Fundamentale Prinzipien der Kombinatorik und elementare Abzählkoeffizienten Wolfram Koepf

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1 Fudametale Prizipie der Kombiatori ud elemetare Abzähloeffiziete Wolfram Koepf Die abzählede Kombiatori beschäftigt sich vor allem mit der Auswahl eier Teilmege, die ma häufig eie Stichprobe et (aus Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti stammeder Begriff), dem Aorde vo Mege Hierbei werde die folgede elemetare Abzählprizipie verwedet: Summeregel: Zerlegt ma eie Mege M i disjute Teilmege so gilt M M M, 1 M 1 Beispiele: Jeder weiß, was eie Teilmege ist Die Azahl der -elemetige Teilmege (urz: -Teilmege) eier -Mege sei ( ) ) Beispielrechuge Wir ee de Biomialoeffiziete Noch habe wir allerdigs eie Rechevorschrift zur ( Bestimmug dieser Zahle Die Potezmege P(N) eier -Mege N a ma zerlege (lassifiziere) ach der Azahl der Elemete der etsprechede Teilmege vo N: P(N) {A N A } 0 P P ist also die Mege der -Teilmege vo N, folglich gilt P ( ) Also folgt P(N) P Adererseits ist P(N) 2 (Beweis folgt demächst mit der Gleichheitsregel) Also ist 2 (1) 0 Dies ee wir eie ombiatorische Beweis vo (1) Ei weiteres Beispiel eier derartige Klassifizierug ist die Aufteilug der -Teilmege P vo N i diejeige Teilmege, welche ei gegebees a N ethalte ud diejeige, welche a icht ethalte: P {A P a A} {A P a A} 1

2 Hieraus folgt , die berühmte Reursio der Biomialoeffiziete, welche das Pascalsche Dreiec erzeugt Wo sehe Sie die Dreiecszahle? Wir werde später eiige weitere iteressate Eigeschafte des Pascalsche Dreiecs eelere Produtregel: Sei ei Megeprodut, so ist M M 1 M M 1 Dies a ma auch so formuliere: Ei Prozeß laufe i voeiader uabhägige Schritte ab Gibt es für de -te Schritt Möglicheite, da a der gaze Prozeß auf Arte ablaufe Beispielrechuge 1 Beispiele: Sei W {0, 1} Da ist W 2 Mit adere Worte: Es gibt 2 verschiedee 0, 1-Folge der Läge Solche Folge ee wir auch Wörter der Läge über dem Alphabet {0, 1} Eie Permutatio eier -Mege N ist ei Wort der Läge über dem Alphabet N, bei dem jedes Elemet geau eimal auftritt Wieviele Permutatioe vo N gibt es? Es gibt Möglicheite, de erste Buchstabe zu wähle; da bleibe 1 Möglicheite, de zweite Buchstabe zu wähle, usw Mit Idutio erhalte wir also! ( 1) 1 viele Permutatioe vo N Gleichheitsregel: Existiert zwische zwei Mege M ud N eie Bijetio, so gilt M N Beispiel: Wir gebe eie Bijetio zwische P(N) ud W {0, 1} a Hierzu sei o B d A N {1, 2,, } Das Elemet A P(N) erzeugt i eideutiger Weise das Wort a a 1 a 2 a W mit { 1 falls A a : 0 falls A 2

3 Umgeehrt a aus dem Wort a a 1 a 2 a W sofort auf die zugehörige Teilmege A P(N) geschlosse werde: Also ist P(N) 2 A { N a 1} Wir omme u zu weitere Abzählaufgabe Wir teile die Fragestelluge des elemetare Abzähles i verschiedee Grudaufgabe ei, welche wir wiederum i verschiedee Modelle leide Mit K ud N bezeiche wir immer Mege mit K ud N Elemete, ggf K {1,, } ud N {1,, } Grudaufgabe 1: (A) Uremodell: Ziehe mit Zurüclege: I eier Ure sid durchumerierte Kugel (uterscheidbar!) Ma ziehe zufällig aus der Ure eie Kugel ud lege sie wieder zurüc Dies werde -mal wiederholt Wie viele solche Möglicheite gibt es? Atwort: Es gibt viele Möglicheite (Produtregel) Eie adere Eileidug ist gegebe durch (B) duales Uremodell: Gegebe seie uterscheidbare Kugel ud durchumerierte Ure Die Kugel werde auf die Ure verteilt Wie viele mögliche Verteiluge gibt es? (C) Abbildugsmodell: Wie viele Abbilduge f : K N gibt es? Atwort: Abb(K, N) Der Zusammehag zu (B): Die Abbildug f verteilt die Kugel auf die Ure! MaW: die Kugel sid die Urbilder ud die Ure sid die Bilder der Abbildug f (D) Wörtermodell: Ei Alphabet N mit verschiedee Buchstabe sei gegebe Wie viele Wörter der Läge gibt es? Hier sid die Nummer der Buchstabe die Urbilder ud die Buchstabe selbst die Bilder Grudaufgabe 2: (A) Uremodell: Ziehe ohe Zurüclege: I eier Ure sid durchumerierte Kugel Ma ziehe zufällig aus der Ure eie Kugel ud lege sie icht wieder zurüc Dies werde -mal wiederholt Wie viele Möglicheite gibt es hierfür? Atwort: Es gibt ( 1) ( 2) ( + 1) viele Möglicheite (Produtregel) heiße fallede Fatorielle (B) duales Uremodell: Gegebe seie uterscheidbare Kugel ud durchumerierte Ure Die Kugel werde so auf die Ure verteilt, daß i eier Ure mehr als eie Kugel ladet Wie viele solche Verteiluge gibt es? 3

4 (C) Abbildugsmodell: Wie viele ijetive Abbilduge f : K N gibt es? Atwort: Ij(K, N) (D) Wörtermodell: Ei Alphabet N mit verschiedee Buchstabe sei gegebe Wie viele Wörter der Läge gibt es, bei dee jeder Buchstabe höchstes eimal auftritt? Spezieller Fall: Da hadelt es sich um bijetive Abbilduge f : N N oder um Wörter aus verschiedee Buchstabe, also um Permutatioe Es gibt folglich! Permutatioe eier -Mege Grudaufgabe 3: (A) Uremodell: Ziehe i eiem Griff: I eier Ure sid durchumerierte Kugel Ma ziehe i eiem Griff zufällig aus der Ure Kugel Wie viele solche Ziehuge gibt es? Atwort: Es gibt offebar geau so viele solche Ziehuge, wie es -Teilmege eier -Mege gibt, also ( ) Auf der adere Seite etspreche jeder derartige Ziehug geau! Ziehuge (Azahl der Permutatioe vo K) der Grudaufgabe 2 Also ist! ( 1) ( + 1) ( 1) 1 (B) duales Uremodell: Gegebe seie icht uterscheidbare Kugel ud durchumerierte Ure Die Kugel werde so auf die Ure verteilt, daß i eier Ure mehr als eie Kugel ladet Wie viele solche Verteiluge gibt es? (C) Abbildugsmodell: Wie viele streg mootoe Abbilduge f : K N gibt es? (D) Wörtermodell: Ei Alphabet N mit verschiedee ageordete Buchstabe sei gegebe Wie viele Wörter der Läge gibt es, dere Buchstabe sortiert sid ud jeder Buchstabe ur eimal auftritt? Grudaufgabe 4: (A) Uremodell: Ziehe ohe Notiere der Reihefolge: I eier Ure sid durchumerierte Kugel Ma ziehe zufällig aus der Ure eie Kugel ud lege sie wieder zurüc Dies werde -mal wiederholt Am Ede sortiert ma die Resultate ( vergißt also die Reihefolge, i der sie gezoge wurde) Wie viele Möglicheite gibt es? Atwort: Es gibt ( ) + 1 solcher ugeordeter Stichprobe mit Zurüclege (ohe Beweis) (B) duales Uremodell: Gegebe seie icht uterscheidbare Kugel, die auf umerierte Ure verteilt werde Wie viele solche Verteiluge gibt es? Atwort: Dies geht auf ( ) + 1 Arte (C) Abbildugsmodell: Wie viele mootoe Abbilduge f : K N gibt es? Atwort: Mo(K, N) ( ) + 1 4

5 (D) Wörtermodell: Ei Alphabet N mit verschiedee ageordete Buchstabe sei gegebe Wie viele Wörter der Läge gibt es, dere Buchstabe sortiert sid? Schließlich wolle wir die Betrachtuge durch folgede Fragestellug abrude Wir bestimme die Azahl der -stellige Wörter aus dem Alphabet N, i dee das Zeiche j geau j mal vorommt Es ist also eie Liste ( 1, 2,, ) gegebe mit Wir bezeiche diese Azahl als M ( 1, 2,, ) Als Soderfall habe wir für M (1, 1,, 1)!, die Azahl der Permutatioe eier -Mege Ma stelle sich zuächst die gleiche Zeiche als uterscheidbar vor Es gibt i userem Wort mal das Zeiche Also ist! M ( 1, 2,, ) M ( 1, 2,, 1, 1, 1,, 1), wobei am Ede Eise stehe Idutiv erhält ma also 1! 2!! M ( 1, 2,, ) M (1, 1,, 1)!, M ( 1, 2,, )! 1! 2!! M ( 1, 2,, ) et ma de Multiomialoeffiziete, welcher eie Verallgemeierug der Biomialoeffiziete darstellt: M 2 ( 1, 2 ) ( ( ) ( ) )! ! 2! Daher verwedet ma auch die Schreibweise ( ) M ( 1, 2,, ) 1, 2,, Machmal, isbesodere auch i Nachschlagwere, wird i der Kombiatori folgedermaße uterschiede: Es gilt Permutatioe: Sid verschiedee Elemete gegebe, so et ma irgedeie Aordug Permutatio Variatioe: Sid verschiedee Elemete ud verschiedee Plätze gegebe, so et ma irgedeie Aordug auf de Plätze (uter Berücsichtigug der Reihefolge) Variatio Kombiatioe: Werde aus verschiedee Elemete (ohe Berücsichtigug der Reihefolge) ausgewählt, spricht ma vo eier Kombiatio ohe Wiederholug mit Wiederholug Azahl verschiedeer Permutatioe P! P 1, 2,, ( ) 1, 2,, Azahl verschiedeer Variatioe V! ( )! V Azahl verschiedeer Kombiatioe C ( ) C ( )

6 Wie bereits gesehe, erhält ma aus der Reursio ( ) ( ) ( ) das Pascalsche Dreiec für ( ) : Dieses ethält viele iteressate Beziehuge Wir summiere zuerst zeileweise, dh bei festem Es gilt: 2 (2) Hierfür hatte wir bereits eie ombiatorische Beweis gegebe Wir betrachte als ächstes eie Spaltesumme bis zur Zeile Es gilt ( ) ( ) m m0 Für 0 ist dies orret, ud Idutio liefert: +1 ( ) m ( ) ( ) ( ) ( ) m m0 m0 wobei wir (2) beutzt habe Betrachte wir die Diagoale m + Dies liefert ( ) ( ) m + m , + 1 Wieder ist die Aussage für 0 richtig, ud wir beomme +1 ( ) m + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m + m m m m Der Biomialsatz 0 (x + y) 0 x y läßt sich folgedermaße ombiatorisch beweise: Wie oft ommt der Summad x y beim Ausmultipliziere der lie Seite vor? Ma erhält diese Summade, we ma aus Klammer x ud aus Klammer y auswählt Hierfür gibt es ( ) viele Möglicheite 6