FoSa AT1. für die GNM. Manuel Kühner (161992) 27. Juni 2007

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Sofie Siegel
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1 FoSa AT für die GNM Manuel Kühner (6992) 27. Juni 2007

2 Inhaltsverzeichnis Grundgleichungen 3 2 Strukturbild 3 3 Übetrragungsfunktionen 3 3. Führungs-Übertragungsfunktion Stör-Übertragungsfunktion Stationäre Kennlinie der GNM 5 5 Wirkungsgrad der GNM 6 Manuel Kühner -2-

3 Grundgleichungen. Maschengleichung des Ankerkreises 2. Erste Fundamentalgleichung der Gleichstrommaschine u = i R a + di dt L a + u ind () u ind = c ω (2) 3. Zweite Fundamentalgleichung der Gleichstrommaschine M i = c i (3) 4. Drallsatz (M = M i M R, häufig wird M R = 0 angenommen) J ω = M M L (4) 2 Strukturbild Aus den Grundgleichungen ergeben sich folgende zwei gekoppelte DGLs:. Alle DGLs nach der höchsten Ableitung auflösen. u = i R a + di dt L a + c ω (5) J ω = c i M L (6) 2. Annahme die höchsten Ableitungen seien bekannt und zugänglich. 3. Die höchste Ableitung so oft integrierten, bis keine abgeleitete Größe (Ausgangsgröße) am letzten Integrierer auftreten. 4. Die rechte Seeite der aufgelösten DGL als Berechnungsvorschrift für die angenommene höchste Ableitung auffassen. 3 Übetrragungsfunktionen 3. Führungs-Übertragungsfunktion Die Laplace-Transformierten der zwei gekoppelten DGLs sind: Manuel Kühner -3-

4 u(s) = (R a + L a s) i(s) + c ω(s) (7) J s ω(s) = c i(s) M L (s) (8) Damit ergibt sich die Führungsübertragungsfunktion zu: G ω,u ML =0 = ω(s) u(s) = c JL a s 2 + JR a s + (9) Nach Einführung der beiden Zeitkonstanten T m = JR a und T e = L a R a ergibt sich: G ω,u ML =0 = ω(s) u(s) = c T e T m s 2 + T m s + (0) Für T m >> T e gilt: G ω,u ML =0 = ω(s) u(s) = c T e T m s 2 + T m s + = c T e T m s 2 + (T m + T m ) s + = c T e s + T m s + () (2) (3) 3.2 Stör-Übertragungsfunktion Die Laplace-Transformierten der zwei gekoppelten DGLs sind: u(s) = (R a + L a s) i(s) + c ω(s) (4) J s ω(s) = c i(s) M L (s) (5) Damit ergibt sich die Störübertragungsfunktion zu (Klemmen kurzgeschlossen, wenn Klemmen offen, dann i = 0): G ω,ml u=0 = ω(s) M L (s) = R a JL a L a R a s + s 2 + JR a s + (6) Manuel Kühner -4-

5 Nach Einführung der beiden Zeitkonstanten T m = JR a und T e = L a R a ergibt sich: G ω,ml u=0 = ω(s) M L (s) = R a c T e s + 2 T e T m s 2 + T m s + (7) Für T m >> T e gilt: G ω,ml u=0 = ω(s) M L (s) = R a = R a T e s + T e T m s 2 + T m s + T e s + T e T m s 2 + (T m + T m ) s + T m s + = R a Te s + T e s + = R a T m s + (8) (9) (20) (2) Durch Superposition kann man ω ermitteln, wenn eine Spannung UND ein Lastmoment wirken: ω = ω u=0 + ω ML =0 (22) 4 Stationäre Kennlinie der GNM Im stationären Fall (Ableitungen von i und ω sind null) ist das innere Moment gleich dem anliegenden Lastmoment (Reibung nicht berücksichtigt)! Nachfolgend einige wichtige Beziehungen:. Maschengleichung für den stationären Fall 0 = i R a + c ω (23) 2. Drallsatz für den stationären Fall 3. Drehmomentbeziehung 0 = }{{} c i M L (24) M i M = M L = M i M R (25) 4. Zusammenhamg zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl (in /s=hz) ω = 2πf (26) Manuel Kühner -5-

6 5. Zusammenhamg zwischen Winkelgeschwindigkeit Umfangsgeschwindigkeit v = ω r (27) 6. Leistung 7. Geradengleichung 8. Steigung der Geraden P = ω M (28) ω = u c R a M (29) }{{ } m m = R a (30) 9. Geradengleichung nach u umgestellt u = R a c M + c ω (3) 0. Anlaufmoment M an = c i an = u R a c (32). Reibmoment M R = c i leer,re (33) 2. Leerlaufwinkelgeschwindigkeit (ideal, M R = 0) ω leer,id = u c (34) 3. Leerlaufwinkelgeschwindigkeit (real, M R 0) ω leer,re = u c R a M R (35) 5 Wirkungsgrad der GNM Die allgemeine Definition für den Wirkungsgrad lautet: η = abgegebene Leistung aufgenommene Leistung (36) Im Falle der GNM also: Manuel Kühner -6-

7 η = (M i M R ) ω u i (37) Ersetzt man ω mit (u i R a ) c und i mit M i, so ergibt sich: c η = ( M ) ( R M ) i M i M an (38) Das (innere) Drehmoment beim maximalen Wirkungsgrad M η,max ergibt sich zu: M η,max = M R M an (39) Der maximale Wirkungsgrad η max lässt sich wie folgt berechnen: ( η max = MR M an ) 2 (40) Manuel Kühner -7-

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