϕ n ) ), ϕ 1 ϕ 2... ϕ n : ϕ 1 ( ϕ 2 (... ϕ n ) ). Axiome: tertium non datur ϕ ϕ Regeln: Expansion ψ / ϕ ψ Assoziativität ϕ (ψ δ) / (ϕ ψ) δ Kürzung ϕ ϕ / ϕ Schnitt ϕ ψ, ϕ δ / ψ δ Der Beweisbarkeitsbegriff bezieht sich im folgenden auf das obige Axiomensystem. 5.1 Satz (i) ϕ ª ϕ Korrektheit (ii) T ϕ T ª ϕ verallgemeinerte Korrektheit Zum Beweis von (i) zeigt man: Die Axiome sind allgemeingültig, und die Regeln führen von allgemeingültigen Aussagen wiederum zu allgemeingültigen Aussagen. Ähnlich zeigt man für (ii) durch Induktion über i : Ist (ϕ 1,..., ϕ n ) ein Beweis aus T, so gilt T ª ϕ i für i = 1,..., n. Die Umkehrung von 5.1 (ii) ist der (verallgemeinerte) Vollständigkeitssatz; hierzu muß man zeigen, dass die Axiome und Regeln tatsächlich ausreichen, um alle (semantischen) Folgerungen aus einer Menge von Aussagen zu gewinnen. Der Beweis ist natürlich um so aufwendiger, je weniger Axiome und Regeln ein Axiomensystem hat. 5.2 Lemma ϕ ψ ψ ϕ, ϕ d.h. ψ / ψ ϕ ist eine abgeleitete Regel (kann also zu den Regeln hinzugenommen werden, ohne den Beweisbegriff echt zu erweitern). Beweis: Aus ϕ ψ (als Voraussetzung) und ϕ ϕ (als Axiom) erhalten wir mittels der Schnittregel: ψ ϕ. I.23

24 Math. Logik I Lemma ϕ, ϕ ψ ψ, d.h. auch der modus ponens ϕ, ϕ ψ / ψ ist eine abgeleitete Regel. Beweis: Aus ϕ (Voraussetzung) ψ ϕ (Expansion) erhalten wir mit 5.2: ϕ ψ ϕ ψ (Vor.) ψ ψ (Schnitt) ψ (Kürzung). 5.4 Lemma Für 1 i < j n gilt: ϕ i ϕ j ϕ 1... ϕ n. Beweis durch Induktion über n. Da der Fall n = 2 trivial ist, können wir n > 2 annehmen. Setze ϕ := ϕ 3.. ϕ n. Dann ist zu zeigen: ϕ i ϕ j ϕ 1 ( ϕ 2 ϕ ). Fall 1: i 2. Dann gilt ϕ i ϕ j ϕ 2 ϕ nach Ind. vor. ( für n-1 Formeln; lasse ϕ 1 weg), also ϕ i ϕ j ϕ 1 ( ϕ 2 ϕ ) mit der Expansionsregel. Fall 2 : i = 1, j 3. Dann ist aus ϕ i ϕ j beweisbar: ϕ 1 ϕ nach Ind. vor. ( für n-1 Formeln; lasse ϕ 2 weg), also ϕ ϕ 1 nach 5.2 ϕ 2 ( ϕ ϕ 1 ) mit der Expansionsregel ( ϕ 2 ϕ) ϕ 1 mit der Assoziativregel ϕ 1 ( ϕ 2 ϕ ) nach 5.2. Fall 3 : i = 1, j = 2. Dann ist aus ϕ i ϕ j, d.h. ϕ 1 ϕ 2, beweisbar: ϕ ( ϕ 1 ϕ 2 ) mit der Expansionsregel ( ϕ ϕ 1 ) ϕ 2 mit der Assoziativregel ϕ 2 ( ϕ ϕ 1 ) nach 5.2 ( ϕ 2 ϕ) ϕ 1 mit der Assoziativregel ϕ 1 ( ϕ 2 ϕ ) nach 5.2. Mit ähnlichen kombinatorischen Überlegungen beweist man das folgende Lemma, welches die Kommutativregel 5.2 und die Assoziativregel verallgemeinert: 5.5 Lemma Für n,m 1, i 1,.., i m {1,.., n} gilt: ϕ i 1... ϕ i m ϕ 1... ϕ n. Beweis durch Induktion über m. Fall 1 : m=1, i 1 = i. Dann gilt ϕ i nach Vor., also ( ϕ i+1.. ϕ n ) ϕ i mit der Expansionsregel ϕ i ϕ i+1.. ϕ n nach 5.2 ϕ 1.. ϕ n mit Exp. (i-1)-mal. Fall 2 : m = 2. Benutze 5.4 und 5.2 (unterscheide die Fälle i 1 = i 2, i 1 < i 2 bzw. i 1 > i 2 ). I.24

25 Math. Logik I.5 Fall 3 : m 3. Setze ϕ := ϕ 1... ϕ n. Als Vor. können wir setzen: ϕ i1... ϕ im. ( ϕ i1 ϕ i2 )... ϕ im mit der Assoziativregel ( ϕ i1 ϕ i2 ) ϕ nach Ind. vor. (für m-1 Fomeln, (ϕ i1 ϕ i2 ) zählt ( ϕ ϕ i1 ) ϕ i2 nach 5.2, Ass. regel als eine Formel) ( ϕ ϕ i1 ) ϕ nach Ind.vor. (m=2) ( ϕ ϕ) ϕ i1 nach 5.2, Ass. regel ( ϕ ϕ) ϕ nach Ind.vor. (für 2 Formeln: Fall 2) ϕ Ass. regel, und nach Fall 1. Als Korollar aus 5.5 und 5.2 bekommen wir die Umkehrung der Assoziativregel: ( ϕ ψ) δ / ϕ (ψ δ). 5.6 Lemma (i) ϕ ψ ϕ ψ (ii) ϕ ψ ϕ ψ 5.7 Lemma ϕ δ, ψ δ (ϕ ψ ) δ 5.8 Satz (Tautologie-Satz; Vollständigkeitssatz) (i) ϕ 1,..., ϕ n ª ϕ ϕ 1,..., ϕ n ϕ, (ii) ª ϕ ϕ. Beweis: Wir zeigen zunächst, dass (i) bereits aus (ii) folgt: Sei ϕ 1,..., ϕ n ª ϕ. Dann gilt: ª ϕ 1.. ϕ n ϕ, also nach (ii): ϕ 1.. ϕ n ϕ, also auch ϕ 1 ϕ 1.. ϕ n ϕ und daraus mit 5.3 (modus ponens): ϕ 1 ϕ 2.. ϕ n ϕ, ϕ 1, ϕ 2 ϕ 3.. ϕ n ϕ, usw. bis ϕ 1,..., ϕ n ϕ. Für (ii) zeigen wir ª ϕ 1... ϕ n ϕ 1... ϕ n durch Induktion über Σ i=1,...,n lz(ϕ i ), wobei lz(ϕ) = Anzahl der logischen Zeichen in ϕ : 1. Fall: Jedes ϕ i ist eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable. Falls ª ϕ 1... ϕ n, so muß ein ϕ i = ϕ j für ein j sein. Es ist aber ϕ i ϕ j ein Axiom, also beweisbar, und damit nach Lemma 5.5. auch ϕ 1... ϕ n. Tritt der 1. Fall nicht ein, so ist mindestens ein ϕ i keine Aussagenvariable und keine negierte I.25

26 Math. Logik I.5 Aussagenvariable; durch Vertauschen können wir erreichen, dass dies auf ϕ 1 zutrifft. 2. Fall: ϕ 1 = ψ δ für ein ψ bzw. δ. Dann ist ª ψ (δ ϕ 2... ϕ n ), also nach Induktionsvoraussetzung (warum??) auch ϕ 1... ϕ n. ψ ( δ ϕ 2.. ϕ n ), also nach der Ass.regel 3. Fall: ϕ 1 = ψ für ein ψ. Dann ist ª ψ ϕ 2... ϕ n, also nach Induktionsvoraussetzung auch ψ ϕ 2... ϕ n, also nach 5.6 (i): ϕ 1... ϕ n. 4. Fall: ϕ 1 = ( ψ δ ) für ein ψ bzw. δ. Dann ist ª ( ψ δ ) ϕ 2... ϕ n, also auch ª ψ ϕ 2... ϕ n und ª δ ϕ 2... ϕ n, und somit ψ ϕ 2... ϕ n und δ ϕ 2... ϕ n nach Induktionsvoraussetzung. Mit 5.7 erhalten wir daraus: ϕ 1... ϕ n. (Obwohl nicht weiter interessant, liefert der Beweis zugleich ein Entscheidungsverfahren für ϕ.) 5.9 Deduktionssatz T ϕ ψ T { ϕ } ψ. Beweis von " ": Es sei T ϕ ψ. Dann gilt: T { ϕ } ϕ und T { ϕ } ϕ ψ, also mit modus ponens (5.3) T { ϕ } ψ. " ": Es sei T { ϕ } ψ. Dann existieren endlich viele ϕ 1,.., ϕ n T mit ϕ 1,.., ϕ n, ϕ ψ. Nach dem Korrektheitssatz gilt dann auch ϕ 1,.., ϕ n, ϕ = ψ und somit ϕ 1,.., ϕ n = ϕ ψ. Nach 5.8 a) erhalten wir ϕ 1,.., ϕ n ϕ ψ und somit T ϕ ψ, da ϕ 1,.., ϕ n T. Bemerkung: Der Deduktionssatz ist ein syntaktisches Ergebnis und lässt sich auch rein syntaktisch ohne den Umweg über Vollständigkeits- und Korrektheitssatz beweisen. In 4.1 haben wir Erfüllbarkeit für Aussagen und Mengen von Aussagen definiert: erfb ϕ : es gibt ein f mit f ª ϕ ϕ ist erfüllbar erfb T : es gibt ein f mit f ª T T ist erfüllbar. Der entsprechende syntaktische Begriff (s. 4.8) lautet "widerspruchsfrei": Definition (vgl. mit 4.4) T widerspruchsfrei (konsistent): es gibt ein ϕ, so dass T º ϕ, es gibt kein ϕ, so dass T ϕ und auch T ϕ. T ist vollständig: für alle ϕ gilt: T ϕ oder T ϕ, somit T ist vollständig und konsistent für alle ϕ gilt: entweder T ϕ oder T ϕ. I.26

27 Math. Logik I.5 Beweisbarkeit und (In-)Konsistenz hängen wie folgt miteinander zusammen (vgl. mit 4.3): 5.11 Lemma i) T ϕ T { ϕ } inkonsistent, also: T º ϕ T { ϕ } konsistent, ii) T ϕ T { ϕ } inkonsistent, also: T º ϕ T { ϕ } konsistent. Beweis: Gilt T ϕ, so T { ϕ } ϕ und T { ϕ } ϕ, also ist T { ϕ } inkonsistent. Ist umgekehrt T { ϕ } inkonsistent, so insbesondere (da dann alles beweisbar ist) T { ϕ } ϕ und nach dem Deduktionstheorem T ϕ ϕ, d.h. T ϕ ϕ und somit T ϕ. Daraus ergibt sich (i), und ähnlich beweist man (ii) (oder führt es auf (i) zurück). Den verallgemeinerten Vollständigkeitssatz werden wir damit in der Form jede konsistente Formelmenge ist erfüllbar beweisen. Dazu werden wir in zwei Schritten zeigen: jede konsistente Menge T läßt sich zu einer konsistenten und vollständigen Menge erweitern, eine konsistente und vollständige Menge ist (in kanonischer Weise) erfüllbar Satz (Vervollständigung) Zu jeder konsistenten Formelmenge T gibt es eine konsistente und vollständige Erweiterung T V T. Beweis: Es sei ϕ 0,.., ϕ n,... eine Aufzählung aller Formeln. Setze (induktive Definition): T o = T, T n+1 = T n falls T n ϕ n, T n { ϕ n } sonst, wobei "sonst" nach 5.11 (i) gerade bedeutet: falls T n { ϕ n } konsistent. Schließlich sei T V := n { T n. Da alle T n konsistent sind, so auch T V (nach dem Endlichkeitssatz 4.10(ii)). Ferner ist T V vollständig: Ist ϕ eine Formel, so ϕ = ϕ n für ein n, also nach Definition von T n+1 : entweder T n ϕ n und damit auch T V ϕ n oder T n+1 = T n { ϕ n }, also ϕ n T n+1 und damit auch T V ϕ n Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz I.27

28 Math. Logik I.5 (i) T ª ϕ T ϕ, somit: T ª ϕ T ϕ, (ii) T konsistent T erfüllbar, somit: T konsistent T erfüllbar. Beweis von (i) mittels (ii): T º ϕ T { ϕ } konsistent nach 5.11 (i) T { ϕ } erfüllbar nach (ii) T Ω ϕ nach 4.3. (Tatsächlich gilt: (i) für alle ϕ und alle T (ii) für alle T.) Beweis von (ii): Es sei T konsistent. Wähle mit 5.12 ein vollständiges und konsistentes T V T. Wir definieren eine Belegung f aller Aussagenvariablen durch: f(a) = W T V A. Es gilt dann für alle Formeln ϕ : (*) f ª ϕ T V ϕ. Die Behauptung (*) beweist man durch Induktion über ρ(ϕ) : Ist ϕ Aussagenvariable, so gilt (*) nach Def. von f. Ist ϕ = ψ, so f ª ϕ f Ω ψ T V º ψ (nach Ind.vor. für ψ) T V ψ (wegen der Vollst. von T V ) T V ϕ. Ist ϕ = ψ δ, so f ª ϕ f ª ψ oder f ª δ T V ψ oder T V δ (nach Ind.vor. für ψ und δ ) T V ϕ, wobei die letzte Äquivalenz sich wie folgt ergibt: Sei T V ψ δ. Angenommen, weder T V ψ noch T V δ. Dann gilt wegen der Vollständigkeit von T V : T V ψ und T V δ, woraus nach 5.7 folgt: T V ( ψ δ ), also wäre T V nicht konsistent, Widerspruch! (Die Umkehrung: T V ψ und T V δ T V ψ δ gilt (nach der Expansionsregel bzw. nach deren Verallgemeinerung 5.5.) für beliebiges T!) Als Korollar erhalten wir mit Hilfe des Endlichkeitssatzes 4.10: 5.14 Kompaktheitssatz T ist erfüllbar jedes endliche T 0 T ist erfüllbar I.28